6.5-6.6一次函數(shù)與二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式（解析版）

6.5-6.6一次函數(shù)與二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式【推本溯源】1.將一次函數(shù)y=2x-1寫成二元一次方程組的形式；將二元一次方程3x+4y-5=0寫成一次函數(shù)的形式。2.將上題中的一次函數(shù)y=2x-1的圖像畫出來，觀察圖像，找出它和求出的二元一次方程的解有什么關(guān)系？我們發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)y=2x-1的圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是所求出二元一次方程的解；以所求的二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)y=2x-1的圖像上。因此，一次函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖像上。3.求出二元一次方程組的解，與一次函數(shù)與的圖像有什么關(guān)系？的解為 ，而(3，－2)正好在一次函數(shù)與的圖像上，并且是它們的交點(diǎn)。因此，如果兩個一次函數(shù)的圖像有一個交點(diǎn)，那么交點(diǎn)坐標(biāo)就是相應(yīng)的二元一次方程組的解。而用一次函數(shù)的圖像求二元一次方程組的解的方法稱為二元一次方程組的圖像解法。注：（1）當(dāng)二元一次方程組無解時，相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的直線就沒有交點(diǎn)，則兩個一次函數(shù)的直線就平行.反過來，當(dāng)兩個一次函數(shù)直線平行時，相應(yīng)的二元一次方程組就無解..

（2）當(dāng)二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的直線重合，反之也成立.4.一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程kx+b＝0的解是（D）A．（﹣2，0） B．（0，2） C．x＝2 D．x＝﹣2從上題中我們發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)（≠0，為常數(shù)）.當(dāng)函數(shù)＝0時，就得到了一元一次方程，此時自變量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某一個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線（≠0，為常數(shù)），確定它與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.5.一次函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)）的圖象如圖所示，則不等式kx+b＜1的解集是（D）A．x＜﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2 D．x＜0由于任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數(shù)，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時求相應(yīng)的自變量的取值范圍.注：求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時，函數(shù)的值大于0.從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍我們發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式有著緊密的聯(lián)系。已知一次函數(shù)的表達(dá)式，當(dāng)其中一個變量的值確定時，可以由相應(yīng)的一元一次方程確定另一個變量的值；當(dāng)其中一個變量的取值范圍確定時，可以由相應(yīng)的一元一次不等式確定另一個變量的取值范圍?！窘饣蟆坷?：如果直線與交點(diǎn)坐標(biāo)是，則是下面哪個方程組的解（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解．那么所求方程組的解即為兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：直線與交點(diǎn)坐標(biāo)為，解為的方程組是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的知識，方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．例2：函數(shù)與函數(shù)的圖象是兩條直線，只有一個交點(diǎn)，則二元一次方程組有（）A．無數(shù)解 B．無解 C．唯一解 D．不能確定【答案】C【分析】函數(shù)所表示的直線的交點(diǎn)即為函數(shù)所組成的方程組的解，方程組有幾個解就是要看有幾個交點(diǎn)．【詳解】解：∵直線的交點(diǎn)即方程組的解，∴函數(shù)與函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)，則二元一次方程組有唯一解．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，理解直線的交點(diǎn)即方程組的解是解題的關(guān)鍵．例3：一次函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)在該函數(shù)的圖象上，則不等式的解集為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察函數(shù)圖象得到即可．【詳解】解：由圖象可得：當(dāng)時，，所以不等式的解集為，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了利用函數(shù)圖象求不等式的解集,正確理解一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例4：如圖，已知函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集是

【答案】【分析】根據(jù)圖象直接得到答案即可．【詳解】解：∵函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，∴由圖象得，不等式的解集是，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了利用一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)求不等式的解集，正確理解一次函數(shù)圖象交點(diǎn)與不等式解集的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例5：如圖，正比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，一次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為．(1)求一次函數(shù)表達(dá)式；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求的面積；(4)不解關(guān)于的方程組，直接寫出方程組的解．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）把點(diǎn)代入正比例函數(shù)求出的值，再代入一次函數(shù)即可求解；（2）由（1）可知一次函數(shù)圖像的解析式，令，即可求解；（3）由一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（4）根據(jù)兩直線的交點(diǎn)即為方程組的解，即可求解．【詳解】（1）解：∵正比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，∴，解得：，∴，把和代入一次函數(shù)，得：，解得，，∴一次函數(shù)解析式是．（2）解：由（1）知一次函數(shù)表達(dá)式是，令，則，∴點(diǎn)．（3）解：由（1）知一次函數(shù)解析式是，令，，解得：，

∴點(diǎn)，∴，

∵，∴的面積．（4）解：∵正比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，∴方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線的交點(diǎn)問題，掌握待定系數(shù)法求解析式，兩直線與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積計算方法，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的解的關(guān)系等知識是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2022秋·廣東茂名·八年級校聯(lián)考期末）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，∴一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．2．（2023春·河北邢臺·八年級?？茧A段練習(xí)）若用圖象法解二元一次方程組時所畫的圖象如圖所示，則該方程組的解是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)寫出方程組的解即可．【詳解】解：∵解二元一次方程組時所畫的圖象交點(diǎn)為，∴方程組的解為，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了圖象法解二元一次方程組，熟知根據(jù)圖象交點(diǎn)即可得到方程組的解是解題的關(guān)鍵．3.（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，兩直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，，則關(guān)于的不等式的解集是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和圖形可以求得不等式的解集，從而可以解答本題．【詳解】解：∵直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴關(guān)于x的不等式的解集就是直線位于直線上方的部分，∴x取值范圍是，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式、兩條直線相交或平行問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．（2022秋·八年級單元測試）一次函數(shù)與圖象的交點(diǎn)是，則方程組的解為．【答案】【分析】根據(jù)兩函數(shù)交點(diǎn)即為兩函數(shù)組成的方程組的解，從而求出答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)與圖象的交點(diǎn)是，∴方程組（即）的解為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．5．（2023春·湖南湘潭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，則方程組的解是．

【答案】【分析】根據(jù)圖象即可確定方程組的解．【詳解】解：根據(jù)圖象可知，方程組的解是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系，熟練掌握兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程解的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·河南洛陽·八年級洛陽市第二外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與直線交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是．

【答案】【分析】觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)時，函數(shù)的圖象都在的圖象上方，所以關(guān)于的不等式的解集為．【詳解】解：由圖象可知：當(dāng)時，，即不等式的解集為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于或小于的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上或下方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．7．（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的取值范圍是．

【答案】【分析】觀察圖象，直線都在直線的下方，則滿足，從而可得不等式的解集．【詳解】解：當(dāng)時，直線都在直線的下方，即．滿足的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用直線的交點(diǎn)坐標(biāo)確定不等式的解集，掌握數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）直線和直線相交于點(diǎn)，分別與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)．求的面積．【答案】【分析】根據(jù)兩條直線相交，可聯(lián)立方程組求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖所示，可得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得方程組，解得，∴，在直線中，當(dāng)時，，解得，∴，在直線中，當(dāng)時，，解得，∴，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中直線與坐標(biāo)軸圍成的面積，掌握一次函數(shù)交點(diǎn)的計算方法，圖形面積的計算方法是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·廣西欽州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，并與軸相交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和，的值；(2)直接寫出當(dāng)時的取值范圍．【答案】(1)，，；(2)．【分析】（1）把代入求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入，求得k、b的值即可求解．（2）觀察函數(shù)圖象得到結(jié)論．【詳解】（1）∵直線經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，∴當(dāng)時，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是．將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入得到，解得∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，．（2）觀察圖象，當(dāng)時，．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，求一次函數(shù)與一元一次不等式關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識圖，確定出兩函數(shù)圖象的對應(yīng)的函數(shù)值的大?。?0．（2023春·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在同一個坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和的圖象分別與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，兩直線相交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，觀察圖象并回答下列問題：

(1)關(guān)于x的方程的解是______；關(guān)于x的不等式的解集是______；(2)直接寫出：關(guān)于x的不等式組的解集是______；(3)若點(diǎn)C坐標(biāo)為，①關(guān)于x的不等式的解集是______；②請求出的面積．【答案】(1)；(2)(3)①；②【分析】（1）利用直線與軸交點(diǎn)即為時，對應(yīng)的值，進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)圖象找到兩函數(shù)圖象在x軸上方部分對應(yīng)的x的范圍即可；（3）根據(jù)圖象找到圖象在圖象上方所對應(yīng)的x的范圍即可；利用三角形面積公式求得即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)和的圖象，分別與軸交于點(diǎn)、，∴關(guān)于的方程的解是，關(guān)于的不等式的解集，為，故答案為：，；（2）解：根據(jù)圖象可以得到關(guān)于的不等式組的解集；故答案為：；（3）解：①∵點(diǎn)，∴由圖象可知，不等式的解集是；②∵，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的解、一次函數(shù)與不等式，一次函數(shù)與不等式組，三角形面積，正確利用數(shù)形結(jié)合解題是解題關(guān)鍵．【知不足】1．（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如表所示，根據(jù)表中數(shù)值分析，下列結(jié)論正確的是（

）…………A．隨的增大而增大B．一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過第一象限C．是方程的解D．一次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)解析式，圖像的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：一次函數(shù)中，，；，；∴，解得，，∴一次函數(shù)解析式為，∴選項，，則隨的增大而減小，故選項錯誤，不符合題意；選項，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，故選項錯誤，不符合題意；選項，是方程的解，故選項正確，符合題意；選項，一次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，故選項錯誤，不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求解析式，由解析式判定函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，若一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得函數(shù)圖象在軸的下方，再根據(jù)函數(shù)圖象即可得到答案．【詳解】解：一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則關(guān)于x的不等式的解集為，故選B【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，熟練的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．3．（2023春·天津和平·八年級天津市第五十五中學(xué)?？计谀┮淮魏瘮?shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時，的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)一次函數(shù)的圖象即可得出結(jié)論．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象，能利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023春·七年級單元測試）如圖，直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則_______（

）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】C【分析】首先根據(jù)題意求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，然后代入求解即可．【詳解】∵與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴將代入，得∴兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為∴將代入，得．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查函數(shù)與坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是把代入求出交點(diǎn)坐標(biāo)．5．（2023春·上海松江·八年級統(tǒng)考期末）如圖：點(diǎn)在直線上，則不等式關(guān)于的解集是．

【答案】【分析】由圖象即可知不等式的解集．【詳解】由圖象可知：當(dāng)時，直線的圖象在直線的上方，當(dāng)時，不等式，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與一元一次不等式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想通過一次函數(shù)的圖象解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）若函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集是．

【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象，可以寫出不等式的解集．【詳解】解：由圖象可得，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為，y隨x的增大而減小，∴不等式的解集是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．（2023春·北京西城·八年級期末）如圖，直線與直線的交點(diǎn)為A，則關(guān)于，的方程組的解是．

【答案】【分析】根據(jù)兩條直線的交點(diǎn)的意義即可解答．【詳解】解：由函數(shù)圖像可知：直線與直線的交點(diǎn)為，方程組的解是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)和方程組的解，理解兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的意義是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·江西撫州·八年級統(tǒng)考期末）如圖是在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的一次函數(shù)，的圖象，，則方程組的解是．【答案】【分析】直接根據(jù)圖象作答即可．【詳解】∵，∴方程組的解即為，的交點(diǎn)，由圖象可知，相交于，∴方程組的解為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圖象求方程組的解，能夠正確轉(zhuǎn)換方程組的解與一次函數(shù)交點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·河北滄州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)、，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，且交于點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)若將的面積分為兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，若一次函數(shù)的圖像與線段沒有交點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)的取值范圍為或【分析】（1）已知、，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）如圖，過點(diǎn)、分別作軸的垂線、，分別交軸于點(diǎn)、，根據(jù)題意先求出直線的解析式，分別表示出，再根據(jù)將的面積分為兩部分，分類討論：①；②；根據(jù)分式的運(yùn)算即可求解；（3）根據(jù)題意，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分類討論：①當(dāng)一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，時；②當(dāng)一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，時；圖形結(jié)合分析即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，∵、，∴，解得，∴直線的解析式為．（2）解：如圖，過點(diǎn)、分別作軸的垂線、，分別交軸于點(diǎn)、，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入，可得，∴，∴直線的解析式為，∵、，∴，，∴，，∴，①，∴，解得，，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在直線的圖像上，且直線的解析式為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；②，∴，解得，，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，時，∵一次函數(shù)中，∴時，一次函數(shù)不存在，∴舍去，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：的取值范圍為或，理由如下，∵，∴點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，線段沒有交點(diǎn)，①當(dāng)一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，時，如圖所示，∴，解得，，∴一次函數(shù)解析式為，∵越大，與軸越近，∴當(dāng)時，一次函數(shù)的圖像與線段有交點(diǎn)，∴當(dāng)時，一次函數(shù)的圖像與線段沒有交點(diǎn)；②當(dāng)一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，時，由（1）可知，直線的解析式為，∴當(dāng)時，一次函數(shù)的圖像與線段有交點(diǎn)，∴當(dāng)時，一次函數(shù)的圖像與線段沒有交點(diǎn)；綜上所述，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，幾何圖形面積的計算方法，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的計算方法等知識的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·北京密云·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過待定系數(shù)法將，代入解析式求解．（2）解不等式【詳解】（1）解：將，代入解得，，解得，一次函數(shù)解析式為；（2）解：不等式得，，當(dāng)時，（不合題意，舍去）不合題意，舍去；當(dāng)時，，，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法解一次函數(shù)解析式及一次函數(shù)和不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．【一覽眾山小】1．（2023春·河北石家莊·八年級石家莊二十三中?？茧A段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，則關(guān)于，的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組，方程組的解就是交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，一次函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，∴關(guān)于，的方程組的解是．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）：方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．2．（2023春·湖南長沙·八年級?？计谀┤鐖D，直線和直線相交于點(diǎn)，則方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方程組的解即為直線和直線相交于點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．【詳解】解：∵直線和直線相交于點(diǎn)，∴方程組的解是．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了對一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系的理解和運(yùn)用，主要考查學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目．3．（2023春·云南昭通·八年級?？计谀┤鐖D，一次函數(shù)與的圖像相，交于點(diǎn)，則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用直線確定點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)得到答案．【詳解】解：把代入得，解得，即點(diǎn)坐標(biāo)為，∴二元一次方程組的解為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）：方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．4．（2022秋·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）已知二元一次方程組的解為，則函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【分析】由二元一次方程組的解為，得出二元一次方程組的解為，從而可得出交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】二元一次方程組的解為，即二元一次方程組的解為，函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線的交點(diǎn)與二元一次方程組的解，熟練掌握交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組的解是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，則關(guān)于、的方程組的解是．【答案】【分析】根據(jù)兩條直線的交點(diǎn)的意義，結(jié)合圖形即可求解．【詳解】解：直線與直線相交于點(diǎn)，方程組的解是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)和方程組的解，理解兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，結(jié)合圖像分析是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）直線與相交于點(diǎn)，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為．【答案】【分析】根據(jù)兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為對應(yīng)二元一次方程組的解求解即可．【詳解】解：∵直線與相交于點(diǎn)，∴于x，y的二元一次方程組的解為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線的交點(diǎn)問題，熟練掌握兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與對應(yīng)二元一次方程組的解的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．7．（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知一次函數(shù)圖象分別與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，則不等式的解集是．

【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出隨的增大而減小，當(dāng)時，，即可求出答案；【詳解】∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)∴隨的增大而減小，且時，當(dāng)時，，即∴不等式的解集為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于(或小于)0的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上(或下)方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．8.（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線和相交于點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集為．

【答案】/【分析】利用A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)圖象進(jìn)行解答即可．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，直線的圖象在直線的圖象的下方，∴的解集為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，能利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集是解答此題的關(guān)鍵．9．（2023春·吉林·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)A．

(1)求直線的解析式；(2)判斷的形狀并說明理由．【答案】(1)(2)等邊三角形，理由見解析【分析】（1）用待定系數(shù)法可得直線函數(shù)表達(dá)式為；（2）求出，即可得，，，故，是等邊三角形．【詳解】（1）解：設(shè)直線函數(shù)表達(dá)式為，把，，代入得：，解得，直線函數(shù)表達(dá)式為；（2）是等邊三角形，理由如下：聯(lián)立，解得，，，，，，，，是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，勾股定理，等邊三角形的判定及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是正確求出兩條直線的交點(diǎn)．10．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，，直線與直線相交于點(diǎn)．

(1)求直線和的解析式．(2)求的面積．【答案】(1)直線的解析式為，直線的解析式為(2)【分析】（1）將，代入即可求出、，從而得到直線的解析式，根據(jù)直線解析式可求出，得到坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入可求的解析式；（2）的面積用作底，作高即可得到答案．【詳解】（1）解：將，代入得：，解得：，∴直線的解析式為：；將代入得：，∴，將代入得：，解得：，∴直線的解析式為：；（2）∵，，則，∴的面積為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式、三角形面積，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式．11．（2023春·四川南充·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C．

(1)求直線的解析式；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）聯(lián)立，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)，代入得,解得,∴直線的解析式為;（2）解：在中，當(dāng)時，，則點(diǎn)C為．聯(lián)立，解析式：,解得,∴點(diǎn)B為．由點(diǎn)得．．答：的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形面積的計算等，解題的關(guān)鍵：（1）熟練掌握待定系數(shù)法，（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．12．（2023春·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表，描點(diǎn)，連線畫出函數(shù)圖像，觀察分析圖像特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程，結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，請畫出函數(shù)的圖像并探究該圖像的性質(zhì)．x．．．-6-4-20246．．．．．．m420n46．．．

(1)列表，請直接寫出表中m和n的值；(2)描點(diǎn)，連線，在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像；(3)在所給的平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)（0，3）和（2，2）兩點(diǎn)畫出直線，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖像，直接寫出不等式的解集．【答案】(1)m＝6，n＝2；(2)作圖見解析；(3)作圖見解析，．【分析】（1）代入求值即可；（2）描點(diǎn)，作圖即可；（3）先描點(diǎn)作圖，觀察圖像即可得．【詳解】（1）解：將代入中，得；將代入中，得．，．（2）如圖所示：圖像即為所求．

（3）如圖所示圖像即為所求．

由圖像可知的解集為．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，掌握用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想，解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．13．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）某班數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下：

(1)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：填空：______，______；(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象：(3)觀察函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：①______；②______；(4)點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，現(xiàn)已知點(diǎn)在直線的下方，且，那么的取值范圍是______．【答案】(1)；(2)見解析(3)①該函數(shù)圖象是軸對稱圖形；②該函數(shù)有最大值(答案不唯一)(4)或【分析】（1）分別求出和時對應(yīng)的y值即可；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，描點(diǎn)后畫出函數(shù)圖象即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合增減性和最值寫出性質(zhì)；（4）分別求得與時的自變量的值，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，故答案為：，．（2）解：根據(jù)描點(diǎn)連線，如圖所示．

（3）觀察函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：①該函數(shù)圖象是軸對稱圖形；②該函數(shù)有最大值3(答案不唯一)．故答案為：①該函數(shù)圖象是軸對稱圖形；②該函數(shù)有最大值3(答案不唯一)．（4）解：當(dāng)時，即，解得：或，當(dāng)時，解得或，根據(jù)函數(shù)圖象可得，點(diǎn)在直線的下方，且，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，畫一次函數(shù)圖象，根據(jù)交點(diǎn)求不等式的解集，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·北京密云·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出該函數(shù)的圖象；(3)結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)時，x的取值范圍．【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2)見解析(3)【分析】（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)圖象；（3）觀察函數(shù)圖象，找出當(dāng)時（即圖象在軸上方時）的取值范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，當(dāng)時，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）在圖中描出點(diǎn)A，B，連接，直線即為所求．

（3）觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)時，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）描點(diǎn)、連線，畫出直線；（3）觀察函數(shù)圖象，找出結(jié)論．15．（2023春·遼寧大連·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線