專項(xiàng)13-線段垂直平分線的性質(zhì)和判定-七大題型_第1頁
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專項(xiàng)13-線段垂直平分線的性質(zhì)和判定-七大題型_第3頁
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線段垂直平分線的性質(zhì)和判定-七大題型【知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)】線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來,與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.【題型1線段垂直平分線的性質(zhì)在求線段中的應(yīng)用】【例1】(南召縣期末)已知:如圖,∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分別為E、F.若AB=8,AC=4,則AE=.【變式1-1】(潮安區(qū)期中)如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于點(diǎn)D,AC的垂直平分線BE與CD交于點(diǎn)F,與AC交于點(diǎn)E.(1)判斷△DBC的形狀并證明你的結(jié)論.(2)求證:BF=AC.(3)試說明CE=12【變式1-2】(廬陽區(qū)期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=22.5°,斜邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)F在AC上,點(diǎn)E在BC的延長線上,CE=CF,連接BF,DE.線段DE和BF在數(shù)量和位置上有什么關(guān)系?并說明理由.【變式1-3】(海珠區(qū)校級(jí)期中)△ABC是等邊三角形,D是三角形外一動(dòng)點(diǎn),滿足∠ADB=60°.(1)如圖①,當(dāng)D點(diǎn)在AC的垂直平分線上時(shí),求證:DA+DC=DB;(2)如圖②,當(dāng)D點(diǎn)不在AC的垂直平分線上時(shí),(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說明理由.【題型2線段垂直平分線的性質(zhì)在求角中的應(yīng)用】【例2】(周村區(qū)校級(jí)期中)如圖,線段AB,DE的垂直平分線交于點(diǎn)C,且∠ABC=∠EDC=72°,∠AEB=92°,則∠EBD的度數(shù)為()A.168° B.158° C.128° D.118°【變式2-1】(龍馬潭區(qū)校級(jí)月考)如圖,已知銳角△ABC中,AB、AC邊的中垂線交于點(diǎn)O,∠A=α(0°<α<90°),(1)求∠BOC;(2)試判斷∠ABO+∠ACB是否為定值?若是,求出定值,若不是,請(qǐng)說明理由.【變式2-2】(西湖區(qū)期末)如圖,線段AB,BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O.若∠1=40°,則∠AOC=()A.50° B.80° C.90° D.100°【變式2-3】(金牛區(qū)校級(jí)期中)已知:△ABC是三邊都不相等的三角形,點(diǎn)P是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn),點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn),當(dāng)P、O同時(shí)在不等邊△ABC的內(nèi)部時(shí),那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系是:∠BOC=.【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用】【例3】(甘井子區(qū)期末)如圖,電信部門要在公路l旁修建一座移動(dòng)信號(hào)發(fā)射塔.按照設(shè)計(jì)要求,發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)M,N的距離必須相等,則發(fā)射塔應(yīng)該建在()A.A處 B.B處 C.C處 D.D處【變式3-1】(渾南區(qū)期末)有A、B、C三個(gè)不在同一直線上的居民點(diǎn),現(xiàn)要選址建一個(gè)新冠疫苗接種點(diǎn)方便居民接種疫苗,要求接種點(diǎn)到三個(gè)居民點(diǎn)的距離相等,接種點(diǎn)應(yīng)建在()A.△ABC的三條中線的交點(diǎn)處 B.△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處 C.△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處 D.△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)處【變式3-2】(武功縣期末)如圖,兔子的三個(gè)洞口A、B、C構(gòu)成△ABC,獵狗想捕捉兔子,必須到三個(gè)洞口的距離都相等,則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC()A.三條中線的交點(diǎn) B.三條高的交點(diǎn) C.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D.三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)【變式3-3】如圖,電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔.按照設(shè)計(jì)要求,發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A,B的距離必須相等,到兩條高速公路m和n的距離也必須相等.發(fā)射塔應(yīng)該修建在()A.∠1的平分線和線段AB的交點(diǎn)處 B.∠1的平分線和線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)處 C.∠2的平分線和線段AB的交點(diǎn)處 D.∠2的平分線和線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)處【題型4線段垂直平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用】【例4】(廣陵區(qū)校級(jí)月考)在△ABC中,∠A=120°,AB的垂直平分線交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分線交BC于N,交AC于F,(1)如圖(1),連接AM、AN,求∠MAN的度數(shù);(2)如圖(2),如果AB=AC,求證:BM=MN=NC.【變式4-1】(鄂托克旗期中)如圖,在△ABC中,DE是邊AB的垂直平分線,交AB于E、交AC于D,連接BD.(1)若∠ABC=∠C,∠A=40°,求∠DBC的度數(shù);(2)若AB=AC,且△BCD的周長為18cm,△ABC的周長為30cm,求BE的長.【變式4-2】(市中區(qū)期末)如圖,在△ABC中,DM、EN分別垂直平分AC和BC,交AB于M、N兩點(diǎn),DM與EN相交于點(diǎn)F.(1)若△CMN的周長為15cm,求AB的長;(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度數(shù).【變式4-3】(紅花崗區(qū)校級(jí)月考)如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接CF.(1)若∠A=60°,∠ABD=24°,求∠ACF的度數(shù);(2)若EF=4,BF:FD=5:3,S△BCF=10,求點(diǎn)D到AB的距離.【知識(shí)點(diǎn)2線段垂直平分線的判定】到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上,(這樣的點(diǎn)需要找兩個(gè))【題型5線段垂直平分線的判定】【例5】(伊川縣期末)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度數(shù);(2)求證:直線AD是線段CE的垂直平分線.【變式5-1】(奈曼旗期中)如圖所示,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F(xiàn),連接EF,EF與AD交于點(diǎn)G,求證:AD垂直平分EF.【變式5-2】(市北區(qū)期末)如圖,E是∠AOB的平分線上一點(diǎn),EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別是C、D.求證:(1)OC=OD,(2)OE是線段CD的垂直平分線.【變式5-3】(平邑縣期中)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BE=CF.(1)求證:AD平分∠BAC;(2)連接EF,求證:AD垂直平分EF.【題型6線段垂直平分線的作法】【例6】(武城縣期末)已知:如圖,在△ABC中,∠C=120°,邊AC的垂直平分線DE與AC、AB分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E.(1)作出邊AC的垂直平分線DE;(2)當(dāng)AE=BC時(shí),求∠A的度數(shù).【變式6-1】(祁陽縣期末)如圖,在△ABC中,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于12AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,N,作直線MN,交BC于點(diǎn)D,連接AD.若△ADC的周長為10,AB=8,則△ABCA.8 B.10 C.18 D.20【變式6-2】(榆林模擬)如圖,在△ABC中,DE⊥BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法,在線段DC上求作一點(diǎn)P,使AP∥ED.(保留作圖痕跡,不寫作法)【變式6-3】(長安區(qū)一模)如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,且CD=2BD,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法,在邊AC上找一點(diǎn)P,使得△PAD的面積等于△BAD的面積(保留作圖痕跡,不寫作法).【題型7線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合】【例7】(伊通縣期末)如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線l1交AB于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)D,AC的垂直平分線l2交AC于點(diǎn)N,交BC于點(diǎn)E,l1與l2相交于點(diǎn)O,△ADE的周長為10.請(qǐng)你解答下列問題:(1)求BC的長;(2)試判斷點(diǎn)O是否在邊BC的垂直平分線上,并說明理由.【變式7-1】(阜寧縣校級(jí)月考)如圖,在△ABC中,邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E.(1)若BC=10,求△ADE的周長;(2)設(shè)直線DM、EN交于點(diǎn)O.①試判斷點(diǎn)O是否在BC的垂直平分線上,并說明理由;②若∠BAC=100°,求∠BOC的度數(shù).【變式7-2】(宜昌)已知:如圖,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足為E,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于直線BC對(duì)稱,PB分別與線段CF,AF相交于P,M.(1)求證:AB=CD;(2)若∠BAC=2∠MPC,請(qǐng)你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【變式7-3】(信都區(qū)期末)如圖1,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AB上,且AD=CD=BC.(1)求∠A的大小;(2)如圖2,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,連接EF交CD于點(diǎn)H.①求證:CD垂直平分EF;②直接寫出三條線段AE,DB,BF之間的數(shù)量關(guān)系.

線段垂直平分線的性質(zhì)和判定-七大題型(解析版)【知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)】線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來,與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.【題型1線段垂直平分線的性質(zhì)在求線段中的應(yīng)用】【例1】(南召縣期末)已知:如圖,∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分別為E、F.若AB=8,AC=4,則AE=6.【分析】首先連接PB,PC,由∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P,PE⊥AB,PF⊥AC,易得PE=PF,PB=PC,繼而證得△PBE≌△PCF,AE=AF,又由AB=8,AC=4,即可求得答案.【解答】解:連接PB,PC,∵點(diǎn)P在BC的垂直平分線上,∴PB=PC,∵AC平分∠BAC,PE⊥AB,PF⊥AC,∴PE=PF,∠PEB=∠PFC=90°,∴∠APE=∠APF,∴AE=AF,在Rt△PBE和Rt△PCF中,PB=PCPE=PF∴Rt△PBE≌Rt△PCF(HL),∴BE=CF,∵AB=AE+BE,AF=AC+CF,∴AB=AC+CF+BE,∵AB=8,AC=4,∴BE=CF=2,∴AE=AC+CF=6.故答案為:6.【變式1-1】(潮安區(qū)期中)如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于點(diǎn)D,AC的垂直平分線BE與CD交于點(diǎn)F,與AC交于點(diǎn)E.(1)判斷△DBC的形狀并證明你的結(jié)論.(2)求證:BF=AC.(3)試說明CE=12【分析】(1)根據(jù)已知條件得到∠BCD=45°,求得BD=CD,于是得到結(jié)論;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定即可得到結(jié)論;(3)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】解:(1)△DBC是等腰直角三角形,理由:∵∠ABC=45°,CD⊥AB,∴∠BCD=45°,∴BD=CD,∴△DBC是等腰直角三角形;(2)∵BE⊥AC,∴∠BDC=∠BEC=90°,∵∠BFD=∠CFE,∴∠DBF=∠ACD,在△BDF與△CDA中,∠BDC=∠ADC=90°∠DBF=∠DCA∴△BDF≌△CDA,∴BF=AC;(3)∵BE是AC的垂直平分線,∴CE=12∴CE=12【變式1-2】(廬陽區(qū)期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=22.5°,斜邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)F在AC上,點(diǎn)E在BC的延長線上,CE=CF,連接BF,DE.線段DE和BF在數(shù)量和位置上有什么關(guān)系?并說明理由.【分析】連接BD,延長BF交DE于點(diǎn)G,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD,求出∠CBD=45°,證明△ECD≌△FCB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.【解答】解:DE=BF,DE⊥BF.理由如下:連接BD,延長BF交DE于點(diǎn)G.∵點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=22.5°.在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=22.5°,∴∠ABC=67.5°,∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°,∴△BCD為等腰直角三角形,∴BC=DC.在△ECD和△FCB中,CE=CF∠DCE=∠BCF∴Rt△ECD≌Rt△FCB(SAS),∴DE=BF,∠CED=∠CFB.∵∠CFB+∠CBF=90°,∴∠CED+∠CBF=90°,∴∠EGB=90°,即DE⊥BF.【變式1-3】(海珠區(qū)校級(jí)期中)△ABC是等邊三角形,D是三角形外一動(dòng)點(diǎn),滿足∠ADB=60°.(1)如圖①,當(dāng)D點(diǎn)在AC的垂直平分線上時(shí),求證:DA+DC=DB;(2)如圖②,當(dāng)D點(diǎn)不在AC的垂直平分線上時(shí),(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說明理由.【分析】(1)由D點(diǎn)在AC的垂直平分線上,可得AD=CD,又由∠ADB=60°,△ABC是等邊三角形,可得△ABD是含30°角的直角三角形,繼而證得結(jié)論;(2)首先在DB上截取DE=AD,可證得△ADE是等邊三角形,又由△ABC是等邊三角形,易證得△BAE≌△CAD(SAS),繼而證得結(jié)論.【解答】證明:(1)∵D點(diǎn)在AC的垂直平分線上,∴AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,∠ADB=∠CDB=60°,∴∠DAC=30°,∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°,∴∠BAD=90°,∴∠ABD=90°﹣∠ADB=30°,∴BD=2AD=AD+CD;(2)成立.理由:在DB上截取DE=AD,∵∠ADB=60°,∴△ADE是等邊三角形,∴AE=AD,∠EAD=60°,∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAD,在△BAE和△CAD中,AB=AC∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CAD(SAS),∴BE=CD,∴BD=DE+BE=AD+CD.【題型2線段垂直平分線的性質(zhì)在求角中的應(yīng)用】【例2】(周村區(qū)校級(jí)期中)如圖,線段AB,DE的垂直平分線交于點(diǎn)C,且∠ABC=∠EDC=72°,∠AEB=92°,則∠EBD的度數(shù)為()A.168° B.158° C.128° D.118°【分析】連接CE,依據(jù)線段AB,DE的垂直平分線交于點(diǎn)C,可得CA=CB,CE=CD,判定△ACE≌△BCD,可得∠AEC=∠BDC,設(shè)∠AEC=∠BDC=α,則∠BDE=72°﹣α,∠CEB=92°﹣α,∠BED=∠DEC﹣∠CEB=72°﹣(92°﹣α)=α﹣20°,即可得到△BDE中,∠EBD=180°﹣(72°﹣α)﹣(α﹣20°)=128°.【解答】解:如圖,連接CE,∵線段AB,DE的垂直平分線交于點(diǎn)C,∴CA=CB,CE=CD,∵∠ABC=∠EDC=72°=∠DEC,∴∠ACB=∠ECD=36°,∴∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,CA=CB∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠AEC=∠BDC,設(shè)∠AEC=∠BDC=α,則∠BDE=72°﹣α,∠CEB=92°﹣α,∴∠BED=∠DEC﹣∠CEB=72°﹣(92°﹣α)=α﹣20°,∴△BDE中,∠EBD=180°﹣(72°﹣α)﹣(α﹣20°)=128°,故選:C.【變式2-1】(龍馬潭區(qū)校級(jí)月考)如圖,已知銳角△ABC中,AB、AC邊的中垂線交于點(diǎn)O,∠A=α(0°<α<90°),(1)求∠BOC;(2)試判斷∠ABO+∠ACB是否為定值?若是,求出定值,若不是,請(qǐng)說明理由.【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AO=BO=CO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OAC,根據(jù)周角定義即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OBC=∠OCB,于是得到∠OBC=90°﹣α,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.【解答】解:(1)連接AO,AB、AC邊的中垂線交于點(diǎn)O,∴AO=BO=CO,∴∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OAC,∴∠AOB+∠AOC=(180°﹣∠OAB﹣∠OBA)+(180°﹣∠OAC﹣∠OCA),∴∠AOB+∠AOC=(180°﹣2∠OAB)+(180°﹣2∠OAC)=360°﹣2(∠OAB+∠OAC)=360°﹣2∠A=360°﹣2α,∴∠BOC=360°﹣(∠AOB+∠AOC)=2α;(2)∠ABO+∠ACB為定值,∵BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,∵∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OAC,∴∠OBC=12(180°﹣2∠∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠BAC=180°,∴∠ABO+∠ACB=180°﹣α﹣(90°﹣α)=90°.【變式2-2】(西湖區(qū)期末)如圖,線段AB,BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O.若∠1=40°,則∠AOC=()A.50° B.80° C.90° D.100°【分析】連接BO,并延長BO到P,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得AO=OB=OC和∠BDO=∠BEO=90°,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°得∠DOE+∠ABC=180°,根據(jù)外角的性質(zhì)得∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC,相加可得結(jié)論.【解答】解:連接BO,并延長BO到P,∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O,∴AO=OB=OC,∠BDO=∠BEO=90°,∴∠DOE+∠ABC=180°,∵∠DOE+∠1=180°,∴∠ABC=∠1=40°,∵OA=OB=OC,∴∠A=∠ABO,∠OBC=∠C,∵∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC,∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=2×40°=80°;故選:B.【變式2-3】(金牛區(qū)校級(jí)期中)已知:△ABC是三邊都不相等的三角形,點(diǎn)P是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn),點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn),當(dāng)P、O同時(shí)在不等邊△ABC的內(nèi)部時(shí),那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系是:∠BOC=4∠BPC﹣360°.【分析】根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理,即可得到∠BAC=2∠BPC﹣180°;再根據(jù)三角形垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理,即可得到∠BOC=2∠BAC,進(jìn)而得出∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系.【解答】解:∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,∴∠PBC=12∠ABC,∠PCB=1∴∠BPC=180°﹣(∠PBC+∠PCB)=180°﹣(12∠ABC+12=180°?12(∠ABC+∠=180°?12(180°﹣∠=90°+12∠即∠BAC=2∠BPC﹣180°;如圖,連接AO.∵點(diǎn)O是這個(gè)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),∴OA=OB=OC,∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB,∴∠AOB=180°﹣2∠OAB,∠AOC=180°﹣2∠OAC,∴∠BOC=360°﹣(∠AOB+∠AOC)=360°﹣(180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC),=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC=2(2∠BPC﹣180°)=4∠BPC﹣360°,故答案為:4∠BPC﹣360°.【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用】【例3】(甘井子區(qū)期末)如圖,電信部門要在公路l旁修建一座移動(dòng)信號(hào)發(fā)射塔.按照設(shè)計(jì)要求,發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)M,N的距離必須相等,則發(fā)射塔應(yīng)該建在()A.A處 B.B處 C.C處 D.D處【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出即可.【解答】解:根據(jù)作圖可知:EF是線段MN的垂直平分線,所以EF上的點(diǎn)到M、N的距離相等,即發(fā)射塔應(yīng)該建在C處,故選:C.【變式3-1】(渾南區(qū)期末)有A、B、C三個(gè)不在同一直線上的居民點(diǎn),現(xiàn)要選址建一個(gè)新冠疫苗接種點(diǎn)方便居民接種疫苗,要求接種點(diǎn)到三個(gè)居民點(diǎn)的距離相等,接種點(diǎn)應(yīng)建在()A.△ABC的三條中線的交點(diǎn)處 B.△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處 C.△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處 D.△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)處【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得到正確選項(xiàng).【解答】解:∵線段垂直平分線的點(diǎn)到線段兩段點(diǎn)的距離相等,∴△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.故選:B.【變式3-2】(武功縣期末)如圖,兔子的三個(gè)洞口A、B、C構(gòu)成△ABC,獵狗想捕捉兔子,必須到三個(gè)洞口的距離都相等,則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC()A.三條中線的交點(diǎn) B.三條高的交點(diǎn) C.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D.三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)【分析】用線段垂直平分線性質(zhì)判斷即可.【解答】解:獵狗到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC的三條邊垂直平分線的交點(diǎn).故選:C.【變式3-3】如圖,電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔.按照設(shè)計(jì)要求,發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A,B的距離必須相等,到兩條高速公路m和n的距離也必須相等.發(fā)射塔應(yīng)該修建在()A.∠1的平分線和線段AB的交點(diǎn)處 B.∠1的平分線和線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)處 C.∠2的平分線和線段AB的交點(diǎn)處 D.∠2的平分線和線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)處【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可知:要兩個(gè)城鎮(zhèn)A,B的距離,發(fā)射塔必須建在線段AB的垂直平分線上,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知要到兩條高速公路m和n的距離相等需要建在∠1的平分線上,即可知發(fā)射塔要在兩線的交點(diǎn)位置.【解答】解:要兩個(gè)城鎮(zhèn)A,B的距離,發(fā)射塔必須建在線段AB的垂直平分線上,要到兩條高速公路m和n的距離相等需要建在∠1的平分線上,∴發(fā)射塔應(yīng)該修建在∠1的平分線和線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)處.故選:B.【題型4線段垂直平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用】【例4】(廣陵區(qū)校級(jí)月考)在△ABC中,∠A=120°,AB的垂直平分線交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分線交BC于N,交AC于F,(1)如圖(1),連接AM、AN,求∠MAN的度數(shù);(2)如圖(2),如果AB=AC,求證:BM=MN=NC.【分析】(1)由在△ABC中,∠BAC=130°,可求得∠C+∠B的度數(shù),然后由AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)M、N,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),可得BM=AM,CN=AN,即可得∠CAN=∠C,∠BAM=∠B,繼而求得∠CAN+∠BAM的度數(shù),則可求得答案;(2)先求出△BMA與△CNA是等腰三角形,再證明△MAN為等邊三角形即可.【解答】(1)解:∵∠BAC=120°,∴∠B+∠C=60°,由(1)證得BM=AM,CN=AN,∴∠C=∠CAN,∠B=∠BAM,∴∠CAN+∠BAM=∠C+∠B=60°,∴∠MAN=120°﹣60°=60°;(2)證明:∵AB的垂直平分線交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分線交BC于N,交AC于F,∴BM=AM,CN=AN,∴∠MAB=∠B,∠CAN=∠C,∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAM+∠CAN=60°,∠AMN=∠ANM=60°,∴△AMN是等邊三角形,∴AM=AN=MN,∴BM=MN=NC.【變式4-1】(鄂托克旗期中)如圖,在△ABC中,DE是邊AB的垂直平分線,交AB于E、交AC于D,連接BD.(1)若∠ABC=∠C,∠A=40°,求∠DBC的度數(shù);(2)若AB=AC,且△BCD的周長為18cm,△ABC的周長為30cm,求BE的長.【分析】(1)首先計(jì)算出∠ABC的度數(shù),再根據(jù)線段垂直平分線上任意一點(diǎn),到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD,進(jìn)而可得∠ABD=∠A=40°,然后可得答案;(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=DB,AE=BE,然后再計(jì)算出AC+BC的長,再利用△ABC的周長為30cm可得AB長,進(jìn)而可得答案.【解答】解:(1)∵∠ABC=∠C,∠A=40°,∴∠ABC=(180°﹣40°)÷2=70°.∵DE是邊AB的垂直平分線,∴AD=DB,∴∠ABD=∠A=40°,∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°.(2)∵DE是邊AB的垂直平分線,∴AD=DB,AE=BE,∵△BCD的周長為18cm,∴AC+BC=AD+DC+BC=DB+DC+BC=18cm.∵△ABC的周長為30cm,∴AB=30﹣(AC+BC)=30﹣18=12cm,∴BE=12÷2=6cm.【變式4-2】(市中區(qū)期末)如圖,在△ABC中,DM、EN分別垂直平分AC和BC,交AB于M、N兩點(diǎn),DM與EN相交于點(diǎn)F.(1)若△CMN的周長為15cm,求AB的長;(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度數(shù).【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AM=CM,BN=CN,然后求出△CMN的周長=AB;(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠MNF+∠NMF,再求出∠A+∠B,根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解.【解答】解:(1)∵DM、EN分別垂直平分AC和BC,∴AM=CM,BN=CN,∴△CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB,∵△CMN的周長為15cm,∴AB=15cm;(2)∵∠MFN=70°,∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°,∵∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF,∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°,∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°,∵AM=CM,BN=CN,∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,∴∠MCN=180°﹣2(∠A+∠B)=180°﹣2×70°=40°.【變式4-3】(紅花崗區(qū)校級(jí)月考)如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接CF.(1)若∠A=60°,∠ABD=24°,求∠ACF的度數(shù);(2)若EF=4,BF:FD=5:3,S△BCF=10,求點(diǎn)D到AB的距離.【分析】(1)根據(jù)角平分線定義求出∠ABC=2∠ABD=48°,∠DBC=∠ABD=24°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出FC=FB,求出∠FCB,即可求出答案;(2)過D作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DG=DH,利用面積法求出BC,DH即可.【解答】解:(1)∵BD平分∠ABC,∠ABD=24°,∴∠ABC=2∠ABD=48°,∠DBC=∠ABD=24°,∵∠A=60°,∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°,∵FE是BC的中垂線,∴FB=FC,∴∠FCB=∠DBC=24°,∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°;(2)過D作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,∵BD平分∠ABC,∴DG=DH,∵EF⊥BC,EF=4,∴S△BCF=12?BC?∴BC=5,∵BF:DF=5:3,∴S△BDC=85S△∴12×5×∴DH=32∴DG=DH=32∴點(diǎn)D到AB的距離=32【知識(shí)點(diǎn)2線段垂直平分線的判定】到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上,(這樣的點(diǎn)需要找兩個(gè))【題型5線段垂直平分線的判定】【例5】(伊川縣期末)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度數(shù);(2)求證:直線AD是線段CE的垂直平分線.【分析】(1)在Rt△ADE中,求出∠EAD即可解決問題;(2)只要證明AE=AC,利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明;【解答】(1)解:∵∠BAC=50°,AD平分∠BAC,∴∠EAD=12∠∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴∠EDA=90°﹣25°=65°.(2)證明:∵DE⊥AB,∴∠AED=90°=∠ACB,又∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC,∵AD=AD,∴△AED≌△ACD,∴AE=AC,∵AD平分∠BAC,∴AD⊥CE,AD平分線段EC,即直線AD是線段CE的垂直平分線.【變式5-1】(奈曼旗期中)如圖所示,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F(xiàn),連接EF,EF與AD交于點(diǎn)G,求證:AD垂直平分EF.【分析】求出DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,根據(jù)HL證Rt△AED≌Rt△AFD,推出AE=AF,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出即可.【解答】證:∵AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,在Rt△AED和Rt△AFD中AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF,∵AD是∠BAC的平分線,∴AD垂直平分EF.【變式5-2】(市北區(qū)期末)如圖,E是∠AOB的平分線上一點(diǎn),EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別是C、D.求證:(1)OC=OD,(2)OE是線段CD的垂直平分線.【分析】(1)先根據(jù)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn),EC⊥OB,ED⊥OA得出△ODE≌△OCE,可得出OC=OD即可;(2)由等腰三角形的性質(zhì)即可得出OE是CD的垂直平分線.【解答】證明:∵E是∠AOB的平分線上一點(diǎn),EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE,OE=OE,在Rt△ODE與Rt△OCE中,OE=OEDE=CE∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL),∴OC=OD;(2)∵△DOC是等腰三角形,∵OE是∠AOB的平分線,∴OE是CD的垂直平分線.【變式5-3】(平邑縣期中)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BE=CF.(1)求證:AD平分∠BAC;(2)連接EF,求證:AD垂直平分EF.【分析】(1)由于D是BC的中點(diǎn),那么BD=CD,而BE=CF,DE⊥AB,DF⊥AC,利用HL易證Rt△BDE≌Rt△CDF,可得DE=DF,利用角平分線的判定定理可知點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,即AD平分∠BAC;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】解:(1)∵D是BC的中點(diǎn)∴BD=CD,又∵BE=CF,DE⊥AB,DF⊥AC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴DE=DF,∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,∴AD平分∠BAC;(2)∵Rt△BDE≌Rt△CDF,∴∠B=∠C,∴AB=AC,∵BE=CF,∴AB﹣BE=AC﹣CF,∴AE=AF,∵DE=DF,∴AD垂直平分EF.【題型6線段垂直平分線的作法】【例6】(武城縣期末)已知:如圖,在△ABC中,∠C=120°,邊AC的垂直平分線DE與AC、AB分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E.(1)作出邊AC的垂直平分線DE;(2)當(dāng)AE=BC時(shí),求∠A的度數(shù).【分析】(1)分別以點(diǎn)A、C為圓心,以大于12AC長度為半徑畫弧,兩弧在AC兩邊相交于,然后過這兩點(diǎn)作直線DE(2)連接CE,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AE=CE,設(shè)∠A=x,然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)以及等腰三角形兩底角相等表示出∠ACB,然后列出方程求解即可.【解答】解:(1)如圖所示,DE即為所求作的邊AC的垂直平分線;(2)如圖,連接CE,∵DE是AC的垂直平分線,∴AE=CE,∴∠A=∠ACE,∵AE=BC,∴CE=BC,∴∠B=∠CEB,設(shè)∠A=x,則∠CEB=∠A+∠ACE=x+x=2x,在△BCE中,∠BCE=180°﹣2×2x=180°﹣4x,∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=x+180°﹣4x=120°,解得x=20°,即∠A=20°.【變式6-1】(祁陽縣期末)如圖,在△ABC中,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于12AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,N,作直線MN,交BC于點(diǎn)D,連接AD.若△ADC的周長為10,AB=8,則△ABCA.8 B.10 C.18 D.20【分析】首先根據(jù)題意可得MN是AB的垂直平分線,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD,再根據(jù)△ADC的周長為10可得AC+BC=10,又由條件AB=8可得△ABC的周長.【解答】解:∵在△ABC中,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于12AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,N,作直線MN,交BC于點(diǎn)D,連接AD∴MN是AB的垂直平分線,∴AD=BD,∵△ADC的周長為10,∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10,∵AB=8,∴△ABC的周長為:AC+BC+AB=10+8=18.故選:C.【變式6-2】(榆林模擬)如圖,在△ABC中,DE⊥BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法,在線段DC上求作一點(diǎn)P,使AP∥ED.(保留作圖痕跡,不寫作法)【分析】過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P,即可解決問題.【解答】解:如圖,點(diǎn)P即為所求.【變式6-3】(長安區(qū)一模)如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,且CD=2BD,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法,在邊AC上找一點(diǎn)P,使得△PAD的面積等于△BAD的面積(保留作圖痕跡,不寫作法).【分析】作CD的垂直平分線交CD于E,交AC于P,連接DP、AE,由于CD=2BD,則DE=BD,所以△ADE的面積等于△ABD的面積,再利用PE∥AD得到△ADP的面積等于△ADE的面積,從而得到△PAD的面積等于△BAD的面積.【解答】解:如圖,點(diǎn)P為所作.【題型7線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合】【例7】(伊通縣期末)如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線l1交AB于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)D,AC的垂直平分線l2交AC于點(diǎn)N,交BC于點(diǎn)E,l1與l2相交于點(diǎn)O,△ADE的周長為10.請(qǐng)你解答下列問題:(1)求BC的長;(2)試判斷點(diǎn)O是否在邊BC的垂直平分線上,并說明理由.【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DA,同理EA=EC,于是得到結(jié)論;(2)連接AO,BO,CO,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】解:(1)∵l1垂直平分AB,∴DB=DA,同理EA=EC,∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=10;(2)點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上,理由:連接AO,BO,CO,∵l1與l2是AB,AC的垂直平分線,∴AO=BO,CO=AO,∴OB=OC,∴點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上.【變式7-1】(阜寧縣校級(jí)月考)如圖,在△ABC中,邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E.(1)若BC=10,求△ADE的周長;(2)設(shè)直線DM、EN交于點(diǎn)O.①試判斷點(diǎn)O是否在BC的垂直平分線上,并說明理由;②若∠BAC=100°,求∠BOC的度數(shù).【分析】(1)根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得AD=BD,AE=EC.所以△ADE周長=BC;(2)①如圖,連接AO,BO,CO,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論;②根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】解:(1)∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E,∴AD=BD,AE=CE,C△ADE=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10;(2)①如圖,點(diǎn)O在BC的垂直平分線上,理由:連接AO,BO,CO,∵DM,EN分別是AB,AC的垂直平分線,∴AO=BO,OA=OC,∴OB=OC,∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上;②∵OM⊥AB,ON⊥AC,∴∠AMO=∠ANO=90°,∵∠BAC=100°,∴∠MON=360°﹣90°﹣90°﹣100°=80°,∴∠BOC=2∠MON=160°.【變式7-2】(宜昌)已知:如圖,A

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