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文檔簡介
1.1.1正弦定理(二)教學(xué)目標(biāo)1.熟記并能應(yīng)用正弦定理的有關(guān)變形公式解決三角形中的問題.2.能依據(jù)條件,推斷三角形解的個數(shù).3.能利用正弦定理、三角變換解決較為困難的三角形問題.教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景老師首先提出問題:通過學(xué)生對課本的預(yù)習(xí),讓學(xué)生與大家共享自己對正弦定理的了解。通過舉例說明和相互溝通,做好老師對學(xué)生的活動的梳理引導(dǎo),并賜予主動評價.二、自主學(xué)習(xí)1.sinA∶sinB∶sinC=____________;2.eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=eq\f(a+b+c,sinA+sinB+sinC)=______;3.a(chǎn)=____________________,b=____________________,c=____________________;4.sinA=__________________,sinB=________________,sinC=________________.提示:1.a(chǎn)∶b∶c2.2R3.2RsinA2RsinB2RsinC4.eq\f(a,2R)eq\f(b,2R)eq\f(c,2R)三、合作探究探究點1:推斷三角形解的個數(shù)問題1在△ABC中,a=9,b=10,A=60°,推斷三角形解的個數(shù).提示:sinB=eq\f(b,a)sinA=eq\f(10,9)×eq\f(\r(3),2)=eq\f(5\r(3),9),而eq\f(\r(3),2)<eq\f(5\r(3),9)<1,所以當(dāng)B為銳角時,滿意sinB=eq\f(5\r(3),9)的角有60°<B<90°,故對應(yīng)的鈍角B有90°<B<120°,也滿意A+B<180°,故三角形有兩解.問題2已知三角形的兩邊及其夾角,為什么不必考慮解的個數(shù)?提示:假如兩個三角形有兩邊及其夾角分別相等,則這兩個三角形全等.即三角形的兩邊及其夾角確定時,三角形的六個元素即可完全確定,故不必考慮解的個數(shù)的問題.例1在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.(角度精確到1°,邊長精確到1cm)解依據(jù)正弦定理,得sinB=eq\f(bsinA,a)=eq\f(28sin40°,20)≈0.8999.因為0°<B<180°,且b>a,B>A,(1)當(dāng)B≈64°時,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+64°)=76°,c=eq\f(asinC,sinA)=eq\f(20sin76°,sin40°)≈30(cm).(2)當(dāng)B≈116°時,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+116°)=24°,c=eq\f(asinC,sinA)=eq\f(20sin24°,sin40°)≈13(cm).綜上,B≈64°,C≈76°,c≈30cm或B≈116°,C≈24°,c≈13cm.變式訓(xùn)練:例1中b=28cm,A=40°不變,當(dāng)邊a在什么范圍內(nèi)取值時,△ABC有兩解(范圍中保留sin40°)?解如圖,∠A=40°,CD⊥AD.AC=28cm,以C為圓心,a為半徑畫圓弧,當(dāng)CD<a<AC,即bsinA<a<b,28sin40°<a<28時,△ABC有兩解(△AB1C,△AB2C均滿意題設(shè)).名師點評:已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時,首先求出另一邊的對角的正弦值,依據(jù)該正弦值求角時,要依據(jù)已知兩邊的大小狀況來確定該角有一個值還是兩個值.或者依據(jù)該正弦值(不等于1時)在0°~180°范圍內(nèi)求角,一個銳角,一個鈍角,只要不與三角形內(nèi)角和定理沖突,就是所求.探究點2:正弦定理在解決較為困難的三角形問題中的作用問題1在△ABC中,已知acosB=bcosA.你能把其中的邊a,b化為用角表示嗎(準(zhǔn)備怎么用上述條件)?提示:可借助正弦定理把邊化成角:2RsinAcosB=2RsinBcosA,移項后就是一個三角恒等變換公式sinAcosB-cosAsinB=0.問題2什么時候適合用正弦定理進行邊角互化?提示:盡管正弦定理給出了三角形的邊與對角的正弦之間的聯(lián)系,但終歸不是邊等于對角正弦,這里還涉及到外接圓半徑.故運用時要么能消掉外接圓半徑,要么已知外接圓半徑.例2在銳角△ABC中,角A,B,C分別對應(yīng)邊a,b,c,a=2bsinA,求cosA+sinC的取值范圍.解∵a=2bsinA,∴由正弦定理,得sinA=2sinBsinA,又∵A∈(0,eq\f(π,2)),sinA≠0,∴sinB=eq\f(1,2).∵B為銳角,∴B=eq\f(π,6).令y=cosA+sinC=cosA+sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π-B+A))=cosA+sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)+A))=cosA+sineq\f(π,6)cosA+coseq\f(π,6)sinA=eq\f(3,2)cosA+eq\f(\r(3),2)sinA=eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3))).由銳角△ABC知,eq\f(π,2)-B<A<eq\f(π,2),∴eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2).∵eq\f(2π,3)<A+eq\f(π,3)<eq\f(5π,6),∴eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3)))<eq\f(\r(3),2),∴eq\f(\r(3),2)<eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3)))<eq\f(3,2),即eq\f(\r(3),2)<y<eq\f(3,2).∴cosA+sinC的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2),\f(3,2))).名師點評:解決三角形中的取值范圍或最值問題:(1)先利用正弦定理理清三角形中元素間的關(guān)系或求出某些元素.(2)將所求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)(三角函數(shù)),從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值問題.例3已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a+c=2b,2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并推斷△ABC的形態(tài).解∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.∴4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=eq\f(1,2)或cosB=eq\f(3,2)(舍去).∵0<B<π,∴B=eq\f(π,3).∵a+c=2b.由正弦定理,得sinA+sinC=2sinB=2sineq\f(π,3)=eq\r(3).∴sinA+sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)-A))=eq\r(3),∴sinA+sineq\f(2π,3)cosA-coseq\f(2π,3)sinA=eq\r(3).化簡得eq\f(3,2)sinA+eq\f(\r(3),2)cosA=eq\r(3),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,6)))=1.∵0<A<eq\f(2π,3),∴eq\f(π,6)<A+eq\f(π,6)<eq\f(5π,6),∴A+eq\f(π,6)=eq\f(π,2).∴A=eq\f(π,3),C=eq\f(π,3).∴△ABC是等邊三角形.名師點評:借助正弦定理可以實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化,轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系后,常利用三角變換公式進行變形、化簡,確定角的大小或關(guān)系,繼而推斷三角形的形態(tài)、證明三角恒等式.四、當(dāng)堂檢測1.在△ABC中,AC=eq\r(6),BC=2,B=60°,則角C的值為()A.45°B.30°C.75°D.90°2.在△ABC中,若eq\f(a,cosA)=eq\f(b,cosB)=eq\f(c,cosC),則△ABC是()A.直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形3.在△ABC中,若a∶b∶c=1∶3∶5,求eq\f(2sinA-sinB,sinC)的值.提示:1.C2.B3.五、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些學(xué)問內(nèi)容?提示:1.已知兩邊和其中一邊的對角,求第三邊和其他兩個角,這時三角形解的狀況可能無解,也可能一解或兩解.首先求出另一邊的對角的正弦值,當(dāng)正弦值大于1或小于0時,這時三角形解的狀況為無解;當(dāng)正弦值大于0小于1時,再依據(jù)已知兩邊的大小狀況來確定該角有一個值還是兩個值.2.推斷三角形的形態(tài),最終目的是推斷三角形是不是特別三角形,當(dāng)所給條件含有邊和角時,應(yīng)利用正弦定理將條件統(tǒng)一為“邊”之間的關(guān)系式或“角”之間的關(guān)系式.六、課例點評本節(jié)課充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,基于對學(xué)情的精確分析,采納“老師設(shè)疑引導(dǎo),學(xué)生自主探究”的教學(xué)方法,老師在教學(xué)中只負責(zé)“拋磚
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