高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理二導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修5

1.1.1正弦定理(二)教學(xué)目標(biāo)1.熟記并能應(yīng)用正弦定理的有關(guān)變形公式解決三角形中的問題.2.能依據(jù)條件，推斷三角形解的個(gè)數(shù).3.能利用正弦定理、三角變換解決較為困難的三角形問題．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景老師首先提出問題：通過學(xué)生對(duì)課本的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生與大家共享自己對(duì)正弦定理的了解。通過舉例說明和相互溝通，做好老師對(duì)學(xué)生的活動(dòng)的梳理引導(dǎo)，并賜予主動(dòng)評(píng)價(jià).二、自主學(xué)習(xí)1．sinA∶sinB∶sinC＝____________；2.eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝______；3．a(chǎn)＝____________________，b＝____________________，c＝____________________；4．sinA＝__________________，sinB＝________________，sinC＝________________.提示：1．a(chǎn)∶b∶c2.2R3．2RsinA2RsinB2RsinC4.eq\f(a,2R)eq\f(b,2R)eq\f(c,2R)三、合作探究探究點(diǎn)1：推斷三角形解的個(gè)數(shù)問題1在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，推斷三角形解的個(gè)數(shù)．提示：sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(10,9)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),9)，而eq\f(\r(3),2)<eq\f(5\r(3),9)<1，所以當(dāng)B為銳角時(shí)，滿意sinB＝eq\f(5\r(3),9)的角有60°<B<90°，故對(duì)應(yīng)的鈍角B有90°<B<120°，也滿意A＋B<180°，故三角形有兩解．問題2已知三角形的兩邊及其夾角，為什么不必考慮解的個(gè)數(shù)？提示：假如兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別相等，則這兩個(gè)三角形全等．即三角形的兩邊及其夾角確定時(shí)，三角形的六個(gè)元素即可完全確定，故不必考慮解的個(gè)數(shù)的問題．例1在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形．(角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm)解依據(jù)正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(28sin40°,20)≈0.8999.因?yàn)?°<B<180°，且b>a，B>A，(1)當(dāng)B≈64°時(shí)，C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋64°)＝76°，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(20sin76°,sin40°)≈30(cm)．(2)當(dāng)B≈116°時(shí)，C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋116°)＝24°，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(20sin24°,sin40°)≈13(cm)．綜上，B≈64°，C≈76°，c≈30cm或B≈116°，C≈24°，c≈13cm.變式訓(xùn)練：例1中b＝28cm，A＝40°不變，當(dāng)邊a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，△ABC有兩解(范圍中保留sin40°)？解如圖，∠A＝40°，CD⊥AD.AC＝28cm，以C為圓心，a為半徑畫圓弧，當(dāng)CD＜a＜AC，即bsinA＜a＜b，28sin40°＜a＜28時(shí)，△ABC有兩解(△AB1C，△AB2C均滿意題設(shè))．名師點(diǎn)評(píng)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，首先求出另一邊的對(duì)角的正弦值，依據(jù)該正弦值求角時(shí)，要依據(jù)已知兩邊的大小狀況來確定該角有一個(gè)值還是兩個(gè)值．或者依據(jù)該正弦值(不等于1時(shí))在0°～180°范圍內(nèi)求角，一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角，只要不與三角形內(nèi)角和定理沖突，就是所求．探究點(diǎn)2：正弦定理在解決較為困難的三角形問題中的作用問題1在△ABC中，已知acosB＝bcosA．你能把其中的邊a，b化為用角表示嗎(準(zhǔn)備怎么用上述條件)?提示：可借助正弦定理把邊化成角：2RsinAcosB＝2RsinBcosA，移項(xiàng)后就是一個(gè)三角恒等變換公式sinAcosB－cosAsinB＝0.問題2什么時(shí)候適合用正弦定理進(jìn)行邊角互化？提示：盡管正弦定理給出了三角形的邊與對(duì)角的正弦之間的聯(lián)系，但終歸不是邊等于對(duì)角正弦，這里還涉及到外接圓半徑．故運(yùn)用時(shí)要么能消掉外接圓半徑，要么已知外接圓半徑．例2在銳角△ABC中，角A，B，C分別對(duì)應(yīng)邊a，b，c，a＝2bsinA，求cosA＋sinC的取值范圍．解∵a＝2bsinA，∴由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，又∵A∈(0，eq\f(π,2))，sinA≠0，∴sinB＝eq\f(1,2).∵B為銳角，∴B＝eq\f(π,6).令y＝cosA＋sinC＝cosA＋sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－B＋A))＝cosA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋A))＝cosA＋sineq\f(π,6)cosA＋coseq\f(π,6)sinA＝eq\f(3,2)cosA＋eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))).由銳角△ABC知，eq\f(π,2)－B<A<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2).∵eq\f(2π,3)<A＋eq\f(π,3)<eq\f(5π,6)，∴eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))<eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(3),2)<eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))<eq\f(3,2)，即eq\f(\r(3),2)<y<eq\f(3,2).∴cosA＋sinC的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).名師點(diǎn)評(píng)：解決三角形中的取值范圍或最值問題：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素間的關(guān)系或求出某些元素．(2)將所求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)(三角函數(shù))，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值問題．例3已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a＋c＝2b,2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并推斷△ABC的形態(tài)．解∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝eq\f(3,2)(舍去)．∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).∵a＋c＝2b.由正弦定理，得sinA＋sinC＝2sinB＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3).∴sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\r(3)，∴sinA＋sineq\f(2π,3)cosA－coseq\f(2π,3)sinA＝eq\r(3).化簡(jiǎn)得eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝1.∵0<A<eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,6)<A＋eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，∴A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2).∴A＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(π,3).∴△ABC是等邊三角形．名師點(diǎn)評(píng)：借助正弦定理可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系后，常利用三角變換公式進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，確定角的大小或關(guān)系，繼而推斷三角形的形態(tài)、證明三角恒等式．四、當(dāng)堂檢測(cè)1．在△ABC中，AC＝eq\r(6)，BC＝2，B＝60°，則角C的值為()A．45°B．30°C．75°D．90°2．在△ABC中，若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC是()A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形3．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求eq\f(2sinA－sinB,sinC)的值．提示：1．C2.B3.五、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些學(xué)問內(nèi)容?提示：1．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其他兩個(gè)角，這時(shí)三角形解的狀況可能無解，也可能一解或兩解．首先求出另一邊的對(duì)角的正弦值，當(dāng)正弦值大于1或小于0時(shí)，這時(shí)三角形解的狀況為無解；當(dāng)正弦值大于0小于1時(shí)，再依據(jù)已知兩邊的大小狀況來確定該角有一個(gè)值還是兩個(gè)值．2．推斷三角形的形態(tài)，最終目的是推斷三角形是不是特別三角形，當(dāng)所給條件含有邊和角時(shí)，應(yīng)利用正弦定理將條件統(tǒng)一為“邊”之間的關(guān)系式或“角”之間的關(guān)系式．六、課例點(diǎn)評(píng)本節(jié)課充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，基于對(duì)學(xué)情的精確分析，采納“老師設(shè)疑引導(dǎo)，學(xué)生自主探究”的教學(xué)方法，老師在教學(xué)中只負(fù)責(zé)“拋磚