廣東省東莞市高級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

廣東省東莞市高級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是A. B.C. D.2．已知直線(xiàn)，若異面，，則的位置關(guān)系是（）A.異面 B.相交C.平行或異面 D.相交或異面3．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，交雙曲線(xiàn)的右支于點(diǎn)，且點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.4．已知，則（）A. B.1C. D.5．直線(xiàn)的傾斜角的大小為A. B.C. D.6．已知，則“”是“直線(xiàn)與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．“五一”期間，甲、乙、丙三個(gè)大學(xué)生外出旅游，已知一人去北京，一人去兩安，一人去云南.回來(lái)后，三人對(duì)去向作了如下陳述：甲：“我去了北京，乙去了西安.”乙：“甲去了西安，丙去了北京.”丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事實(shí)是甲、乙、丙三人陳述都只對(duì)了一半(關(guān)于去向的地點(diǎn)僅對(duì)一個(gè)).根據(jù)以上信息，可判斷下面說(shuō)法中正確的是（）A.甲去了西安 B.乙去了北京C.丙去了西安 D.甲去了云南8．下列命題錯(cuò)誤的是()A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.若命題p：或；命題q：或，則是的必要不充分條件D.“”是“”的充分不必要條件9．已知全集，集合，則（）A. B.C. D.10．在矩形中，，在該矩形內(nèi)任取一點(diǎn)M，則事件“”發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.11．已知直線(xiàn)與平行，則系數(shù)（）A. B.C. D.12．已知集合，，則A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線(xiàn)的離心率為2，則此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程___________.14．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.15．如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的大小是____________．16．已知點(diǎn)，平面過(guò)原點(diǎn)，且垂直于向量，則點(diǎn)到平面的距離是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，設(shè)平面與平面的交線(xiàn)為.（1）證明：；（2）已知，為直線(xiàn)上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.18．（12分）已知圓（1）求圓心的坐標(biāo)和圓的面積；（2）若直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)19．（12分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.20．（12分）自我國(guó)爆發(fā)新冠肺炎疫情以來(lái)，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn)．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計(jì)了口罩生產(chǎn)車(chē)間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計(jì)口罩生產(chǎn)車(chē)間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式）；（2）為了解該車(chē)間工人的生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，現(xiàn)從車(chē)間所有工人中隨機(jī)抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：工齡x（單位：年）4681012生產(chǎn)速度y（單位：件/小時(shí)）4257626267根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程，并據(jù)此估計(jì)該車(chē)間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：，21．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）已知橢圓的離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以橢圓M的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓M的右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)交橢圓M于C，D兩點(diǎn)，則是否存在實(shí)數(shù)使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先判斷焦點(diǎn)的位置，再?gòu)臉?biāo)準(zhǔn)型中找出即得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】焦點(diǎn)在軸上，又，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【點(diǎn)睛】求圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，首先要把圓錐曲線(xiàn)的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到焦點(diǎn)的位置和焦點(diǎn)的坐標(biāo).2、D【解析】以正方體為載體說(shuō)明即可.【詳解】如下圖所示的正方體：和是異面直線(xiàn)，，；和是異面直線(xiàn)，，與是異面直線(xiàn).所以?xún)芍本€(xiàn)與是異面直線(xiàn)，，則的位置關(guān)系是相交或異面.故選：D3、D【解析】焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，可結(jié)合為三角形的中位線(xiàn)，判斷：焦點(diǎn)三角形為直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出關(guān)系，從而得到關(guān)系，從而求得漸近線(xiàn)方程.【詳解】由題意知，，且點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，為三角形的中位線(xiàn)故，故，由雙曲線(xiàn)定義有由勾股定理有故則則，故故漸近線(xiàn)方程為：故選：D【點(diǎn)睛】雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的關(guān)系4、B【解析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出【詳解】因?yàn)椋怨蔬x：B5、A【解析】考點(diǎn)：直線(xiàn)的傾斜角專(zhuān)題：計(jì)算題分析：因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率是傾斜角的正切值，所以欲求直線(xiàn)的傾斜角，只需求出直線(xiàn)的斜率即可，把直線(xiàn)化為斜截式，可得斜率，問(wèn)題得解解答：解：∵x-y+1=0可化為y=x+，∴斜率k=設(shè)傾斜角為θ，則tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故選A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，屬于直線(xiàn)方程的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)熟練掌握6、A【解析】首先由兩直線(xiàn)平行的充要條件求出參數(shù)的取值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與平行，所以，解得或，所以“”是“直線(xiàn)與平行”的充分不必要條件.故選：A.7、D【解析】根據(jù)題意，先假設(shè)甲去了北京正確，則可分析其他人的陳述是否符合題意，再假設(shè)乙去西安正確，分析其他人的陳述是否符合題意，即可得答案.【詳解】由題意得，甲、乙、丙三人的陳述都只對(duì)了一半，假設(shè)甲去了北京正確，對(duì)于甲的陳述：則乙去西安錯(cuò)誤，則乙去了云南；對(duì)于乙的陳述：甲去了西安錯(cuò)誤，則丙去了北京正確；對(duì)于丙的陳述：甲去了云南錯(cuò)誤，乙去了北京也錯(cuò)誤，故假設(shè)錯(cuò)誤.假設(shè)乙去了西安正確，對(duì)于甲的陳述：則甲去了北京錯(cuò)誤，則甲去了云南；對(duì)于乙的陳述：甲去了西安錯(cuò)誤，則丙去了北京正確；對(duì)于丙的陳述：甲去了云南正確，乙去了北京錯(cuò)誤，此種假設(shè)滿(mǎn)足題意，故甲去了云南.故選：D8、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義可判斷A；根據(jù)否命題的定義可判斷B；求出、，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可以判斷C；解出不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可判斷D.【詳解】命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；若命題p：或；命題q：或，則：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；或x＜1，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：C.9、B【解析】根據(jù)題意先求出，再利用交集定義即可求解.【詳解】全集，集合，則，故故選：B10、D【解析】利用幾何概型的概率公式，轉(zhuǎn)化為面積比直接求解.【詳解】以AB為直徑作圓，當(dāng)點(diǎn)M在圓外時(shí)，.所以事件“”發(fā)生的概率為.故選：D11、B【解析】由直線(xiàn)的平行關(guān)系可得，解之可得【詳解】解：直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，，解得故選：12、B【解析】由交集定義直接求解即可.【詳解】集合，，則.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)離心率得出，結(jié)合得出關(guān)系，即可求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故答案為：.14、【解析】化簡(jiǎn)數(shù)列將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，再對(duì)n分奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論，分別求解出的取值范圍，最后綜合得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，.①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，即對(duì)任意正奇數(shù)n恒成立，當(dāng)時(shí)，有最小值1，所以.②當(dāng)n是正偶數(shù)時(shí)，，即，又，故對(duì)任意正偶數(shù)n都成立，又隨n增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，綜合①②可知.故答案為：.15、【解析】分別以所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，即異面直線(xiàn)A1M與DN所成角的大小是考點(diǎn)：異面直線(xiàn)所成的角16、【解析】確定，，利用點(diǎn)到平面的距離為，即可求得結(jié)論.【詳解】由題意，，，設(shè)與的夾角為，則所以點(diǎn)到平面的距離為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由可證得平面，根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用線(xiàn)面角的向量求法可表示出，分別在、和三種情況下，結(jié)合基本不等式求得所求最大值.【小問(wèn)1詳解】四邊形為正方形，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由（1）知：，則可設(shè)，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：直線(xiàn)與平面所成角正弦值的最大值為.18、（1）圓心，面積為；（2）.【解析】（1）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求出圓心、半徑和圓的面積；（2）求出圓心到直線(xiàn)的距離，進(jìn)而通過(guò)勾股定理求得答案.【小問(wèn)1詳解】由已知，得：，所以圓心，半徑為，面積為.【小問(wèn)2詳解】圓心到直線(xiàn)距離為，則.19、（1）（2），【解析】（1）由，計(jì)算出公差，再寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可.（2）直接用公式寫(xiě)出，配方后求出最小值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為，由得，從而，即又，【小問(wèn)2詳解】由（1）的結(jié)論，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值.20、（1）（2）80件/小時(shí)【解析】（1）先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數(shù)；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線(xiàn)方程，再進(jìn)行預(yù)測(cè)其生產(chǎn)速度.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線(xiàn)方程為，則當(dāng)時(shí)，，即估計(jì)該車(chē)間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度為80件/小時(shí).21、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）.【解析】（1）由得是公差為2的等差數(shù)列，再由可得答案.（2）,分為奇數(shù)、偶數(shù)，分組求和即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，得，故是公差為2的等差數(shù)列，故，由，