2.4線段、角的對稱性（一~二）（解析版）

2.4線段、角的對稱性（一~二）【推本溯源】1.如圖，直線PQ是線段AB的垂直平分線，PQ與AB交于點O，把OA沿直線PQ翻折，可得OA與OB重合。幾何語言：∵直線PQ是線段AB的垂直平分線∴∠1=∠2=90°，OA=OB因此，線段是軸對稱圖形；它得對稱軸是線段的垂直平分線和它本身所在得直線。2.如圖，線段AB的垂直平分線l交AB于點O，點P是l上任意一點，PA與PB相等嗎？為什么？通過證明，你發(fā)現了什么？用語言描述你得到的結論．科網ZXXK]PA=PB證：∵直線l是線段AB的垂直平分線∴∠1=∠2=90°，OA=OB在▲PAO與▲PBO中∴▲PAO≌▲PBO（SAS）∴PA=PB因此線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等幾何語言：∵直線l是線段AB的垂直平分線，點P是l上一點∴PA=PB（證明定理：SAS）3.如圖，若點Q是線段AB外任意一點，且QA＝QB，那么點Q在線段AB的垂直平分線上嗎？為什么？在。過點Q作AB的垂線交AB與點M，可得∠QMA=∠QMB=90°證：在Rt▲AQM和Rt▲BQM中，∠QMA=∠QMB=90°，∴Rt▲AQM≌Rt▲BQM（HL）∴AM=BM∴點Q在線段AB的垂直平分線上。因此線段垂直平分線的判定定理是到線段兩個端距離相等的點在線段的垂直平分線上．幾何語言：∵QA=QB∴點Q在線段AB的垂直平分線上4.如圖：已知AC=AD，BC=BD，求證：AB垂直平分CD。證明：∵AC=AD，BC=BD∴點A、B是線段CD垂直平分線上的點∴AB垂直平分CD5.你用尺規(guī)畫出任一條線段的垂直平分線嗎？作法：1.分別以A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C、D。2.過C、D兩點作直線。直線CD就是線段AB的垂直平分線。6.在直線AB外任取一點C，用該方法作出線段BC、AC的垂直平分線，你會發(fā)現什么？三角形三邊的垂直平分線交于一點.這一點到三角形三個頂點的距離相等【解惑】例1：如圖，在中，，線段的垂直平分線交于點，的周長是，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據線段垂直平分線的性質可得，再根據三角形的周長公式即可得．【詳解】解：是線段的垂直平分線，，，，的周長是，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題關鍵．例2：如圖，是的角平分線，、分別是和的高，求證：垂直平分．【答案】見解析【分析】利用角平分線的性質證得，再由全等證得，即可證得垂直平分．【詳解】證明：設、的交點為K，平分，，，，，在和中，，（HL），，是線段的垂直平分線．【點睛】本題考查了角平分線的性質，全等的性質和判定，垂直平分線的判定，解決本題的關鍵是熟練掌握相關的幾何定理．例3：如圖：在中，點是的中點，點，分別在，邊上，且．

(1)猜想：（填上“”、“”或“”）；(2)證明你的猜想．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據圖形直接作答即可；（2）如圖，延長至，使，連接，．證明，推出，得出垂直平分，可得，然后根據三角形的三邊關系和線段間的代換即可證得結論．【詳解】（1）猜想：；故答案為：；（2）證明：如圖，延長至，使，連接，．點是的中點，．在和中，．．，∴垂直平分，．，，組成了一個三角形，，又，，．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、三角形的三邊關系以及線段垂直平分線的性質，正確添加輔助線，證明三角形全等是解題的關鍵．例4：到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的（

）A．三條高的交點 B．三條角平分線的交點C．三條中線的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點【答案】D【分析】根據線段垂直平分線的判定定理解答．【詳解】解：到三角形的一邊的兩端點距離相等的點在這邊的垂直平分線上，到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，故選：D．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的判定定理，掌握到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上是解題的關鍵．例5：已知：兩條相交公路與形成的區(qū)域內部有兩個居民小區(qū)，可近似的看作點D與點E．為了給居民提供便利，社區(qū)要在內部區(qū)域內選擇一處地址修建快遞柜，使選址點P到兩個居民區(qū)和兩條公路距離均相等．請用尺規(guī)作圖法作出點P的位圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．【答案】見解析【分析】分別作出線段的垂直平分線，的角平分線即可．【詳解】解：如圖，點即為所求．【點睛】本題考查作圖應用與設計作圖，角平分線的性質，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【摩拳擦掌】1．（2023春·廣東河源·八年級校聯考期中）到三角形各頂點距離相等的點是三角形三條（

）A．中線的交點B．三邊垂直平分線的交點C．角平分線的交點 D．高線的交點【答案】B【分析】根據到線段兩端點距離相等的點在線段的中垂線上，即可得出結論．【詳解】解：∵到線段兩端點距離相等的點在線段的中垂線上，∴到三角形各頂點距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點；故選B．【點睛】本題考查中垂線的判定．熟練掌握到線段兩端點距離相等的點在線段的中垂線上，是解題的關鍵．2．（2023·河北保定·校考模擬預測）如圖，在中，，點D為上一點．甲、乙兩人按圖中的作法，都得到了全等．下列判斷錯誤的是（

）

甲通過作的垂直平分線得到點P、Q乙通過過點D作的平行線得到點P、Q甲證明全等的依據是 乙證明全等的依據是【答案】D【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到，，則根據“”可判斷，根據平行線的性質得到，，在根據“”得到．【詳解】解：由圖可知，甲通過作的垂直平分線得到點P、Q，則，，又∵，∴．故A、C正確；由圖可知，乙通過過點D作的平行線得到點P、Q，∵，，∴，，又∵∴．故B正確，D錯誤．故答案選D．【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質、平行線的性質、全等三角形的判定等知識，其中掌握基本的作圖方法，并能理解作圖所使用的原理是解決本題的關鍵．3.（2022秋·廣東河源·八年級?？计谀┤鐖D，是中邊上的垂直平分線，如果，，則的周長為（

）A．16cm B．18cm C．26cm D．28cm【答案】B【分析】根據線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等，得到，從而得到的周長等于．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∵的周長等于，，，∴的周長等于cm，故選：B．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．4．（2023春·北京西城·八年級北京市第一六一中學?？奸_學考試）如圖，中，是的垂直平分線，cm，的周長為13cm，的周長為______cm．

【答案】19【分析】根據線段垂直平分線的性質可得cm，，然后根據三角形的周長公式結合線段的代換求解即可．【詳解】解：∵是的垂直平分線，cm，∴cm，，∵的周長為13cm，∴cm，∴的周長為cm；故答案為：19．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，屬于?？碱}型，熟知線段垂直平分線上的點到一條線段兩個端點的距離相等是解題的關鍵．5．（2021春·廣東清遠·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點，，，則的周長為______．

【答案】【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到，然后利用等線段代換得到的周長為．【詳解】∵的垂直平分線交于點，∴，∴的周長為，故答案為：．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．6．（2022秋·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，線段CD與線段BE互相垂直平分，，，則______．【答案】72°【分析】利用線段互相垂直平分，結合余角定義，對該題進行求解即可．【詳解】解：∵線段CD與線段BE互相垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∵線段CD與線段BE互相垂直平分，∴AC=AD，∴，∴．故答案為：72°．【點睛】本題主要考查的是線段垂直平分線的應用，以及簡單的角度計算，掌握基本性質是解題的關鍵．7．（2023春·安徽宿州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知甲工廠靠近公路a，乙工廠靠近公路b，為了發(fā)展經濟，甲、乙兩工廠準備合建一個倉庫，經協(xié)商，倉庫必須滿足以下兩個要求：①到兩工廠的距離相等；②在內，且到兩條公路的距離相等．你能幫忙確定倉庫的位置嗎？（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】連接，作線段的垂直平分線，作角的平分線，則與的交點F就是倉庫的位置．【詳解】解：如圖，點F為倉庫的位置．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作線段的垂直平分線和角平分線，線段垂直平分線的性質和角平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握尺規(guī)作線段垂直平分線和角平分線的一般步驟．8．（2023·廣東汕頭·校聯考一模）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，交于點P，交于點Q．（要求：先用鉛筆作圖，再用黑色筆把它涂黑，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接，，，求的周長．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）按照作線段垂直平分線的作法進行即可；（2）由線段垂直平分線的性質可得，則的周長為，即可求得結果．【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求作．

（2）解：垂直平分線段，，的周長為，，，的周長為．【點睛】本題考查了作圖：作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質定理，掌握這些知識是關鍵．9．（2023秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線交于點．(1)求證：；(2)求證：點在線段的垂直平分線上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據垂直平分線的性質直接可得到答案；（2）根據到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上即可得到答案；【詳解】（1）證明：∵邊、的垂直平分線交于點，∴，，∴；（2）證明：∵邊，的垂直平分線交于點，∴，，∴，點在的垂直平分線上．【點睛】本題考查垂直平分線的性質及判定，解題的關鍵是熟練掌握垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等及到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上．【知不足】1．（2023秋·八年級課時練習）如圖，已知，，有下列結論：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正確的結論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有①【答案】B【分析】先證明得到，，，即可判斷①②③；根據現有條件無法證明④．【詳解】解：∵，，，∴，∴，，，∴平分，平分，故①正確，②正確；∵，，∴是線段的垂直平分線，∴平分，故③正確；根據現有條件無法證明，即無法證明平分，故④錯誤；故選B．【點睛】此題主要考查線段的垂直平分線的性質，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質等幾何知識，熟知全等三角形的性質與判定定理，線段的垂直平分線的判定定理是解題的關鍵．2．（2021秋·廣東汕尾·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，的平分線與邊的垂直平分線相交于點，交的延長線于點，于點，現有以下結論：①；②；③平分；④；其中正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．1個【答案】B【分析】①由角平分線的性質即可證明；②由題意可知，可得，，從而可以證明；③假設平分，則，可推出，條件不足，故錯誤；④連接，證明，，得出，，即可證明．【詳解】如圖所示，連接，

∵平分，，，∴．故①正確；∵，平分，∴．∵，∴．∴．同理，∴．故②正確；∵，∴．假設平分，則，∴．∵，∴．∴．又∵的度數是未知的，∴不能判定平分．故③錯誤；∵是的垂直平分線，∴．在和中，，∴．∴．在和中，，∴．∴，∴．故④正確；故選B．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．3．（2023春·全國·八年級期中）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，則△BCD的周長是________cm．【答案】17【分析】根據DE垂直平分線AB，得，進而求△BCD的周長；【詳解】解：∵DE垂直平分線AB，∴，∵AC=10cm，BC=7cm，∴△BCD的周長為：cm；故答案為：17．【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．4．（2022秋·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，若，過點A作于點D，在上取一點，使，則＝______．【答案】/20度【分析】根據直角三角形的性質可求，根據垂直平分線的性質可求，再根據三角形外角的性質即可求解．【詳解】解：在中，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題綜合考查了等腰三角形的性質和判定，關鍵在于利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和計算未知角．5．（2023春·浙江臺州·九年級臺州市書生中學?？计谥校┤鐖D中，，請依據尺規(guī)作圖的作圖痕跡計算_____．【答案】/83度【分析】先根據三角形內角和定理求出，由作法可知，是的平分線，得到，由作法可知，是的平分線，得到，再由三角形外角定理即可得出結果．【詳解】解：∵，，∴．由作法可知，是的平分線，∴，由作法可知，是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，．故答案為：．【點睛】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知角平分線及線段垂直平分線的作法是解答此題的關鍵．6．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，有三幢公寓樓分別建在點A、點B、點C處，是連接三幢公寓樓的三條道路，要修建一超市P，按照設計要求，超市要在的內部，且到A、C的距離必須相等，到兩條道路的距離也必須相等，請利用尺規(guī)作圖確定超市P的位置．（不要求寫出作法、證明，但要保留作圖痕跡）．【答案】見解析【分析】作線段的垂直平分線和的角平分線，則其交點即為點P．【詳解】解：如圖，P點即為所作．【點睛】本題考查作圖—線段的垂直平分線，作圖—角平分線．掌握基本作圖方法是解題關鍵．7．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖，已知，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）．

(1)如圖1，在邊上確定一點，使得；(2)如圖2，在正方形中，點為邊上一點，在邊上作出一點，使得的周長為線段的長．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作的垂直平分線交于點，則點即為所求；（2）以為圓心，為半徑作出交于點，作的垂直平分線，交于點，則即為所求【詳解】（1）如圖所示，作的垂直平分線交于點，則點即為所求；

∵，∴；（2）：如圖所示，以為圓心，為半徑作出交于點，作的垂直平分線，交于點，則即為所求

以為圓心，為半徑作出交于點，∴，作的垂直平分線，交于點，則即為所求∴∴的周長為【點睛】本題考查了作垂直平分線，垂直平分線的性質，熟練掌握垂直平分線的性質是解題的關鍵．8．（2022秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）某數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖，在中，，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，請補充完整證明“”的推理過程．(1)求證：證明：延長到點E，使在和中∵（已作）（對頂角相等）____________（中點定義）∴（____________）(2)由（1）的結論，根據與之間的關系，探究得出的取值范圍是____________；【感悟】解題時，條件中若出現“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．(3)【問題解決】如下圖，中，，，是的邊上的中線，，，且，求的長．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由“”可證；（2）由全等三角形的性質可得，由三角形的三邊關系可求解；（3）由“”可證，則，可求，根據線段垂直平分線的性質可得的長．【詳解】（1）證明：延長到點E，使在和中，∵（已作），（對頂角相等），（中點定義），∴，故答案為：，；（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，故答案為：；（3）解：如圖3，延長交于點F，∵，∴，∴，∵是中線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴．【點睛】本題是三角形的綜合題和倍長中線問題，考查的是全等三角形的判定和性質、三角形的三邊關系等知識，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵，并運用類比的方法解決問題．【一覽眾山小】1．（2023春·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期中）如圖，等腰的底邊的長為6，面積是18，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F點．若點D為邊的中點，點M為線段上一動點，則的周長的最小值為（

）

A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】連接，，先求出，是線段的垂直平分線，求出，的長為的最小值，即可求出周長最小值．【詳解】如圖，連接，．∵是等腰三角形，點D是邊的中點，∴，∴，解得．∵是線段的垂直平分線，∴點A關于直線的對稱點為點C，，∴，∴的長為的最小值，∴的周長．

故選：C．【點睛】此題考查了將軍飲馬問題，解題的關鍵是做輔助線確定．2．（2023春·八年級課時練習）如圖，在中，D為中點，作交于E，交于F，連接，，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】延長到M，使，連接，利用證明，得到，再根據三線合一的逆定理得出，最后根據三角形三邊關系即可得解．【詳解】解：延長到M，使，連接，∵D為中點，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，作出合理的輔助線并根據SAS證明是解題的關鍵．3．（2023·黑龍江牡丹江·?？寄M預測）在中，，，點到的距離是，到的距離是，則等于__________【答案】2或10【分析】根據可判斷點都在的垂直平分線上，然后分兩種情況討論：①當點在的內部時，②當點O在的外部時，分別計算即可．【詳解】解：∵，∴點都在的垂直平分線上，由題意知，分兩種情況：①當點在的內部時，；②當點O在的外部時，；故答案為：2或10．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的基本性質．解本題的關鍵在于分類討論．4．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，點為的平分線上一點，過任作一直線分別與的兩邊交于，兩點，為中點，過作的垂線交于點，，則____．【答案】．【分析】過D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，根據角平分線性質求出DE＝DF，根據線段垂直平分線性質求出BD＝CD，證Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF＝50°，由四邊形內角和定理即可得出答案．【詳解】解：如圖：過作于，于，則，平分，，為中點，，，在和中，，，，．，；故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，角平分線性質，線段垂直平分線性質的應用，能正確作出輔助線，證明三角形全等是解此題的關鍵．5．（2023春·七年級單元測試）如圖所示，是的角平分線，分別是和的高，則與的關系為_________．【答案】AD垂直平分EF【分析】利用角平分線的性質證得，再證得，最后根據垂直平分線的判定定理可得垂直平分．【詳解】證明：設、的交點為K，平分，，，，，在和中，，，，AD垂直平分EF．故答案為AD垂直平分EF．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質、全等三角形的性質和判定、垂直平分線的判定等知識點，掌握到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上是解答本題的關鍵．6．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，已知，P為邊上一點，請用尺規(guī)作圖的方法在邊上求作一點E，使得的周長等于（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】連接，作的垂直平分線，交于點E即可．【詳解】如圖所示，點E即為所求作的點．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，解題的關鍵是利用垂直平分線的性質，用尺規(guī)作出的垂直平分線．7．（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖，兩公路與相交于點O，兩公路內側有兩工廠C和D，現要修建一貨站使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】只要作出的角平分線和線段的垂直平分線，兩線的交點即為所求．【詳解】解：如圖所示：點P即為所求．【點睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線和線段的垂直平分線以及兩者的性質，正確理解題意、熟練掌握基本作圖方法是關鍵．8．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，的垂直平分線交于點，交于點，與相交于點，的周長為．請你解答下列問題：(1)求的長；(2)試判斷點是否在邊的垂直平分線上，并說明理由．【答案】(1)(2)點在邊的垂直平分線上，理由見解析【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質得到，同理，于是得到結論；（2）連接，，，根據線段垂直平分線的性質與判定即可得到結論．【詳解】（1）垂直平分，，同理，；（2）點在邊的垂直平分線上，理由：連接，，，與是，的垂直平分線，，，，點在邊的垂直平分線上．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．9．（2022秋·河北秦皇島·八年級校聯考階段練習）如圖，平分的外角，于點D，于點E，．(1)求證：點P在線段的垂直平分線上；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖，連接，，，再證明（SAS），可得，從而可得結論；（2）證明，可得，結合，利用，從而可得結論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵平分，，∴，在和中，，∴，∴，∴點P在線段的垂直平分線上．（2）證明：∵平分，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，即．【點睛】本題考查的是角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，線段的垂直平分線的判定，作出合適的輔助線證明三角形全等是解本題的關鍵．10．（2022秋·湖南株洲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，為的中點，連接、，，延長交的延長線于點F.(1)求證：；(2)求證：；(3)若四邊形的面積為32，，求點E到邊的距離.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)4【分析】(1)首先根據可知，再根據點為的中點，可證得，根據全等三角形的性質即可得證；(2)結合全等三角形的性質可知是線段的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質可證得，再由線段的和差以及等量代換即可得證；(3)首先根據全等三角形的性質及線段垂直平分線的性質，可得，，，再根據，即可求得，據此即可求得．【詳解】（1）證明：，，又點為的中點，，在和中，，；（2）證明：，，，又，是線段的垂直平分線，，即；（3）解：，，是線段的垂直平分線，，，即，設點E到邊的距離為h，則，解得，即點E到邊的距離為4．【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質與判定，等腰三角形的性質，垂直平分線的性質，關鍵是證明三角形全等．11．（2023春·山東濟南·八年級校考期中）如圖，，點為的中點，平分，過點作，垂足為，連結、．(1)求證：是的平分線．(2)求證：線段垂直平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先利用證出，得到，再利用證出，得到，即可證明結論；（2）由（1）知，得到，，再利用證出，得到，，即可證明結論．【詳解】（1）∵平分，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∵是的中點，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∴是的平分線；（2）如圖，由（1）知，∴，，在和中，∵，∴，∴，，∴線段垂直平分．【點睛】本題考查了全等三角形的綜合，熟練掌握角平分線的性質與判定，全等三角形的性質與判定，垂直平分線的判定是解題的關鍵．12．（2022春·七年級單元測試）如圖，在中，點D在邊上，，垂足分別為E，F．(1)如圖①請你添加一個條件，使，你添加的條件是______，并證明；(2)如圖②，為的平分線，當有一點G從點D向點A運動時，，垂足分別為E，F，這時，是否垂直于？(3)如圖③，為的平分線，當點G在線段的延長線上運動時，其他條件不變，這時，是否垂直于？【答案】(1)答案不唯一，如平分，證明見解析；(2)；(3)．【分析】（1）添加平分，依據證明，可得即可得垂直于，從而可得結論；（2）（3）方法同（1）證明即可得出結論．【詳解】（1）解：答案不唯一，如平分，證明如下：∵平分，∴，∵∴又，∴，∴∴垂直于