湖北省孝感一中、應(yīng)城一中等五校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

湖北省孝感一中、應(yīng)城一中等五校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)是E的右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)PO，PF分別交E于Q，R兩點(diǎn)，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列中，且滿(mǎn)足，則（）A.2 B.﹣1C. D.3．若等軸雙曲線(xiàn)C過(guò)點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的頂點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為（）A.1 B.C. D.24．函數(shù)在上的極大值點(diǎn)為（）A. B.C. D.5．有下列四個(gè)命題，其中真命題是（）A.， B.，，C.，， D.，6．若在直線(xiàn)上，則直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.7．已知正四面體的底面的中心為為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F(xiàn)分別為SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，且滿(mǎn)足，若，，，則（）A. B.C. D.9．某研究所計(jì)劃建設(shè)n個(gè)實(shí)驗(yàn)室，從第1實(shí)驗(yàn)室到第n實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)費(fèi)用依次構(gòu)成等差數(shù)列，已知第7實(shí)驗(yàn)室比第2實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)費(fèi)用多15萬(wàn)元，第3實(shí)驗(yàn)室和第6實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)費(fèi)用共為61萬(wàn)元.現(xiàn)在總共有建設(shè)費(fèi)用438萬(wàn)元，則該研究所最多可以建設(shè)的實(shí)驗(yàn)室個(gè)數(shù)是（）A.10 B.11C.12 D.1310．圓關(guān)于直線(xiàn)l：對(duì)稱(chēng)的圓的方程為（）A. B.C. D.11．將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A. B.C. D.12．若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是___________.①直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直；②直線(xiàn)與直線(xiàn)相交；③直線(xiàn)與直線(xiàn)平行；④直線(xiàn)與直線(xiàn)異面；14．在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為_(kāi)______15．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S＝__.16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，則的面積為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，用符號(hào)表示不超過(guò)x的最大數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值.18．（12分）已知命題：，在下面①②中任選一個(gè)作為：，使為真命題，求出實(shí)數(shù)a取值范圍.①關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個(gè)解答計(jì)分.）19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；.（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知函數(shù)（1）填寫(xiě)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；定義域值域零點(diǎn)極值點(diǎn)單調(diào)性性質(zhì)（2）通過(guò)（1）繪制出函數(shù)的圖像，并討論方程解的個(gè)數(shù)21．（12分）已知點(diǎn)，.（1）求以為直徑的圓的方程；（2）若直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為，求值22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿(mǎn)足：，，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】令雙曲線(xiàn)E的左焦點(diǎn)為，連線(xiàn)即得，設(shè)，借助雙曲線(xiàn)定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線(xiàn)E的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)線(xiàn)段中點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設(shè)，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線(xiàn)E的離心率為故選：B2、C【解析】首先根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得到數(shù)列的周期性，即可得解；【詳解】解：因?yàn)榍?，所以，，，所以是周期為的周期?shù)列，所以，故選：C3、A【解析】先求出雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求頂點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離.【詳解】設(shè)等軸雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以，解得，所以雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故上頂點(diǎn)到其一條漸近線(xiàn)的距離為.故選：A4、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極大值點(diǎn)【詳解】，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴函數(shù)在的極大值點(diǎn)為故選：C5、B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，令即可驗(yàn)證其不正確；對(duì)于選項(xiàng)C、選項(xiàng)D，令，即可驗(yàn)證其均不正確，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，令，則，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，令，則，顯然成立，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，令，則顯然無(wú)解，故C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，令，則顯然不成立，故D錯(cuò).故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判定，用特殊值法驗(yàn)證即可，屬于常考題型.6、D【解析】由題意可得首先求出直線(xiàn)上的一個(gè)向量，即可得到它的一個(gè)方向向量，再利用平面向量共線(xiàn)（平行）的坐標(biāo)表示即可得出答案【詳解】∵在直線(xiàn)上，∴直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，又∵，∴是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量故選：D7、B【解析】連接，再取中點(diǎn)，連接，得到為直線(xiàn)與所成角，再解三角形即可.【詳解】連接，再取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為VC，中點(diǎn)，則，且底面,所以為直線(xiàn)與所成角，令正四面體邊長(zhǎng)為1，則，,，所以，故選：.8、B【解析】利用空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為SA，BC的中點(diǎn)，所以,故選：B9、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，列出方程組，求出的值，進(jìn)而求出令根據(jù)題意令，即可求解.【詳解】設(shè)第n實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)費(fèi)用為萬(wàn)元，其中，則為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則由題意可得，解得，則.令，即，解得，又，所以，，所以最多可以建設(shè)12個(gè)實(shí)驗(yàn)室.故選：C.10、A【解析】首先求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再設(shè)圓心關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標(biāo)，從而求出對(duì)稱(chēng)圓的方程；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，設(shè)圓心關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，即圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的圓心為，半徑，所以對(duì)稱(chēng)圓的方程為；故選：A11、A【解析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A12、D【解析】對(duì)選項(xiàng)A，令即可檢驗(yàn)；對(duì)選項(xiàng)B，令即可檢驗(yàn)；對(duì)選項(xiàng)C，令即可檢驗(yàn)；對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后作差即可.【詳解】若，則可得：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若，則可得：，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若，則可得：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；不妨設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，則有：則有：，故選項(xiàng)D正確故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①④【解析】畫(huà)出正方體，，，故，①正確，根據(jù)相交推出矛盾得到②錯(cuò)誤，根據(jù)，與相交得到③錯(cuò)誤，排除共面的情況得到④正確，得到答案.【詳解】如圖所示的正方體中，，，故，①正確；若直線(xiàn)與直線(xiàn)相交，則四點(diǎn)共面，即在平面內(nèi)，不成立，②錯(cuò)誤；，與相交，故直線(xiàn)與直線(xiàn)不平行，③錯(cuò)誤；，與不平行，故與不平行，若與相交，則四點(diǎn)共面，在平面內(nèi)，不成立，故直線(xiàn)與直線(xiàn)異面，④正確；故答案為：①④.14、4【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，列出方程，即可得答案.【詳解】由題意：拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，由拋物線(xiàn)定義可得，解得，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4.故答案為：415、【解析】該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，即可求解得答案【詳解】解：S＝S+＝S+，第一次循環(huán)，S＝1+1﹣，k＝2；第二次循環(huán)，S=1+1﹣，k＝3；第三次循環(huán)，S＝1+1，k＝4；第四次循環(huán)，S＝1，k＝5；第五次循環(huán)，S＝1+1，k＝6，循環(huán)停止，輸出；故答案為：.16、【解析】求出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立方程，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得出答案.【詳解】解：由題意知，，，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，解得，或，即，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）9【解析】(1)首先根據(jù)已知條件分別求出的首項(xiàng)和公差，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；(2)首先利用等差數(shù)列求和公式求出，然后利用裂項(xiàng)相消法和分組求和法求出，進(jìn)而可求出的通項(xiàng)公式，最后利用等差數(shù)列求和公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】不妨設(shè)等差數(shù)列的公差為，故，，解得，，從而，即的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，，所以，故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，由可知，，即，解得，即值為9.18、答案見(jiàn)解析【解析】根據(jù)題意，分析、為真時(shí)的取值范圍，又由復(fù)合命題真假的判斷方法可得、都是真命題，據(jù)此分析可得答案.【詳解】解：選①時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由q：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根，知解得，由為真命題知,解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍.選②時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由，知在上恒成立，∴，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，∴，由為真命題知，解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合當(dāng)時(shí)，探求數(shù)列的性質(zhì)即可計(jì)算作答.(2)由(1)求出，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算作答.小問(wèn)1詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，解得，于是得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以的通項(xiàng)公式是.【小問(wèn)2詳解】由(1)可知，，則，因此，兩式相減得：，于是得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.20、（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)；（2）由函數(shù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，并將方程轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是函數(shù)的最大值，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域是，，得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是，定義域值域零點(diǎn)極值點(diǎn)單調(diào)性性質(zhì)單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的圖象如圖，，即，方程解的個(gè)數(shù)，即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，無(wú)交點(diǎn)，即方程無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.21、(1).(2)或【解析】（1）根據(jù)題意，有A、B的坐標(biāo)可得線(xiàn)段AB的中點(diǎn)即C的坐標(biāo)，求出AB的長(zhǎng)即可得圓C的半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案；（2）根據(jù)題意，由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系可得點(diǎn)C到直線(xiàn)x﹣my+1＝0的距離d，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，解可得m的值，即可得答案【詳解】（1）根據(jù)題意，點(diǎn)，，則線(xiàn)段的中點(diǎn)為，即的坐標(biāo)為；圓是以線(xiàn)段為直徑的圓，則其半徑，圓的方程為.（2）根據(jù)題意，若直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，又由，則有，變形可得：，解可得或【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系以及弦長(zhǎng)的計(jì)算，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題22、（1），；（2）；（3）.【解析】(1)由可得數(shù)列是等比數(shù)列，即可求得，由得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求得.(2)由(1)可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即得.(3)將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，構(gòu)造數(shù)列并判斷其單調(diào)性，即可求解作答.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)時(shí)，，則，而當(dāng)時(shí)，，即得，因此，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比