自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章的主要內(nèi)容

控制系統(tǒng)的微分方程-建立和求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-等效變換控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖-梅遜公式概述[數(shù)學(xué)模型]：描述控制系統(tǒng)變量（物理量）之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。例如對(duì)一個(gè)微分方程，若已知初值和輸入值，對(duì)微分方程求解，就可以得出輸出量的時(shí)域表達(dá)式。據(jù)此可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的第一步也是最重要的一步。控制系統(tǒng)如按照數(shù)學(xué)模型分類的話，可以分為線性和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)。[線性系統(tǒng)]：如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。疊加原理說明，兩個(gè)不同的作用函數(shù)同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個(gè)作用函數(shù)單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。線性系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)輸入量同時(shí)作用的響應(yīng)可以一個(gè)一個(gè)地處理，然后對(duì)每一個(gè)輸入量響應(yīng)的結(jié)果進(jìn)行疊加。[線性定常系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)]：可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時(shí)間的函數(shù)，則這類系統(tǒng)為線性時(shí)變系統(tǒng)。宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時(shí)變控制的一個(gè)例子（宇宙飛船的質(zhì)量隨著燃料的消耗而變化）。古典控制理論中（我們所正在學(xué)習(xí)的），采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對(duì)線性定常系統(tǒng)，對(duì)于非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，解決問題的能力是極其有限的。[非線性系統(tǒng)]：如果不能應(yīng)用疊加原理，則系統(tǒng)是非線性的。下面是非線性系統(tǒng)的一些例子：

微分方程的編寫應(yīng)根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進(jìn)行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。2.1控制系統(tǒng)的微分方程由②：，代入①得：這是一個(gè)線性定常二階微分方程。①②[解]：據(jù)基爾霍夫電路定理：輸入輸出LRCi[例2-1]：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。[例2-2]求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。mfmFF圖2圖1根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個(gè)兩階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國(guó)際單位制中，m,f和k的單位分別為：[例2-3]電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)這里輸入是電樞電壓ua和等效到電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mc，輸出是轉(zhuǎn)速w

電樞回路方程為

其中ea

為反電勢(shì)此時(shí)激磁電流為常數(shù)，所以Ce稱為電動(dòng)機(jī)電勢(shì)常數(shù)

Cm稱為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)，再根據(jù)牛頓定律可得機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)方程電機(jī)通電后產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩其中和分別稱為電磁時(shí)間常數(shù)和機(jī)電時(shí)間常數(shù)整理得分別是轉(zhuǎn)速與電壓傳遞系數(shù)和轉(zhuǎn)速與負(fù)載和傳遞系數(shù)。這里已略去摩擦力和扭轉(zhuǎn)彈性力。3.線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟：⑴確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對(duì)系統(tǒng)中每一個(gè)元件列寫出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理的方程。⑶對(duì)上述方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，比如略去一些對(duì)系統(tǒng)影響小的次要因素，對(duì)非線性元部件進(jìn)行線性化等。⑷從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。[例2-4]：編寫下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。負(fù)載-+-+功率放大器測(cè)速發(fā)電機(jī)[解]：⑴該系統(tǒng)的組成和原理；⑵該系統(tǒng)的輸出量是，輸入量是，擾動(dòng)量是⑸消去中間變量：推出之間的關(guān)系：顯然，轉(zhuǎn)速既與輸入量有關(guān)，也與干擾有關(guān)。⑷各環(huán)節(jié)微分方程：運(yùn)放Ⅰ：，運(yùn)放Ⅱ：功率放大：，反饋環(huán)節(jié)：電動(dòng)機(jī)環(huán)節(jié)：見例2-4測(cè)速-運(yùn)放Ⅰ運(yùn)放Ⅱ功放電動(dòng)機(jī)⑶速度控制系統(tǒng)方塊圖：⑴對(duì)于恒值調(diào)速系統(tǒng)，=常量，則。轉(zhuǎn)速的變化僅由負(fù)載干擾引起。增量表達(dá)式如下：⑵對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，則=常數(shù)，，故：根據(jù)上式可以討論輸出轉(zhuǎn)速跟隨給定輸入電壓的變化情況。⑶若和都是變化的，則對(duì)于線性系統(tǒng)應(yīng)用疊加原理分別討論兩種輸入作用引起的轉(zhuǎn)速變化，然后相加。[增量式分析](上式等號(hào)兩端取增量)：4、線性方程的求解：研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況。方法有經(jīng)典法，拉氏變換法和數(shù)字求解。在自動(dòng)系統(tǒng)理論中主要使用拉氏變換法。[拉氏變換求微分方程解的步驟]：①對(duì)微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，將時(shí)域方程轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程。②求拉氏反變換，求得輸出函數(shù)的時(shí)域解。線性微分方程的求解

非線性元件微分方程的線性化具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)的線性化，可用切線法或小偏差法。在一個(gè)小范圍內(nèi)，將非線性特性用一斷直線來代替。（分段定常系統(tǒng)）一個(gè)變量的非線性函數(shù)y=f(x)在x0處連續(xù)可微，則可將它在該點(diǎn)附件用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，則有

令Δy=kΔxk比例系數(shù)，函數(shù)在x0點(diǎn)切線的斜率兩個(gè)變量的非線性函數(shù)y=f(x1,x2)，同樣可在某工作點(diǎn)（x10,x20）附近用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開為

略去二級(jí)以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并令Δy＝y(tǒng)-f(x10,x20)

這種小偏差線性化方法對(duì)于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的，平衡點(diǎn)附近，偏差一般不會(huì)很大，都是“小偏差點(diǎn)”。

一、傳遞函數(shù)的基本概念將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸出量的拉氏變換之比。式中：x（t）—輸入，y（t）—輸出為常系數(shù)設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：當(dāng)傳遞函數(shù)和輸入已知時(shí)Y(s)=G(s)X(s)。通過反變換可求出時(shí)域表達(dá)式y(tǒng)(t)。稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)[關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明]傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對(duì)應(yīng)。且與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性一一對(duì)應(yīng)。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個(gè)輸入信號(hào)，在求傳遞函數(shù)時(shí)，除了一個(gè)有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時(shí)稱為n階系統(tǒng)。[例1]求電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)。[解]已知電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為：方程兩邊求拉氏變換為：令，得轉(zhuǎn)速對(duì)電樞電壓的傳遞函數(shù)：令，得轉(zhuǎn)速對(duì)負(fù)載力矩的傳遞函數(shù)：最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：[例2]求下圖的傳遞函數(shù)：[傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式]：表示為有理分式形式：式中：—為實(shí)常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。表示成零點(diǎn)、極點(diǎn)形式：式中：稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)?！獋鬟f系數(shù)寫成時(shí)間常數(shù)形式：分別稱為時(shí)間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)顯然：，若零點(diǎn)或極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項(xiàng)來表示。若為共軛復(fù)極點(diǎn)，則：或其系數(shù)由或求得；若有零值極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡(jiǎn)單、最基本的一些形式。式中：或：說明：1）傳遞函數(shù)是線性定常系統(tǒng)在復(fù)頻域里的數(shù)學(xué)模型，其與微分方程一樣，包含了系統(tǒng)有關(guān)動(dòng)態(tài)方面的信息。2）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，當(dāng)初始條件不為零時(shí)，傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)的全部特點(diǎn)。3）傳遞函數(shù)反映的是系統(tǒng)本身的一種屬性，其各項(xiàng)系數(shù)完全取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。4）傳遞函數(shù)包含聯(lián)系輸入量與輸出量所必須的單位，但是它不提供有關(guān)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)的任何信息（許多物理上完全不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)）。5）如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)已知，則可以針對(duì)各種不同形式的輸入量研究系統(tǒng)的輸出或響應(yīng)，以便掌握系統(tǒng)的性質(zhì)。自動(dòng)控制系統(tǒng)是由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的，典型環(huán)節(jié)包括比例環(huán)節(jié)，慣性環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)，微分環(huán)節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)，一階比例微分環(huán)節(jié)，二階比例微分環(huán)節(jié)，不穩(wěn)定環(huán)節(jié)，延遲環(huán)節(jié)等。幾個(gè)基本公式：--c(t)對(duì)控制信號(hào)r(t)的閉環(huán)傳函記為,即

c(t)對(duì)擾動(dòng)信號(hào)f(t)的閉環(huán)傳函記為

ε(t)對(duì)控制信號(hào)r(t)的閉環(huán)傳函記為

ε(t)對(duì)干擾信號(hào)f(t)閉環(huán)傳函記為

若H(s)=1,

共同規(guī)律如下：

其分子等于對(duì)應(yīng)所求的閉環(huán)傳遞函數(shù)的輸入信號(hào)到輸出信號(hào)所經(jīng)過的傳遞函數(shù)的乘積，并賦以符號(hào)，其分母等于1加上開環(huán)傳函。

若H(s)=1,

信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向，在直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。（2）比較點(diǎn)（合成點(diǎn)、綜合點(diǎn)）SummingPoint

兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號(hào)進(jìn)行加減比較的元件?！?”表示相加，“-”表示相減。“+”號(hào)可省略不寫。2.3控制系統(tǒng)的方塊圖、信號(hào)流圖控制系統(tǒng)的方塊圖是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)流向的圖解表示法。1.方塊圖元素

（1）方塊（BlockDiagram）:表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關(guān)系。注意：進(jìn)行相加減的量，必須具有相同的量剛。(3)分支點(diǎn)（引出點(diǎn)、測(cè)量點(diǎn)）BranchPoint表示信號(hào)測(cè)量或引出的位置注意：同一位置引出的信號(hào)大小和性質(zhì)完全一樣。2.幾個(gè)基本概念及術(shù)語(1)前向通路傳遞函數(shù)--假設(shè)N(s)=0

打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。等價(jià)于C(s)與誤差E(s)之比(2)反饋回路傳遞函數(shù)假設(shè)N(s)=0

主反饋信號(hào)B(s)與輸出信號(hào)C(s)之比。(3)開環(huán)傳遞函數(shù)Open-loopTransferFunction假設(shè)N(s)=0主反饋信號(hào)B(s)與誤差信號(hào)E(s)之比。(4)閉環(huán)傳遞函數(shù)Closed-loopTransferFunction假設(shè)N(s)=0

輸出信號(hào)C(s)與輸入信號(hào)R(s)之比。推導(dǎo)：因?yàn)橛疫呉七^來整理得請(qǐng)記住**(5)誤差傳遞函數(shù)假設(shè)N(s)=0

誤差信號(hào)E(s)與輸入信號(hào)R(s)之比。代入上式，消去G(s)即得：將即輸出對(duì)擾動(dòng)的結(jié)構(gòu)圖利用公式**，直接可得：

(6)輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=0**（7）誤差對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=0

誤差對(duì)擾動(dòng)的結(jié)構(gòu)圖

利用公式**，直接可得：**3.結(jié)構(gòu)圖三種基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串聯(lián)并聯(lián)反饋2相鄰綜合點(diǎn)可互換位置、可合并…結(jié)構(gòu)圖等效變換方法1三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式3相鄰引出點(diǎn)可互換位置、可合并…注意事項(xiàng)

1不是典型結(jié)構(gòu)不可直接用公式

2引出點(diǎn)綜合點(diǎn)相鄰，不可互換位置引出點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41請(qǐng)你寫出結(jié)果,行嗎？G2H1G1G3綜合點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3H1錯(cuò)！G2無用功向同類移動(dòng)G1G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H14.方塊圖的繪制（1）考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框（塊）表示。（2）根據(jù)各元部件的信號(hào)流向，用信號(hào)線依次將各方塊連接起來，便可得到系統(tǒng)的方塊圖。系統(tǒng)方塊圖-也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種。

5.信號(hào)流圖及Mason公式例1:x2

=a12

x1

a12x1x2

a12x1x2方框圖信號(hào)流圖例2:x2=a12x1+a32x3

x3=a13x1+a23x2+a33x3

x4=a24x2+a34x3x1輸入節(jié)點(diǎn)x4輸出節(jié)點(diǎn)x2，x3中間節(jié)點(diǎn)（混合節(jié)點(diǎn)）EiEEoI1II2++－－由方框圖到信號(hào)流圖，有些中間變量可以不表示出來，如I1。有些中間變量（位于綜合點(diǎn)前，有輸出）必須表示出來，如Ei和E，用單位增益支路將它們分開。

G1

G2RE1UYE1+－+－1-111-