2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章常用邏輯用語1.1.1命題限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練含解析新人教A版選修2-1

PAGE第一章1.11.1.1基礎(chǔ)練習(xí)1．下列語句中，不能作為命題的是()A．地球上有四大洋 B．－5∈ZC．π?R D．|x＋a|【答案】D【解析】選項(xiàng)D沒有做出推斷，故不是命題．2．在下列4個(gè)命題中，是真命題的序號(hào)為()①3≥3；②100或50是10的倍數(shù)；③有兩個(gè)角是銳角的三角形是銳角三角形；④等腰三角形至少有兩個(gè)內(nèi)角相等．A．① B．①②C．①②③ D．①②④【答案】D【解析】對(duì)于③，舉一反例，若A＝15°，B＝15°，則C為150°，為鈍角三角形．3．已知a，b為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，且a⊥平面α，b⊥平面β，則下列命題中，是假命題的是()A．若a∥b，則平面α∥平面βB．若平面α⊥平面β，則a⊥bC．若a，b相交，則平面α，β相交D．若平面α，β相交，則a，b相交【答案】D【解析】由已知a⊥平面α，b⊥平面β，若平面α，β相交，a，b有可能異面．4．給出命題“方程x2＋ax＋1＝0沒有實(shí)數(shù)根”，則使該命題為真命題的a的一個(gè)值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3【答案】C【解析】方程無實(shí)根時(shí)，應(yīng)滿意Δ＝a2－4<0，故a＝0時(shí)適合條件．5．命題“方程x2－x＋1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”的條件是______________________．【答案】一個(gè)方程是x2－x＋1＝0【解析】把命題改寫成“若p，則q”的形式為“若一個(gè)方程是x2－x＋1＝0，則它有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”，所以命題的條件是一個(gè)方程是x2－x＋1＝0.6．命題“若x≠1，則x2－1≠0”為______(填“真命題”或“假命題”)．【答案】假命題【解析】當(dāng)x＝－1時(shí)，滿意x≠1，但x2－1＝0.故為假命題．7．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式：(1)對(duì)頂角相等；(2)平行四邊形的對(duì)角線相交于一點(diǎn)且相互平分；(3)偶數(shù)能被2整除；(4)當(dāng)二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．解：(1)若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等．(2)若四邊形是平行四邊形，則其對(duì)角線交于一點(diǎn)且相互平分．(3)若一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2整除．(4)若二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式Δ>0，則該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．8．推斷下列語句是否是命題．若是，推斷其真假，并說明理由．(1)一個(gè)等比數(shù)列的公比大于1時(shí)，該數(shù)列為遞增數(shù)列．(2)求證：若方程x2－x＋2＝0無實(shí)根．(3)平行于同一條直線的兩條直線必平行嗎？(4)當(dāng)x＝4時(shí)，2x＋1<0.解：(1)是命題，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的首項(xiàng)a1<0，公比q>1時(shí)，該數(shù)列為遞減數(shù)列，因此這是一個(gè)假命題．(2)不是命題，它是祈使句．(3)不是命題，它是一個(gè)疑問句，沒有做出推斷．(4)是命題，能推斷真假，它是一個(gè)假命題．實(shí)力提升9．給出下列命題：①若eq\f(2x－1,x)＞1，則x＞1；②若α，β，γ是三個(gè)不同的平面，若γ⊥α，γ⊥β，則α∥β；③已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2θ))＝eq\f(7,9).其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】對(duì)于①，由eq\f(2x－1,x)>1，可得eq\f(x－1,x)>0，故x>1或x<0，∴①不正確．對(duì)于②，在如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1中，令平面ABB1A1，平面ADD1A1，平面ABCD分別為α，β，γ，∵平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ADD1A1⊥平面ABCD，但平面ABB1A1與平面ADD1A1不平行，∴②不正確．對(duì)于③，∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2θ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(7,9)，∴③正確．故選B．10．設(shè)實(shí)數(shù)a，b，t滿意|a＋1|＝|sinb|＝t，則下列命題正確的是()A．若t確定，則b2唯一確定 B．若t確定，則a2＋2a唯一確定C．若t確定，則sineq\f(b,2)唯一確定 D．若t確定，則a2＋a唯一確定【答案】B【解析】∵實(shí)數(shù)a，b，t滿意|a＋1|＝t，∴(a＋1)2＝t2，a2＋2a＝t2－1.t確定，則t2－1為定值，則a2＋2a唯一確定．故選B．11．(2024年山東煙臺(tái)期末)已知p：x2－2x＋2≥m的解集為R；q：函數(shù)f(x)＝－(7－3m)x是減函數(shù)．若這兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】(1,2)【解析】若命題p為真命題，由x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥m，可知m≤1；若命題q為真命題，則7－3m>1，即m<2.命題p和q中有且只有一個(gè)是真命題，則p真q假或p假q真，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤1，,m≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1，,m<2，))所以1<m<2.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,2)．12．摸索究命題“方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解”為真命題時(shí)，a，b滿意的條件．解：方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解，要考慮方程為一元一次方程和一元二次方程兩種狀況：當(dāng)a＝0時(shí)，方程ax2