重難點16 數(shù)列的綜合應(yīng)用（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點16數(shù)列的綜合應(yīng)用【十二大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等差、等比數(shù)列的交匯問題】 3【題型2數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問題】 4【題型3數(shù)列的實際應(yīng)用問題】 5【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】 7【題型5數(shù)列中的不等式證明問題】 8【題型6子數(shù)列問題】 9【題型7數(shù)列與函數(shù)的交匯問題】 11【題型8數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的交匯問題】 12【題型9數(shù)列與概率統(tǒng)計的交匯問題】 13【題型10數(shù)列與平面幾何的交匯問題】 14【題型11數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良題】 16【題型12數(shù)列的新定義、新情景問題】 171、數(shù)列的綜合應(yīng)用數(shù)列是高考的熱點內(nèi)容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，數(shù)列的綜合應(yīng)用問題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識的交匯問題，是歷年高考的熱點內(nèi)容，以解答題的形式考查，一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等.去年高考壓軸題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，綜合性強，難度大，需要靈活求解.【知識點1等差、等比數(shù)列的交匯問題的解題策略】1．等差、等比數(shù)列的交匯問題的求解思路：(1)等差與等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系，利用方程思想和通項公式、前n項和公式求解，求解時注意對性質(zhì)的靈活運用.(2)數(shù)列的綜合運算問題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類問題的方法：尋找通項公式，利用性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【知識點2數(shù)列的數(shù)學(xué)文化問題】1．?dāng)?shù)列的數(shù)學(xué)文化問題的解題步驟：(1)讀懂題意：會脫去數(shù)學(xué)文化的背景，讀懂題意；(2)構(gòu)造模型：根據(jù)題意，構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型；(3)求解模型：利用數(shù)列知識求解數(shù)列的基本量、通項公式、前n項和等，解決問題.【知識點3數(shù)列的新定義、新情景問題】1．?dāng)?shù)列的新定義、新情景問題的求解策略(1)新定義問題：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決.(2)新情景問題：通過給出一個新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.【知識點4數(shù)列的綜合應(yīng)用】1．?dāng)?shù)列與不等式交匯問題的解題策略(1)解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立、有解問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.(2)數(shù)列與不等式交匯問題的答題模板第一步：根據(jù)題目條件，求出數(shù)列的通項公式；第二步：根據(jù)數(shù)列項的特征，選擇合適的方法(公式法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項相消法、錯位相減法等)求和；第三步：利用第二步中所求得的數(shù)列的和，證明不等式或求參數(shù)的范圍；第四步：反思解題過程，檢驗易錯點，規(guī)范解題步驟.2．?dāng)?shù)列與函數(shù)交匯問題的解題策略數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及解題策略(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題.(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形.注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊性.3．子數(shù)列問題的解題策略子數(shù)列是數(shù)列問題中的一種常見題型，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為子數(shù)列問題一般適用于某個數(shù)列是由幾個有規(guī)律的數(shù)列組合而成的，具體求解時，要搞清楚子數(shù)列的項在原數(shù)列中的位置，以及在子數(shù)列中的位置，即項不變化，項數(shù)變化，它體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸以及分類討論、函數(shù)與方程的思想，能很好地考查學(xué)生的思維.4．?dāng)?shù)列中結(jié)構(gòu)不良題的解法(1))先定后動，先對題目中確定的條件進(jìn)行分析推斷，再觀察分析“動”條件，結(jié)合題干要求選出最適合自己解答的條件求解.(2)最優(yōu)法，當(dāng)題干中確定的條件只有一個時，要根據(jù)自己的知識優(yōu)勢和擅長之處選擇更適合自己的條件進(jìn)行解答.5．?dāng)?shù)列的實際應(yīng)用問題的解題策略(1)數(shù)列的實際應(yīng)用中的常見模型①數(shù)列——分期付款模型；②數(shù)列——產(chǎn)值增長模型；③數(shù)列——其他模型；(2)解決數(shù)列的實際應(yīng)用問題的解題思路①根據(jù)題意，分析題干條件，正確確定數(shù)列模型；②利用數(shù)列知識求出數(shù)列的基本量、通項公式等，準(zhǔn)確求解模型；③通過數(shù)列模型解決問題，注意不要忽視問題的實際意義.【題型1等差、等比數(shù)列的交匯問題】【例1】（2024·四川綿陽·三模）已知首項為1的等差數(shù)列an滿足：a1,a2,a3+1成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足：a1bn+a2【變式1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a1+a2+3(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an?3a【變式1-2】（2024·上海奉賢·二模）已知數(shù)列{an}和{bn}，其中bn=2(1)若an=2n，求(2)若{bn}是各項為正的等比數(shù)列，Sn=3n【變式1-3】（2024·天津·二模）設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項和Sn，bn是等比數(shù)列，且a1=(1)求an與b(2)設(shè)cn=anbn,n(3)若對于任意的n∈N*不等式na【題型2數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問題】【例2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）“孫子定理”又稱“中國剩余定理”，最早可見于我國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，該定理是中國古代求解一次同余式組的方法，它凝聚著中國古代數(shù)學(xué)家的智慧，在加密?秘密共享等方面有著重要的應(yīng)用.已知數(shù)列an單調(diào)遞增，且由被2除余數(shù)為1的所有正整數(shù)構(gòu)成，現(xiàn)將a6,A．1157 B．1177 C．1155 D．1122【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b與“弦”c之間的關(guān)系為a2+b2=c2（其中a≤b）．當(dāng)a,b,c∈A．145 B．181 C．221 D．265【變式2-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數(shù)是（

）A．12 B．13 C．40 D．121【變式2-3】（2024·陜西漢中·二模）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME?7）的會徽圖案，會徽的主題圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1=AA．n2 B．n2 C．n2【題型3數(shù)列的實際應(yīng)用問題】【例3】（23-24高二下·河南駐馬店·期中）某醫(yī)院購買一臺大型醫(yī)療機器價格為a萬元，實行分期付款，每期付款b萬元，每期為一個月，共付12次，如果月利率為5‰，每月復(fù)利一次，則a，b滿足（

）A．12b=a B．12b=aC．12b=a1+5‰ D．【變式3-1】（2024·山西運城·一模）某工廠加工一種電子零件，去年12月份生產(chǎn)1萬個，產(chǎn)品合格率為87%.為提高產(chǎn)品合格率，工廠進(jìn)行了設(shè)備更新，今年1月份的產(chǎn)量在去年12月的基礎(chǔ)上提高4%，產(chǎn)品合格率比去年12月增加0.4%A．5月份 B．6月份C．7月份 D．8月份【變式3-2】（2023·湖南郴州·三模）“現(xiàn)值”與“終值”是利息計算中的兩個基本概念，掌握好這兩個概念，對于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在n期末的金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時的值，而“終值”是指n期后的本利和.它們計算的基點分別是存期的起點和終點.例如，在復(fù)利計息的情況下，設(shè)本金為A，每期利率為r，期數(shù)為n，到期末的本利和為S，則S=A(1+r)n其中，S稱為n期末的終值，A稱為n期后終值S的現(xiàn)值，即n期后的S元現(xiàn)在的價值為現(xiàn)有如下問題：小明想買一座公寓有如下兩個方案方案一：一次性付全款25萬元；方案二：分期付款，每年初付款3萬元，第十年年初付完；(1)已知一年期存款的年利率為2.5%(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬元，此后每年初漲租金1000元，參照第（1））問中的存款年利率2.5%參考數(shù)據(jù)：(1+2.5【變式3-3】（2023·廣東佛山·一模）佛山新城文化中心是佛山地標(biāo)性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡單的方塊體作為核心要素，與佛山世紀(jì)蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應(yīng).坊塔是文化中心的標(biāo)志性建筑、造型獨特、類似一個個方體錯位堆疊，總高度153.6米.坊塔塔樓由底部4個高度相同的方體組成塔基，支托上部5個方體，交錯疊合成一個外形時尚的塔身結(jié)構(gòu).底部4個方體高度均為33.6米，中間第5個方體也為33.6米高，再往上2個方體均為24米高，最上面的兩個方體均為19.2米高.(1)請根據(jù)坊塔方體的高度數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)數(shù)列知識，寫出一個等差數(shù)列an(2)佛山世紀(jì)蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據(jù)你得到的等差數(shù)列，連續(xù)取用該數(shù)列前m（m∈N*）項的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采用新的堆疊規(guī)則，自下而上依次為2a1、3a2、4a3、……、【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】【例4】（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an(2)已知數(shù)列bn滿足b①求數(shù)列bn的前n項和T②若不等式?1nλ<Tn+【變式4-1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列Snn是公差為(1)求數(shù)列an(2)若存在n∈N*，使得1a【變式4-2】（23-24高二下·湖北·期中）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an?2.數(shù)列bn的前(1)求數(shù)列an(2)若cn=anbn，設(shè)數(shù)列cn的前n【變式4-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知a1=(1)證明：當(dāng)n≥2時，an+1(2)令bn（i）證明：當(dāng)n≥2時，1b（ii）是否存在正實數(shù)m，使得1bn?n【題型5數(shù)列中的不等式證明問題】【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和S(1)求an(2)證明：a1【變式5-1】（2024·河北秦皇島·二模）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且數(shù)列(1)求an(2)若bn=n+2nn+1an+1，數(shù)列b【變式5-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足3n?1a(1)求數(shù)列an(2)若bn=a【變式5-3】（2024·山東·二模）記Sn為數(shù)列an的前n項和，(1)求a3和a(2)設(shè)數(shù)列1an的前n項和為Tn【題型6子數(shù)列問題】【例6】（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）當(dāng)i1，i2，?，ik∈N(1)直接給出ik與k(2)是否存在這樣的i1,i2,i3(3)若S=ai1+ai2【變式6-1】（2024·北京西城·二模）已知數(shù)列A:a1,a2,?,an，從A中選取第i?1項、第i?2項、…、第i?k項i?1<i?2<?<i?k構(gòu)成數(shù)列B:ai?1,ai?2(1)當(dāng)n=4時，比較A的具有性質(zhì)P的子列個數(shù)與不具有性質(zhì)P的子列個數(shù)的大小，并說明理由；(2)已知數(shù)列A:1?（ⅰ）給定正整數(shù)k≤n2，對A的k項子列B，求所有（ⅱ）若A有m個不同的具有性質(zhì)P的子列B1,B2,?,Bm，滿足：???1≤i<j≤m，B【變式6-2】（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）從N?中選取k(k≥3)個不同的數(shù)，按照任意順序排列，組成數(shù)列an，稱數(shù)列an為N?的子數(shù)列，當(dāng)1≤i≤j≤k時，把aj?a(1)若N?的子數(shù)列an(1≤n≤k,k≥5)是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求N(2)若N?的子數(shù)列an是遞增數(shù)列，且子二代數(shù)列bn共有k?1(3)若k=100，求N?的子二代數(shù)列b【變式6-3】（23-24高三上·北京·開學(xué)考試）給定正整數(shù)k，m，其中2≤m≤k，如果有限數(shù)列an同時滿足下列兩個條件，則稱an為(k,m)?數(shù)列．記(k,m)?數(shù)列的項數(shù)的最小值為條件①：an的每一項都屬于集合{1,2,3,?,k}條件②：從集合{1,2,3,?,k}中任取m個不同的數(shù)排成一列，得到的數(shù)列都是an注：從an中選取第i1項、第i2項、…、第is項（其中i1(1)分別判斷下面兩個數(shù)列是否為(3,3)?數(shù)列，并說明理由：數(shù)列A1數(shù)列A2(2)求證：G(k,2)=2k?1；(3)求G(4,4)的值．【題型7數(shù)列與函數(shù)的交匯問題】【例7】（2024·青?！つM預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+y=fxfy?2fA．299+198 B．299+196 C．【變式7-1】（2024·遼寧·二模）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n,SA．C0=1 B．若A=0，則?nC．若A>0，則?n0∈N?，使Sn最大 D．若【變式7-2】（2024·上?！つM預(yù)測）已知fx=12x2+12x，數(shù)列(1)求數(shù)列an(2)若gx=4x4x+2【變式7-3】（2024·廣東·一模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，n為正整數(shù)，且(1)求證數(shù)列an?1是等比數(shù)列，并求數(shù)列(2)若點Pan?1,bn+23在函數(shù)y=log4x的圖象上，且數(shù)列【題型8數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的交匯問題】【例8】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)整數(shù)p>1，x>?1且x≠0，函數(shù)f(x)=(1+x)(1)證明：f(x)>0；(2)設(shè)x>0，證明：ln(1+x)<x(3)設(shè)n∈N?，證明：【變式8-1】（2024·廣東東莞·三模）已知常數(shù)m∈R，設(shè)fx(1)若m=1，求函數(shù)y=fx在1,1(2)是否存在0<x1<x2<x3，且(3)求證：當(dāng)m≤0時，對任意x1,x2∈【變式8-2】（2024·山西·一模）已知a>0，且a≠1，函數(shù)fx(1)記an=fn?lnn+1+n,Sn(2)若a=1e，證明：(3)若fx有3個零點，求實數(shù)a【變式8-3】（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ln(1)若a=1，證明：x>0時，fx(2)若函數(shù)Fx=fx(3)已知數(shù)列an的通項公式為an=【題型9數(shù)列與概率統(tǒng)計的交匯問題】【例9】（2024·黑龍江·二模）某校組織知識競賽，已知甲同學(xué)答對第一題的概率為111，從第二題開始，若甲同學(xué)前一題答錯，則此題答對的概率為14；若前一題答對，則此題答對的概率為13.記甲同學(xué)回答第n題時答錯的概率為Pn，當(dāng)n≥2時，PnA．97132 B．49132 C．4766【變式9-1】（2024·山東菏澤·一模）若數(shù)列an的通項公式為an=(?1)n?1n，記在數(shù)列anA．P1=23 B．P9<【變式9-2】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時，若骰子點數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點數(shù)不大于3，則甲將球保留繼續(xù)投擲骰子；當(dāng)球在乙手中時，若骰子點數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時，若骰子點數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙.初始時，球在甲手中.(1)求三次投擲骰子后球在甲手中的概率；(2)投擲nn∈N*次骰子后，記球在乙手中的概率為p(3)設(shè)an=1【變式9-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）甲、乙兩名小朋友，每人手中各有3張龍年紀(jì)念卡片，其中甲手中的3張卡片為1張金色和2張銀色，乙手中的3張卡片都是金色的，現(xiàn)在兩人各從自己的卡片中隨機取1張，去與對方交換，重復(fù)n次這樣的操作，記甲手中銀色紀(jì)念卡片xn張，恰有2張銀色紀(jì)念卡片的概率為pn，恰有1張銀色紀(jì)念卡片的概率為(1)求p2(2)問操作幾次甲手中銀色紀(jì)念卡片就可能首次出現(xiàn)0張，求首次出現(xiàn)這種情況的概率p．(3)記an（i）證明數(shù)列an?1為等比數(shù)列，并求出（ii）求xn的分布列及數(shù)學(xué)期望．（用n【題型10數(shù)列與平面幾何的交匯問題】【例10】（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an的公比為q，前n項和為Sn，an>0，（1）求an（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點Qkk,bk(k=1,2,3???)，直線QkQ【變式10-1】（2024·四川達(dá)州·二模）已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)，直線l:y=k(x?p)與Γ交于A,B兩點，線段(1)求拋物線Γ的方程；(2)直線l與x軸交于點C,O為原點，設(shè)△BOC,△COM,△MOA的面積分別為S△BOC,S△COM,【變式10-2】（2024·安徽合肥·二模）已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1+a2=3，a3?a2=2（1）求數(shù)列an，b（2）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點P1a1,0，P2Q1a1,b1，Q2a2,b2，…，【變式10-3】（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，點P是橢圓上的動點，F(xiàn)1,F(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l過點P4,0，與橢圓交于A，B兩點．若AP,AB【題型11數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良題】【例11】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，a4=?3，再從條件①：(1)數(shù)列an(2)Sn的最小值，并求當(dāng)Sn取得最小值時【變式11-1】（2024·青海西寧·二模）已知數(shù)列an，_______________.請從下列兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并解答.（注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分.）①數(shù)列an的前n項和為Sn=2an?2（n∈N?(1)求數(shù)列an(2)令bn=an+log2【變式11-2】（2024·四川德陽·三模）已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且bn的前n項和為Sn，2a1=(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)數(shù)列anbn的前n項和為T【變式11-3】（23-24高二下·北京懷柔·期末）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求等差數(shù)列an(2)若各項均為正數(shù)的數(shù)列bn其前n項和為Tn，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，設(shè)cn=an+bn條件①：Tn條件②：b1條件③：?n≥2且n∈Z都有bn2【題型12數(shù)列的新定義、新情景問題】【例12】（2024·河北張家口·二模）如果項數(shù)相同的數(shù)列an,bn滿足an∪bn=1,2,3,?,2n，且i為奇數(shù)時，ai<bi；i為偶數(shù)時，ai(1)若an∪b(2)當(dāng)an（i）證明：Sn取最大值時，存在a（ii）當(dāng)n為偶數(shù)時，求Sn【變式12-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知正整數(shù)m，設(shè)a1，a2，…，a2m，b1，b2，…，b2m是4m個非負(fù)實數(shù)，S=i=12mai=i=12mbi(1)寫出8個不全相等的數(shù)，使得這8個數(shù)構(gòu)成8,2—孿生數(shù)組；(2)求最小的S，使得a1，a2，…，a6，b1，b2(3)若m≥4，且a1，a2，…，a2m，b1，b2，…，b參考公式：（i）x1+x2+x32≥3x1x2+x2x【變式12-2】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）對于數(shù)列an,bn，如果存在正整數(shù)n0≥3，當(dāng)任意正整數(shù)n≤n0時均有b1<a1<(1)已知bn=2n，請寫出一個數(shù)列(2)若an,bn滿足an+bn=6n?2，其中b(3)已知等差數(shù)列bn和正整數(shù)等比數(shù)列an滿足：an=k2024?n(k+1)n?1(n=1,2,…,2024)【變式12-3】（2024·新疆·二模）我們把滿足下列條件的數(shù)列an稱為m?L①數(shù)列an②存在正奇數(shù)m，使得數(shù)列an的每一項除以m(1)若a，b，c是公差為2的等差數(shù)列，求證：a，b，c不是3?L數(shù)列；(2)若數(shù)列bn滿足對任意正整數(shù)p，q，恒有bp+q=1p+1(3)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列cn共有100項，且對任意1≤n≤100，恒有c1+c2+?+c一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S5=4a1，a1A．11 B．12 C．20 D．212．（2024·山東菏澤·二模）已知an是等差數(shù)列，a1=3,a4=12，在數(shù)列bn中bA．6072 B．2C．22023+6072 3．（2024·四川·模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝的重要著作《詳解九章算法》中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列．以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點是從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列．若某個二階等差數(shù)列的前4項為1,4,8,13，則該數(shù)列的第18項為（

）A．188 B．208 C．229 D．2514．（2024·青海西寧·一模）等差數(shù)列an中的a2，a2024是函數(shù)fx=A．12 B．1 C．?1 D．5．（2024·全國·二模）數(shù)列an的奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項和，a1=3，a2=2A．a(chǎn)2k<B．當(dāng)n≥5，且n∈N*時，數(shù)列C．a(chǎn)D．S6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知n∈N?，an=12n?1，bn=1(n+1)2A．196197 B．198199 C．981977．（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=n2+m，n∈N*A．?2 B．0 C．1 D．28．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是：從第一個正三角形（邊長為1）P1開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線，稱為科赫曲線.設(shè)Pn的周長和面積分別為Ln、Sn，下列結(jié)論正確的是（

）①P?的邊數(shù)為3×4②L③LnS④?N>0,A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、多選題9．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）某人買一輛15萬元的新車，購買當(dāng)天支付3萬元首付，剩余向銀行貸款，月利率0.3%，分12個月還清（每月購買車的那一天分期還款）.有兩種金融方案：等額本金還款，將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率；等額本息還款，每一期償還同等數(shù)額的本息和，利息以復(fù)利計算.下列說法正確的是（

A．等額本金方案，所有的利息和為2340元B．等額本金方案，最后一個月還款金額為10030元C．等額本息方案，每月還款金額中的本金部分呈現(xiàn)遞增等比數(shù)列D．等額本金方案比等額本息方案還款利息更少，所以