2025屆黑龍江省綏化市普通高中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2025屆黑龍江省綏化市普通高中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過拋物線C：的準(zhǔn)線上任意一點作拋物線的切線，切點為，若在軸上存在定點，使得恒成立，則點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.2．已知，則“”是“直線與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．若復(fù)數(shù)z滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.4．經(jīng)過點且與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則在處的切線方程為（）A. B.C. D.6．曲線：在點處的切線方程為A. B.C. D.7．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，分別是它們的在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于（）A.4 B.2C.2 D.38．中國歷法推測遵循以測為輔，以算為主的原則.例如《周髀算經(jīng)》里對二十四節(jié)氣的晷影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節(jié)氣的晷影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的.二十四節(jié)氣中，從冬至到夏至的十三個節(jié)氣依次為：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至.已知《周髀算經(jīng)》中記錄某年的冬至的晷影長為13尺，夏至的晷影長是1.48尺，按照上述規(guī)律，那么《周髀算經(jīng)》中所記錄的立夏的晷影長應(yīng)為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺9．若拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，則點P到拋物線的焦點F的距離為（）A.4 B.5C.6 D.710．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)到與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列、這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項分別為2，3，5，8，12，17，23則該數(shù)列的第100項為（）A.4862 B.4962C.4852 D.495211．已知橢圓的右焦點為F，短軸的一個端點為P，直線與橢圓相交于A、B兩點.若，點P到直線l的距離不小于，則橢圓C離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.12．設(shè)，則曲線在點處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的兩個焦點分別為，，，點在橢圓上，若，且的面積為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______14．某教師組織本班學(xué)生開展課外實地測量活動，如圖是要測山高.現(xiàn)選擇點A和另一座山頂點C作為測量觀測點，從A測得點M的仰角，點C的仰角，測得，，已知另一座山高米，則山高_(dá)______米.15．設(shè)函數(shù)，，對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是______16．已知不等式有且只有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的范圍為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，.（1）計算和；（2）求.18．（12分）我們知道：當(dāng)是圓O：上一點，則圓O的過點的切線方程為；當(dāng)是圓O：外一點，過作圓O的兩條切線，切點分別為，則方程表示直線AB的方程，即切點弦所在直線方程.請利用上述結(jié)論解決以下問題：已知圓C的圓心在x軸非負(fù)半軸上，半徑為3，且與直線相切，點在直線上，過點作圓C的兩條切線，切點分別為.（1）求圓C的方程；（2）當(dāng)時，求線段AB的長；（3）當(dāng)點在直線上運(yùn)動時，求線段AB長度的最小值.19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論的零點個數(shù).20．（12分）如圖，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC．E為AB中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面CEB夾角的余弦值21．（12分）如圖，圓錐的底面直徑與母線長均為4，PO是圓錐的高，點C是底面直徑AB所對弧的中點，點D是母線PA的中點（1）求圓錐的表面積；（2）求點B到直線CD的距離22．（10分）已知橢圓的左，右焦點分別為，三個頂點（左、右頂點和上頂點）構(gòu)成的三角形的面積為，離心率為方程的根.（1）求橢圓方程；（2）橢圓的一個內(nèi)接平行四邊形的一組對邊分別過點和，如圖，若這個平行四邊形面積為，求平行四邊形的四個頂點的縱坐標(biāo)的乘積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)切點，點，聯(lián)立直線的方程和拋物線C的準(zhǔn)線方程可得，將問題轉(zhuǎn)化為對任意點恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設(shè)切點，點由題意，拋物線C的準(zhǔn)線，且由，得，則直線的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對任意點恒成立，也就是對任意點恒成立因為，，則，即對任意實數(shù)恒成立，所以，即，所以，故選：D【點睛】一般表示拋物線的切線方程時可將拋物線方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，再代入計算.2、A【解析】首先由兩直線平行的充要條件求出參數(shù)的取值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】因為直線與平行，所以，解得或，所以“”是“直線與平行”的充分不必要條件.故選：A.3、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故選：B4、C【解析】共漸近線的雙曲線方程，設(shè)，把點代入方程解得參數(shù)即可.【詳解】設(shè)，把點代入方程解得參數(shù)，所以化簡得方程故選：C.5、A【解析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得，可求出，求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率，即可求出切線方程.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，，即，解得，，則，，且，切線方程為，整理得.故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】因為，所以曲線在點（1,0）處的切線的斜率為，所以切線方程為，即，選A7、A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，由定義可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線定義，得，，，由可得，又，在中，，即，化簡得，兩邊同除以，得.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查共焦點的橢圓與雙曲線的離心率問題，解題的關(guān)鍵是利用定義以及焦點三角形的關(guān)系列出齊次方程式進(jìn)行求解.8、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列定義求得公差，再求解立夏的晷影長在數(shù)列中所對應(yīng)的項即可【詳解】設(shè)從冬至到夏至的十三個節(jié)氣依次為等差數(shù)列的前13項，則所以公差為，則立夏的晷影長應(yīng)為(尺)故選：B9、A【解析】根據(jù)拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，得到點P(3，±2)，然后利用拋物線的定義求解.【詳解】由題意，知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，∵拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，則P(3，±2)，∴點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3+1=4，∴點P到拋物線的焦點F的距離為4.故選：A.10、D【解析】根據(jù)題意可得數(shù)列2，3，5，8，12，17，23，，滿足：，，從而利用累加法即可求出，進(jìn)一步即可得到的值【詳解】2，3，5，8，12，17，23，后項減前項可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故選：D11、D【解析】設(shè)橢圓的左焦點為，由題可得，由點P到直線l的距離不小于可得，進(jìn)而可求的范圍，即可得出離心率范圍.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，P為短軸的上端點，連接，如圖所示：由橢圓的對稱性可知，A，B關(guān)于原點對稱，則，又，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，解得：，點P到直線l距離：，解得：，即，∴，∴.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵是由橢圓定義得出，再根據(jù)已知條件得出.12、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以，則曲線在點處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意得到為直角三角形．設(shè)，，根據(jù)橢圓的離心率，定義，直角三角形的面積公式，勾股定理建立方程的方程組，消元后可求得的值.【詳解】由題可知，∴,又，代入上式整理得，由得為直角三角形又的面積為4，設(shè)，，則解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為14、【解析】利用正弦定理可求出各個三角形的邊長，進(jìn)而求出山高.【詳解】解：在中，，，，可得在中，，所以由正弦定理可得：即，得在直角中，所以故答案為：.15、【解析】首先求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，然后分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求最值即可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】∵在上恒成立，∴當(dāng)時，取最大值1，∵對任意的，都有成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上為減函數(shù)，∵當(dāng)時，，故當(dāng)時，取最大值1，故，故答案為【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，難度中檔16、【解析】參變分離后研究函數(shù)單調(diào)性及極值，結(jié)合與相鄰的整數(shù)點的函數(shù)值大小關(guān)系求出實數(shù)a的范圍.【詳解】整理為：，即函數(shù)在上方及線上存在兩個整數(shù)點，，故顯然在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且與相鄰的整數(shù)點的函數(shù)值為：，，，，顯然有，要恰有兩個整數(shù)點，則為0和1，此時，解得：，如圖故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的坐標(biāo)，利用向量的模長公式可求得的值；（2）計算出，結(jié)合的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1），；（2），，因此，.【點睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，同時也考查了利用空間向量的數(shù)量積計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）；（3）4.【解析】(1)根據(jù)圓圓心和半徑設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求出a；(2)根據(jù)題意寫出AB的方程，根據(jù)垂徑定理即可求出弦長；(3)根據(jù)題意求出AB經(jīng)過的定點Q，當(dāng)CQ垂直于AB時，AB最短.【小問1詳解】由題，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得.故圓C方程為；【小問2詳解】根據(jù)題意可知，直線的方程為，即，圓心C到直線的距離為，故弦長；【小問3詳解】設(shè)，則，又直線方程為：，故直線過定點Q，設(shè)圓心C到直線距離為，則，故當(dāng)最大時，最短，而，故與垂直時最大，此時，，∴線段長度的最小值4.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）時，有1個零點；或時，有2個零點；時，有3個零點.【解析】（1）求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)分析原函數(shù)的極值，進(jìn)而討論其零點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以由，得或；由，得.故單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）可知的極小值是，極大值是.①當(dāng)時，方程有且僅有1個實根，即有1個零點；②當(dāng)時，方程有2個不同實根，即有2個零點；③當(dāng)時，方程有3個不同實根，即有3個零點；④當(dāng)時，方程有2個不同實根，即有2個零點；⑤當(dāng)時，方程有1個實根，即有1個零點.綜上，當(dāng)或時，有1個零點；當(dāng)或時，有2個零點；當(dāng)時，有3個零點.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接與交于點O，連接OE，得到，再利用線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)，底面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量，再根據(jù)底面，得到平面一個法向量，然后由夾角公式求解.【小問1詳解】如圖所示：連接與交于點O，連接OE，如圖，由分別為的中點所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由，底面，故底面建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面的一個法向量為：，則，即，令，則，則，因為底面，所以為平面一個法向量，所以所以平面與平面CEB夾角的余弦值為.21、（1）（2）【解析】（1）直接運(yùn)用圓錐的表面積公式計算即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)，然后運(yùn)用向量法計算可求得答案.【小問1詳解】【小問2詳解】如圖，建立直角坐標(biāo)系，，，，∴B在CD上投影的長度∴B到CD的距離解法2：設(shè)直線CD上一點E滿足