安徽省肥東縣圣泉中學2025屆高一數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

安徽省肥東縣圣泉中學2025屆高一數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．定義在上的偶函數(shù)滿足當時,,則A. B.C. D.2．已知偶函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，若，，，則的大小關系為（）A. B.C. D.3．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A.4 B.C.8 D.94．若在是減函數(shù)，則的最大值是A. B.C. D.5．已知命題p：x為自然數(shù)，命題q：x為整數(shù)，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.7．為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”，計費方法如下表：每戶每月用水量水價不超過12m3的部分3元/m3超過12m3但不超過18m3的部分6元/m3超過18m3的部分9元/m3若某戶居民本月繳納的水費為90元，則此戶居民本月的用水量為（）A.17 B.18C.19 D.208．將進貨單價為40元的商品按60元一個售出時，能賣出400個．已知該商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，為了賺得最大利潤，售價應定為A.每個70元 B.每個85元C.每個80元 D.每個75元9．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.10．已知冪函數(shù)的圖象過點，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的定義域為__________________.12．求過(2,3)點，且與(x－3)2＋y2＝1相切的直線方程為_____13．已知函數(shù)若關于x的方程有4個解，分別為，，，，其中，則______，的取值范圍是______14．若，則____________.15．函數(shù)的最大值是__________16．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（I）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；（II）若,求的值.18．若＝，是第四象限角，求的值.19．已知函數(shù)為偶函數(shù)（1）求a的值，并證明在上單調遞增；（2）求滿足的x的取值范圍20．某中學有初中學生1800人，高中學生1200人，為了解全校學生本學期開學以來（60天）的課外閱讀時間，學校采用分層抽樣方法，從中抽取100名學生進行問卷調查.將樣本中的“初中學生”和“高中學生”按學生的課外閱讀時間（單位：時）各分為5組[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計全校學生中課外閱讀時間在[30，40）小時內的總人數(shù)是多少；（2）從課外閱讀時間不足10小時的樣本學生中隨機抽取3人，求至少有2個初中生的概率；（3）國家規(guī)定，初中學生平均每人每天課外閱讀時間不少于半個小時.若該校初中學生課外閱讀時間小于國家標準，則學校應適當增加課外閱讀時間，根據(jù)以上抽樣調查數(shù)據(jù)，該校是否需要增加初中學生的課外閱讀時間？并說明理由.21．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，M為PC中點（1）求證：BA∥平面PCD；（2）求證：AP∥平面MBD

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】分析：先根據(jù)得周期為2，由時單調性得單調性，再根據(jù)偶函數(shù)得單調性，最后根據(jù)單調性判斷選項正誤.詳解：因為，所以周期為2，因為當時,單調遞增，所以單調遞增，因為，所以單調遞減，因為，,所以,,,,選B.點睛：利用函數(shù)性質比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小，首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性轉化為單調區(qū)間上函數(shù)值，最后根據(jù)單調性比較大小，要注意轉化在定義域內進行.2、D【解析】先利用偶函數(shù)的對稱性判斷函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，結合偶函數(shù)定義得，再判斷，和的大小關系，根據(jù)單調性比較函數(shù)值的大小，即得結果.【詳解】偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，由在區(qū)間內單調遞增可知，在區(qū)間內單調遞減.，故，而，，即，故，由單調性知，即.故選：D.3、C【解析】由已知可得，然后利用基本不等式可求得結果【詳解】解：因為正數(shù)x，y滿足，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為8，故選：C【點睛】此題考查基本不等式應用，利用了“1”的代換，屬于基礎題4、A【解析】因為，所以由得因此，從而的最大值為，故選：A.5、A【解析】根據(jù)兩個命題中的取值范圍，分析是否能得到pq和qp【詳解】若x為自然數(shù)，則它必為整數(shù)，即p?q但x為整數(shù)不一定是自然數(shù)，如x＝－2，即qp故p是q的充分不必要條件故選：A.6、C【解析】令，則，從而，即可得到，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調性，進而可得，解不等式可得答案【詳解】令，則，，所以，所以，令，則，所以，所以，所以在單調遞增，所以由，得，所以，解得，故選：C【點睛】關鍵點點睛：此題考查不等式恒成立問題，考查函數(shù)單調性的應用，解題的關鍵是換元后對不等式變形得，再構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性解不等式.7、D【解析】根據(jù)給定條件求出水費與水價的函數(shù)關系，再由給定函數(shù)值計算作答.【詳解】依題意，設此戶居民月用水量為，月繳納的水費為y元，則，整理得：，當時，，當時，，因此，由得：，解得，所以此戶居民本月的用水量為.故選：D8、A【解析】設定價每個元，利潤為元，則，故當，時，故選A.考點：二次函數(shù)的應用.9、C【解析】由解出范圍即可.【詳解】由，可得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，故選C.10、A【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，結合代入法進行求解即可.【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，又因為函數(shù)的圖象過點，所以，因此，故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由，解得，所以定義域為考點：本題考查定義域點評：解決本題關鍵熟練掌握正切函數(shù)的定義域12、或【解析】當直線沒有斜率時，直線的方程為x=2,滿足題意，所以此時直線的方程為x=2.當直線存在斜率時，設直線的方程為所以故直線的方程為或.故填或.13、①.1②.【解析】作出圖象，將方程有4個解，轉化為圖象與圖象有4個交點，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，對數(shù)函數(shù)的性質，可得的、的范圍與關系，結合圖象，可得m的范圍，綜合分析，即可得答案.【詳解】作出圖象，由方程有4個解，可得圖象與圖象有4個交點，且，如圖所示：由圖象可知：且因為，所以，由，可得，因為，所以所以，整理得；當時，令，可得，由韋達定理可得所以，因為且，所以或，則或，所以故答案為：1，【點睛】解題的關鍵是將函數(shù)求解問題，轉化為圖象與圖象求交點問題，再結合二次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質求解即可，考查數(shù)形結合，分析理解，計算化簡的能力，屬中檔題.14、##0.6【解析】，根據(jù)三角函數(shù)誘導公式即可求解.【詳解】＝.故答案為：.15、【解析】由題意得，令，則，且故，，所以當時，函數(shù)取得最大值，且，即函數(shù)的最大值為答案：點睛：（1）對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，當其中一個式子的值知道時，其余二式的值可求，轉化的公式為(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα（2）求形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的函數(shù)的最值（或值域）時，可先設t＝sinx±cosx，轉化為關于t的二次函數(shù)求最值（或值域）16、8【解析】將等式轉化為，再解不等式即可求解【詳解】由題意，正實數(shù)，由（時等號成立），所以，所以，即，解得（舍），，（取最小值）所以的最小值為.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）周期為，最大值為2，最小值為-1（2）【解析】（1）將函數(shù)利用倍角公式和輔助角公式化簡為,再利用周期可得最小正周期,由找出對應范圍,利用正弦函數(shù)圖像可得值域;（2）先利用求出,再由角的關系展開后代入可得值.試題解析:（1）所以又所以由函數(shù)圖像知.（2）解：由題意而所以所以所以=.考點：三角函數(shù)性質;同角間基本關系式;兩角和的余弦公式18、【解析】先計算正弦與正切，利用誘導公式化簡可得【詳解】若＝，是第四象限角，則原式=.19、（1）；證明見解析（2）【解析】（1）由偶函數(shù)的定義解方程可得a=1，再由單調性的定義，結合指數(shù)函數(shù)的單調性可得結論；（2）由偶函數(shù)的性質：，結合（1）的結論，原不等式化為，再由絕對值不等式的解法可得所求解集.【小問1詳解】解：由題意函數(shù)為偶函數(shù)，∴，即∴對任意恒成立，解得∴任取，則由，可得，∴，即，∴在上單調遞增【小問2詳解】由偶函數(shù)的對稱性可得在上單調遞減，∴，∴，解得，∴滿足的x的取值范圍是20、（1）720人（2）（3）需要增加，理由見解析【解析】（1）由分層抽樣的特點可分別求得抽取的初中生、高中生人數(shù)，由頻率分布直方圖的性質可知初中生、高中生課外閱讀時間在，小時內的頻率，然后由頻數(shù)樣本容量頻率可分別得初中生、高中生課外閱讀時間在，小時內的樣本學生數(shù)，最后將兩者相加即可（2）記“從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，至少有2個初中生”為事件，由頻數(shù)樣本容量頻率組距頻率可分別得初中生、高中生中，閱讀時間不足10個小時的學生人數(shù)，然后用列舉法表示出隨機抽取3人的所有可能結果以及事件的結果，從而得（3）同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作為代表來計算樣本中的所有初中生平均每天閱讀時間，并與30小時比較大小，若小于30小時，則需要增加，否則不需要增加【小問1詳解】由分層抽樣知，抽取的初中生有人，高中生有人初中生中，課外閱讀時間在，小時內的頻率為:，學生人數(shù)為人高中生中，課外閱讀時間在，小時內的頻率為:，學生人數(shù)約有人，全校學生中課外閱讀時間在，小時內學生總人數(shù)為人【小問2詳解】記“從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，至少有2個初中生”為事件，初中生中，閱讀時間不足10個小時的學生人數(shù)為人，高中生中，閱讀時間不足10個小時的學生人數(shù)為人記這3名初中生為，，，這2名高中生為，，則從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，所有可能結果共有10種，即，，，，，，，，，，而事件結果有7種，它們是：，，，，，，，至少抽到2名初中生的概率為【小問3詳解】樣本中的所有初中生平均每天閱讀時間為:（小時），而（小時），，該校需要增加初中學生課外閱讀時間21、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質可知,結合直線與平面平行的判定定理可得結論；（2）設，連接，由平行四邊形的性質可知為中位線，從而得到,利用線面平行的判定定理，即可證出平面.【詳解】證明（1）∵如圖，四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，∴BC∥AD，又∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD；（2）設AC∩BD=H，連接MH