3.1勾股定理（解析版）

3.1勾股定理【推本溯源】1.如圖，若將每個小正方形的面積看作1，以B′C′為邊的正方形的面積是9，以A′C′為邊的正方形的面積是16，那以A′B′的面積為多少呢？252.如圖一，使用的方法是？如圖二，使用的方法是？圖一的方法是拼補(bǔ)法；圖二是分割法。圖二圖一 圖一圖二圖一3.上圖求完后，可以發(fā)現(xiàn)三個正方形的面積關(guān)系是？兩個小正方形的面積相加=大正方形的面積而由于正方形的面積公式為邊長2，所以可以得出B′C′2+A′C′2=A′B′2。因此，直角三角形的斜邊、直角邊有如下關(guān)系：直角三角形兩個直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，這個定理稱為勾股定理。也稱為畢達(dá)哥拉斯定理。在古代我們把較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”。因此有了勾三股四弦五的結(jié)論。幾何語言：∵∠C=90°∴a2+b2=c2注：在使用勾股定理的時候，可以靈活運(yùn)用公式，，，4.勾股定理的證明圖一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．證明：，所以．證明名稱：鄒元治證明圖二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．證明：，所以．證明名稱：趙爽弦圖圖三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．證明：，所以．證明名稱：1876年美國總統(tǒng)伽菲爾德證明圖四：如圖（4）所示證明：證▲ACI≌▲ADB，由同底等高可以得出，由，得出同理可得，，所以AB2+BC2=AC2證明名稱：歐幾里得證明（（4）【解惑】例1：在中，，，的對邊分別是，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：，，的對邊分別是，，，，為斜邊，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．例2：如圖，是一張直角三角形的紙片，，，，將沿折疊，使點(diǎn)點(diǎn)重合，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由折疊可知，在中根據(jù)勾股定理求出，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，即，解出，即為的長．【詳解】解：由折疊可知，∵在中，，，∴，設(shè)：，則，∵在中，，∴，解得，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊圖形的性質(zhì)和勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．例3：若直角三角形中，斜邊的長為13，一條直角邊長為5，則這個三角形的面積是（

）A．30 B．60 C． D．40【答案】A【分析】設(shè)另一直角邊為x，根據(jù)勾股定理求出x的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)另一直角邊為x，∵斜邊的長為13，一條直角邊長為5，∴，∴．故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．例4：“趙爽弦圖”巧妙地利用而積關(guān)系證明了勾股定理，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為．較短直角邊長為，若，，則小正方形的面積是______________．【答案】1【分析】求出大正方形的邊長，再減去4個三角形的面積即可．【詳解】解：由勾股定理可知大正方形的邊長，大正方形的面積為25，∴小正方形的面積是，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．例5：勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中，求證：

證明：連接，過點(diǎn)D作邊上的高，則，∵，，∴∴．請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中．求證：．【答案】見解析【分析】連接，過點(diǎn)B作邊上的高，則，仿照已知材料中的方法，利用五邊形面積的不同表示方法解答即可．【詳解】

證明：連接，過點(diǎn)B作邊上的高，則．∵，又∵，∴，∴，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，正確理解題意、得出五邊形面積的不同表示方法是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023·貴州貴陽·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，分別以點(diǎn)，為圓心，，為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由作圖知，由勾股定理求出，再根據(jù)三角形的面積，即可求解．【詳解】解：由作圖知，∵，，，∴由勾股定理，，∴，∴在中由勾股定理得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，勾股定理，三角形的面積．掌握尺規(guī)作圖-經(jīng)過一點(diǎn)作線段的垂線，利用面積法求解是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？计谥校┲苯侨切蔚膬蓷l直角邊分別為和，則斜邊中線長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理列式求出斜邊的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．【詳解】解：直角三角形的兩條直角邊分別為和，由勾股定理，斜邊，斜邊中線，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是5，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊長分別是a、，則的值為（）

A．16 B．9 C．4 D．3【答案】B【分析】由勾股定理得，由小正方形面積是1，得出，即可得出結(jié)果．【詳解】由題意可知：大正方形的面積=4個直角三角形的面積之和=所以故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了以弦圖為背景的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．4.（2023春·廣東佛山·八年級校考期中）如圖，在中，，斜邊的垂直平分線l交于點(diǎn)D，連接．若，則的周長為（

）

A．18 B．17 C． D．11【答案】B【分析】先利用勾股定理求出，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到，由此即可利用三角形周長公式求出答案．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵斜邊的垂直平分線l交于點(diǎn)D，∴，∴的周長，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，有一塊直角三角形紙片，，，，將斜邊翻折，使點(diǎn)落在直角邊的延長線上的點(diǎn)處，折痕為，則的長為_________．

【答案】【分析】勾股定理求出的長，折疊得到，利用即可得解．【詳解】解：∵，，，∴，∵翻折，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和折疊問題．熟練掌握折疊的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．6．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）如圖，圖中所有四邊形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面積分別為10，18，則正方形的面積是________．

【答案】28【分析】根據(jù)正方形的面積與邊長的關(guān)系，可知，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知，∴故答案為：28．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）某醫(yī)院入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會自動測溫并報(bào)告人體體溫．當(dāng)身高米的市民正對門緩慢走到離門米的感應(yīng)器地方時（即米），則人頭頂離測溫儀的距離等于________米．

【答案】1【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，構(gòu)造，利用勾股定理求得的長度即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作，如圖所示，

∵，，，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得：米，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線段AD的長度．8．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，一張直角三角形紙片ABC中，，將它沿折痕折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則___________．

【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)得出，設(shè)，則．在中運(yùn)用勾股定理列方程，解方程即可求出的長．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)得：，設(shè)，則．在中，由勾股定理得：，解得：．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題和勾股定理的綜合運(yùn)用．解題時，設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)，用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．9．（2023春·廣東云浮·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，于．求：

(1)的長和的面積；(2)的長．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得的長；利用三角形的面積公式可求出的面積；（2）再根據(jù)三角形的面積公式是一定值求得即可．【詳解】（1）解：在中，，，，∴，∴．（2）解：，，．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·安徽亳州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．(1)在圖中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個面積為10的正方形．(2)把所作正方形分割成趙爽弦圖．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）畫出邊長為的正方形即可；（2）根據(jù)趙爽弦圖畫圖即可．【詳解】（1）解：如圖，正方形即為所求；其中，，∴面積為；（2）如圖，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，無理數(shù)，趙爽弦圖的知識，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確識圖，能夠構(gòu)造邊長為的正方形．11．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，．

(1)用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)若（1）中所作的垂直平分線交于點(diǎn)D，求的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）直接利用線段垂直平分線的作法得出答案；（2）設(shè)，再利用勾股定理列方程得出答案．【詳解】（1）如圖直線MN即為所求．

（2）∵垂直平分線段，∴，設(shè)，在中，∵，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖，勾股定理，正確運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．12．（2023春·湖南郴州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，求BC邊上的高AD的長．

【答案】12【分析】為高，那么題中有兩個直角三角形．在這兩個直角三角形中，設(shè)為未知數(shù)，可利用勾股定理都表示出長．求得長，再根據(jù)勾股定理求得長即可．【詳解】解：設(shè)，則，在中，，在中，，∴，，解得，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解決本題的關(guān)鍵在于利用兩個直角三角形的公共邊找到突破點(diǎn)．主要利用了勾股定理進(jìn)行解答．【知不足】1．（2023春·湖北省直轄縣級單位·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，與按如圖方式拼接在一起，，，，則的值為(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形面積公式，根據(jù)勾股定理可求的值即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為和，斜邊為，那么．也就是說，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．2．（2023春·廣東潮州·九年級潮州市金山實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．如圖所示的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．直角三角形的斜邊長為13，一條直角邊長為12，則小正方形的面積的大小為（

）

A．144 B．100 C．49 D．25【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得另一直角邊的長度，然后結(jié)合圖形求得小正方形的邊長，易得小正方形的面積．【詳解】解：如圖，

根據(jù)勾股定理，得．所以．所以正方形的面積為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角邊的長度．3．（2023秋·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，為修通鐵路需鑿?fù)ㄋ淼?，測得，，，，若每天開鑿隧道，則需要______天才能把隧道鑿?fù)ǎ?/p>

【答案】12【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理判斷是直角三角形，再根據(jù)勾股定理求得的長，從而可以求得結(jié)果.【詳解】解：∵，，∴，∴是直角三角形，∵，，∴，∵天，∴12天才能將隧道鑿?fù)ǎ蚀鸢笧椋?2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是對文字的理解，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要具備的基本能力，因而此類問題在中考中極為常見，在各種題型中均有出現(xiàn)，需多加關(guān)注．4．（2023秋·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，長方形中，，，，則______．

【答案】4.8【分析】利用長方形的性質(zhì)得到，利用勾股定理計(jì)算出，利用面積法計(jì)算出即可．【詳解】解：∵四邊形長方形，∴，在中，，∵，∴．故答案為：4.8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等積法求直角三角形的高，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理求出．5．（2023秋·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，的平分線交于點(diǎn)D，若厘米，厘米，則點(diǎn)D到直線的距離是______厘米．

【答案】9【分析】先根據(jù)已知條件得出的長，再根據(jù)角平分線定理得點(diǎn)到直線的距離等于的長度，即可求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)D作于F，如圖，厘米，厘米，，厘米，由角平分線定理得：厘米，故點(diǎn)到直線的距離是9厘米；故答案為：9．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離等知識，在解題時要能靈活應(yīng)用各個知識點(diǎn)是本題的關(guān)鍵，難度適中．6．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（A卷））如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為___________．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及勾股定理得到，再根據(jù)圓的面積及矩形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，∴是的直徑，∵，∴，∴的半徑為，∴的面積為，矩形的面積為，∴陰影部分的面積為；故答案為；

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線交于點(diǎn)D，則線段的長為________．

【答案】【分析】利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，將的面積分解成的面積和面積和，轉(zhuǎn)化成以為未知數(shù)的方程求出．【詳解】如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，由題意得：平分，，，，，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、直角三角形面積，重點(diǎn)掌握勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的面積轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·安徽六安·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，與都是等腰直角三角形，，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，，求的長度．【答案】(1)見解析(2)21【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，，，根據(jù)等式的性質(zhì)得出，然后利用判斷出；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得出，在中，由勾股定理得的長度，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）證明：與都是等腰直角三角形，，，在和中，，；（2）解：，，，在中，由勾股定理得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能求出和的長．9．（2023春·福建廈門·八年級廈門市檳榔中學(xué)校考期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）．(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：；(2)用圖1這樣的兩個直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足，，，，求證（1）中的定理結(jié)論；(3)如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)，，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；（2）由四邊形的面積兩種計(jì)算方式列出等式，即可求解；（3）分別求出a，b，由勾股定理可求解．【詳解】（1）解：∵大正方形的面積，大正方形的面積，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如圖：連接，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）解：由題意可得：，，∴，，∴，，∴，∴正方形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）問題呈現(xiàn)：通過整式乘法的學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步了解了利用圖形面積來說明法則、公式等的正確性的方法，例如利用圖甲可以給予解釋的一個公式為___．問題解決：圖乙中的是一個直角三角形，，人們很早就發(fā)現(xiàn)將圖乙的直角三角形拼成圖丙的正方形，會發(fā)現(xiàn)并找到a、b、c一個確定的數(shù)量關(guān)系，請你找到這個關(guān)系，并說明理由．

拓展應(yīng)用：根據(jù)問題解決，下列幾何圖形中，可以正確的解釋“問題解決”中直角三角形三邊a、b、c這一關(guān)系的圖有___（先將圖序號填在橫線上，然后選一種序號圖說明理由）

【答案】問題呈現(xiàn)：；問題解決：；理由見解析；拓展應(yīng)用：①④⑤；理由見解析【分析】問題呈現(xiàn)：根據(jù)圖形中面積關(guān)系可以得出答案；問題解決：根據(jù)圖丙大正方形面積的兩種表示方法，可以得出答案；拓展應(yīng)用：根據(jù)圖中的面積關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：問題呈現(xiàn)：根據(jù)長方形面積公式，圖甲中長方形的面積可以表示為：，圖甲中長方形的面積可以用大正方形的面積減去小正方形的面積，即，∴，∴利用圖甲可以解釋的一個公式為．故答案為：．

問題解決：a、b、c一個確定的數(shù)量關(guān)系為：；理由如下：圖丙中大正方形的邊長為c，則面積可以表示為：，另外大正方形的面積可以用中間小正方形的面積加四周四個直角三角形的面積，即，∴；拓展應(yīng)用：①過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，如圖所示：

∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，同理可得：，∴，，∴，∴，即，故①符合題意；②大長方形的長為，寬為，則面積為，另外，圖中兩個小長方形的面積為，，小正方形的邊長為c，面積為，即大長方形的面積可以表示為，∴，故②不符合題意；

③梯形的面積為，另外，圖中兩個直角三角形的面積分別為，，小正方形的邊長為c，面積為，即圖中梯形的面積可以表示為，∴，故③不符合題意；

④中間小正方形的邊長為c，面積為，另外，圖中大正方形的邊長為，面積為，四個直角三角形的面積為，即中間小正方形的面積可以表示為：，∴，故④符合題意；

⑤圖中直角三角形的面積為，另外，圖中梯形的面積為，兩個直角三角形面積每個為，即圖中直角三角形面積可以表示為：，∴，即，故⑤符合題意；

綜上分析可知，可以正確的解釋“問題解決”中直角三角形三邊a、b、c這一關(guān)系的圖有①④⑤．故答案為：①④⑤．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的圖形證明，三角形全等的判定和性質(zhì)，平方差公式的圖形證明，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形、梯形、正方形、長方形的面積公式．【一覽眾山小】1.（2023春·廣東韶關(guān)·八年級校考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D為斜邊上的一點(diǎn)，連接，將沿翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，點(diǎn)F為直角邊上一點(diǎn)，連接，將沿翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合．若，則的長為（

）．A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理定理即可解答．【詳解】解：∵將沿翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，∴，∵將沿翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，靈活利用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，中，，點(diǎn)為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，若，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、、，過作于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的面積公式求出的面積，根據(jù)圖形得出，再代入求出即可．【詳解】解：連接、、，過作于，于，∵點(diǎn)為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，，，，∴，∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，能根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt中，的垂直平分線分別交于兩點(diǎn)，則的周長等于（）

A．12 B．14 C．16 D．17【答案】D【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，即可將求的周長的問題轉(zhuǎn)化為求與的和，再根據(jù)已知條件進(jìn)一步計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵垂直平分∴∵∴∴故答案是：D【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的周長公式，其中利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．4.（2023春·廣東河源·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足，則線段長的最小值為____．

【答案】【分析】根據(jù)，可得，從而得到，找到的中點(diǎn)O，即可得到，即可得到當(dāng)、、三點(diǎn)共線時距離最小，即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，∴，如圖找到的中點(diǎn)O，

∴，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時距離最小，∵，，，∴，∴，∴，∴線段長的最小值為：，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是得到，結(jié)合三點(diǎn)共線找到最小距離點(diǎn)．5．（2023春·新疆阿勒泰·八年級統(tǒng)考期中）如圖，等腰三角形的底邊長為10，腰的長為13，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動點(diǎn)，則△CDM周長的最小值為______．

【答案】【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)是線段的垂直平分線，可知點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，連接，

∵是等腰三角形，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，∴，,∵∴∵是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，，∴，∴周長的最小值故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱—最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題6．（2023春·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ械诰胖袑W(xué)?？计谥校┤鐖D，一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過軸上的點(diǎn)反射后經(jīng)過點(diǎn)，則光線從點(diǎn)到點(diǎn)經(jīng)過路線長是________．

【答案】15【分析】延長交軸于．根據(jù)光的反射原理，點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，．路徑長就是的長度．結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理求解即可．【詳解】解：延長交軸于，

則點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，光線從點(diǎn)到點(diǎn)經(jīng)過路線長為：，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，掌握如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·廣東梅州·七年級?？茧A段練習(xí)）問題情境：把四個直角邊長分別為a，b，斜邊長為c的直角三角形拼成如圖的兩個正方形和，設(shè)每個直角三角形的面積為，小正方形的面積為，大正方形的面積為S．(1)嘗試解決：請你寫出、，S之間存在的關(guān)系；(2)根據(jù)三角形和正方形的面積公式，試用含a，b，c的關(guān)系式表示、和S；(3)合作探究：綜合（1），（2）可得一個等式，對這個等式進(jìn)行化簡可以證明勾股定理，請你寫出這個等式，并寫出化簡過程；(4)若，，你能求出的值嗎？試試看．【答案】(1)(2)，，(3)，化簡過程見解析(4)的值為6【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于4個直角三角形的面積與小正方形面積的和，可得得S、、的關(guān)系；（2）根據(jù)，，求解即可；（3）根據(jù)（1）（2）得，化簡即得答案；（4）把，代入求解即可．【詳解】（1）∵大正方形的面積等于4個直角三角形的面積與小正方形面積的和，∴；（2），，；（3）由（1）（2）的關(guān)系式可得：，∴；（4）把，代入得，∴，∵，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，運(yùn)用整體思想、方程思想是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·廣東梅州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，中，，，，以斜邊為底邊作等腰三角形，腰剛好滿足，并作腰上的高．

(1)求證：；(2)求等腰三角形的腰長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得，由等腰三角形的性質(zhì)得，可證，再根據(jù)證明可得結(jié)論；（2）由（1）得：，，設(shè)，在中由勾股定理得出方程求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）由（1）得：，，設(shè)，則，在中,由勾股定理得,，即，解得：，即．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．9．（2023春·廣東惠州·八年級校考期中）如圖，在中，，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．

(1)用含t的代數(shù)式表示①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時，________．②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上時，________．(2)當(dāng)為直角三角形時，求t的值；【答案】(1)①；②(2)或【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出的長度，然后再根據(jù)圖形求解即可；（2）當(dāng)為直角三角形時，分兩種情況：①當(dāng)為直角時，②當(dāng)為直角時，分別求出此時的t值即可．【詳解】（1）∵，，，∴．∵動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的速度移動，∴．①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時，．②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上時，．故答案為：①；②；（2）①當(dāng)為直角時，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，，即；②當(dāng)為直角時，，，在中，，在中，，即：，解得，故當(dāng)為直角三角形時，或；【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，以及分情況討論．10．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在四邊形中，是對角線，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接．(1)求的度數(shù)；(2)若是等邊三角形，且，求的長．【答案】(1)的度數(shù)為(2)的長為【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)得到的度數(shù)為；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定得到，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及勾股定理得到．【詳解】（1）解：∵將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，∴，∴是等邊三角形，∴，即的度數(shù)為；（2）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．

(1)畫出線段關(guān)于直線對稱的線段；(2)將線段向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段，畫出線段；(3)描出線段上的點(diǎn)及直線上的點(diǎn)，使得直線垂直平分．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，，連接，則線段即為所求；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到線段即為所求；（3）勾股定理求得，，則證明得出，則，則點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，線段即為所求；

（2）解：如圖所示，線段即為所求；

（3）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求

如圖所示，

∵，，∴，又，∴，∴，又，∴∴，∴垂直平