2.6 二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖像與性質（B卷能力拓展） -2021-2022學年九年級數(shù)學下冊同步分層練習（基礎鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

2.6二次函數(shù)的圖像與性質學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．（2021·四川蓬安九年級月考）對二次函數(shù)，下列說法：①對任意實數(shù)m，都有與對應的函數(shù)值相等；②在范圍內，函數(shù)存在最大值m，最小值n，則；③設點，均在函數(shù)的圖象上，若，則或；④若函數(shù)的圖象都位于x軸的上方，則方程總有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確結論的序號為（）A．①④ B．①③ C．①② D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出對稱軸，由拋物線的性質即可判斷①，分和討論它的增減性，表示出在范圍內，表示出m和n的值即可判斷②，由函數(shù)的增減性即可判斷③，根據(jù)圖象的位置可得出判別式的范圍，即可判斷④，【詳解】解：∵，∴該拋物線的對稱軸為直線，∴對任意實數(shù)m，都有與對應的函數(shù)值相等，∴①說法符合題意，當時，若，則，，∴，若，則，，∴，∴②說法不合題意，若，則當時，y隨著x的增大而減小，當時，y隨著x的增大而增大，∴t＜﹣2或t＞4，若，則當時，y隨著x的增大而增大，當時，y隨著x的增大而減小，∴，∴③說法不合題意，若函數(shù)的圖象都位于x軸的上方，則且，∴，∴，∴，∵，∴，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根，∴④說法符合題意，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，解題的關鍵是牢記拋物線圖象與系數(shù)的關系以及判別式的性質．2．（2021·重慶市育才中學九年級月考）如圖，拋物線與軸相交于點，拋物線頂點為，點坐標為，作射線，將射線沿直線翻折得到射線，與拋物線交于點，則點的橫坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點M作MC⊥y軸于點C，作MD⊥x軸于點D，過點N作NE⊥x軸于點E，連接AM，先證明，進而可證明，由此可求得點N的坐標，進而利用待定系數(shù)法求得直線BN的解析式，再與二次函數(shù)解析式聯(lián)立方程即可求得交點P的橫坐標．【詳解】解：如圖，過點M作MC⊥y軸于點C，作MD⊥x軸于點D，過點N作NE⊥x軸于點E，連接AM，則四邊形ODMC為矩形，∵，∴拋物線頂點的坐標為（4，－6），∵四邊形ODMC為矩形，∴CM＝OD＝4，OC＝DM＝6，將x＝0代入，得：，∴點A的坐標為（0，－4），∴OA＝4＝CM，∴AC＝OC－OA＝2，又∵點坐標為，∴OB＝2＝AC，∴BD＝OD－OB＝2，∵MC⊥y軸，x軸⊥y軸，∴∠ACM＝∠BOA＝90°，在與中，∴，∴，，∵∠BOA＝90°，∴，∴，又∵，∴，∵將射線沿直線翻折得到射線，∴，，∴，∴，∵NE⊥x軸，MD⊥x軸，∴∠NEB＝∠MDB＝90°，∴，∴，在與中，∴，∴，，∴，又∵點N在第三象限，∴點N的坐標為（－4，－2），設直線BN的解析式為，將N（－4，－2），代入，得：，解得：，∴，將與聯(lián)立方程，得：，解得：，（不符合題意，舍去），∴點的橫坐標為，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，軸對稱的性質等相關知識，作出正確的輔助線并能熟練運用相關圖形的判定與性質是解決本題的關鍵．3．（2021·江蘇通州九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為A點，且與x軸的正半軸交于點B，P點為該拋物線對稱軸上一點，則的最小值為（）A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】連接、，，作于，于，解方程得到得，，利用配方法得到，，則，從而可判斷為等邊三角形，接著利用得到，利用拋物線的對稱性得到，所以，根據(jù)兩點之間線段最短得到當、、共線時，的值最小，最小值為的長，然后計算出的長即可．【詳解】解：如圖，連接、，，作于，于，當時，，解得，，則，，∵，∴，，，∵頂點A在拋物線的對稱軸上，∴，，為等邊三角形，，，，垂直平分，，，當、、共線時，的值最小，最小值為的長，∵為等邊三角形，于，∴，∴，的最小值為3．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，勾股定理的應用，等邊三角形的判定與性質以及最短路徑的解決方法，將轉化為，根據(jù)當、、共線時，的值最小，最小值為的長是解決本題的關鍵．4．（2021·武漢實外九年級月考）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+6，當﹣2≤x≤2時，y≥a，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣2≤a≤2 B．﹣≤a≤﹣2 C．﹣≤a≤2 D．0≤a≤2【答案】C【分析】利用配方法求得拋物線的對稱軸以及函數(shù)的最小值，分，和三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質，結合得到關于的一元一次不等式或一元二次不等式，求解即可．【詳解】解：∴函數(shù)圖像開口向上，對稱軸為，最小值為當時，在時，隨增大而增大∵∴，解得∴當時，在時，隨增大而減小∵∴，解得∴無解當時，函數(shù)在時，取得最小值∴，解得∴綜上所得：故選C【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，分，和三種情況，進行分類討論，得到關于的一元一次不等式或一元二次不等式是解題的關鍵．5．（2021·河南省淮濱縣九年級開學考試）若直線（為實數(shù)）與函數(shù)的圖象至少有三個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出=0時x的值，再求出＞0和＜0時，自變量的取值，可得到的函數(shù)圖像，即可根據(jù)圖形進行求解．【詳解】令=0得x=1或x=3當x＜1或x＞3時，＞0，1＜x＜3時，＜0∵y==（x-2）2-1∴當x=2時，y=有最小值-1得到函數(shù)圖像如下∵直線與函數(shù)的圖象至少有三個公共點，∴實數(shù)的取值范圍是故選A．【點睛】此題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，再進行求解．6．（2021·廣東深圳市九年級三模）已知拋物線在坐標系中的位置如圖所示，它與，軸的交點分別為，，是其對稱軸上的動點，根據(jù)圖中提供的信息，以下結論中不正確的是（）A． B．C．周長的最小值是 D．是的一個根【答案】C【分析】根據(jù)對稱軸方程求得a、b的數(shù)量關系即可判斷A；根據(jù)拋物線的對稱性知拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標是3，則x=3時，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判斷B、D；利用兩點間直線最短來求△PAB周長的最小值即可判斷C．【詳解】解：A、根據(jù)圖象知，對稱軸是直線x=-=1，則b=-2a，即2a+b=0，故A正確；B、根據(jù)圖象知，點A的坐標為(-1,0)，對稱軸是x=1，則根據(jù)拋物線關于對稱軸對稱的性質知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標是(3,0)，∴x=3時，y=9a+3b+3=0，∴9a-6a+3=0,∴3a+3=0，∵拋物線開口向下，則a<0，∴0＞a>-，故B正確；C、點A關于x=1對稱的點是A′(3,0)，即拋物線與x軸的另一個交點，連接BA′與直線x=1的交點即為點P，則△PAB的周長的最小值是(BA′+AB)的長度，∵A(-1,0)，B(0,3)，A′(3,0)，∴AB=，BA′=，即△PAB周長的最小值為+，故C錯誤；D、根據(jù)圖象知，點A的坐標為(-1,0)，對稱軸是x=1，則根據(jù)拋物線關于對稱軸對稱的性質知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標為(3,0)，所以是的一個根，故D正確．故選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象的性質及兩點之間線段最短．解答該題時，充分利用了拋物線的對稱性．二、填空題7．（2021·河北天津九年級月考）已知二次函數(shù)，當時，隨的增大而減小，則的取值范圍是______．【答案】##【分析】先根據(jù)函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質得出函數(shù)的對稱軸和開口方向，再根據(jù)已知和對稱軸得出關于m的不等式，求出不等式的解集即可．【詳解】解：二次函數(shù)y=x2+（2m-1）x的對稱軸是直線x=-=-，∵二次函數(shù)y=x2+（2m-1）x中a=1＞0，∴函數(shù)的圖象的開口向上，∴當x＜?時，y隨x的增大而減小，∵當-2＜x＜0時，y隨x的增大而減小，∴-≥0，解得：m≤，故答案為：m≤．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質以及解一元一次不等式，能熟記二次函數(shù)的性質是解此題的關鍵．8．（2021·河北天津九年級月考）當時，二次函數(shù)有最大值，則的值為______．【答案】或【分析】先求得其對稱軸為，再分、和根據(jù)二次函數(shù)的單調性分別求得其最大值，由最大值為2，可求得的值．【詳解】解：，其對稱為，開口向下，當即時，在上隨的增大而減小，當時有最大值，最大值，解得，符合題意；當即時，的最大值，（不合題意，舍去），或（舍去）；當即時，在上隨的增大而增大，當時，有最大值，，綜上可知的值為或．故答案是：或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的單調性和最值，掌握二次函數(shù)的單調性是解題的關鍵，注意分類討論思想的應用．9．（2021·湖北硚口九年級月考）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)）經過點(3，0)，對稱軸為直線x＝1．下列四個結論：①點P1(－2020，y1)，P2(2023，y2)在拋物線上，則y1＞y2；②2a＋c＜0；③關于x的方程ax2＋bx＋c＝p的兩個實數(shù)根為m，n（n＜m），若p＞0，則m＜3且n＞－1；④a（1－t2）≥b（t－1）（t為常數(shù)）．其中正確的結論是________（填寫序號）．【答案】①③④【分析】利用拋物線的對稱性以及圖像與性質可以判斷①是否正確，利用拋物線與一元二次方程的關系以及結合根與系數(shù)的關系分析即可判斷②③④是否正確．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)）的對稱軸為直線x＝1，∴點P1(－2020，y1)與點(2022，y1)關于直線x＝1對稱，∵圖像開口向下，∴，當x＞1時，y隨x的增大而減小，由2022＜2023∴y1＞y2，故①正確；∵拋物線y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)）經過點(3，0)，∴拋物線與x軸另一交點為(-1，0)，∴x=3和x=-1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的兩個根，∴，∴，∴，故②錯誤；如圖所示，當p＞0時，拋物線與直線y＝p的交點橫坐標在-1和3之間，故③正確；∵x=3和x=-1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的兩個根，∴∴，∴a（1－t2）-b（t－1）=a（1－t2）+2a（t－1）=，∴a（1－t2）≥b（t－1）（t為常數(shù)），故④成立；故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查了拋物線的圖像與性質、二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系、根與系數(shù)的關系等內容，在比較大小時應掌握作差法，通過配方確定代數(shù)式的符號，本題考查了學生綜合分析問題的能力，要求學生能正確理解函數(shù)圖像，蘊含了數(shù)形結合的思想方法等．10．（2021·江蘇姑蘇九年級月考）在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為完美點．已知二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c（a≠0）的圖象上有且只有一個完美點（，），且當0≤x≤m時，函數(shù)y＝ax2＋4x＋c﹣（a≠0）的最小值為﹣3，最大值為1，則m的取值范圍是_______．【答案】2≤m≤4【分析】根據(jù)完美點的概念令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由題意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，方程的根為，從而求得a＝﹣1，c＝，所以函數(shù)y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點坐標與縱坐標的交點坐標，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．【詳解】解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由題意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根為，解得a＝﹣1，c＝，故函數(shù)y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，如圖，該函數(shù)圖象頂點為（2，1），與y軸交點為（0，﹣3），由對稱性，該函數(shù)圖象也經過點（4，﹣3）．由于函數(shù)圖象在對稱軸x＝2左側y隨x的增大而增大，在對稱軸右側y隨x的增大而減小，且當0≤x≤m時，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3的最小值為﹣3，最大值為1，∴2≤m≤4，故答案為：2≤m≤4．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質以及二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系，解決本題的關鍵是能利用解一元二次方程求出二次函數(shù)的解析式，能利用二次函數(shù)圖像的增減性求出自變量的取值范圍，本題對學生的數(shù)形結合的能力有一定的要求．11．（2021·諸暨市九年級期中）如圖，已知點A（3，3），點B（0，），點A在二次函數(shù)y＝x2+x﹣9的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點A按逆時針方向旋轉30°，交二次函數(shù)圖象于點C，則點C的坐標為_________．【答案】【分析】過點B作軸，過點A作于點E，交于點，過點作于點，根據(jù)勾股定理求出的長度，設，則，則，根據(jù)三角函數(shù)得出，則，解之可得，求得直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立可得點C的坐標．【詳解】解：過點B作軸，過點A作于點E，交于點，過點作于點，根據(jù)題意可得,∴,設，則，∴，∴,∴，∵,∴，∴，兩邊平方得：，解得：(舍)，∴,，∴,∴,∴點的坐標為：，設直線的解析式為：，則，解得，∴表達式為，將其代入拋物線方程y＝x2+x﹣9，解得或，即為點A，將代入直線AC得，∴點C坐標為：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，求一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得一次函數(shù)解析式與二次函數(shù)解析式聯(lián)立是解題的關鍵．三、解答題12．（2021·河北天津九年級月考）如圖，拋物線的圖像經過點，，其對稱軸為直線（1）求這個拋物線的解析式（2）拋物線與軸的另一個交點為，拋物線的頂點為判斷的形狀并說明理由（3）直線軸，交拋物線于另一點，點是直線下方的拋物線上的一個動點（點不與點和點重合），點做軸的垂線，交直線于點，當四邊形的面積最大時，求出點的坐標【答案】（1）；（2）是直角三角形，見解析；（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）先求出點C、D的坐標，利用勾股定理求出BC、BD、CD的長即可判斷；（3）先求出直線BC的解析式，N的坐標，得到四邊形的面積=，故當PQ最大時，四邊形的面積最大，設P（x，0），則P（），Q（），得到四邊形的面積的函數(shù)解析式，利用函數(shù)性質解答．【詳解】解：（1）由題意得，解得，∴這個拋物線的解析式為；（2）令中y=0，得，解得x=-1或x=3，∴C（3,0），∵∴頂點D的坐標為（1，-4），∵,∴,∴是直角三角形；（3）∵B(0,-3)，C(3,0)，∴直線BC的解析式為，∵直線軸，交拋物線于另一點，B（0,3），對稱軸為直線x=1，∴N（2,-3），∵PQ⊥x軸，∴PQ⊥BN，∴四邊形的面積=，∴當PQ最大時，四邊形的面積最大，設P（x，0），則P（），Q（）,∴，∴四邊形的面積==，∴當時，四邊形的面積最大，此時，點P的坐標為．【點睛】此題考查二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的逆定理，二次函數(shù)的性質，函數(shù)的最值，正確掌握函數(shù)的知識點并應用解決問題是解題的關鍵．13．（2021·新余市第一中學九年級模擬預測）如圖，拋物線過，兩點，點、關于拋物線的對稱軸對稱，過點作直線軸，交軸于點．（1）求拋物線的表達式；（2）直接寫出點的坐標，并求出的面積；（3）若點在直線上運動，點在軸上運動，是否存在以點、、為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2），3；（3）點坐標為或或或，見解析．【分析】（1）把把，代入拋物線，求解即可；（2）求得對稱軸為，再根據(jù)點和點關于對稱軸對稱，即可求得點坐標，面積也可求解；（3）分別以點為直角頂點分三類進行討論，利用全等三角形和勾股定理求或的長，即可求解．【詳解】解：（1）把，代入拋物線中，得，解得，所以該拋物線表達式為；（2），拋物線對稱軸為直線，點和點關于對稱軸對稱，點的坐標為，，又，；（3）以點、、為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分三類情況討論：①以點為直角頂點且在軸上方時，如圖，，，在和中，，，，，；②以點為直角頂點且在軸下方時，如圖，作輔助線，構建如圖所示的兩直角三角形：和，同理得，，，，；③以點為直角頂點且在軸左側時，如圖，，，做輔助線，同理得，，，；④以點為直角頂點且在軸右側時，如圖，做輔助線，同理得，，；⑤以為直角頂點時，不能構成滿足條件的等腰直角三角形；綜上可知當為等腰直角三角形時點坐標為或或或．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖像性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質并靈活運用．14．（2021·河北青縣九年級月考）如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，．（1）若直線經過、兩點，求直線和拋物的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求出點的坐標；（3）點為上一動點，過作軸垂線交拋物線于點（點在第二象限），求線段長度最大值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先把點A，C的坐標分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關系式，再根據(jù)拋物線的對稱軸方程可得a和b的關系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點的坐標代入直線，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；（2）設直線BC與對稱軸的交點為M，此時MA+MC的值最小．把代入直線得的值，即可求出點M坐標；（3）根據(jù)題意，設則，進而根據(jù)的長度列出函數(shù)關系式，根據(jù)配方法即可求得的最大值．【詳解】解：（1）由題意得：，解得，∴拋物線解析式為：，∵對稱軸為，且拋物線經過點、，∴點坐標為，∴把、分別代入中，得，解得，∴直線的解析式為；（2）如圖，∵點，在拋物線對稱軸的兩側，∴、關于對稱軸對稱，∵，∴，由兩點之間線段最短，所以使最小的點M在線段上，即為直線與對稱軸的交點．∵直線的解析式為，∴當時，，∴；（3）點為上一動點，直線的解析式為，拋物線解析式為：設則點在第二象限,由圖象可知線段長度最大值．【點睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、利用軸對稱性質確定線段的最小長度，掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．15．（2021·重慶實驗外國語學校九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A、B，交y軸于點C．（1）求的面積；（2）D為拋物線的頂點，連接，點P為拋物線上點C、D之間一點，連接，，過點P作交直線于點M，連接，求四邊形面積的最大值以及此時P點的坐標：（3）將拋物線沿射線方向平移個單位后得到新的拋物線），新拋物線與原拋物線的交點為E，在原拋物線上是否存在點Q，使得以B，E，Q為頂點的三角形為直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標：若不存在，請說明理由．【答案】（1）3；（2）最大，；（3）存在，或或或【分析】（1）求出點A、B、C的坐標，即可求出AB、OC的長度，從而求出△ABC面積；（2）設CD與x軸交于F，連接BP、過P作y軸平行線，交CD于G，交BD延長線于H，先求出S△BCD=，設P（t，），則G（t，?t+2），H（t，t?3），求出S四邊形CPDB，由PM∥BD，得S△MDB=S△PDB，從而S四邊形CPDM，當t=2時，S四邊形CPDM最大=4，此時P（2，1）；（3）由OC=2，OB=4，可得BC=，拋物線沿射線BC方向平移，即向左平移6個單位，向上平移3個單位，可求出新拋物線，然后可以求出點E，設Q（m，），則BE2=50，BQ2=（m4）2+（）2，EQ2=（m+1）2+（）2，直角三角形按直角分類，利用勾股定理逆定理列方程即可求出點Q坐標．【詳解】解：（1）當時，，∴當時，，解得：，，∴，；（2）設CD與x軸交于F，連接BP、過P作y軸平行線，交CD于G，交BD延長線于H，如圖：

∵，∴頂點D（，），∵C（0，2），B（4，0），∴直線CD解析式為，直線BD解析式為，在中，令y=0得x=，∴F（，0），∴BF=，∴S△BCD=BF?|yC-yD|=××（2+）=，設P（t，），則G（t，?），H（t，），∴GP=，PH=∴S△CPD=GP?|xD-xC|=××()＝；S△PDB=PH?|xB-xD|=××()=；∴S四邊形CPDB=S△CPD+S△BCD=，∵PM//BD，∴S△MDB=S△PDB，∴S△MDB=，∴S四邊形CPDM=S四邊形CPDB-S△MDB=（）（）=t2+4t=（t2）2+4，∴當t=2時，S四邊形CPDM最大=4，此時P（2，1）；（3）存在，理由如下：∵OC=2，OB=4，∴BC=，拋物線沿射線BC方向平移，相當于拋物線向左平移6個單位，向上平移3個單位，∵，∴新拋物線解析式為：，

聯(lián)立解析式得：解得：，∴交點E（-1，5），設Q（m，），則BE2=50，BQ2=（m-4）2+（）2，EQ2=（m+1）2+（）2，①當BQ為斜邊，即∠QEB=90°時，如圖：∵BE2+EQ2=BQ2，∴50+（m+1）2+（）2=（m-4）2+（）2，∴50+（m+1）2-（m-4）2=（）2-（）2，∴50+10m-15=（m2-5m-1）×5，解得：m=8或m=-1（舍去），∴Q（8，14）；②BE為斜邊，即∠BQE=90°時，如圖：∵QE2+BQ2=BE2，∴（m-4）2+（）2+（m+1）2+（）2=50，∴（m+1）（m-4）（m-2）（m-5）=0，解得：m=-1（與E重合，舍去）或m=4（與B重合，舍去）或m=2或m=5，∴Q（2，-2）或Q（5，2）；③QE為斜邊，即∠QBE=90°，如圖：∵BQ2+BE2=QE2，∴（m-4）2+（）2+50=（m+1）2+（）2，解得：m=3或m=4（與B重合，舍去），∴Q（3，-1），綜上所述：或或或．【點睛】本題考察二次函數(shù)綜合應用，涉及二次函數(shù)圖象中三角形，四邊形面積問題，關鍵在于面積的轉化，以及直角三角形的存在性問題，注意要分類討論，利用勾股定理逆定理來求解，計算過程需要仔細點．16．（2021·北京市九年級月考）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點A(－，0)，B(，0)，C(0，－3)．（1）求拋物線頂點P的坐標；（2）連接BC與拋物線對稱軸交于點D，連接PC．①求證：PCD是等邊三角形．②連接AD，與y軸交于點E，連接AP，在平面直角坐標系中是否存在一點Q，使以Q，C，D為頂點的三角形與ADP全等．若存在，直接寫出點Q坐標，若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，點M是直線BC上任意一點，連接ME，以點E為中心，將線段ME逆時針旋轉60°，得到線段NE，點N的橫坐標是否發(fā)生改變，若不改變，直接寫出點N的橫坐標；若改變，請說明理由．【答案】（1）；（2）①見解析；②存在，或；（3）不改變，N的橫坐標為,理由見解析．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，再用配方法解題；（2）①利用勾股定理求出PC,PD,CD的值，即可求解；②存在，在對稱軸上取一點Q，使得DQ=AD，連接AQ,證明，可解得，再根據(jù)對稱性得到，當點與Q關于A對稱時，，解得；（3）設EN交DM于J，利用全等三角形的性質，