廣東省汕頭市達(dá)濠華橋中學(xué)、東廈中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

廣東省汕頭市達(dá)濠華橋中學(xué)、東廈中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．以原點(diǎn)為對稱中心的橢圓焦點(diǎn)分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點(diǎn)分別為，，若，，則直線的斜率為()A. B.C. D.2．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，3．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.4．第屆全運(yùn)會于年月在陜西西安順利舉辦，其中水上項目在西安奧體中心游泳跳水館進(jìn)行，為了應(yīng)對比賽，大會組委會將對泳池進(jìn)行檢修，已知泳池深度為，其容積為，如果池底每平方米的維修費(fèi)用為元，設(shè)入水處的較短池壁長度為，且據(jù)估計較短的池壁維修費(fèi)用與池壁長度成正比，且比例系數(shù)為，較長的池壁維修費(fèi)用滿足代數(shù)式，則當(dāng)泳池的維修費(fèi)用最低時值為（）A. B.C. D.5．是橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)到的距離為1，則到的距離為（）A.3 B.4C.5 D.66．已知直線：恒過點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C.4 D.7．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則（）A.－4 B.－10C.4 D.108．已知向量，，則下列向量中，使能構(gòu)成空間的一個基底的向量是（）A. B.C. D.9．二次方程的兩根為2，，那么關(guān)于的不等式的解集為（）A.或 B.或C. D.10．在棱長為1的正方體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)且滿足，則兩異面直線，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.11．下列四個命題中為真命題的是（）A.設(shè)p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q的必要不充分條件B.命題“”的否定是“”C.函數(shù)的最小值是4D.與的圖象關(guān)于直線y＝x對稱12．等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，且則的實軸長為A.1 B.2C.4 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某人有樓房一棟，室內(nèi)面積共計，擬分割成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為，可住游客4名，每名游客每天的住宿費(fèi)100元；小房間每間面積為，可住游客2名，每名游客每天的住宿費(fèi)150元；裝修大房間每間需要3萬元，裝修小房間每間需要2萬元.如果他只能籌款25萬元用于裝修，且假定游客能住滿客房，則該人一天能獲得的住宿費(fèi)的最大值為___________元.14．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若數(shù)列{an}滿足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，則＋B－C的最小值為________15．已知，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____________.16．曲線在x=1處的切線方程為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某電腦公司為調(diào)查旗下A品牌電腦的使用情況，隨機(jī)抽取200名用戶，根據(jù)不同年齡段（單位：歲）統(tǒng)計如下表：分組頻率/組距0.010.040.070.060.02（1）根據(jù)上表，試估計樣本的中位數(shù)、平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果精確到0.1）；（2）按照年齡段從內(nèi)的用戶中進(jìn)行分層抽樣，抽取6人，再從中隨機(jī)選取2人贈送小禮品，求恰有1人在內(nèi)的概率18．（12分）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）已知樣本中分?jǐn)?shù)在[40，50）的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；（2）試估計測評成績的75%分位數(shù)；（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例19．（12分）某公司有員工人，對他們進(jìn)行年齡和學(xué)歷情況調(diào)查，其結(jié)果如下：現(xiàn)從這名員工中隨機(jī)抽取一人，設(shè)“抽取的人具有本科學(xué)歷”，“抽取的人年齡在歲以下”，試求：（1）；（2）；（3）.20．（12分）如圖，在四棱錐中，，為的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的極值；（2）討論的單調(diào)性22．（10分）如圖，已知雙曲線，過向雙曲線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，，且.（1）證明：直線的方程為.（2）設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分類討論直線的斜率存在與不存在兩種情況，聯(lián)立直線與曲線方程，再根據(jù)，求解.【詳解】設(shè)橢圓的方程分別為，，由可知，直線的斜率一定存在，故設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得，故，；聯(lián)立得，則，.因為，所以，所以.又，所以，所以，所以，.故選：A.【點(diǎn)睛】此題利用設(shè)而不求的方法，找出、、、之間的關(guān)系，化簡即可得到的值.此題的難點(diǎn)在于計算量較大，且容易計算出錯.2、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B3、C【解析】取的中點(diǎn)，連接，易證平面，進(jìn)一步得到線面角，再解三角形即可.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，三棱柱為直三棱柱，則平面，又平面，所以，又由題意可知為等腰直角三角形，且為斜邊的中點(diǎn)，從而，而平面，平面，且，所以平面，則為與平面所成的角.在直角中，.故選：C4、A【解析】根據(jù)題意得到泳池維修費(fèi)用的的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可【詳解】解：設(shè)泳池維修的總費(fèi)用為元，則由題意得，則，令，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故當(dāng)時，有最小值因此，當(dāng)較短池壁為時，泳池的總維修費(fèi)用最低故選A5、C【解析】利用橢圓的定義直接求解【詳解】由題意得，得，因為，，所以，故選：C6、A【解析】根據(jù)將最小值問題轉(zhuǎn)化為d取得最大值問題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】將，變形為，故直線恒過點(diǎn)，圓心，半徑，已知點(diǎn)P在圓內(nèi)，過點(diǎn)作直線與圓相交于A，兩點(diǎn)，記圓心到直線的距離為d，則，所以當(dāng)d取得最大值時，有最小值，結(jié)合圖形易知，當(dāng)直線與線段垂直的時候，d取得最大值，即取得最小值，此時，所以.故選：A.7、A【解析】根據(jù)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的規(guī)律：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，即可求出點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】解：由題意，關(guān)于平面對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而有點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，?1，-3）.故選：A【點(diǎn)睛】本題以空間直角坐標(biāo)系為載體，考查點(diǎn)關(guān)于面的對稱，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】根據(jù)向量共面基本定理只需無解即可滿足構(gòu)成空間向量基底，據(jù)此檢驗各選項即可得解.【詳解】因為，所以A中的向量不能與，構(gòu)成基底；因為，所以B中的向量不能與，構(gòu)成基底；對于，設(shè)，則，解得，，所以，故，，為共面向量，所以C中的向量不能與，構(gòu)成基底；對于，設(shè)，則，此方程組無解，所以，，不共面，故D中的向量與，可以構(gòu)成基底.故選：D9、B【解析】根據(jù)，確定二次函數(shù)的圖象開口方向，再由二次方程的兩根為2，，寫出不等式的解集.【詳解】因為二次方程的兩根為2，，又二次函數(shù)的圖象開口向上，所以不等式的解集為或，故選：B10、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)、、、和向量的、坐標(biāo)，運(yùn)用求異面直線余弦值的公式即可求出.【詳解】解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第,則，，，，故,,，故兩異面直線，所成角的余弦值是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.11、D【解析】根據(jù)推出關(guān)系和集合的包含關(guān)系判斷A，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷B，根據(jù)對鉤函數(shù)性質(zhì)即三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)反函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷D.【詳解】解：對于選項A：是的真子集，所以命題p是q的充分不必要條件，故A錯誤；對于選項B：命題“”的否定是“”，故B錯誤；對于選項C：函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時取最小值，故C錯誤；對于選項D：與互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于直線y＝x對稱，故D正確.12、B【解析】設(shè)等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準(zhǔn)線方程為設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個交點(diǎn),，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實軸長為故選二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3600【解析】先設(shè)分割大房間為間，小房間為間，收益為元，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)，再利用的幾何意義求最值，只需求出直線過可行域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)時，從而得到值即可【詳解】解：設(shè)裝修大房間間，小房間間，收益為萬元，則，目標(biāo)函數(shù)，由，解得畫出可行域，得到目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時，有最大值，故應(yīng)隔出大房間3間和小房間8間，每天能獲得最大的房租收益最大，且為3600元故答案為：360014、2【解析】因為{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0對任意正整數(shù)n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.15、【解析】設(shè)P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z?1)2=4+4+(z?2)2，解得z=3，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,3).16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的斜率并求出，再由點(diǎn)斜式寫出切線方程即可.【詳解】由題設(shè)，，則，而，所以在x=1處的切線方程為，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）中位數(shù)為38.6，平均數(shù)為38.5歲；（2）.【解析】（1）由中位數(shù)分?jǐn)?shù)據(jù)兩邊的頻率相等，列方程求中位數(shù)；根據(jù)各組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)數(shù)乘以頻率即可得平均數(shù)；（2）由分層抽樣確定從中各抽4人、2人，列舉出隨機(jī)選取2人的所有組合，得到恰有1人在的組合數(shù)，即可求概率.【詳解】（1）中位數(shù)在中，設(shè)為，則，解得.平均數(shù)為歲.所以樣本的中位數(shù)約為38.6，平均數(shù)為38.5歲.（2）根據(jù)分層抽樣法，其中位于中的有4人，記為，，，；位于中的有2人，記為，.從6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，恰有1人在內(nèi)的有，，，，，，，，共8種情況，∴恰有1人在內(nèi)的概率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由中位數(shù)的性質(zhì)以及平均數(shù)與各組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值、頻率的關(guān)系求中位數(shù)、平均數(shù)；根據(jù)分層抽樣確定各組選取人數(shù)，利用列舉法求概率.18、（1）20人（2）（3）【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖先求出樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的頻率，即可解出；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖判斷出75%分位數(shù)在[70，80）之間，即可根據(jù)分位數(shù)公式算出；（3）根據(jù)頻率分布直方圖知分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)中男女各占30人，從而可知樣本中男生有60人，女生有40人，即可求出總體中男生和女生人數(shù)的比例【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在[50，90）頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在樣本中分?jǐn)?shù)在[50，90）的人數(shù)為100×0.9=90(人)，在樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為95人，所以分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為400×0.95=380(人)，總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人【小問2詳解】測試成績從低到高排序，占人數(shù)75%的人分?jǐn)?shù)在[70，80）之間，所以估計測評成績的75%分位數(shù)為【小問3詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)共有60人，由已知男女各占30人，從而樣本中男生有60人，女生有40人，故總體中男生與女生的比例為19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求得；（2）利用古典概型的概率公式和對立事件的概率公式可求得；（3）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：由表格中的數(shù)據(jù)可得.【小問2詳解】解：由表格中的數(shù)據(jù)可得，所以.【小問3詳解】解：可知即歲以下且?？茖W(xué)歷，所以.20、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因為為的中點(diǎn)，所以，而，所以四邊形是平行四邊形，因此，因為，，為的中點(diǎn)，所以，，而，因為，所以，而平面，所以平面；【小問2詳解】根據(jù)（1），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，于是有：，則平面的法向量為：，設(shè)平面的法向量為：，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，所以.21、（1）極小值為，無極大值（2）答案見解析【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，得減區(qū)間，從而得極值；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定和解得單調(diào)性小問1詳解】當(dāng)時，，(x>0)則令，得，得，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為.所以的極小值為f(2)=，無極大值.【小問2詳解】令則當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，得，，得;，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增