2021年河南省洛陽市孟津某中學高考數(shù)學調(diào)研試卷（理科）（4月份）（解析版）

2021年河南省洛陽市孟津第一高級中學高考數(shù)學調(diào)研試卷(理

科)(4月份)

一、選擇題(共12小題，每小題5分，共60分).

1.已知集合A={y|y=2"，底N},B={x|x<10},則AAB=()

A.{2,4,8}B.{1,2,4,8}C.{2,4,6,8)D.(1,2,4,6,8}

2.i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足：^-=l-i，則^=()

1

A.1-iB.1+zC.-1+ZD.-1-z

3.等差數(shù)列｛小｝中，43=1，57=14,則〃7=()

A.13B.7C.5D.3

4.執(zhí)行如圖框圖程序，輸出"=()

A.1B.2C.3D.4

返

5.已知：ag)2,b=lo^22,c=log3%則a,h,c的大小關(guān)系是()

A.a<h<cB.h<a<cC.h<c<aD.c<h<a

6.已知：函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則y=/(x)可以是()

B.f(X)="sinH_〃n#

C.f(x)=sin(nx-it)D.f(x)=cos(TTX-TT)

7.大約于東漢初年成書的我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，“開立圓術(shù)”日：置積尺數(shù)，

以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術(shù)”實際是知道了球的體

積匕利用球的體積，求其直徑d的一個近似值的公式d=，緡，而我們知道，若球的

半徑r,則球的體積丫卷?！?,則在上述公式d=，和中，相當于TT的取值為()

A.3B.—C.—D.—

789

8.一次乒乓球比賽中，采用5局3勝制，誰先勝3局誰贏，甲、乙在比賽中相遇，比賽前

由抽簽決定第一局由甲先發(fā)球，第二局由乙先發(fā)球，每局的先發(fā)球者必須交替進行，甲

先發(fā)球局，甲獲勝的概率為g,乙先發(fā)球局，甲獲勝的概率為《，則甲3：。獲勝的概率

為()

A.—B.—C.—D.—

883264

9.偶函數(shù)f(外關(guān)于點(1,0)對稱，且當在［0,1］時，則/(2019)+f

3

(2020)V(2021)=()

A.0B.2C.4D.6

22_

10.雙曲線七-七1Q>O,b>0)的左、右頂點分別為A、B,過A且斜率為我的直線

/與漸近線交于第一象限的N點，與y軸交于M點，若M點為AN點中點，則雙曲線的

離心率為()

A.&B.bC.2D.3

11.已知3>0且為正數(shù)，且|。|<—函數(shù)/(X)=2sin(3X+<P)+1的圖象如圖所示,

A、C,D是f(x)的圖象與y=l相鄰的三個交點，與x軸交于相鄰的兩個交點。、B,

若在區(qū)間(a,b)上，/(%)有2020個零點，則。的最大值為()

3034兀3032兀

A.2020TTD.1012n

3"I-

-k^--k,x>0

12.關(guān)于x的函數(shù)f(x)=,有4個零點，則實數(shù)Z的取值范圍為(

f(l-x)+k-6,x40

A.(5,9)B.[5,9]C.(4,9)D.[4,9]

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.點(1，m2)在拋物線尸如2(〃*0)上，則拋物線焦點為.

14.向量a=(-2,1)>b=(-2,6)?c=(m,-3)>b//c?則|a-c尸-

15.數(shù)列{%}和wwkrupd滿足。1=。2=-2,a?+2=an+\-a,?an+b,,e{1,2,7},Z??G{1,4,5},

貝|JCb\-a\)+(岳-。2)+'…+岳021-H2021=.

JT

16.四面體PA3C中，ZABC=—，尸AJ_平面ABC,PA=AB=BC=\,O是平面ABC上異

于AC的動點，且而2=正.而，設三棱錐P-AB。的外接球的體積為匕PC與8。所

成角為a,8與平面幺。所成角為仇在以下結(jié)論中，①/是定值：②丫是變化的但有

最大值；③a是定值；④0是定值；正確的結(jié)論序號為.

三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明，證明過程和解題步驟。第17-21題為必考題,

第22、23題為選考題.(一)、必考題：共60分

17.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2acosA=bcosC+ccosB.

(1)求A；

(2)若M是BC的中點，頌"!工，b=2&，求△ABC的面積.

18.如圖，正四面體ABC。中，0是頂點A在底面內(nèi)的射影，E是A0中點，平面BDE與

棱AC交于M.

(1)求證：平面OEC_L平面BMD；

(2)求二面角C的余弦值.

19.某印刷廠，印刷任務是由印張數(shù)來衡量(印張數(shù)單位：千張)，印刷任務在180-240

千張的任務，由甲、乙兩種印刷機器來完成，當任務的印張數(shù)不大于210千張時，由甲

種印刷機器來完成，當任務的印張數(shù)大于210千張時，由乙種印刷機器來完成，資料顯

示1000個印刷任務的印張數(shù)的頻率分布直方圖如右圖，現(xiàn)有4個印刷任務，印張數(shù)還未

知，只知道印張數(shù)在180-240千張的任務，以印張數(shù)中的頻率作為概率.

(1)求這4個印刷任務中恰有2個是由甲種印刷機器來完成概率；

(2)求這4個印刷任務中，由乙種印刷機器來完成的多于由甲種印刷機器來完成的概率；

(3)用X,丫分別表示這4個印刷任務中由甲、乙兩個印刷機器來完成的個數(shù)，記S=|X

-Y\,求隨機變量：的分布列與數(shù)學期望房.

20.Fi、尸2分別為橢圓C：￥+^l(a>b>0)的左、右焦點，過Fi的動直線/與橢圓

C交于A,B,當B與上頂點(0,h)重合時，/的傾斜角為60。，ZiABF2的周長為8.

(1)求橢圓C的方程；

(2)4是A關(guān)于x軸的對稱點，且尸求直線/的方程.

21.函數(shù)f(x)=21n(x+2)T+x-2(x〉-2).

x+2

(1)討論/(x)的極值點的個數(shù)；

(2)設g(x)=exf(x),若g(x)》互恒成立，求。的取值范圍.

e

(二)、選考題：共10分.請考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計分.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知傾角為a的直線/的極坐標

方程為psin(0-a)=-sina(0Wa<n),圓C的參數(shù)方程為!(<p是參

ly=2+2sinQ

數(shù)).

(I)求直線/的普通方程；

(2)若直線/與圓C相交于M、N兩點，且|MN|=2J2求a的值.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知a>0,b>0,a2+b2=8.

(1)求證：a+bW4；

(2)求證：,^料.

Vab

參考答案

一、選擇題(共12小題，每小題5分，共60分).

1.已知集合4=作仗=2',xGN},B={x|x<10},則ACB=()

A.{2,4,8}B.{1,2,4,8}C.{2,4,6,8}D.{1,2,4,6,8)

解：由題意，A—{y\y—2x,xeN}={l,2,22,???},B={x|r<10},

故ACB={1,2,22,■?}n{x|x<10}={l,2,4,8),

故選：B.

2.i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足：幣=bi，則^=()

1

A.1-iB.1+zC.-1+iD.-1-z

解：由m=l-i，得z=i(1-i)=l+i,

1

故選：A.

3.等差數(shù)列｛斯｝中，。3=1，57=14,則07=()

A.13B.7C.5D.3

解：根據(jù)題意，設等差數(shù)列｛斯｝的公差為"，

a1+2d=l/_-

1ai=~1

若的=1,57=14,則有＜42d，解可得〈

7ali^—=14d=l

故〃7=〃i+6d=5；

故選：C.

4.執(zhí)行如圖框圖程序，輸出〃=()

A.1B.2C.3D.4

解：模擬程序的運行，可得:

〃=3,$=]=2,即輸出的”的值為3.

13

故選：C.

近1

5.已知：&=(1?)2，b=loc=log34,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

返

<2J

,b=log2y^0<(-j-)=a

.\b<a,

??亞

2,

*a=(y)<(y)°=l=log33<log34=c

.\a<c9故Z?VaVc.

故選：B.

6.已知：函數(shù)y=/(幻的圖象如圖所示，則y=/(x)可以是()

B.f(x)—esin"r-

C.f（x）=sin（nx-n）D.f(x)—cos(TTX-n)

解：根據(jù)題意，用排除法分析:

對于B,f(x)=erin“x-esM,在區(qū)間(0,1)上，sinTtx>0,

則有3nm>1,必有/(X)=e-sin1t—sin1tx<0,不符合題意；

對于C,f(x)=sin(nx-n),則/(x)="sirnrr.

在區(qū)間(0,1)上，/(x)<0,不符合題意；

對于D,f(x)=cos(nx-TT)=cosnx,是偶函數(shù)，不符合題意;

故選：A.

7.大約于東漢初年成書的我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，“開立圓術(shù)”日：置積尺數(shù),

以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術(shù)”實際是知道了球的體

積匕利用球的體積，求其直徑d的一個近似值的公式（1=惜口而我們知道，若球的

半徑「，則球的體積兀lA則在上述公式中，相當于n的取值為（）

22027D.西

789

3-1^r3.比較右!兀=3,相當于n的取值為專.

0oo

8.一次乒乓球比賽中，采用5局3勝制，誰先勝3局誰贏，甲、乙在比賽中相遇，比賽前

由抽簽決定第一局由甲先發(fā)球，第二局由乙先發(fā)球，每局的先發(fā)球者必須交替進行，甲

先發(fā)球局，甲獲勝的概率為g,乙先發(fā)球局，甲獲勝的概率為《，則甲3：0獲勝的概率

42

為（）

解：根據(jù)題意，甲3：0獲勝，即甲連贏即前三局,

第一局、第三局，甲先發(fā)球，甲獲勝的概率都是今，第二局，乙先發(fā)球，甲獲勝的概率

4

為"

則甲3：0獲勝的概率為g《與二京?；

42432

故選：C.

9.偶函數(shù)/(x)關(guān)于點(1,0)對稱，且當xe[0,1]時，f(x)=一號-1,則f(2019)+f

3

(2020)+f(2021)=()

A.0B.2C.4D.6

解：根據(jù)題意，偶函數(shù)/(x)關(guān)于點(1,0)對稱，貝廳(7)=/(x)月J(2-x)=

-f(x)，

則有/(2-x)=-/(-x),變形可得/(x+4)=-/(x+2)=f(x),

即/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

又由當xe[0,1]時，

3X1

則/(2020)=/(0)=2,/(2021)=/(1)=0,/(2019)=/(3)=f(-I)=f(1)

=0,

則有/(2019)+f(2020)+f(2021)=2；

故選：B.

10.雙曲線與一號l(a>0,b>0)的左、右頂點分別為A、B,過4且斜率為&的直線

/與漸近線交于第一象限的N點，與)，軸交于M點，若M點為AN點中點,則雙曲線的

離心率為()

A.&B.炳C.2D.3

解：由M為AN中點，得BN〃y軸，

可得：N(a,b),

所以kAN=1~=R,

2a

222

所以c-a=Saf

所以e=—=3.

a

故選：。.

7T

11.已知3>o且為正數(shù)，且IQI〈若，函數(shù)/(x)=2sin(air+(p)+1的圖象如圖所示,

A、C,D是f(x)的圖象與y=l相鄰的三個交點，與x軸交于相鄰的兩個交點。、B,

若在區(qū)間(a,b)±,f(%)有2020個零點，則的最大值為()

D.I012H

解：由題意和圖易知，y=l是/(x)的對稱軸,

則IACI為1=，則有|0B|=3〈=今0<3<3,

2333

TT

進而f(o)=2sin(3?0+。)+1=0今。二十，

6

TTTT

又2sin)+1=0=>。=-6或-6Z-4,

36

因為0VSV3,

所以3=2,

貝ijT=R,

相鄰2個零點的距離有兩種弓和耳,

uO

則當b-a為1010個三與1011個等的和時最大為迎空工

333

故選：c.

x上一k,x>0

12.關(guān)于x的函數(shù)X有,4個零點，則實數(shù)k的取值范圍為()

f(l-x)+k-6,x40

A.(5,9)B.[5,9]C.(4,9)D.[4,91

解：當時，1-x21,

**.f(1-x)=1------k,

l-x

kk

/.當xWO時，f(x)=1-尤+.---k+k-6=-x+-----5,

l-x1-X

x-^--k,x>0

x

即/(%)=<

-yk-5,x<0

l-x

k-kk

當x>0時，f(x)=1--7=-；當時、f(x)=―1+w,

X2(1-X)2

①當后WO時,

(/)x>0時1f(x)>0恒成立，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，至多有一個零點,

k

(I)xWO時，f(x)=1+QV0恒成立，f(x)在(-oo0］上單調(diào)遞減，至多

(1-x)2

有一個零點，

所以此時不符合題意，

②當￡>0時，

(J)x>0時，，令/(%)=0得，x=孤，

/.x€(0,五)時，f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；xe(Vk-+8)時，f(x)>0,/(x)

單調(diào)遞增，

/./(x)min—f(-7k)=2?-&V0,；.k>4,

又,.,》一0時，f(x)f+8,Xf+8時，f(x)—+OO,

???x>0時，f(x)有2個零點，

(n)xWO時，令/(x)=0得，x=l-孤W0,

(-8,時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；xe(1-m，0]時，f(x)>0,

f(x)單調(diào)遞增，

?；x>0時，/(x)有2個零點，.?.x<0時，f(x)也應有2個零點,

：.f（0）=k-5>f：.k>5f

且/（x）加〃=/（1-4）=24-6V0,:?k<9,

.\5<k<9,

綜上所述，實數(shù)攵的取值范圍為（5,9）,

故選：A.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.點（［，m2）在拋物線y二的2（小￡0）上，則拋物線焦點為（0，1）.

解：m2=m（-j-）2=>m-1,則拋物線標準方程為f=4y，焦點為（0,1）.

故答案為：（0,1）.

14.向量a=（-2,1），b=（-2,6），c=（m,-3），b//c?則la-cl=—￡—?

解：??響量a=（-2,1），b=（~2,6），c=（m,-3），bIIc、

求得機=1,（1，-3）,［二=（-3,4）,

-26

|a-c|=V（-2-l）2+（l+3）2=5>

故答案為：5.

15.數(shù)列｛斯｝和｛兒｝滿足。1=。2=-2,?！?2=。〃+1-?！?，an+bne｛1f2,7｝,d6｛1,4,5）,

貝!J（從-0）+（bi~。2）+‘,+岳。21-。2021=6739.

解：由〃1=。2=-2,得〃3=。2-。1=0，44=。3-02=2,01=615=2,。6=0,〃7=〃8=-2,

易得：an+6=an,—+6=仇且仇=歷=4,必=1,一=岳=5,%=1,—=瓦=4,

.??。1+。2+?一+。2021=336（。］+。2+,一+。6）+。［+。2+,,?+。5=0，

又，加+岳+?+—021=336（6+岳+?+乩）+歷+慶++慶=336X20+19=6739,

/."1-。1）+（岳-。2）+,,1+/?2021-42021=6739.

故答案為：6739.

JT

16.四面體尸A8C中，NABC=5,PA_L平面ABC,PA=AB=BC=1,。是平面A8C上異

于AC的動點，且而2=正.正，設三棱錐P-A3。的外接球的體積為匕PC與瓦）所

成角為a,CD與平面粗。所成角為由在以下結(jié)論中，①V是定值；②V是變化的但有

最大值；③a是定值；④0是定值；正確的結(jié)論序號為①④.

解：由而2=豆，前今前?（筱+而）=而?而=O=AD1CD，

K

又NABC=F，則D在△ABC的外接圓上，

，三棱錐P-ABD的外接球是四棱錐P-ABCD的外接球，

外接球直徑d=JpA2+AB2+BC2=正定值，故①對，②錯；

因為P4L平面ABC,PAu平面PAC,

所以平面PAC_L平面ABC,又平面PACC平面ABC=AC,

JT

當8CJ_AC時，BO_L平面PAC,所以BO_LPC,即PC與8。所成的角a=-^-

當。在△ABC的外接圓上運動時，PC與80所成的角a是變化的，故③錯：

因為PAJL平面ABC,CDu平面ABC,可得尸AJ_CZ）,

又A￡>J_CO,PADAD=A,所以COJ_平面PA。，

TT

所以CO與平面PAO所成的角。=彳，為定值，故④對，

故答案為：①④*

三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明，證明過程和解題步驟。第17-21題為必考題,

第22、23題為選考題.（一）、必考題：共60分

17./XABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2acosA=8cosC+ccosB.

(1)求A；

(2)若M是8c的中點，加叵,b=2&，求△ABC的面積.

解：(1)由2acosA=bcosC+ccos3得2sirt4cosA=sin3cosC+sinCcos8,

即2sinAcosA=sin(B+C)=sinA,

1TT

所以cos4=x，即A=f；

23

(2)如圖，延長AM到。使AM=QM,

則四邊形ABDC是平行四邊形，

：.DB=b,AD=Vl4-ZABD=-^->

o

則AD2=e+BD2-2cBDcosZABD,

即8+<?+2歷=14,

18.如圖，正四面體ABC。中，。是頂點A在底面內(nèi)的射影，E是A0中點，平面BDE與

棱AC交于M.

（1）求證：平面。EC,平面BMZ）；

（2）求二面角D-BM-C的余弦值.

【解答】（1）證明：延長C。與8。交于N,設正四面體A8C。的棱長為小

則CN_LBD,CN=CD-sin600坐a，CO-yCN^a-

OO

所以A0=VAC2-C02=^a2-(^y-a)=華a，

又。為正三角形8c。的中心,

貝ijOC=OB=OD,

^WEB=EC=ED=VcO2-K)E2=^CO2+(-y^-=^(-y-a)+(*a)

由勾股定理可得，CE+DE?=c?=。層+B￡2=DB?=BE^+CE2=8(?=a2,

故“，DE,BE兩兩垂直，

又DE,BEu平面8M￡),DECBE=E,

所以平面BMD,

因為CEu平面OEC,

故平面。匹C_L平面BMD；

（2）解：取0為坐標原點，麗、0N＞瓦方向為冗、y、z軸的正方向，建立空間直角坐

標系O-xyz,如圖所示,

則A(0,0,夸■&)，B(蔣a,-^-a0),E(0,0,-^-a)?

0)，C(O,

設平面A8C的法向量為m=（x,y,z）,

fm-AB-0蔣ax"?^ay^^2=0

則E竺9即63,

m-AC=0V3V6

-ay—az-0

令z=-l,則、=（粕，&,-1），

由（1）可知，平面BOM的一個法向量是量=（0,室a,但a），

36

不妨取”=6,可得而=（0,2^3＞娓），

-?\__CEjn___0+2V6-V6V3

則cos<CE>m|CEHm|=3-3V2=V)

因為二面角D-BM-C的平面角為銳角,

故二面角D-BM-C的余弦值為府.

9

19.某印刷廠，印刷任務是由印張數(shù)來衡量(印張數(shù)單位：千張)，印刷任務在180-240

千張的任務，由甲、乙兩種印刷機器來完成，當任務的印張數(shù)不大于210千張時，由甲

種印刷機器來完成，當任務的印張數(shù)大于210千張時，由乙種印刷機器來完成，資料顯

示1000個印刷任務的印張數(shù)的頻率分布直方圖如右圖，現(xiàn)有4個印刷任務，印張數(shù)還未

知，只知道印張數(shù)在180-240千張的任務，以印張數(shù)中的頻率作為概率.

(1)求這4個印刷任務中恰有2個是由甲種印刷機器來完成概率；

(2)求這4個印刷任務中，由乙種印刷機器來完成的多于由甲種印刷機器來完成的概率；

(3)用X,V分別表示這4個印刷任務中由甲、乙兩個印刷機器來完成的個數(shù)，記t=|X

-Y\,求隨機變量：的分布列與數(shù)學期望￡亭

解：(1)由直方圖知，一個印刷任務由甲種印刷機器來完成的概率為：

0.005X10+0.006X10+0.014X10=0.25)，則由乙種印刷機器來完成的概率為：

4

3_

I

則4個印刷任務中恰有2個是由甲種印刷機器來完成概率為：C：G)2)2晦■.

(2)滿足題意的情況有：4個印刷任務都由乙種印刷機器完成的任務，概率為償尸，

或由乙種印刷機器完成3個任務，而由甲種印刷機器完成1個任務，概率為：

則所求概率為：號尸+小空號嗤.

(3)由題意可得，J=|X-H=O,2,4,

當*=0,概率為:

哈生冶V嗨，

當E=2,概率為:C卜卓3+C卜勺)3魯嗡,

當彳=4,概率為:?+(?盤

故E的分布列為:

工024

P271541

12832128

41_71

故數(shù)學期望Eg=0+2?亶?+4-

128--32

20.Q、B分別為楠圓C：號J^-l(a>b>0)的左、右焦點，過B的動直線/與橢圓

azbz

C交于A,B,當B與上頂點(0,b)重合時，/的傾斜角為60°,ZVIBB的周長為8.

(1)求橢圓C的方程;

(2)A是A關(guān)于x軸的對稱點，且求直線/的方程.

又△ABB的周長=A尸|+8尸|+8尸2+4尸2=(A尸1+AF2)+CBF1+BF2)=2a+2a=4。=8,

得：a=2,b~^3>c—1,

22

所以橢圓C的方程為工_4=

43

(2)設A(xi,yi),B(X2,g),直線/的斜率為鼠

則A(xi,-yi),而乃(1,0),/：y=k(x+1),

由F2AIF2B。取瓦3=0=5-1)(乂2-1)-y1丫2=0，

得：(xj-l)(x2-l)-k2(x|+l)(x2+1)=0>

2-+2+-2

整理得：(l-k)XjX2(lk)(x1+x2)lk=0(*)>

22

將y=%(x+1)代入+_Z_=i，整理得：(4尸+3)爐+8乒犬+4k2-12=0,

43

8k24k2-12

可得：XI+X2=/A代入)式

4kz+34k2+3

(l-k2)-^k^-12+(l+k2)-8g2-+l-k2=0,

4k'+34k"+3

化簡得：25k2-9=0=>k=±提,

則直線/的方程為：y=±4(x+l).

5

21.函數(shù)f(x)=21n(x+2)T+x-2(x>-2).

x+2

(1)討論/(x)的極值點的個數(shù)；

(2)設g(x)—e'f(x),若g(x)》立恒成立，求”的取值范圍.

,2_a_(x+2)、+2(x+2)-a

解:(1)f，x+2「(x+2)2+=(x+2)2

當a<0時，x>-2,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，函數(shù)/(x)無極值點；

當a>0時，f‘(x)=*'x+3)—y^-=0=^x=-3±^/i+a,而-3"l+a<-2,故

(x+2)2

x=-3-/1+a不是極值點，

當x￡(-2,-3+A/而)時，f(x)<0,此時函數(shù)單調(diào)遞減，

當xE(-3+JTG，Q)時，fco>o,此時函數(shù)單調(diào)遞增，

所以了(尤)有唯一的極值點x=-3+JT與