專項15-分式的運算-十大題型

分式的運算-十大題型【知識點1分式的乘除法法則】分式是分數(shù)的擴展，因此分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似：1）分式的乘法：分子的積為積的分子，分母的積為積的分母，能約分的約分。即：a2）分式的除法：除式的分子、分母顛倒位置后，與被除數(shù)相乘。即：a3）分式的乘方：分子、分母分別乘方。（ab4）運算順序：先乘方，后乘除，最后加減。同級從左至右依次計算。有括號的，先算括號中的，在算括號外的。注：上述所有計算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進行約分化為最簡分式【知識點2分式的加減法則】1）同分母分式：分母不變，分子相加減a2）異分母分式：先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減ab注：=1\*GB3①計算結(jié)果中，分子、分母若能約分，要約分;=2\*GB3②運算順序中，加減運算等級較低。若混合運算種有乘除或乘方運算，先算乘除、乘方運算，最后算加減運算?！绢}型1含乘方的分式乘除混合運算】【例1】（全國·八年級課時練習）a+ba?b2÷A．a(chǎn)?ba+b B．a(chǎn)+ba?b C．a(chǎn)+b【變式1-1】（全國·八年級課時練習）（1）?n2（2）(a（3）(?3ab3（4）(?y（5）(c【變式1-2】（全國·八年級專題練習）[?【變式1-3】（湖南長沙·七年級階段練習）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零實數(shù)，且a2b2【題型2分式的加減混合運算】【例2】（浙江杭州·九年級專題練習）對于任意的x值都有2x+7x2+x?2=MA．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4【變式2-1】（上海市久隆模范中學七年級期中）計算：2【變式2-2】（全國·中考模擬）計算下列各式：（1）1a?b（2）x2（3）x3（4）(y?x)(z?x)(x?2y+z)(x+y?2z)【變式2-3】（河南省淮濱縣第一中學八年級期末）已知實數(shù)x，y，z滿足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xA．12 B．14 C．727 【題型3整式與分式的相加減運算】【例3】（貴州銅仁·八年級期末）計算：11?x?1?x的結(jié)果是________．【變式3-1】（山東臨沂·中考模擬）化簡：（a+2+52?a）?【變式3-2】（福建福州·八年級期末）已知：P=x+1，Q=4xx+1(1)當x>0時，判斷P-Q與0的大小關(guān)系，并說明理由；(2)設y=3P?Q2【變式3-3】（河北·中考真題）由1+c2+c?12值的正負可以比較A=1+cA．當c=?2時，A=12 B．當c=0C．當c<?2時，A>12 D．當c<0【題型4分式加減的實際應用】【例4】（全國·八年級單元測試）某飛行器在相距為m的甲、乙兩站間往返飛行．在沒有風時，飛行器的速度為v，往返所需時間為t1；如果風速度為p0<p<v，則飛行器順風飛行速度為v+p，逆風飛行速度為v?p，往返所需時間為t2．則t1、A．t1<t2 B．t1【變式4-1】（全國·八年級單元測試）課本中有一探究活動如下：“商店通常用以下方法來確定兩種糖混合而成的什錦糖的價格：設A種糖的單價為a元/千克，B種糖的單價為b元/千克，則m千克A種糖和n千克B種糖混合而成的什錦糖的單價為ma+nbm+n（平均價）．現(xiàn)有甲乙兩種什錦糖，均由A，B兩種糖混合而成．其中甲種什錦糖由10千克A種糖和10千克B種糖混合而成；乙種什錦糖由100元A種糖和100元B(1)小明同學根據(jù)題意，求出甲、乙兩種什錦糖的單價分別記為x甲和x乙（用a、(2)為了比較甲、乙兩種什錦糖的單價，小明想到了將x甲與x乙進行作差比較，即計算(3)經(jīng)過此探究活動，小明終于悟出了建議父親選擇哪種方式加油比較合算的道理（若石油價格經(jīng)常波動．方式一：每次都加滿；方式二：每次加200元）．選擇哪種方式？請簡要說明理由．【變式4-2】（浙江杭州·七年級期末）甲?乙兩人同時從A地出發(fā)到B地，距離為100千米．（1）若甲從A地出發(fā)，先以20千米/小時的速度到達中點，再以25千米/小時的速度到達B地，求走完全程所用的時間．（2）若甲從A地出發(fā)，先以12V千米/小時的速度到達中點，再以2V千米/小時的速度到達B地．乙從A地出發(fā)到B地的速度始終保持V千米/小時不變，請問甲?乙誰先到達（3）若甲以a千米/時的速度行走x小時，乙以b千米/時的速度行走x小時，此時甲距離終點為100?ax千米，乙距離終點為100?bx千米．分式100?ax100?bx對一切有意義的x值都有相同的值，請?zhí)剿鱝，b【變式4-3】（重慶·模擬預測）一個自然數(shù)能分解成A×B，其中A，B均為兩位數(shù)，A的十位數(shù)字比B的十位數(shù)字大1，且A，B的個位數(shù)字之和為10，則稱這個自然數(shù)為“分解數(shù)”．例如：∵4819=79×61，7比6大1，1+9=10，∴4819是“分解數(shù)”；又如：∵1496=44×34，4比3大1，4+4≠10，∴1496不是“分解數(shù)”．(1)判斷325，851是否是“分解數(shù)”，并說明理由；(2)自然數(shù)M=A×B為“分解數(shù)”，若A的十位數(shù)字與B的個位數(shù)字的和為PM，A的個位數(shù)字與B的十位數(shù)字的和FM，令GM=PMFM，當【題型5比較分式的大小】【例5】（全國·七年級單元測試）設M=y+1x+1，N=yx，當x>y>0時，M和A．M>N B．M=N C．M<N D．不能確定【變式5-1】（河北秦皇島·八年級期末）已知n>1，M=nn?1，N=n?1n，【變式5-2】（全國·九年級競賽）已知x，y，z是三個互不相同的非零實數(shù)，設a=x2+y2+z2，b=xy+yz+zx，c=1x2【變式5-3】（內(nèi)蒙古·呼和浩特市國飛中學八年級期末）若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2（1）當a=3時，計算M與N的值；（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想．【題型6分式的混合運算及化簡求值】【例6】（天津東麗·八年級期末）計算（1）4a（2）a【變式6-1】（廣東惠州·模擬預測）先化簡，再求值：1﹣x?2yx+y÷x2?4xy+4y2x2【變式6-2】（江蘇·南京玄武外國語學校八年級期中）已知分式A(a+1?（1）化簡這個分式；（2）當a＞2時，把分式A化簡結(jié)果的分子與分母同時加上4后得到分式B，問：分式B的值較原來分式A的值是變大了還是變小了？試說明理由；（3）若A的值是整數(shù)，且a也為整數(shù)，求出符合條件的所有a值的和．【變式6-3】（全國·八年級單元測試）已知x,y為整數(shù)，且滿足1x+1【題型7分式中的新定義問題】【例7】（北京昌平·八年級期中）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：x+1x?1=x?1+2(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是

（填序號）；①x+33②x?5x③x?1(2)請將“和諧分式”x2(3)應用：先化簡x?xx+1÷【變式7-1】（江蘇·八年級）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個分式互為“n階分式”，例如分式3x+1與3x（1）分式10x3+2x與（2）設正數(shù)x,y互為倒數(shù)，求證：分式2xx+y2（3）若分式aa+4b2與2ba2【變式7-2】（江蘇·灌南縣揚州路實驗學校八年級階段練習）定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M?N=MN，則稱分式N是分式M的“關(guān)聯(lián)分式”．如1x+1與1x+2，因為1x+1?1x+2=(1)已知分式2a2?1，則2(2)小明在求分式1x設1x2+y2∴1x∴N=1請你仿照小明的方法求分式a?b2a+3b(3)①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式y(tǒng)x②用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：若4n?2mx+m是4m+2mx+n的“關(guān)聯(lián)分式”，求實數(shù)m，【變式7-3】（江西南昌·八年級期末）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個分式互為“n和分式”．例如：5x+1+5xx+1=5（1）分式4x+1（2）分式2xx+y與分式2y（3）已知xy=1，兩個分式1x+1與1y+1是否是“n和分式”？如果是，請求出（4）若分式3xx+y2與3yx2+y互為“3和分式”（其中【題型8分式運算的規(guī)律探究】【例8】（江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學八年級期中）對于正數(shù)x，規(guī)定f（x）＝11+x，例如：f（3）＝11+3=14，f（13）=131+13=1?14，計算：f（12006）+f（12005）+f（12004）+…f（13）+【變式8-1】（安徽安慶·七年級期末）觀察以下等式：第1個等式：23第2個等式：44第3個等式：65第4個等式：86第5個等式：107按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：___________；(2)寫出你猜想的第n個等式：__________（用含n的等式表示），并證明．【變式8-2】（江蘇泰州·八年級期中）【探究思考】（1）探究一：觀察分式x?1x的變形過程和結(jié)果，x?1填空：若x為小于10的正整數(shù)，則當x=_______時，分式x?1x（2）探究二：觀察分式a2a2模仿以上分式的變形過程和結(jié)果求出分式x2【問題解決】（3）當?2<x≤1時，求分式x2【變式8-3】（安徽·合肥市第四十五中學七年級階段練習）知識與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、結(jié)論的重要方法．閱讀材料：利用整體思想解題，運用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設元；（3）整體代入；（4）整體求和等．例1：分解因式x解：將“x2+2x原式=y例2：已知ab=1，求11+a解：1請根據(jù)閱讀材料利用整體思想解答下列問題：(1)根據(jù)材料，請你模仿例1嘗試對多項式x2(2)計算：1?2?3???2021×(3)①已知ab=1，求11+②若abc=1，直接寫出5aab+a+1【知識點3整數(shù)指數(shù)冪的運算】1.整數(shù)負指數(shù)冪：。2.若，且a≠0，則m=n；反之，若a≠0，且m=n，則。據(jù)此，可解決某些條件求值問題?！绢}型9整數(shù)指數(shù)冪的運算】【例9】（湖南師大附中博才實驗中學八年級期末）（1）計算：4x（2）化簡：xy【變式9-1】（甘肅隴南·八年級期末）計算：（﹣2a﹣2b）2÷2a﹣8b﹣3＝_____．【變式9-2】（河北·唐山市第三十三中學八年級階段練習）已知a2?a【變式9-3】（貴州銅仁偉才學校八年級階段練習）化簡下列式子，使結(jié)果只含有正整數(shù)指數(shù)冪：（-2a﹣2b3）2（﹣2a4b﹣3）=________（a≠0，b≠0）．【題型10科學計數(shù)法表示小數(shù)】【例10】（遼寧錦州·七年級期中）生活在海洋中的藍鯨，又叫長須鯨或剃刀鯨，它的體重達到150噸，它體重的萬億分之一用科學記數(shù)法可表示為（

）A．1.5×10?10噸 B．1.5×10?11噸 C．15×10?12噸 【變式10-1】（江蘇鹽城·七年級階段練習）某種細菌直徑約為0.00000067mm，若將0.00000067mm用科學記數(shù)法表示為6.7×10nmm（n為負整數(shù)），則n的值為（A．-5 B．-6 C．-7 D．-8【變式10-2】（河北·盧龍縣教育和體育局教研室七年級期末）把0.00258寫成a×10n（1≤a<10，n為整數(shù)）的形式，則a+n為（A．2.58 B．5.58 C．?0.58 D．?0.42【變式10-3】（全國·九年級專題練習）地球的體積約為1012立方千米，太陽的體積約為1.4×1018立方千米，地球的體積約是太陽體積的倍數(shù)是_____（用科學記數(shù)法表示，保留2位有效數(shù)字）

分式的運算-十大題型（解析版）【知識點1分式的乘除法法則】分式是分數(shù)的擴展，因此分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似：1）分式的乘法：分子的積為積的分子，分母的積為積的分母，能約分的約分。即：a2）分式的除法：除式的分子、分母顛倒位置后，與被除數(shù)相乘。即：a3）分式的乘方：分子、分母分別乘方。（ab4）運算順序：先乘方，后乘除，最后加減。同級從左至右依次計算。有括號的，先算括號中的，在算括號外的。注：上述所有計算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進行約分化為最簡分式【知識點2分式的加減法則】1）同分母分式：分母不變，分子相加減a2）異分母分式：先通分，變?yōu)橥帜阜质剑偌訙pab注：=1\*GB3①計算結(jié)果中，分子、分母若能約分，要約分;=2\*GB3②運算順序中，加減運算等級較低。若混合運算種有乘除或乘方運算，先算乘除、乘方運算，最后算加減運算?！绢}型1含乘方的分式乘除混合運算】【例1】（全國·八年級課時練習）a+ba?b2÷A．a(chǎn)?ba+b B．a(chǎn)+ba?b C．a(chǎn)+b【答案】B【分析】先計算分式的乘方，再把除法轉(zhuǎn)換為乘法，約分后即可得解．【詳解】解：a+b==故選：B．【點睛】此題主要考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（全國·八年級課時練習）（1）?n2（2）(a（3）(?3ab3（4）(?y（5）(c【答案】

?2m5n

?1a3

【分析】（1）根據(jù)分式的乘法法則計算即可；（2）先算乘方，再算乘法即可；（3）先算乘方，再算除法即可；（4）先算乘方，再算乘除法即可；（5）先算乘方，再算除法即可；【詳解】解：（1）?（2）(a（3）原式=9a（4）原式=y2（5）(c故答案為：?2m5n，?1a3，【點睛】本題考查了分式的乘、除、乘方的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵【變式1-2】（全國·八年級專題練習）[?【答案】8【分析】先計算乘方，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再把分子、分母分解因式，然后約分得結(jié)果．【詳解】[?a=?a=8(a+b)【點睛】本題考查了分式的乘除法，把分子分母因式分解是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（湖南長沙·七年級階段練習）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零實數(shù)，且a2b2【答案】2【分析】設a2b2a2y2+b2x2=b2c2b2z2+c【詳解】結(jié)合a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零實數(shù)進行下述運算，設a2則有：a2即有：a2化簡：y2則有：x2a2=z設x2a2即a2x2=c則有：m2=x即有：k=xyzw則有：a2故答案為：2．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型2分式的加減混合運算】【例2】（浙江杭州·九年級專題練習）對于任意的x值都有2x+7x2+x?2=MA．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4【答案】B【分析】先計算Mx+2+Nx?1=【詳解】解：M=M(x?1)+N=M+N∴2x+7x2∴M+N＝2?M+2N＝7解得：M＝?1N=3故選B．【點睛】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減法則，并根據(jù)已知等式得出關(guān)于M、N的方程組．【變式2-1】（上海市久隆模范中學七年級期中）計算：2【答案】?8y+4【分析】先對每一個分式進行拆分化簡，然后再進行分式的加減計算即可.【詳解】解：2yy23y2y∴原式=2y+1+=2y+1+=1=1=?4=?8y+4=?8y+4y【點睛】本題考查分式的加減計算，熟練掌握各運算法則是解題的關(guān)鍵.【變式2-2】（全國·中考模擬）計算下列各式：（1）1a?b（2）x2（3）x3（4）(y?x)(z?x)(x?2y+z)(x+y?2z)【答案】（1）8a【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)異分母的分式的加減法，先把前兩個分式通分，再求和，依次計算下去即可；（2）先把分子添項，構(gòu)成能分組分解因式的式子，把分母利用整式的乘法展開，然后把分母分子分解因式，利用同分母的分式相加減的逆運算約分化簡即可；（3）根據(jù)立方差和立方和公式進行分子分母的因式分解，然后再約分化簡即可；（4）設x﹣y=a，y﹣z=b，z﹣x=c，利用換元法進行約分化簡即可.試題解析：（1）=++=+=；（2）=++=++﹣﹣﹣=0；（3）=+﹣=+﹣=0；（4）設x﹣y=a，y﹣z=b，z﹣x=c，則=﹣﹣﹣=﹣==1．【變式2-3】（河南省淮濱縣第一中學八年級期末）已知實數(shù)x，y，z滿足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xA．12 B．14 C．727 【答案】A【分析】把zx+y+xy+z+yz+x=11兩邊加上3，變形可得x+y+zx+y【詳解】解：∵z∴1+z即x+y+zx+y∴1而1x+y∴14∴x+y+z=12．故選：A．【點睛】本題考查了分式的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減，同時解決問題的關(guān)鍵也是從后面的式子變形出x+y+z.【題型3整式與分式的相加減運算】【例3】（貴州銅仁·八年級期末）計算：11?x【答案】x2【分析】先把分式化成同分母，再根據(jù)同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，即可得出答案．【詳解】解：1=1=1?1+x?x+=x故答案為x2【點睛】本題考查了分式的加減．熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（山東臨沂·中考模擬）化簡：（a+2+52?a）?【答案】2a﹣6【分析】先計算括號，進行通分，后按同分母加減計算，再計算乘除，約分即可．【詳解】原式=(a=a2=(a+3)(a?3)=2（a﹣3）=2a﹣6．故答案為2a﹣6．【點睛】本題考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是記住分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．【變式3-2】（福建福州·八年級期末）已知：P=x+1，Q=4xx+1(1)當x>0時，判斷P-Q與0的大小關(guān)系，并說明理由；(2)設y=3P?Q2【答案】(1)P-Q≥0，理由見解析；(2)y的整數(shù)值為：-7，-3，-1，3．【分析】（1）先求差，再比較差與0的大小關(guān)系；（2）先表示y，再求y的整數(shù)值．(1)解：P-Q≥0，理由如下：P-Q=x+1?==(x?1)∵x＞0，∴x+1＞0，（x-1）2≥0．∴P-Q≥0；(2)解：y==?2+5∵x，y是整數(shù)，∴x+1是5的因數(shù)．∴x+1=±1，±5．對應的y值為：∴y=-2+5=3或y=-2+（-5）=-7或y=-2+1=-1或y=-2+（-1）=-3．∴y的整數(shù)值為：-7，-3，-1，3．【點睛】本題考查分式運算和比較大小，正確進行分式的加減運算是求解本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（河北·中考真題）由1+c2+c?12值的正負可以比較A=1+cA．當c=?2時，A=12 B．當c=0C．當c<?2時，A>12 D．當c<0【答案】C【分析】先計算1+c2+c?12的值，再根c的正負判斷1+c2+c【詳解】解：1+c2+c當c=?2時，2+c=0，A無意義，故A選項錯誤，不符合題意；當c=0時，c4+2c=0，當c<?2時，c4+2c>0，當?2<c<0時，c4+2c<0，A<12；當c<?2時，故選：C．【點睛】本題考查了分式的運算和比較大小，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則進行計算，根據(jù)結(jié)果進行準確判斷．【題型4分式加減的實際應用】【例4】（全國·八年級單元測試）某飛行器在相距為m的甲、乙兩站間往返飛行．在沒有風時，飛行器的速度為v，往返所需時間為t1；如果風速度為p0<p<v，則飛行器順風飛行速度為v+p，逆風飛行速度為v?p，往返所需時間為t2．則t1、A．t1<t2 B．t1【答案】A【分析】直接根據(jù)題意表示出t1，t【詳解】解：∵t1=2mv，t2∴t1?t2=2mv∵0<p<v，∴t1?t2∴t1<t故選：A．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，熟練的掌握正確的分式加減運算是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（全國·八年級單元測試）課本中有一探究活動如下：“商店通常用以下方法來確定兩種糖混合而成的什錦糖的價格：設A種糖的單價為a元/千克，B種糖的單價為b元/千克，則m千克A種糖和n千克B種糖混合而成的什錦糖的單價為ma+nbm+n（平均價）．現(xiàn)有甲乙兩種什錦糖，均由A，B兩種糖混合而成．其中甲種什錦糖由10千克A種糖和10千克B種糖混合而成；乙種什錦糖由100元A種糖和100元B(1)小明同學根據(jù)題意，求出甲、乙兩種什錦糖的單價分別記為x甲和x乙（用a、(2)為了比較甲、乙兩種什錦糖的單價，小明想到了將x甲與x乙進行作差比較，即計算(3)經(jīng)過此探究活動，小明終于悟出了建議父親選擇哪種方式加油比較合算的道理（若石油價格經(jīng)常波動．方式一：每次都加滿；方式二：每次加200元）．選擇哪種方式？請簡要說明理由．【答案】(1)x甲=12(a+b)(2)甲糖的單價較高，理由見解析(3)方式二更合算【分析】（1）根據(jù)單價=總價÷數(shù)量分別求出甲糖單價和乙糖單價；（2）根據(jù)作差法比較大小即可求解；（3）由探究的結(jié)果進行分析即可．（1）解：甲糖單價為：x甲=(10a+10b)÷20=乙糖單價為：x乙=(100+100)÷(（2）1==∵甲、乙兩種什錦糖，均由A，B兩種單價不同的糖混合而成，∴(a?b)2∴甲糖的單價較高．（3）由探究可知方式一相當于甲種什錦糖，方式二相當于乙種什錦糖，故選擇方式二更合算．【點睛】本題考查了列代數(shù)式（分式），分式的加減法.注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時候，用分數(shù)線代替．【變式4-2】（浙江杭州·七年級期末）甲?乙兩人同時從A地出發(fā)到B地，距離為100千米．（1）若甲從A地出發(fā)，先以20千米/小時的速度到達中點，再以25千米/小時的速度到達B地，求走完全程所用的時間．（2）若甲從A地出發(fā)，先以12V千米/小時的速度到達中點，再以2V千米/小時的速度到達B地．乙從A地出發(fā)到B地的速度始終保持V千米/小時不變，請問甲?乙誰先到達（3）若甲以a千米/時的速度行走x小時，乙以b千米/時的速度行走x小時，此時甲距離終點為100?ax千米，乙距離終點為100?bx千米．分式100?ax100?bx對一切有意義的x值都有相同的值，請?zhí)剿鱝，b【答案】（1）4.5小時；（2）乙先到；（3）a，b應滿足的條件是a=b．【分析】（1）根據(jù)“時間=路程÷速度”分別求出兩段路程的時間，再求和即可得；（2）根據(jù)“時間=路程÷速度”分別求出甲、乙走完全程所用的時間，再比較大小即可得；（3）設100?ax100?bx=k，從而可得【詳解】（1）由題意得：t=100=2.5+2，=4.5（小時），答：走完全程所用的時間為4.5小時；（2）甲走完全程所用的時間為1002乙走完全程所用的時間為100V因為100V所以乙先到；（3）設100?ax100?bx=k，則整理得：100?100k+(kb?a)x=0，∵分式100?ax100?bx對一切有意義的x∴k的值與x的取值無關(guān)，∴kb?a=0，即a=kb，∴100?100k=0，解得k=1，∴a=b，故a，b應滿足的條件是a=b．【點睛】本題考查了分式加減的應用等知識點，依據(jù)題意，正確列出各運算式子是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（重慶·模擬預測）一個自然數(shù)能分解成A×B，其中A，B均為兩位數(shù)，A的十位數(shù)字比B的十位數(shù)字大1，且A，B的個位數(shù)字之和為10，則稱這個自然數(shù)為“分解數(shù)”．例如：∵4819=79×61，7比6大1，1+9=10，∴4819是“分解數(shù)”；又如：∵1496=44×34，4比3大1，4+4≠10，∴1496不是“分解數(shù)”．(1)判斷325，851是否是“分解數(shù)”，并說明理由；(2)自然數(shù)M=A×B為“分解數(shù)”，若A的十位數(shù)字與B的個位數(shù)字的和為PM，A的個位數(shù)字與B的十位數(shù)字的和FM，令GM=PMFM，當【答案】(1)325不是“分解數(shù)”，851是“分解數(shù)”，理由見解析(2)899，891，8099【分析】（1）325=25×13，851=37×23，根據(jù)定義進行求解判斷即可；（2）令B=10x+y，A=10x+1+10?y，（1≤x≤8，1≤y≤9，且x，y為整數(shù)），可得PM=x+y+1，F(xiàn)m=x?y+10，GM=x+y+1(1)解：∵325=25×13，2比1大1，5+3≠10，∴325不是“分解數(shù)”；∵851=37×23，3比2大1，7+3=10，∴851是“分解數(shù)”．(2)解：令B=10x+y，A=10x+1+10?y，（1≤x≤8，1≤y≤9，且x，∵PM=x+y+1∴G∵x2∴x=2，4，6，8當x=2時，GM∴?y+12的值為3或5∴解得y=9或7∴MM∵x=4或x=6時，不存在GM∴舍去當x=8時，GM∴?y+18=9∴解得y=9∴M綜上所述，M的值為899，891，8099．【點睛】本題考查了新定義下的是實數(shù)運算．解題的關(guān)鍵與難點在于理解題意并根據(jù)要求進行求解．【題型5比較分式的大小】【例5】（全國·七年級單元測試）設M=y+1x+1，N=yx，當x>y>0時，M和A．M>N B．M=N C．M<N D．不能確定【答案】A【分析】用差值法比較大小，M?N=y+1x+1?【詳解】M?N=

===x?y∵x>y>0∴x(x+1)>0，x?y>0∴M?N>0故M>N.選A.【點睛】本題考查分式加減的實際應用.異分母分式相減，先通分，再按照同分母分數(shù)減法法則進行計算.還需注意本題最終計算結(jié)果是分式，可分別判斷分子和分母的符號，根據(jù)兩數(shù)相除，同號為正，異號為負判斷結(jié)果的符號.【變式5-1】（河北秦皇島·八年級期末）已知n>1，M=nn?1，N=n?1n，【答案】M>P>N【分析】根據(jù)n>1可得M>1,0<N<1,0<P<1，從而得到M最大，然后用作差法比較P,N的大小即可．【詳解】解：∵n>1，∴n?1>0,n>n?1，∴M>1,0<N<1,0<P<1，∴M最大；∵P?N=n∴P>N,∴M>P>N，故答案為：M>P>N．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)和利用作差法比較兩個代數(shù)式的大小，作差法比較大小的方法是：如果a?b>0，那么a>b；如果a?b=0，那么a=b；如果a?b<0，那么a<b；另外本題還用到了不等式的傳遞性，即如果a>b,b>c，那么a>b>c．【變式5-2】（全國·九年級競賽）已知x，y，z是三個互不相同的非零實數(shù)，設a=x2+y2+z2，b=xy+yz+zx，c=1x2【答案】

a>b

c>d【分析】根據(jù)題意利用作差法進行整式與分式的加減運算，并將結(jié)果與0比較大小即可確定兩數(shù)間的大小關(guān)系.【詳解】解：∵x，y，z是三個互不相同的非零實數(shù)，∴a?b=x∴a>b．又c?d=1∴c>d．故答案為：a>b和c>d.【點睛】本題考查式子的大小比較，用作差法得到代數(shù)式，運用完全平方公式配成完全平方的形式，根據(jù)x，y，z是互不相等的非零實數(shù)，證明代數(shù)式大于0，得到a與b，c與d的大小關(guān)系．【變式5-3】（內(nèi)蒙古·呼和浩特市國飛中學八年級期末）若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2（1）當a=3時，計算M與N的值；（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）M＝45，N＝56；（2）M＜【分析】（1）直接將a=3代入原式求出M，N的值即可；（2）直接利用分式的加減以及乘除運算法則，進而合并求出即可．【詳解】（1）當a=3時，M=3+13+2=4（2）方法一：猜想：M＜N．理由如下：M﹣N=a+1a+2?a+2a+3∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴?1（a+2）（a+3）＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜方法二：猜想：M＜N．理由如下：MN∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴a2+4a+3a2+4a+4＜1，∴【點睛】本題考查了分式的加減以及乘除運算，正確通分得出是解題的關(guān)鍵．【題型6分式的混合運算及化簡求值】【例6】（天津東麗·八年級期末）計算（1）4a（2）a【答案】（1）23a；（2）【分析】（1）先將除法寫成乘法，再計算乘法，分子、分母約分化為最簡分式；（2）先將除法寫成乘法，計算乘法得到最簡分式，再與后一項相減即可得到答案.【詳解】（1）原式＝4a3b?b（2）原式＝aa?1【點睛】此題考查分式的混合運算，先將除法化為乘法，再約分結(jié)果，再計算加減法.【變式6-1】（廣東惠州·模擬預測）先化簡，再求值：1﹣x?2yx+y÷x2?4xy+4y2x2【答案】﹣yx?2y，1【分析】原式利用除法法則變形，約分后兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結(jié)果，之后將x、y代入計算即可求得答案．【詳解】解：原式＝1﹣x?2yx+y?x+y當x＝﹣2，y＝12時，原式＝1【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練的掌握分式的運算法則是解本題的關(guān)鍵，在解題的時候，要注意式子的整理和約分．【變式6-2】（江蘇·南京玄武外國語學校八年級期中）已知分式A(a+1?（1）化簡這個分式；（2）當a＞2時，把分式A化簡結(jié)果的分子與分母同時加上4后得到分式B，問：分式B的值較原來分式A的值是變大了還是變小了？試說明理由；（3）若A的值是整數(shù)，且a也為整數(shù)，求出符合條件的所有a值的和．【答案】（1）a+2a?2【分析】（1）根據(jù)分式混合運算順序和運算法則化簡即可得；（2）根據(jù)題意列出算式A?B=a+2a?2?（3）由A=a+2a?2=1+【詳解】解：（1）A=(a+1?=a=(a+2)(a?2)=a+2a?2（2）變小了，理由如下：∵A=a+2∴B=a+6∴A?B=a+2∵a>2，∴a?2>0，a+2>4，∴A?B>0，∴分式的值變小了；（3）∵A是整數(shù)，a是整數(shù)，則A=a+2∴a?2=±1、±2、±4，∵a≠1，∴a的值可能為：3、0、4、6、-2；∴3+0+4+6+(?2)=11；∴符合條件的所有a值的和為11．【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．【變式6-3】（全國·八年級單元測試）已知x,y為整數(shù)，且滿足1x+1【答案】x+y的值為0或±1.【分析】根據(jù)平方差公式和約分法則把原式化簡，根據(jù)取整法則解答即可．【詳解】解：∵(1∴(1∴(1∴(1∴1x+1∴x+y=0或1x由1x?1由于

x，y

為整數(shù)，當y=1時，x為整數(shù)-2，則x+y=-1；當y=-1時，x為-25當y=2時，x為整數(shù)-1，則x+y=1；當y=-2時，x為-12綜上，x+y的值為0或±1．【點睛】本題考查的是分式的混合運算，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．【題型7分式中的新定義問題】【例7】（北京昌平·八年級期中）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：x+1x?1=x?1+2(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是

（填序號）；①x+33②x?5x③x?1(2)請將“和諧分式”x2(3)應用：先化簡x?xx+1÷【答案】(1)②③(2)x+3?6(3)1?3x+6，當【分析】（1）由“和諧分式”的定義對①②③④變形即可得；（2）根據(jù)“和諧分式”的定義進行變形即可求解；（3）將原式變形為1?3x+6，根據(jù)題意求得【詳解】（1）解：①x+33②x?5x③x?1x+2④x+1x2故答案為：②③；（2）解：x==x+3?6（3）解：x?=====1?3∵1?3∴x+6=±1,±3，∴當x=?3,?5,?7,?9時，1?3又∵x≠0,?1,3,?3,?6．∴x=?5,?7,?9時，原式的值是整數(shù)．【點睛】本題主要考查分式的化簡及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算法則及對和諧分式的定義的理解．【變式7-1】（江蘇·八年級）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個分式互為“n階分式”，例如分式3x+1與3x（1）分式10x3+2x與（2）設正數(shù)x,y互為倒數(shù)，求證：分式2xx+y2（3）若分式aa+4b2與2ba2【答案】（1）153+2x；（2）詳見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)分式的加法，設所求分式為A，然后進行通分求解即可；（2）根據(jù)題意首先利用倒數(shù)關(guān)系，將x，y進行消元，然后通過分式的加法化簡即可得解；（3）根據(jù)1階分式的要求對兩者相加進行分式加法化簡，通過通分化簡即可得解.【詳解】（1）依題意，所求分式為A，即：10x3+2x∴A=5?10x（2）∵正數(shù)x,y互為倒數(shù)∴xy=1，即x=∴2x∴分式2xx+y2（3）由題意得aa+4b化簡得：a(即：2ab+8∴4a2∴ab=1∵a,b為正數(shù)∴ab=1【點睛】本題主要考查了分式的加減，熟練掌握分式的通分約分運算知識是解決此類問題的關(guān)鍵.【變式7-2】（江蘇·灌南縣揚州路實驗學校八年級階段練習）定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M?N=MN，則稱分式N是分式M的“關(guān)聯(lián)分式”．如1x+1與1x+2，因為1x+1?1x+2=(1)已知分式2a2?1，則2(2)小明在求分式1x設1x2+y2∴1x∴N=1請你仿照小明的方法求分式a?b2a+3b(3)①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式y(tǒng)x②用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：若4n?2mx+m是4m+2mx+n的“關(guān)聯(lián)分式”，求實數(shù)m，【答案】(1)是(2)a?b(3)①yx+y；②【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)分式的定義進行判斷；（2）仿照題目中給到的方法進行求解；（3）①根據(jù)（1）（2）找規(guī)律求解；②由①推出的結(jié)論，類比形式求解即可.（1）解：∵2a2?1-2a2+1=4∴2a2+1故答案為：是（2）解：設a?b2a+3b的“關(guān)聯(lián)分式”為N，則a?b∴a?b2a+3b∴N=a?b（3）解：①設yx的“關(guān)聯(lián)分式”為N，則y∴yx∴N=y故答案為：yx+y②由題意，可得4m+2=4n?2mx+m=mx+n+4m+2整理得n?m=1,解得m=?3【點睛】本題是創(chuàng)新探究類題目，讀懂題目中的新定義并熟練地掌握分式的混合運算是解決本題的關(guān)鍵.【變式7-3】（江西南昌·八年級期末）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個分式互為“n和分式”．例如：5x+1+5xx+1=5（1）分式4x+1（2）分式2xx+y與分式2y（3）已知xy=1，兩個分式1x+1與1y+1是否是“n和分式”？如果是，請求出（4）若分式3xx+y2與3yx2+y互為“3和分式”（其中【答案】（1）4xx+1；（2）2；（3）是，1x+1與1y+1是“1和分式”，即【分析】（1）設這個分式為W，根據(jù)題意可知W+4（2）根據(jù)2xx+y（3）根據(jù)xy=1，則1y+1=1（4）由題意可得3xx+y2【詳解】解：（1）設這個分式為W，根據(jù)題意可知W+W=4?4（2）2x∴2xx+y與2y（3）∵xy=1，∴y=∴1∴1∴1x+1與1∴n=1（4）∵3xx+y23x3x3xy=1【點睛】本題主要考查了分式的加法運算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.【題型8分式運算的規(guī)律探究】【例8】（江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學八年級期中）對于正數(shù)x，規(guī)定f（x）＝11+x，例如：f（3）＝11+3=14，f（13）=131+13=1?14，計算：f（12006）+f（12005）+f（12004）+…f（13）+【答案】2006【分析】首先根據(jù)fx=11+x可以得到f1x=x1+x=1?1【詳解】∵f∴f原式=1-==2006故答案是：2006．【點睛】本題主要考查分式的計算以及分式的代數(shù)求值，準確的根據(jù)已知條件表示出f1【變式8-1】（安徽安慶·七年級期末）觀察以下等式：第1個等式：23第2個等式：44第3個等式：65第4個等式：86第5個等式：107按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：___________；(2)寫出你猜想的第n個等式：__________（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)12(2)2n(n+2)【分析】（1）根據(jù)題目中前5個等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，從而可以寫出第6個等式；（2）把上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母n表示出來，并運用分式的混合運算法則計算等號的右邊的值，進而得到左右相等便可．(1)解：128(2)解：2n(n+2)左邊=2n∴等式成立．【點睛】本題考查數(shù)字的變化類，明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，寫出相應的等式，并證明猜想的正確性是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（江蘇泰州·八年級期中）【探究思考】（1）探究一：觀察分式x?1x的變形過程和結(jié)果，x?1填空：若x為小于10的正整數(shù)，則當x=_______時，分式x?1x（2）探究二：觀察分式a2a2模仿以上分式的變形過程和結(jié)果求出分式x2【問題解決】（3）當?2<x≤1時，求分式x2【答案】（1）9；（2）x+3+2x?1【分析】（1）可以利用探究一求出；（2）可以利用探究二解決；（3）分類討論，利用（1）（2）的方法解決即可．【詳解】（1）∵x?1x∵x為小于10的正整數(shù)，∴當x=9時，分式x?1x故答案為：9．（2）x2（3）解：當-2＜x≤0時，x2∴當x=0時，原分式有最小值為12當0≤x≤1時，原式=x∴當x=0時，原分式有最小值為12∴當-2＜x≤1時，分式x2?2x【點睛】本題主要考查了分式的復雜運算，綜合性比較強，對于學生的能力要求比較高．【變式8-3】（安徽·合肥市第四十五中學七年級階段練習）知識與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、結(jié)論的重要方法．閱讀材料：利用整體思想解題，運用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設元；（3）整體代入；（4）整體求和等．例1：分解因式x解：將“x2+2x原式=y例2：已知ab=1，求11+a解：1請根據(jù)閱讀材料利用整體思想解答下列問題：(1)根據(jù)材料，請你模仿例1嘗試對多項式x2(2)計算：1?2?3???2021×(3)①已知ab=1，求11+②若abc=1，直接寫出5aab+a+1【答案】(1)x?34(2)2022；(3)①1，②5．【分析】（1）將x2?6x+8看成一個整體，令（2）將1?2?3???2021看成一個整體，令1?2?3???2021=x，將2+3+?+2022看成一個整體，令（3）①將ab=1代入11+a2求解即可；②將abc=1，代入5aab+a+1中得到原式=51+bb+1+bc(1)解：將x2?6x+8看成一個整體，令則原式=yy+2(2)解：將1?2?3???2021看成一個整體，令1?2?3???2021=x，將2+3+?+2022看成一個整體，令則原式=xy?==2022．(3)解：①∵ab=1，∴1===1②∵abc=1，∴5a=======5．【點睛】本題考查整體思想，完全平方公式，整式的運算，分式運算法則，解題的關(guān)鍵是掌握整體思想，看懂例題．【知識點3整數(shù)指數(shù)冪的運算】1.整數(shù)負指數(shù)冪：。2.若，且a≠0，則m=n；反之，若a≠0，且m=n，則。據(jù)此，可解決某些條件求值問題。【題型9整數(shù)指數(shù)冪的運算】【例9】（湖南師大附中博才實驗中學八年級期末）（1）計算：4x（2）化簡：xy【答案】（1）