3.9 切線長(zhǎng)定理（B卷能力拓展） -2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

3.9切線長(zhǎng)定理學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．（2021—2022湖北武漢實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，F(xiàn)A、FB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為劣弧AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線分別交FA、FB于D、E兩點(diǎn)，若∠F＝60°，△FDE的周長(zhǎng)為12，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）A． B．2 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，、、，再根據(jù)∠F＝60°，可知為等邊三角形，，再△FDE的周長(zhǎng)為12，可得，求得，再作，即可求解．【詳解】解：FA、FB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線分別交FA、FB于D、E兩點(diǎn)，則：、、，，∵∠F＝60°，∴為等邊三角形，，∵△FDE的周長(zhǎng)為12，即，∴，即，作，如下圖：則，，∴，設(shè)，則，由勾股定理可得：，解得，，故選C【點(diǎn)睛】此題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理，垂徑定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．2．（2021·四川瀘州·中考真題）如圖，⊙O的直徑AB=8，AM，BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點(diǎn)，BD，OC相交于點(diǎn)F，若CD=10，則BF的長(zhǎng)是A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)CO交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理求得，即可得AD=BG=2，BC=8，再證明△HAO≌△BCO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AH=BC=8，即可求得HD=10；在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理可得；證明△DHF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由此即可求得．【詳解】過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)CO交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵AM，BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，∵DG⊥BC，∴四邊形ABGD為矩形，∴AD=BG，AB=DG=8，在Rt△DGC中，CD=10，∴，∵AD=DE，BC=CE，CD=10，∴CD=DE+CE=AD+BC=10，∴AD+BG+GC=10，∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，∵∠DAB=∠ABC=90°，∴AD∥BC，∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，∵OA=OB，∴△HAO≌△BCO，∴AH=BC=8，∵AD=2，∴HD=AH+AD=10；在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，∴，∵AD∥BC，∴△DHF∽△BCF，∴，∴，解得，．故選A．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了切線長(zhǎng)定理、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定于性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．3．（廣東深圳中考二模）如圖，已知PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于E，△PCD的周長(zhǎng)為20，sin∠APB＝，則⊙O的半徑()A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】連接OA、OB、OP，延長(zhǎng)BO交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．已知PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E,根據(jù)切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理可得∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，由△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝20，可求得PA＝PB＝10，由sin∠APB＝可得sin∠PFB==，即=，即可求得AF＝，在Rt△AOF中，由tan∠AOF=tan∠BPF==即可求得OA的長(zhǎng).【詳解】連接OA、OB、OP，延長(zhǎng)BO交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．∵PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，∵△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝20，∴PA＝PB＝10，∵sin∠APB＝，∴sin∠PFB==，∴=，解得：AF＝，在Rt△AOF中，tan∠AOF=tan∠BPF==，∴，∴OA＝5，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理及銳角三角函數(shù)的知識(shí)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵.4．（2021—2022浙江杭州九年級(jí)階段練習(xí)）在ABC中，若O為BC邊的中點(diǎn)，則必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，點(diǎn)M在以半徑為2的⊙D上運(yùn)動(dòng)，則MF2+MG2的最大值為（）A．104 B．116 C．120 D．100【答案】B【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，根據(jù)題意可得，，由此可以判定的最大值，即是的最大值，即可求解．【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，如下圖：則，根據(jù)題意可得，，的最大值，即是的最大值又∵點(diǎn)M在以半徑為2的⊙D上運(yùn)動(dòng)∴的最大值由勾股定理可得：∴的最大值為7∴的最大值為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、矩形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，利用三角形三邊關(guān)系找出的最大值是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，圓與相切，與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，過點(diǎn)O分別作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用△ABC～△AGO，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出OG，AG，再利用勾股定理求出FK，最后根據(jù)垂徑定理求出EF即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作OK⊥AD，OG⊥AB，垂足為K、G，延長(zhǎng)KO交BC于點(diǎn)H，∵AB、BC與⊙O相切，OG=OH，∴四邊形OGBH是正方形，∴OG∥BC，∴△ABC～△AGO，∴，設(shè)正方形OGBH的邊長(zhǎng)為x，則，解得x=，∴OK=AG=3-=，在Rt△OKF中，由勾股定理得，，又∵OK⊥EF，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂徑定理，掌握切線的性質(zhì)、垂徑定理和相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（）A．7 B．5 C． D．【答案】B【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問題．答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．二、填空題7．（2021—2022山東臨沂九年級(jí)期中）如圖，的內(nèi)切圓與兩直角邊、分別相切于點(diǎn)、，過劣弧不包括端點(diǎn)、上任一點(diǎn)作的切線，與、分別交于點(diǎn)、，，，則的周長(zhǎng)為______．【答案】【分析】首先利用勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)度，再判斷四邊形為正方形，然后利用切線長(zhǎng)定理求出內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而求出周長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接、，在中，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，、為的切線，，，又，，四邊形為正方形，，由切線長(zhǎng)定理得：，，，，，解得，則的周長(zhǎng)為，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓、切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理，解題關(guān)鍵是判斷四邊形為正方形，再依據(jù)切線長(zhǎng)將三角形的周長(zhǎng)化成兩條切線長(zhǎng)，再轉(zhuǎn)化為半徑進(jìn)行求解．8．（2021·浙江紹興·中考一模）如圖，在中，交，于點(diǎn)，，與的內(nèi)切圓相切．若的周長(zhǎng)為12，則的最大值為______．【答案】【分析】由切線長(zhǎng)性質(zhì)可得BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，設(shè)BC＝x，MN＝y(tǒng)，可得△AMN的周長(zhǎng)＝12﹣2x，由相似三角形的性質(zhì)可得y與x的函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值．【詳解】解：如圖，設(shè)切點(diǎn)分別為E點(diǎn)，H點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)，G點(diǎn)，∵BC，AB，AC，MN都與△ABC內(nèi)切圓相切，∴BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，∴設(shè)BE+CF＝BG+GC＝BC＝x，ME+NF＝MH+NH＝MN＝y(tǒng)∵△ABC周長(zhǎng)為12∴AB+AC+BC＝12∴AE+AF＝12﹣2x，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+AN+MN＝AM+MH+AN+NF＝AE+AF＝12﹣2x，∵M(jìn)N∥BC∴△AMN∽△ABC∴，∴，∴y＝﹣x2+x=﹣（x-3）2+，故的最大值為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，切線長(zhǎng)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，求出△AMN的周長(zhǎng)，利用相似三角形的性質(zhì)得出二次函數(shù)解析式是本題的關(guān)鍵．9．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PB＋2PC的最小值為________．【答案】【分析】如圖，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，首先證明，得到，所以，而（當(dāng)且僅當(dāng)、P、共線時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)算出得到的最小值．【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，為的內(nèi)切圓，，是等邊三角形，，，，在中，，，，，，，，，，，的最小值為的長(zhǎng)度，的最小值為的長(zhǎng)度，，，，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是利用相似比確定線段．10．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，點(diǎn)P為CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PE延長(zhǎng)交AC于G，PE=PF，下列4個(gè)結(jié)論：①GE=GC；②AG=GE；③OG∥BE；④∠A=∠P．其中正確的結(jié)論是_____（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②③【解析】連接OE，CE，∵OE=OD，PE=PF，∴∠OED=∠ODE，∠PEF=∠PFE，∵OD⊥BC，∴∠ODE+∠OFD=90°，∵∠OFD=∠PFE，∴∠OED+∠PEF=90°，即OE⊥PE，∵點(diǎn)E⊙O上，∴PE為⊙O的切線；故①正確；∵BC是直徑，∴∠BEC=90°，∴∠AEC=90°∵∠ACB=90°，∴AC是⊙O的切線，∴EG=CG，∴∠GCE=∠GEC，∵∠GCE+∠A=90°，∠GEC+∠AEG=90°，∴∠A=∠AEG，∴AG=EG，∴AG=CG，即G為AC的中點(diǎn)；故②正確；∵OC=OB，∴OG是△ABC的中位線，∴OG∥AB，即OG∥BE，故③正確；在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，在Rt△POE中，∠P+∠POE=90°，∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，但∠POE不一定等于∠ABC，∴∠A不一定等于∠P．故④錯(cuò)誤．故答案為①②③．三、解答題11．（2021—2022湖北武漢市九年級(jí)階段練習(xí)）已知，分別與相切于點(diǎn)A，B，連接．

（1）如圖1，交于點(diǎn)C，D為的中點(diǎn)，求證：CDPA；（2）如圖2，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若，的半徑為，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）EF=2-2．【分析】（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA=PB，∠OPA=∠OPB，根據(jù)垂徑定理得到BC=CA，根據(jù)三角形中位線定理證明結(jié)論；（2）連接OB，根據(jù)勾股定理求出OP，證明△PEF∽△POB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計(jì)算得到答案．【詳解】（1）證明：∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP⊥AB，∴BC=CA，又D為PB的中點(diǎn)，∴CD是△PAB的中位線，∴CD∥PA；（2）解：連接OB，

∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B，∴PB=PA=4，OB⊥PB，由勾股定理得，OP==10，∴PE=10-2，∵EF⊥PB，OB⊥PB，∴EF∥OB，∴△PEF∽△POB，∴，即，解得，EF=2-2．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．（2021·山東高唐·中考一模）如圖1，在四邊形中，，，是的直徑，平分．（1）求證：直線與相切；（2）如圖2，記（1）中的切點(diǎn)為，為優(yōu)弧上一點(diǎn)，，.求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）如圖（見解析），先根據(jù)圓周角定理可得，，再根據(jù)圓的切線的判定、切線長(zhǎng)定理可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，設(shè)，從而可得，又根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，最后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)∵，∴，即又∵平分，∴即OE是的半徑∴直線與相切；（2）如圖，連接，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)由圓周角定理得：，是的直徑，，AD、BC都是的切線由切線長(zhǎng)定理得：∵∴在和中，∴∴設(shè)，則在和中，，即解得在中，則．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．13．（2022·湖北丹江口·九年級(jí)期末）如圖1，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，CE切⊙O于點(diǎn)E，D是CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE=DA.（1）求證：AD與⊙O相切；（2）若直徑AB=12，BC=x，AD=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，已知AD=4，BC=9，求EH的長(zhǎng).【答案】（1）見解析；（2）；（3）；【分析】（1）先證明△AOD≌△EOD，可得∠OAD=∠OED，由切線的性質(zhì)可證∠OED=90°，然后根據(jù)切線的判定方法證明即可；（2）證明△EOD∽△ECO，可得OE2=DE·CE=AD·BC，由切線長(zhǎng)定理可得DE=AD=y，CE=BC=x，代入整理即可；（3）作DF⊥BC于F，由切線長(zhǎng)定理可證DE=AD=4，CE=CB=9，由EG//CF，求出GE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出EH的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）證明：如圖，連接OE，OD，在△AOD和△EOD中，，∴△AOD≌△EOD，∴∠OAD=∠OED，∵CE切⊙O于點(diǎn)E，∴∠OED=90°，∴∠OAD=90°，∴AD與⊙O相切；．（2）如圖，連接OC，OD，OE，∵△AOD≌△EOD，∴∠AOD=∠DOE，同理可證∠BOC=∠COE，∴∠DOE+∠COE=90°，∵CE切⊙O于點(diǎn)E，∴∠CEO=∠DEO=90°，∴∠OCE+∠COE=90°，∴∠OCE=∠DOE，∴△EOD∽△ECO，∴，∴OE2=DE·CE=AD·BC，∵AD，CE，BC是圓的切線，∴DE=AD=y，CE=BC=x，∵AB=12，∴OE=6，∴xy=36，即；（3）如圖，作DF⊥BC于F，設(shè)DF交EH于點(diǎn)G，則四邊形ABFD、四邊形AHGD是矩形，∴HG=AD=BF=4，CF=CB-BF=CB-AD=5，AD//HG//BC．∵AD，CE，BC是圓的切線，∴DE=AD=4，CE=CB=9，∴CD=CE+DE=CB+AD=13，∵EG//CF，∴，GE=，∴EH=GH+GE=4+=；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，矩形的判定與性質(zhì)，切線的證明方法，以及切線長(zhǎng)定理等知識(shí)，難度較大，屬中考?jí)狠S題．14．（2021—2022福建長(zhǎng)汀九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的直線交BC邊于點(diǎn)E，連接BD，∠BDE=∠A，⊙O的半徑r=．（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，求線段CD的長(zhǎng)；（3）過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，直接寫出DB-DH的最大值．【答案】（1）直線DE與⊙O相切；理由見解析；（2）；（3）DB-DH的最大值為．【分析】（1）連接OD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出OD⊥DE，進(jìn)而得出答案；（2）得出△BCD∽△ACB，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出CD的長(zhǎng)．（3），作，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接連接，則，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，根據(jù)切線長(zhǎng)定理以及對(duì)稱性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可求得即的最大值．【詳解】解：（1）直線DE與⊙O相切．理由如下：連接OD．∵OA=OD∴∠ODA=∠A又∵∠BDE=∠A∴∠ODA=∠BDE∵AB是⊙O直徑∴∠ADB=90°即∠ODA+∠ODB=90°∴∠BDE+∠ODB=90°∴∠ODE=90°∴OD⊥DE∴DE與⊙O相切；（2）∵r=，∴AB=，在Rt△ABC中∵tanA=∴BC=AB?tanA=×，∴AC=，∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB∴△BCD∽△ACB∴∴CD=．(3)如圖，作，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接連接，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，如圖，則，則是的切線，是的切線，，對(duì)稱，，，是直徑，即的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，切線長(zhǎng)定理，勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，第三問中添加輔助線使用對(duì)稱性和切線長(zhǎng)定理結(jié)合求得最值是解題的關(guān)鍵．15．（2021—2022湖北武漢市九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，PA＝PB，弦AB與PC交于點(diǎn)M（1）求證：PB是⊙O的切線（2）連接BC，若∠APB＝4∠BPC，AP＝6，求BC的長(zhǎng)（3）如圖2，若AB＝4BM，求的值（4）如圖3，若AP＝AC，PO與AB交于點(diǎn)D，PC與⊙O交于點(diǎn)N，連接DN，則＝_____【答案】（1）見解析；（2）6；（3）；（4）【分析】（1）連接BO,PO，PA為⊙O的切線，PA＝PB，OA＝OB，根據(jù)等邊對(duì)等角，進(jìn)而可得∠PBO＝∠PAO＝90°，即可證明是的切線；（2）連接PO，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，根據(jù)角度的換算可得∠3＝∠4，進(jìn)而可得；（3）連接PO交AB于點(diǎn)Q，連接BO、BC，證明△PQM≌△CBM（ASA），，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的