重難點(diǎn)15 平面向量中的最值與范圍問題（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)15平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1定義法求最值（范圍）問題】 4【題型2基底法求最值（范圍）問題】 4【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】 5【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】 6【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題】 7【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】 8【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】 8【題型8極化恒等式】 9【題型9矩形大法】 10【題型10等和(高)線定理】 111、平面向量中的最值與范圍問題平面向量中的范圍、最值問題是高考的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合；其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等.【知識(shí)點(diǎn)1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】1．平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：(1)“形化”，即利用平面向量的相關(guān)知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；(2)“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決．2．平面向量中的最值（范圍）問題的常用解題方法：(1)定義法①利用向量的概念及其運(yùn)算將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的等式關(guān)系；②運(yùn)用基木不等式、二次函數(shù)求其最值（范圍）問題，即可得出結(jié)論.(2)坐標(biāo)法①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把幾何圖形放在坐標(biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)；②將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化，進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算；③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值（范圍）.(3)基底法①適當(dāng)選取一組基底，利用基底轉(zhuǎn)化向量；②寫出向量之間的聯(lián)系，根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的關(guān)系式來進(jìn)行求解；③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值（范圍），即可得出結(jié)論.【知識(shí)點(diǎn)2極化恒等式】1．極化恒等式的證明過程與幾何意義(1)平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：.證明：不妨設(shè)，則，，①，②，①②兩式相加得：.(2)極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式平行四邊形模式：.2．幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線長”與“差對(duì)角線長”平方差的，即(如圖).(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即(M為BC的中點(diǎn))(如圖).極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系.【知識(shí)點(diǎn)3矩形大法】1．矩形大法矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等.即：已知點(diǎn)O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，可以得到：.【知識(shí)點(diǎn)4等和(高)線定理】1．等和(高)線定理(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若(λ,μ∈R)，則λ+μ=1，由△OAB與△OA'B'相似，必存在一個(gè)常數(shù)k,k∈R，使得，則，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立. (2)平面內(nèi)一個(gè)基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若點(diǎn)P'在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ+μ=k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k=1；②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈(0,1)；③當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈(1,+∞)；④當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k=0；⑤若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比.【題型1定義法求最值（范圍）問題】【例1】（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）已知單位向量e1,e2的夾角為π3，則e1?te1?e2t∈R的最小值為（A．12 B．32 C．1 【變式1-1】（23-24高一下·安徽蕪湖·期中）如圖，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)AM=xAB，AN=yAC，則

A．9 B．4 C．3 D．5【變式1-2】（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若OA+OB+OC=0，AMA．12 B．1 C．23 【變式1-3】（23-24高一下·上海·期末）已知向量a,b,c，滿足a=b=1①若x=1，則c的最小值為32②若x=1，則存在唯一的y，使得a?③若c=1，則x+y的最小值為?1④若c=1，則a?cA．1 B．2 C．3 D．4【題型2基底法求最值（范圍）問題】【例2】（23-24高一下·重慶巴南·階段練習(xí)）在矩形ABCD中，已知E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且滿足BE=EC,CF=2FD．若點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)，且A．?15,75 B．35【變式2-1】（23-24高一下·浙江·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，P為線段CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），AC=mDB+nA．0,1 B．2,3 C．1,2 D．2,4【變式2-2】（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）已知□ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A，C），點(diǎn)Q在對(duì)角線BD上（不包括端點(diǎn)B，D），若AP=λ1AB+μ1BC，AQ=λ2A．m=?18，n=92 C．m=?18，n=94 【變式2-3】（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）已知O為△ABC的內(nèi)心，角A為銳角，sinA=158，若AO=μABA．12 B．34 C．45【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】【例3】（2024·河北滄州·一模）如圖，在等腰直角△ABC中，斜邊AB=42，點(diǎn)D在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則|AB+A．46 B．8 C．63【變式3-1】（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，點(diǎn)E滿足2AE=3EB，在平面ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P滿足PE?PBA．41+4 B．41?6 C．213【變式3-2】（2024·湖南永州·三模）在△ABC中，∠ACB=120°，AC=3，BC=4，DC?A．63?2 B．219?4 C．【變式3-3】（2024·貴州貴陽·一模）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中．以C為圓心，1為半徑的圓分別交CD,BC于點(diǎn)E,F．當(dāng)點(diǎn)P在劣弧EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP?DP的取值范圍為（A．1?22,?1C．?1,1?2 D．【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】【例4】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，點(diǎn)F為線段BC上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若AF=xAB+2yACx>0,y>0A．3 B．4 C．8 D．9【變式4-1】（23-24高一下·廣西南寧·階段練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)O滿足BO=2OC，過點(diǎn)O的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N．設(shè)AM=1mAB，A．3 B．1 C．316 D．【變式4-2】（23-24高一下·安徽六安·期末）在△ABC中，已知AB?AC=9,sinB=cosAsinC,S△ABC=6,A．712+33 B．5+66【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在△ABC中，M為線段BC的中點(diǎn)，G為線段AM上一點(diǎn)，AG=2GM，過點(diǎn)G的直線分別交直線AB，AC于P，Q兩點(diǎn)．設(shè)AB=xAP(x>0)，ACA．34 B．32 C．3【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題】【例5】（2024·陜西渭南·二模）已知菱形ABCD的邊長為1,cos∠BAD=13,O為菱形的中心，E是線段ABA．13 B．23 C．12【變式5-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓O內(nèi)接邊長為1的正方形ABCD,P是弧BC（包括端點(diǎn)）上一點(diǎn)，則AP?AB的取值范圍是（A．1,4+24 B．1,2+22【變式5-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形ABCD中，△ABD為等邊三角形，CB=CD=2BD=2，當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，EC?EB的最小值為（A．32 B．12 C．?3【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，對(duì)稱中心為O，以O(shè)為圓心作半徑為1的圓，點(diǎn)M為圓O上任意一點(diǎn)，則AD?CM的取值范圍為（

A．?6,4 B．0,8 C．?8,0 D．?6【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】【例6】（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量a，b，c滿足a=1，b=3，a?b=?3A．27 B．7 C．23 【變式6-1】（2024·湖南長沙·三模）在平行四邊形ABCD中，AC=2BD=4，點(diǎn)P為該平行四邊形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則|PA|2A．6 B．8 C．10 D．12【變式6-2】（23-24高一下·天津·期末）如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，且AE=xAB，AF=yAC，且2x+y=1，若線段EF，BC的中點(diǎn)分別為M，N，則A．72 B．33926 C．21【變式6-3】（23-24高一下·廣東廣州·期末）已知平面向量a，b，e，且e=1，a=2.已知向量b與e所成的角為60°，且b?te≥b?A．3+1 B．23 C．3+【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】【例7】（23-24高一下·甘肅隴南·期末）已知平面向量a,b,c滿足a=b=4,A．?463,463 B．【變式7-1】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在△ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=π3，I是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，且AI=3，若△ABC內(nèi)（不包含邊界）的一點(diǎn)D滿足ID=xABA．?16,524 B．?1【變式7-2】（23-24高一下·四川成都·期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,DC//AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分別為AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE上運(yùn)動(dòng)（如圖所示）．若AP=λED+μAF，其中A．?2,1 B．?1,1C．?1,2 D．?2,2【變式7-3】（23-24高一下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖扇形AOB所在圓的圓心角大小為2π3,P是扇形內(nèi)部（包括邊界）任意一點(diǎn)，若OP=xOAA．2 B．3 C．4 D．2【題型8極化恒等式】【例8】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知△OAB的面積為1,AB=2，動(dòng)點(diǎn)P,Q在線段AB上滑動(dòng)，且PQ=1，則OP?OQ【變式8-1】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，MN是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，PM?PN的取值范圍是【變式8-2】（2024·湖北省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長為6的可移動(dòng)的線段，AD=4，AB=83，BC=12，則BE?BF的取值范圍為【變式8-3】（23-24高一下·廣東潮州·階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①(a+b)2=a2+2a?b+(1)若cos∠BAD=1213(2)若2AE=EC(3)若P為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，求PA?【題型9矩形大法】【例9】（2024·浙江紹興·一模）已知向量a，b，c滿足a=b=a?A．3?12 B．7?32 【變式9-1】（23-24高三下·四川成都·階段練習(xí)）已知單位向量a，b滿足2a?b=2，若存在向量c，使得c?2A．62,62+1 B．62【變式9-2】（23-24高三上·四川資陽·階段練習(xí)）已知e為單位向量，向量a滿足：a?e?a?5A．4 B．5 C．6 D．7【變式9-3】（23-24高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知平面向量a，b，c，滿足a=b=a?b=2A．3?12 B．7?32 【題型10等和(高)線定理】【例10】（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，BF=13BC，AF與BE交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G的直線分別與射線BA，BC交于點(diǎn)M，N，BM=λBA，A．1 B．87 C．97 【變式10-1】（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要特征，幾何中的軸對(duì)稱，中心對(duì)稱都能給人以美感，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，以菱形ABCD的四條邊為直徑向外作四個(gè)半圓，P是這四個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若DPA．5 B．3 C．32 D．【變式10-2】（23-24高一下·四川綿陽·期中）在扇形OAB中，∠AOB=60°，C為弧AB上的一動(dòng)點(diǎn)，若OC=xOA+y【變式10-3】（23-24高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP=mAB+nAF，(m,n∈R)，則一、單選題1．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中A=45°,AB=1,AD=2，若AP=A．12 B．22 C．1 2．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，BD=2DC，過點(diǎn)D的直線分別交直線AB、AC于點(diǎn)E、F，且AE=mAB,AF=nAC，其中A．2 B．2 C．3 D．83．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知在同一平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A，B，C滿足AB=2，CACA?CBCBA．0,1 B．0,2 C．0,3 D．4．（2024·天津河北·二模）△ABC是等腰直角三角形，其中AB⊥AC,∣AB∣=1，P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若CP=λCA+μCB（λ≥0,μ≥0且λ+2μ=2），則A．0,22 B．22,1 C．5．（2024·安徽蕪湖·三模）已知⊙C:x2+y2?10x+9=0與直線l交于A,B兩點(diǎn)，且⊙C被l截得兩段圓弧的長度之比為1:3，若D為A．182+12 B．162+16 C．6．（2024·河北滄州·三模）對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊△ABC中，AB=2，以三條邊為直徑向外作三個(gè)半圓，M是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若BM=λAB+μAC，則A．12 B．33 C．1 7．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）向量a，b滿足?a,b?=π6，|b|=4A．12 B．1 C．3 D．8．（2024·四川成都·三模）已知正方形ABCD的邊長為1，M，N分別是邊AB，AD上的點(diǎn)(均不與端點(diǎn)重合)，記△AMN，△CMN的面積分別為A．14，34 B．2?1，二、多選題9．（2024·浙江寧波·二模）若平面向量a,b,c滿足a=1,A．a(chǎn)+B．a(chǎn)+C．a(chǎn)?D．a(chǎn)?b10．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)且滿足AD=12DC，若P為邊BD上一點(diǎn)，且滿足AP=λAB+μA．λμ的最小值為1 B．λμ的最大值為1C．1λ+13μ的最大值為1211．（2024·山東濰坊·二模）已知向量a，b，c為平面向量，a=1，b=2，a?b=0A．1≤c≤32 C．?1≤b?c≤1 D．若c三、填空題12．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)O,A,B在同一平面內(nèi)且A為定點(diǎn)，OA?AB=?2,OB?AB=2,C,D分別是點(diǎn)B13．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中，角A