3.3 垂徑定理（B卷能力拓展） -2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

3.3垂徑定理學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．（2021—2022河北九年級(jí)期中）如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=40°，B為弧AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接AC交MN于點(diǎn)P，則P點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)，然后根據(jù)垂徑定理得到∠CON=∠BON=40°，進(jìn)而得到圓心角的度數(shù)，進(jìn)而即可求得AC的長(zhǎng)度．【詳解】解：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，則點(diǎn)C在圓O上，連接AC交MN于點(diǎn)P，則P點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)．此時(shí)PA+PB最小，且等于AC的長(zhǎng)．連接OA，OC，∵∠AMN=40°，∴∠AON=80°，∵B為弧AN的中點(diǎn)，∴∠AOB=∠BON=40°，根據(jù)垂徑定理得，∴∠CON=∠BON=40°，∴∠AOC=120°，∵M(jìn)N=2，∴OA=OC=1，∴∠OAC=∠OCA=30°，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G，∴AG=CG，OG=OA=，∴AG=CG=，∴AC=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)等，確定點(diǎn)P的位置是本題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇惠山·中考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE面積的最小值為（）A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2【答案】C【分析】連接OC，得到∠ACO＝90°，確定點(diǎn)C在以O(shè)A為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外），以O(shè)A為直徑作⊙P，過(guò)P點(diǎn)作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，求出點(diǎn)E（0，﹣3），D（4，0），利用勾股定理求出DE＝5，證明△DPH∽△DEO，求出PH＝，得到S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，設(shè)△CDE面積為S，由此得到當(dāng)C點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，S最大；C點(diǎn)與N點(diǎn)重合時(shí)，S最小，由此確定答案【詳解】解：連接OC，如圖，∵點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∴點(diǎn)C在以O(shè)A為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外），以O(shè)A為直徑作⊙P，過(guò)P點(diǎn)作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x﹣3＝﹣3，則E（0，﹣3），當(dāng)y＝0時(shí)，x﹣3＝0，解得x＝4，則D（4，0），∴OD＝4，∴DE＝，∵A（2，0），∴P（1，0），∴OP＝1，∴PD＝OD﹣OP＝3，∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，∴△DPH∽△DEO，∴PH：OE＝DP：DE，即PH：3＝3：5，解得PH＝，∴MP＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝，∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，設(shè)△CDE面積為S，當(dāng)C點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，S最大；C點(diǎn)與N點(diǎn)重合時(shí)，S最小，∴S的范圍為2≤S≤7，∴△CDE面積的最小值為2．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查垂徑定理，勾股定理，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，相似三角形的判定及性質(zhì)，這是一道圖形類(lèi)的綜合題，綜合掌握各知識(shí)點(diǎn)并熟練應(yīng)用解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．3．（2021—2022江蘇海安九年級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=，Q為AC上的動(dòng)點(diǎn)，P為在Rt△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=120°．若D為BC的中點(diǎn)，則PQ+DQ的最小值是（）A． B． C． D．2-1【答案】A【分析】如圖以AB為邊，向左邊作等邊△ABE，作△ABE的外接圓⊙O，連接OB，則點(diǎn)P在⊙O上．作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，則PQ+QD=PQ+QD′=PD′，根據(jù)PD′≥OD′-OP，求出OP，OD′即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖以AB為邊，向左邊作等邊△ABE，作△ABE的外接圓⊙O，連接OB，則點(diǎn)P在⊙O上，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BE于點(diǎn)F，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，∴AB=4，則BE=AB=4，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BE于點(diǎn)F，∴BF==2，∠OBF=30°，∴OB==4，OB⊥BC，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，則PQ+QD=PQ+QD′≥PD′，∵PD′≥OD′-OP，OP=OB=4，OD′==，∴PD′≥，∴PQ+DQ的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題，垂徑定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．4．（2021—2022湖北九年級(jí)月考）如圖，在半圓中，直徑，是半圓上一點(diǎn)，將弧沿弦折疊交于，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)．連接，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把弧AEC的圓補(bǔ)全為⊙F，可知點(diǎn)F與點(diǎn)O關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，求出∠F=90°，CE長(zhǎng)，OE的最小值為EC-OC．【詳解】解：把弧AEC的圓補(bǔ)全為⊙F，可知點(diǎn)F與點(diǎn)O關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，半徑為2，∴∠FCA=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠FCA=∠CAO，∴CF∥AB，∵是弧的中點(diǎn)，∴FE⊥AB，∴∠F=∠BGE=90°，∵FC=FE=2，∴EC=，∵OE≥EC-OC即OE≥-2，的最小值為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)、垂徑定理、勾股定理和圓的有關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線,根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定OE的取值范圍．5．（2020—2021安徽合肥市九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是(2，a)(a＞2)，半徑為2，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為，則a的值是（）A． B．2+ C． D．【答案】B【分析】過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AB于E，過(guò)P點(diǎn)作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．利用垂徑定理和勾股定理求出PD、DC，相加即可．【詳解】如圖，過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AB于E，過(guò)P點(diǎn)作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA，∵PE⊥AB，AB=，半徑為2，∴AE=AB=，PA=2，在Rt△APE中，PE===1，∵點(diǎn)A在直線y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，在Rt△PDE中，PD=，∵⊙P的圓心是(2，a)，∴a=PD+CD=2+，故選：B．．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識(shí)的應(yīng)用，垂徑定理和勾股定理，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，題中運(yùn)用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識(shí)求出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．注意函數(shù)y=x與x軸的夾角是45°．6．（2021—2022湖南長(zhǎng)沙市九年級(jí)月考）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝3，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)F、G，DF與AE交于點(diǎn)H．并與⊙A交于點(diǎn)K，連結(jié)HG、CH．給出下列五個(gè)結(jié)論中正確的選（）（1）H是FK的中點(diǎn)（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC＝9：16（4）DK＝（5）HG⊥HCA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】（1）先證明△ABE≌△DAF，得∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°，AH⊥FK，由垂徑定理，得：FH＝HK，即H是FK的中點(diǎn)；（2）只要證明題干任意一組對(duì)應(yīng)邊不相等即可；（3）由余弦三角函數(shù)和勾股定理算出HM，HT，再算面積，即得S△AHG：S△DHC＝9：16；（4）由余弦三角函數(shù)和勾股定理算出FK，即可得DK．（5）由(2)可得出，因?yàn)椤鱄GD和△HEC不全等，進(jìn)而可以得出，則，即HG⊥HC是錯(cuò)誤的．【詳解】解：（1）在△ABE與△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠AFD＝∠AEB，∴∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°，∴AH⊥FK，由垂徑定理，得：FH＝HK，即H是FK的中點(diǎn)，故（1）正確；（2）如圖，過(guò)H作HM⊥AD于M，交BC于N，∵AB＝4，BE＝3，∴AE＝＝5，∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，∴，∴AH＝，HM＝，∴HN＝4?＝，即HM≠HN，∵M(jìn)NCD，∴MD＝CN，∵HD＝，HC＝，∴HC≠HD，∴△HGD≌△HEC是錯(cuò)誤的，故（2）不正確；（3）過(guò)H作HT⊥CD于T，由（2）知，AM＝，∴DM＝4?，∵M(jìn)NCD，∴MD＝HT＝，∴，故（3）正確；（4）由（2）知，HF＝，∴FK＝2HF＝，∴DK＝DF?FK＝，故（4）正確．（5）由(1)可知，，∴，由（2）知△HGD和△HEC不全等，∴，∴，∴即HG⊥HC是錯(cuò)誤的，故（5）不正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了全等的性質(zhì)和垂徑定理，勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形，熟練應(yīng)用三角函數(shù)快速計(jì)算是本題關(guān)鍵．二、填空題7．（2021—2022江蘇省鹽城中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，AC∥OB，BC＝4，⊙O的半徑為，則AC＝___．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OB于點(diǎn)D，連接OC，利用勾股定理求出OM的值，結(jié)合三角形的面積求出CD的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OB于點(diǎn)D，連接OC，∴∠CMO=90°，CM=BC=2，∴OM=，∵，∴×4=CD，即：CD=，∵AC∥OB，ON⊥AC，CD⊥OB，∴四邊形CDON是矩形，∴ON=CD=，∵∠CNO=90°，∴，∴AC=2CN=．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、垂徑定理，三角形的面積法，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2020—2021浙江九年級(jí)期中）如圖所示，在內(nèi)有折線，其中，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D、E，延長(zhǎng)DO交BC于點(diǎn)H，連接OB，然后根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求OD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得BD，然后利用勾股定理及垂徑定理可求解問(wèn)題．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D、E，延長(zhǎng)DO交BC于點(diǎn)H，如圖所示：∴BE=CE，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴OH=4，∵∠HDB=90°，∴∠HOE=30°，∴，∴，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理及含30°直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2021·安徽·中考一模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，以AD為直徑在矩形內(nèi)作半圓，點(diǎn)E為半圓上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），連接DE、CE，當(dāng)△DEC為等腰三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】4或【分析】分四種情形分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】①當(dāng)DE=DC時(shí)，△CDE是等腰三角形，此時(shí)DE=DC=AB=4．②當(dāng)CD=CE時(shí)，△CDE是等腰三角形．此時(shí)CD、CE是⊙O的切線，連接OC交DE于F．∵CD=CE，OD=OE，∴OC垂直平分線段DE，∴DF=EF=，∴．③當(dāng)EC=ED時(shí)，△ECD是等腰三角形．作EH⊥CD于H，交⊙O于E′，作OF⊥EE′．在Rt△EFO中，，∴，∴，，綜上所述，DE的長(zhǎng)為4或或或．故答案為4或或或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．10．（2021—2022北京市第五中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在中，弦，點(diǎn)在上移動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______________．【答案】【分析】連接OD，如圖，利用勾股定理得到CD，利用垂線段最短得到當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最小，再求出即可．【詳解】解：連接OD，如圖，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90°，∴，當(dāng)OC的值最小時(shí)，CD的值最大，而OC⊥AB時(shí)，OC最小，此時(shí)D、B兩點(diǎn)重合，∴CD=CB=AB=×1=，即CD的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出符合題意的點(diǎn)C的位置是解此題的關(guān)鍵．11．（2021·河南省淮濱縣九年級(jí)期末）如圖，已知⊙O的半徑為5，P是直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BP=1，CD是⊙O的一條弦，CD=6，以PC，PD為相鄰兩邊作平行四邊形PCED，當(dāng)C，D點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PE長(zhǎng)的最小值是_______________．【答案】4【分析】連接OC，設(shè)CD與PE交于點(diǎn)K，連接OK，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合垂徑定理求出OK的長(zhǎng)，在三角形PKO中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到線段PK的取值范圍，再由，得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接OC，設(shè)CD與PE交于點(diǎn)K，連接OK，∵四邊形PCED是平行四邊形，∴，，∴根據(jù)垂徑定理在中，，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴線段PE的最小值是4．故答案是：4．【點(diǎn)睛】本題考查線段最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)和圓的垂徑定理，再利用三角形三邊的數(shù)量關(guān)系求出線段的取值范圍從而得到最小值．12．如圖，為的直徑，，，為上兩動(dòng)點(diǎn)（，不與，重合），且為定長(zhǎng)，于，是的中點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)__________．【答案】5【分析】當(dāng)CD∥AB時(shí)，EM的值最大，連接OM、CE、OC，利用垂徑定理及題意證明四邊形OMCE是矩形，即可得到答案．【詳解】解：如圖，當(dāng)CD∥AB時(shí)，EM的值最大，連接OM、CE、OC，∵DM=CM，∴OM⊥CD，∵CD∥AB，CE⊥AB，∴∠OMC=∠MOB=∠OEC=90°,∴四邊形OMCE是矩形，∴EM=OC=5，∴EM的最大值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查圓的垂徑定理，矩形的判定定理及性質(zhì)定理，正確掌握垂徑定理及應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)F、G，DF與AE交于點(diǎn)H．并與交于點(diǎn)K，連結(jié)HG、CH．給出下列四個(gè)結(jié)論．（1）H是FK的中點(diǎn)；（2）；（3）；（4），其中正確的結(jié)論有________（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】（1）（3）（4）．【分析】由正方形的性質(zhì)可證明，則可推出，利用垂徑定理即可證明結(jié)論（1）正確；過(guò)點(diǎn)H作交BC于N，交AD于M，由三角形面積計(jì)算公式求出，再利用矩形的判定與性質(zhì)證得，并根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)分別求出，，則最后利用銳角三角函數(shù)證明，即可證明結(jié)論（2）錯(cuò)誤；根據(jù)（2）中結(jié)論并利用相似三角形的性質(zhì)求得，即可證明結(jié)論（3）正確；利用（1）所得結(jié)論并由勾股定理求出FH，再求得DK，即可證明結(jié)論（4）正確．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴，．又∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∴，即H是FK的中點(diǎn)；故結(jié)論（1）正確；（2）過(guò)點(diǎn)H作交BC于N，交AD于M，由（1）得，則．∵，∴．∵四邊形ABCD是正方形，，∴．∴四邊形ABNM是矩形．∴，．∵，∴．即．∵，∴．∵，∴．∴．即．解得．則．∵，．∵，，∴．∴．∴．∴與不全等，故結(jié)論（2）錯(cuò)誤；（3）∵，∴．即．解得．由（2）得，．∴；故結(jié)論（3）正確；（4）由（1）得，H是FK的中點(diǎn)，∴．由勾股定理得．∴；故結(jié)論（4）正確．故答案為：（1）（3）（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的綜合問(wèn)題，掌握特殊四邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題14．（2021—2022湖北宜昌市九年級(jí)期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．請(qǐng)證明此結(jié)論；（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．可以通過(guò)延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，再連接證明結(jié)論成立．請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；（3）如圖3，，組成的一條折弦，若是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接，，易證為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，可以證得．（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先，再證為等腰三角形，進(jìn)一步證得，從而證得結(jié)論．（3）根據(jù)，從而證明，得出，然后判斷出，進(jìn)而求得．【詳解】證明：（1）如圖1，連接，，是劣弧的中點(diǎn)，，，，，，，為等腰三角形，，；（2）如圖2，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，再連接，是圓內(nèi)接四邊形，，是劣弧的中點(diǎn)，，，為等腰三角形，，，，，（3）．連接，，，、相交于點(diǎn)，弧弧，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理在5個(gè)條件中，1．平分弦所對(duì)的一條弧；2．平分弦所對(duì)的另一條??；3．平分弦；4．垂直于弦；5．經(jīng)過(guò)圓心（或者說(shuō)直徑）．只要具備任意兩個(gè)條件，就可以推出其他的三個(gè)．15．（2021—2022江蘇昭陽(yáng)湖九年級(jí)月考）如圖，在⊙O中，AB是直徑，P為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的長(zhǎng)；（2）若MP=3，NP=5，求AB的長(zhǎng)；（3）當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（∠NPB=45°不變），的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)求出其范圍．【答案】（1）；（2）；（3）不變，值為【分析】（1）作OH⊥MN于H，連接ON，先計(jì)算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，則OH=OP=，再在Rt△OHN中，利用勾股定理計(jì)算出NH=，然后根據(jù)垂徑定理由OH⊥MN得到HM=HN，所以MN=2NH=2；

（2）作OH⊥MN于H，連接ON，先計(jì)算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可計(jì)算出ON=，所AB=2ON=2；(3)作OH⊥MN于H，連接ON，根據(jù)垂定理得HM=HN，設(shè)圓的半徑為R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，則PH2+NH2=R2，然后變形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值為2R2，又AB=2R，代入計(jì)算即可求出答案．【詳解】解：（1）作OH⊥MN于H，連接ON，

∵AP=2，BP=6，

∴AB=8，

∴OA=4，OP=2，

在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，

∴OH=OP=，

在Rt△OHN中，∵ON=4，OH=，∴NH===，∵OH⊥MN，

∴HM=HN，

∴MN=2NH=2；（2）作OH⊥MN于H，連接ON，

則HM=HN，

∵M(jìn)P=3，NP=5，

∴MN=8，

∴HM=HN=4，

∴PH=1，

在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，

∴OH=1，

在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，

∴ON==，

∴AB=2ON=2；（3）的值不發(fā)生變化，為定值，作OH⊥MN于H，連接ON，

則HM=HN，設(shè)圓的半徑為R，

在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2，

在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，

∴OH=PH，

∴PH2+NH2=R2，

∵PM2+PN2=（HM-PH）2+（NH+PH）2

=（NH-PH）2+（NH+PH）2

=2（PH2+NH2）

=2R2．又AB2=4R2，∴==∴的值不發(fā)生變化，為定值．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．16．（2020—2021福建福州九年級(jí)月考）已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，－1），以M（－1，0）為圓心，以AM為半徑的圓交y軸于點(diǎn)B，連結(jié)BM并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)為的線段PQ