中考數(shù)學二輪復習平行四邊形知識點總結及解析

中考數(shù)學二輪復習平行四邊形知識點總結及解析

一、選擇題

1.如圖，QABCD中，對角線AC,BD相交于O,BD=2AD,E,F,G分別是0C,0D,AB

的中點，下列結論

①BE_LAC

②四邊形BEFG是平行四邊形

③EG=GF

④EA平分NGEF

其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

2.在邊長為2的正方形A8CO中，P為A8上的一動點，E為4）中點，PE交CD延

長線于Q,過E作EFLPQ交的延長線于尸，則下列結論：①AAPEMADQE；

②PQ=EF；③當P為A8中點時，CF=6；④若H為QC的中點，當P從A移動

到8時，線段石”掃過的面積為!，其中正確的是（）

2

A.①②B.①②④C.②③④D.①②③

3.如圖，菱形4B8中，A8=4,NA8C=120,點E是邊A6上一點，占尸在BC

上，下列選項中不正確的是（）

A.若AE+B=4,則八4。￡烏八8。尸

B.若。ELA。，OE_LCO,則后尸=2百

C.若ZDEB=ND",則MEF的周長最小值為4+2百

D.若DE=DF，則/ADE+NFDC=60°

4.如圖,矩形ABCD中,AB=5,AD=4,M是邊CD上一點,將△ADM沿直線AM對折,得△ANM,

連BN,若DM=1,則4ABN的面積是（）

5.如圖，在矩形ABC。中，4。=14。,從后平分/胡。交。。于點￡,給出以下結

2

論：①△ADE為等腰直角三角形；②A50C為等邊三角形；③NOOE=70°；

④NE0C=3NEAC;⑤是她。。的中位線.其中正確的結論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

6.如圖，在矩形ABC。中，P是邊4。上的動點，PELAC于E，PF_LBD于F，

如果AB=3,A￡>=4,那么（）

C.PE+PF=5D.3<PE+PF<4

7.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是8c邊上一點，將矩形沿AE折疊，點B落

在點F處，當△8,EC是直角三角形時，8E的長為（)

D

B'

A.2B.6C.3或6D.2或3或6

8.如圖，在正方形A8CD中，E為8C上一點，過點E作EF〃CD,交AD于F,交對角線

BD于G,取。G的中點H,連結AH,EH,FH.下列結論：①NEFH=45。；

BESMH11

②△AHgAEHF；③NAEF+/HAD=45°；④若——=2,則----=—?其中結論正確

ECSAHE13

的是（）

BA

CD

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

9.如圖，在矩形A8CD中，48=8,BC=4.將矩形沿AC折疊，CD'與AB交于點F,則

5

C.D.6

4

10.如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，D為邊BC上一點、,且.點

2

E，產(chǎn)分別在邊48,AC上，且NEDF=90°,“為邊跖的中點，連接CM交。E

于點N.若DF/IAB,則CM的長為（）

A.—2>/3B.3—C.5—下>D.

346V

二、填空題

11.如圖，以RtABC的斜邊AB為一邊，在AB的右側作正方形ABED,正方形對角線交

于點0，連接8,如果AC=4,8=6夜，那么BC=.

12.已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點P在直線8c上，點。在直線8上，且

2

AP±PQ,當AP=P。時，AP=.

13.如圖，&AA8E中，/8=90°,48=8后，將公45后繞點4逆時針旋轉45°，得到

過。作。C_LB￡交3E的延長線于點C,連接8”并延長交OC于點/，連接

DE交BF于點0.下列結論：①DE平分NHDC；②。O=OE；③CD=HF；

④BC-CF=2CE；⑤〃是BE的中點，其中正確的是

14.在平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上運動，點M為線段

AB的中點.點D、E分別在x軸、y軸的負半軸上運動，且DE=AB=10.以DE為邊在第

三象限內作正方形DGFE,則線段MG長度的最大值為.

15.已知：一組鄰邊分別為6cm和10?！ǖ钠叫兴倪呅蜛BC。，NZM3和NABC的平分

線分別交C。所在直線于點E,F,則線段￡尸的長為cm.

16.已知：如圖，在A5C中，ADVBC,垂足為點。，BELAC＜垂足為點E，

M為A3邊的中點，連結ME、MD、ED，設A3=4，N2XC=3O。則

EM=；EDM的面積為，

A

17.如圖，點E、F分別在平行四邊形A8C。邊8c和4。上（E、F都不與兩端點重合），

連結AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于點G,DE和CF交于點H.令——=〃，

BC

EC

一=〃?.若機=〃，則圖中有個平行四邊形（不添加別的輔助線）：若

BC

rn+n=\,且四邊形A8CD的面積為28,則四邊形FGEH的面積為.

18.如圖，在△A8C中，AB=AC,E,F分別是BC,AC的中點，以AC為斜邊作Rt/XAOC,

若NCAD=/8AC=45。，則下列結論：?CD//EF；②EF=DF；③DE平分NCDF；④NDEC=

30°；⑤）AB=6CD；其中正確的是（填序號）

19.如圖，在四邊形ABC。中，AT>//8C,45=5,3C=18,E是BC的中點.點p以每秒

1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿向點。運動;點。同時以每秒3個單位長度的速度

從點C出發(fā)，沿CB向點B運動.點P停止運動時，點。也隨之停止運動，當運動時間為

r秒時，以點。,2旦。為頂點的四邊形是平行四邊形，則f的值等于

20.如圖所示，已知A8=6,點C,。在線段AB上，AC=DB=1,P是線段CD上的動

點，分別以AP,PB為邊在線段A8的同側作等邊△屣?和等邊連接EF,設EF的中

點為G,當點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是

三、解答題

21.在等邊三角形ABC中，點D為直線BC上一動點（點D不與B,C重合），以AD為邊

在AD的上方作菱形ADEF,且/DAF=60。，連接CF.

（1）（觀察猜想）如圖（1）,當點D在線段CB上時，

@ZBCF=。；

②BC,CD,CF之間數(shù)量關系為.

（2）（數(shù)學思考）：如圖（2）,當點D在線段CB的延長線上時，（1）中兩個結論是否

仍然成立？請說明理由.

（3）（拓展應用）：如圖（3）,當點D在線段BC的延長線上時，若A8=6,

CD=；BC,請直接寫出CF的長及菱形ADEF的面積.

圖(2)圖(3)

22.綜合與探究

(1)如圖1,在正方形ABCD中，E是上一點，E是AO延長線上一點，且

DF=BE.CE和CF之間有怎樣的關系.請說明理由.

(2)如圖2,在正方形ABC。中，E是A3上一點，G是上一點，如果

NGCE=45°，請你利用(1)的結論證明：GE=BE+CD.

(3)運用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖3在直角梯形ABCD

中，AD//BC(BC>AD),N3=90°,AB=BC=\2,E是A3上一點，且

Z￡)CE=45°,BE=4,求。E的長.

23.如圖，在邊長為1的正方形ABC。中，E是邊。。的中點，點P是邊上一點

(與點A、。不重合)，射線PE與的延長線交于點。.

APD

&

BC0

(1)求證：bPDE^kQCE；

(2)若=P。，點F是BP的中點，連結￡F、AF,

①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；

②求PE的長.

24.如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上任意一點，請你僅用無刻度的直尺，用

連線的方法，分別在圖（1）、圖（2）中按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（1）在如圖（1）的A3邊上求作一點N,連接CN,使CN=AM；

（2）在如圖（2）的A。邊上求作一點。，連接CQ,使CQPA".

25.我們知道平行四邊形有很多性質，現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻

折，會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結論.

（發(fā)現(xiàn)與證明）A3C。中，AB^BC,將△鉆C沿AC翻折至AA9C,連結

結論1：與ABC。重疊部分的圖形是等腰三角形；

結論2：BDPAC.

試證明以上結論.

（應用與探究）

在ABC。中，已知3c=2,NB=45，將AABC沿AC翻折至AAB'C,連結B'D

若以A、C、D、夕為頂點的四邊形是正方形，求AC的長.（要求畫出圖形）

26.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,NA的角平分線交邊CD于點E.點P從點A出發(fā)

沿射線AE以每秒2個單位長度的速度運動，Q為AP的中點，過點Q作QHJ_AB于點H,

在射線AE的下方作平行四邊形PQHM（點M在點H的右側），設P點運動時間為f秒.

（1）直接寫出AQ"的面積（用含，的代數(shù)式表示）.

（2）當點M落在BC邊上時，求f的值.

（3）在運動過程中，整個圖形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，請寫出所有

全等三角形，并求出對應的r的值；若不存在請說明理由（不能添加輔助線）.

27.在平面直角坐標中，四邊形OCNM為矩形，如圖1,M點坐標為（m,0）,C點坐標

（2）①如圖1,P,Q分別為OM,MN上一點，若/PCQ=45。，求證：PQ=OP+NQ；

②如圖2,S,G,R,H分別為OC,OM,MN,NC上一點，SR,HG交于點D.若NSDG=

135°,HG=上叵，則RS=:

2

（3）如圖3,在矩形OABC中，OA=5,OC=3,點F在邊BC上且OF=OA,連接AF,動

點P在線段OF是（動點P與。，F(xiàn)不重合），動點Q在線段0A的延長線上，且AQ=

FP,連接PQ交AF于點N,作PMLAF于M.試問：當P,Q在移動過程中，線段MN的

長度是否發(fā)生變化？若不變求出線段MN的長度；若變化，請說明理由.

28.在正方形4BCZ）中，連接BD,P為射線CB上的一個動點（與點C不重合），連接4P,

AP的垂直平分線交線段80于點E,連接4E,PE.

提出問題：當點P運動時，乙4PE的度數(shù)是否發(fā)生改變？

探究問題：

（1）首先考察點P的兩個特殊位置：

①當點P與點B重合時，如圖1所示，44PE=°

②當BP=BC時，如圖2所示，①中的結論是否發(fā)生變化？直接寫出你的結論：

；（填"變化"或"不變化"）

（2）然后考察點P的一般位置：依題意補全圖3,圖4,通過觀察、測量，發(fā)現(xiàn)：（1）中

①的結論在一般情況下；（填"成立"或"不成立"）

（3）證明猜想：若（1）中①的結論在一般情況下成立，請從圖3和圖4中任選一個進行

證明；若不成立，請說明理由.

29.在四邊形ABCD中，對角線AC、8。相交于點。，過點。的直線EF,GH分別交邊

AB、CD,AD,BC于點E、F、G、H.

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①，若四邊形ABCD是正方形，且EF_LGH,易知SABOE=SAAOG，又因

為四邊形ABCD，所以S四邊形AEOG=____S正方形ABCD；

4

（2）類比探究：如圖②，若四邊形48CD是矩形，且S四邊形AEOG=—S矩形A88,若48=。，

4

AD=bfBE=m,求4G的長（用含。、b、m的代數(shù)式表示）；

（3）拓展遷移：如圖③，若四邊形A8CD是平行四邊形，且S四邊形A￡0G=-S3ABCD,若4B=

30.已知，矩形ABC。中，AB=4cm,BC=Scmf4c的垂直平分E尸線分別交

AD.BC于點、E、F,垂足為。.

（1）如圖1,連接反、CE,求證：四邊形AECE為菱形；

（2）如圖2,動點P、。分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AEB和△C0E各邊勻速運

動一周，即點P自Af尸fBfA停止，點。自。一。fEfC停止.在運動過程

中，

①已知點P的速度為每秒5cm，點。的速度為每秒4cm,運動時間為/秒，當

A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，則/=.

②若點P、。的運動路程分別為a、b（單位:cm,而工0）,已知A、C、P、Q四點為頂

點的四邊形是平行四邊形，則”與b滿足的數(shù)量關系式為.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

由平行四邊形的性質可得OB=BC,由等腰三角形的性質可判斷①正確，由直角三角形的性

質和三角形中位線定理可判斷③錯誤，由BG=EF,BG〃EF〃CD可證四邊形BEFG是平行四

邊形，可得②正確.由平行線的性質和等腰三角形的性質可判斷④正確.

【詳解】

???四邊形ABCD是平行四邊形，

1

BO=DO=-BD,AD=BC,AB=CD,ABIIBC,

2

丈；BD=2AD,

OB=BC=OD=DA,且點E是。C中點，

BE±AC,

故①正確，

???E、F分別是OC、OD的中點，

1

EFIICD,EF=-CD,

2

?點G是RtAABE斜邊AB上的中點，

1

GE=—AB=AG=BG,

2

EG=EF=AG=BG,無法證明GE=GF,

故③錯誤，

???BG=EF,BGIIEFIICD,

四邊形BEFG是平行四邊形，

故②正確，

,/EFIICDIIAB,

/.ZBAC=ZACD=ZAEF,

AG=GE,

NGAE=ZAEG,

ZAEG=ZAEF,

...AE平分NGEF,故④正確,

故選B.

【點睛】

本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定

理等知識，靈活運用相關的性質定理、綜合運用知識是解題的關鍵.

2.B

解析：B

【分析】

利用正方形的性質、全等三角形的性質、勾股定理等知識依次判斷即可；

【詳解】

解：①???四邊形ABCD是正方形，

；.AB=BC=CD=AD,/A=NB=90°,

VZA=ZEDQ,ZAEP=ZQED,AE=ED,

.,.△AEP^ADEQ,故①正確，

②作PG_LCD于G,EM_LBC于M,

，/PGQ=NEMF=90°,

；EF_LPQ,

.\ZPEF=90°,

AZPEN+ZNEF=90",

VZNPE+ZNEP=90°,

/.ZNPE=ZNEF,

VPG=EM,

.".△EFM^APQG,

；.EF=PQ,故②正確，

③連接QF.則QF=PF,PB2+BF2=QC2+CF2,設CF=x,

則（2+x）2+#=32+X2,

x=l,故③錯誤，

④當P在A點時，Q與D重合，QC的中點H在DC的中點S處，當P運動到B時，QC的

中點H與D重合，

故EH掃過的面積為4ESD的面積=},故④正確，

則正確的是①②④，故選B.

本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會

添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，難度較大.

3.D

解析：D

【分析】

A.正確，只要證明ADE=8c尸即可；

B.正確，只要證明8C,進而得到EDF是等邊三角形,進而得到結論：

C.正確，只要證明DBE=DC產(chǎn)得出DEF是等邊三角形,因為8E尸的周長為

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,所以等邊三角形。石尸的邊長

最小時，3石廠的周長最小，只要求出。石E的邊長最小值即可；

D.錯誤，當EF4C時，DE=DF，由此即可判斷.

【詳解】

A正確，理由如下：

四邊形四8是平行四邊形，ZABC=120°

AD=DC=BC=AB=4,ZABD=ZDBC=60°,

ADB、3OC都是等邊三角形，

AD=BD,ZDAE=ZDBF=60°,

AE+CF=4,BF+CF=4,

：.AE=BF,

又AD=BD,=ZDBF,

：.ADE=BDF.

B正確，理由如下：

DF±AD,ADBC,

:.DFrBC,

OBC是等邊三角形,

NBDF=30°,DF=—CD=2瓜

2

同理NBDE=30°,DE=2百，

:.DE=DF,ZEDF=6O°,

：.KDF是等邊三角形，

EF=DE=2G

C正確，理由如下：

ZDBE=ZDCF,ZDEB=ZDFC,DB=DC,

DBEsDCF,

DE=DF,ZBDE=ZCDF,BE=CF,

：.ZEDF=ZBDC=60°,

：.DEF是等邊三角形，

班正的周長為：

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,

，等邊三角形。所邊長最小時，跖下的周長最小，

二當時，DE最小為2百，

8石廠的周長最小值為4+2行.

D錯誤，當EFAC時，DE=DF，此時NADE+NFQC時變化的不是定值，故錯誤.

故選D.

【點睛】

本題主要考查全等的判定的同時，結合等邊三角形的性質，涉及到最值問題，仔細分析圖

形，明確圖形中的全等三角形是解決問題的關鍵.

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

延長MN交AB延長線于點Q,由矩形的性質得出NDMA=/MAQ,由折疊性質得出

ZDMA=ZAMQ,AN=AD=4,MN=MD=1,得出NMAQ=NAMQ,證出MQ=AQ,設NQ=x,

則AQ=MQ=l+x,證出/ANQ=90。，在R3ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出

NQ=7.5,AQ=8.5,即可求出AABN的面積.

【詳解】

解：延長MN交AB延長線于點Q,

?.,四邊形ABCD是矩形，

；.AB〃DC,

NDMA=NMAQ,

由折疊性質得：AANM絲△ADM,

.\ZDMA=ZAMQ,AN=AD=4,MN=MD=1,

/.ZMAQ=ZAMQ,

；.MQ=AQ,

設NQ=x,則AQ=MQ=l+x,

/ANM=90°,

NANQ=90°,

在RtZ^ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AW+NQ2,

(x+1)2=42+x2,

解得：x=7.5,

，NQ=7.5,AQ=8.5,

VAB=5,AQ=8.5,

10101101150

??SANAB=YySANAQ-Y^^AN,NQ.=-r-=-x—x4x7,5=._；

故選：D.

【點睛】

本題考查折疊的性質勾股定理等知識；本題綜合性強，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的

性質是解題的關鍵.

5.B

解析：B

【分析】

由矩形的性質可得AO=CO=DO=BO,NDAB=NABC=NDCB=NCDA=90。，ADIIBC,

ABIICD,由角平分線的性質和平行線的性質可判斷①，由銳角三角函數(shù)可求NACD=

30。，即可判斷②，由三角形內角和定理可求NDOE的度數(shù)，即可判斷③④，由直角三角

形的性質可求CE的長，即可判斷⑤.

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形

AO=CO=DO=BO,NDAB=NABC=NDCB=NCDA=90°,ADIIBC,ABIICD

?「AE平分NBAD

/.ZDAE=NEAB=45°

,/ABIICD

ZDEA=NEAB=45°

ZDEA=NDAE=45°

AD=DE,且NADE=90°

「.△ADE是等腰直角三角形

故①正確

1

；AD=-AC,NADC=90°

2

ZACD=30°

ZOCB=60°,且OB=OC

△OBC是等邊三角形

故②正確

；△OBC是等邊三角形

OB=OC=BC

OD=OA=AD=OC=OB

二NODA=NOAD=NDOA=60。，NOCD=NODC=30。，且。D=DE

1800-30°

ZDOE=-----------------=75"

2

故③錯誤

???ZEAC=ZOAD-ZDAE=15",ZEOC=ZDOC-ZDOE=1800-ZDOA-75°=120°-75°=45°

ZEOC=3NEAC

故④正確

ZACD=30",

1

.,.AD=—AC,AC=2AD

2

:.CD=Q(2AD?-AD?=6AD,且DE=DO=AD

/.CE=&AD-ADHDE

OE不是△ACD的中位線，

故⑤錯誤

故選：B.

【點睛】

本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，求出NACD=30。

是本題的關鍵.

6.A

解析：A

【分析】

設AC、BD交于點0,連接。P,根據(jù)矩形的性質及勾股定理求出OA=OD=2.5,再求出

△AOD的面積，根據(jù)面積關系即可求出答案.

【詳解】

設AC、BD交于點O,連接。P,

,/AB=3,AD=4,

；.BD=AC=5,

.?.OA=OD=2,5,

??,SAOD=；S矩形ABC。=；X3X4=3,

+SDOP~3,

PFLBD于F，

：.-x2.5PE+-x2.5PF^3,

22

-x-(PE+PF)=3,

22

：.PE+PF=—

5

故選：A.

【點睛】

此題考查矩形的性質，勾股定理，根據(jù)矩形的性質求出AAOD的面積是解題的關鍵.

7.C

解析：C

【分析】

分以下兩種情況求解：①當點夕落在矩形內部時，連接AC,先利用勾股定理計算出AC

=10,根據(jù)折疊的性質得/A8'E=NB=90°,而當AB，EC為直角三角形時，只能得到

ZEB'C=90°,所以點48'、C共線，即NB沿AE折疊，使點8落在對角線AC上的

點8'處，則EB=EB',AB=AB'=6,可計算出CB'=4,設BE=x,則EB'=x,CE=

8-x,然后在Rt^CEB'中運用勾股定理可計算出x.

②當點8,落在AD邊上時.此時四邊形ABEB，為正方形，求出BE的長即可.

【詳解】

解：當△夕EC為直角三角形時，有兩種情況：

①當點夕落在矩形內部時，如圖1所示.連結AC,

圖1

在Rt/XABC中，48=6,BC=8,

-'-AC—,8?+6?=10,

???/B沿AE折疊，使點B落在點8'處，

AZAB'E=N8=90°,

當EC為直角三角形時，得到NEB'C=90°,

...點A、8'、C共線，即NB沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B'處，如圖,

：.EB^EB',AB=AB'=6,

CB'=10-6=4,

設BE=x,則EB'=x,CE=8-x,

在RtZ\B'EC中，

"：EB'2+CB'2=CE2,

.'.x2+42—(8-x)2,

解得x=3,

，BE=3；

②當點B'落在A。邊上時，如圖2所示.

此時A8EB'為正方形，

；.BE=AB=6.

綜上所述，8E的長為3或6.

故選：C.

【點睛】

本題考查了折疊變換的性質、直角三角形的性質、矩形的性質，正方形的判定等知識；熟

練掌握折疊變換的性質，由勾股定理得出方程是解題的關鍵.

8.A

解析：A

【分析】

①根據(jù)正方形的性質證明NADB=45。，進而得△DFG為等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形

的三線合一性質得NEFO=45。，故①正確；

②根據(jù)矩形性質得AF=EB,N8EF=90。，再證明△AFH絲4EGH得EH=AH,進而證明

△EHF絲△AHD,故②正確；

③由△￡”下空/XAHD得NEHF=/AH。，懷得NAEF+/MEF=45。，進而得

ZAEF+ZHAD^45°,故③正確；

④如圖，過點“作于點M,與BC交于點N,設EC=FD=FG=x,則BE=AF=EG

=2x,BC=DC=AB=AD=3x,HM=—x,AM=—x,HN=-xf由勾股定理得人印，再由

222

S

三角形的面積公式得73,便可判斷④的正誤.

3AHE

【詳解】

①在正方形ABCD中，/ADC=/C=90。，NAOB=45。,

".,EF//CD,

：.ZEFD=90°,

四邊形EFDC是矩形.

在RtZXFDG中，NFDG=45。，

：.FD=FG,

是DG中點，

，ZEFH=—ZfFD=45°

2

故①正確；

②?.?四邊形A8EF是矩形，

：.AF=EB,NBEF=90°,

?；8D平分NA8C,

：.ZEBG=ZEGB=45°,

：.BE=GE,

；.AF=EG.

在RtZXFG。中，H是DG的中點，

：.FH=GH,FH1.BD,

'：ZAFH=^ZAFE+ZGfH=90°+45°=135°,

Z￡GH=1800-ZEGfi=180°-45°=135°,

NAFH=NEGH,

：./\AFH^/\EGH(SAS),

：.EH=AH,

；EF=AO,FH=DH,

：./\EHF^/\AHD(SSS),

故②正確；

?\"/XEHF^/XAHD,

:.NEHF=ZAHD,

，NAHE=NDHF=90°,

?；AH=EH,

Z4EH=45°,

即NAEF+NHEF=45",

?:/HEF=/HAD,

：.NAEF+NHAD=45°,

故③正確；

④如圖，過點，作MN_LAD于點M,與BC交于點N,

設EC=FD=FG=x,貝［IBE=AF=EG=2x,

55

ABC=DC=AB=AD=3xfHM=—xfAM=-x,HN=-x,

222

2

/.AH2=(*%132

—x~>

222

?AHE-AH213

2

故④錯誤；

故選：A.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質、矩形的性質、等腰三角形的性質及勾股定理，這是一道幾何

綜合型題，關鍵是根據(jù)正方形的性質得到線段的等量關系，然后利用矩形、等腰三角形的

性質進行求解即可.

9.B

解析：B

【分析】

由折疊的性質可得/DCA=/ACF,由平行線的性質可得NDCA=NCAB=NACF,可得FA=

FC,設BF=x,在Rt^BCF中，根據(jù)CF2=BC2+BF2,可得方程（8-X）2=X2+42,可求BF=

3,AF=5,即可求解.

【詳解】

解：設BF=x,

?.?將矩形沿AC折疊，

/DCA=/ACF,

??,四邊形ABCD是矩形，

；.CD〃AB,

NDCA=/CAB=NACF,

FA=FC=8-x,

在Rtz^BCF中，：CF2=BC2+BF2,

(8-x)2=x2+42,

.*.x=3,

???BF=3,

???AF=5,

AAF：BF的值為2,

3

故選:B.

【點睛】

本題考查矩形的性質、翻折變換、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決

問題，屬于中考?？碱}型.

10.C

解析：c

【分析】

根據(jù)等邊三角形邊長為2,在RtABDE中求得DE的長，再根據(jù)CM垂直平分，在

RlACDN中求得CN,利用三角形中位線求得MN的長，最后根據(jù)線段和可得CM的

長.

【詳解】

解：等邊三角形邊長為2,BD^-CD,

2

：.BD=—,CD=-,

33

等邊三角形ABC中，DF//AB,

:.ZFDC=ZB=(^°,

NEDF=9O°,

;.NBDE=30。,

:.DELBE,

.-.BE=^BD=^,DE=JBD?一BE?=J1|)-(y=g,

如圖，連接ZW,則RtADEF中，DM=；EF=FM,

A

F

ER；

/X.it

B]D

ZFDC=ZFCD=60°,

?.△CDb是等邊三角形,

4

,CD=CF=-

3f

?.CM垂直平分。尸,

\ZDCN=30°f

42Dn

?.RtACDN中，DF=—,DN=~,CN=—,

333

：EM=FM,DN=FN,

MN^-ED=—,

26

■.CM=CN+MN=—+—=—

366

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了三角形的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握等邊三角形的性質、勾股定

理、平行線的性質、線段垂直平分線的判定等.熟練掌握這些性質是解題的關鍵.

二、填空題

11.8

【分析】

通過作輔助線使得△CAO四△GB。，證明aCOG為等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG

后，即可求出BC的長.

【詳解】

如圖，延長CB到點G,使BG=AC.

?根據(jù)題意，四邊形ABED為正方形，

Z4=Z5=45°,NEBA=90°,

.".Zl+Z2=90°

又?.?三角形BCA為直角三角形，AB為斜邊，

Z2+Z3=90°

.,.Z1=Z3

.,.Z1+Z5=Z3+Z4,故NCAO=NGBO,

在△CAO和△GBO中，

CA=GB

<ZCAO=NGBO

AO=BO

故△CAOg/XGBO,

.*.CO=GO=6&，Z7=Z6,

VZ7+Z8=90",

N6+/8=90°,

...三角形COG為等腰直角三角形，

CG=J。。？+G02=“6夜『+(6⑹*=12，

'：CG=CB+BG,

CB=CG—BG=12—4=8,

故答案為8.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和

性質，根據(jù)題意建立正確的輔助線以及掌握正方形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾

股定理，全等三角形的判定和性質是解答本題的關鍵.

12.h6.或2回

22

【分析】

根據(jù)點P在直線BC上，點。在直線CO上，分兩種情況：l.P、Q點位于線段上；2.P、Q

點位于線段的延長上，再通過三角形全等得出相應的邊長，最后根據(jù)勾股即可求解.

【詳解】

解：當P點位于線段BC上，Q點位于線段CD上時：

???四邊形ABCD是矩形

APLPQ,

ZBAP=NCPQ,ZAPB=NPQC

?.?AP=PQ

ABPsPCQ

333

PC=AB=-,BP=BC-PC=3--=-

222

AP-J(-)2+(-)2=-V2

V222

當P點位于線段BC的延長線上，Q點位于線段CD的延長線上時：

四邊形ABCD是矩形

AP±PQ,

：.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

AP=PQ

ABP=PCQ

339

PC=AB=-,BP=BC+PC=3+-=-

222

??.AP=J（-）2+（-）2=-Vio

V222

故答案為：一或一jia

22

【點睛】

此題主要考查三角形全等的判定及性質、勾股定理，熟練運用判定定理和性質定理是解題

的關鍵.

13.①②④⑤

【分析】

根據(jù)/B=90。，AB=BE,AABE繞點A逆時針旋轉45。，得到AAHD,可得AABEWAAHD,并且

△ABE和ZiAHD都是等腰直角三角形，可證AD〃BC,根據(jù)DCLBC,可得NHDE=NCDE,根

據(jù)三角形的內角和可得NHDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正確；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四邊形ABCD是矩形，有NADC=90。,ZHDC=45°,由

①有DE平分NHDC,得/HDO=22.5°,可得NAHB=67.5°,/DHO=22.5°,可證OD=OH,

利用AE=AD易證NOHE=NHEO=67.5°,則有OE=OH,OD=OE,所以②正確;

利用AAS證明ADHE三ADCE,則有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5°,易的NDHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,則ADHF不是直角三角形，并DHHHF,即有：CDMHF,所以③錯誤；

根據(jù)AABE是等腰直角三角形，川J_JE,：J是BC的中點，H是BF的中點，得到2M=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易證BC-CF=2CE,所以④正確；

過H作HJ_LBC于J,并延長HJ交AD于點I,得IUAD,I是AD的中點，J是BC的中點，

H是BF的中點，所以⑤正確；

【詳解】

「R3ABE中，ZB=90°,AB=BE,

ZBAE=ZBEA=45",

又二將AABE繞點A逆時針旋轉45°,得到MHD,

.".△ABE^AAHD,并且ZkABE和AAHD都是等腰直角三角形，

/.ZEAD=45",AE=AD,/AHD=90°,

.\ZADE=ZAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=450+45°=90°,

/.AD//BC,

，NADE=NDEC,

AZAED=ZDEC,

XVDC1BC,

ZDCE=ZDHE=90°

二由三角形的內角和可得NHDE=/CDE,

即：DE平分NHDC,所以①正確；

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

四邊形ABCD是矩形，

，NADC=90。，

，/HDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

ZHDO=—ZHDC=-x45°=22.5°,

22

VZBAE=45",AB=AH,

ZOHE=ZAHB=(180°-ZBAE)=—x(180°-45°)=67.5,>,

ZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.5°=22.5°,

.\OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

，NAED=y(180°-ZEAD)=；x(180°-45°)=67.5°,

.,.ZOHE=ZHEO=67.5°,

.,.OE=OH,

，OD=OE,所以②正確；

在ADHE和ADCE中，

ZDHE=ZDCE

<NHDE=NCDE,

DE=DE

.".△DHE=ADCE(AAS),

，DH=DC,NHDE=NCDE」x45°=22.5°,

2

VOD=OH,

AZDHF=22.5°,

.".ZDFH=180°-ZHDF-ZDHF=180°-45°-22.5°=112.5°,

...△DHF不是直角三角形，并DHHHF,

即有：CDxHF,所以③不正確；

如圖，過H作HUBC于J,并延長HJ交AD于點I,

「△ABE是等腰直角三角形，JHLE,

.,.JH=JE,

又是BC的中點，H是BF的中點,

；.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

；.2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有:BC-CF=2CE,所以④正確；

VAD//BC,

AIJ1AD,

又???△AHD是等腰直角三角形，

是AD的中點，

:四邊形ABCD是矩形,HJ1BC,

：.J是BC的中點，

，H是BF的中點，所以⑤正確；

綜上所述，正確的有①②④⑤，

故答案為：①②④⑤.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質、旋轉的性質、矩形的性質、角平分線的性質以及等

腰直角三角形的判定與性質；證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關鍵.

14.10+5逐

【分析】

取DE的中點N,連結ON、NG、OM.根據(jù)勾股定理可得NG=.在點M與G之間總

有MGWMO+ON+NG（如圖1）,M、。、N、G四點共線，此時等號成立（如圖2）.可得

線段MG的最大值.

【詳解】

1

.".OM=-AB=5.

2

同理0N=5.

；正方形DGFE,N為DE中點，DE=10,

NG=^jDN2+r）G2=V102+52=5A/5?

在點M與G之間總有MGWMO+ON+NG（如圖1）,

如圖2,由于/DNG的大小為定值，只要ND0N=’NDNG,且M、N關于點0中心對稱時,

2

M、0、N、G四點共線，此時等號成立,

線段MG取最大值10+56.

故答案為：10+5逐.

【點睛】

此題考查了直角三角形的性質，勾股定理，四點共線的最值問題，得出M、。、N、G四點

共線，則線段MG長度的最大是解題關鍵.

15.2或14

【分析】

利用當AB=10cm,AD=6cm,由于平行四邊形的兩組對邊互相平行，又AE平分NBAD,由此

可以推出所以NBAE=/DAE,則DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm,而EF=CF+DE-DC,

由此可以求出EF長；同理可得：當AD=10cm,AB=6cm時，可以求出EF長

【詳解】

解：如圖1,當AB=10cm,AD=6cm

AE平分NBAD

ZBAE=ZDAE,

文:ADIICB

ZEAB=ZDEA,

/.ZDAE=ZAED,則AD=DE=6cm

同理可得：CF=CB=6cm

；EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)

如圖2,當AD=10cm,AB=6cm,

AE平分NBAD,

ZBAE=ZDAE

XVADIICB

ZEAB=ZDEA,

ZDAE=NAED貝AD=DE=10cm

同理可得，CF=CB=10cmEF=DE+CF-DC=10+10-6=14(cm)

故答案為：2或14.

I-

A

圖1圖2

【點睛】

本題主要考查了角平分線的定義、平行四邊形的性質、平行線的性質等知識，關鍵是平行

四邊形的不同可能性進行分類討論.

16.2￡

【分析】

根據(jù)EM是應△A5E斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可

求出EW的長；根據(jù)已知條件推導出DME是等邊三角形,且邊長為2,進一步計算即

可得解.

【詳解】

解：?.?4DL8C,M為A8邊的中點，AB=4

...在RtAABO中，DM=AM=-AB^-X4=2

同理，在用ZSABE中，EM=AM=-AB=-x4=2

22

:.ZMDA二ZMAD，AMEA=AMAE

?/ZBME=ZMEA+ZMAE=2ZMAE，ZBMD=ZMDA+ZMAD=2ZMAD

；?ZDME=ABME-ZBMD

=2ZMAE-2ZMAD

=2(NMAE-NMAD)

=2ADAC

=60°

,/DM=EM

：.DME是等邊三角形,且邊長為2

SEDM=/*2xA/3=A/3

故答案是：2:^3

【點睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質、三角形的外角定理、角的和差以及等邊三角

形的判定和性質，熟練掌握相關知識點是進行推理論證的前提.

17.7

【分析】

①若機=〃，則人/=￡C,先根據(jù)平行四邊形的性質得出AD〃5C,AQ=8C,再根據(jù)平

行四邊形的判定（一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行）即可得；②先根據(jù)平行四邊

形的性質與判定得出四邊形ABEF、四邊形CDFE都是平行四邊形，從而可得

S&EFG=~7