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重難點(diǎn)09極值點(diǎn)偏移與拐點(diǎn)偏移問題【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1極值點(diǎn)偏移:加法型】 2【題型2極值點(diǎn)偏移:減法型】 3【題型3極值點(diǎn)偏移:乘積型】 5【題型4極值點(diǎn)偏移:商型】 6【題型5極值點(diǎn)偏移:平方型】 7【題型6極值點(diǎn)偏移:復(fù)雜型】 8【題型7拐點(diǎn)偏移問題】 91、極值點(diǎn)偏移與拐點(diǎn)偏移問題極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣,導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對(duì)稱性,極值點(diǎn)偏移問題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中,是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容,這類題往往對(duì)思維要求較高,過程較為煩瑣,計(jì)算量較大,解決極值點(diǎn)偏移,稱化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法,二者各有千秋,獨(dú)具特色.【知識(shí)點(diǎn)1極值點(diǎn)偏移問題及其解題策略】1.極值點(diǎn)偏移的概念(1)已知函數(shù)y=f(x)是連續(xù)函數(shù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0,f(x1)=f(x2),且x0在x1與x2之間,由于函數(shù)在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的變化速度不同,使得極值點(diǎn)偏向變化速度快的一側(cè),常常有,這種情況稱為極值點(diǎn)偏移.(2)極值點(diǎn)偏移若,則極值點(diǎn)偏移,此時(shí)函數(shù)f(x)在x=x0兩側(cè),函數(shù)值變化快慢不同,如圖(2)(3).(左陡右緩,極值點(diǎn)向左偏移)若f(x1)=f(x2),則x1+x2>2x0;(左緩右陡,極值點(diǎn)向右偏移)若若f(x1)=f(x2),則x1+x2<2x0.2.極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式(1)函數(shù)f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2且x1≠x2,求證:x1+x2>2x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn));(2)函數(shù)f(x)中存在x1,x2且x1≠x2,滿足f(x1)=f(x2),求證:x1+x2>2x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn));(3)函數(shù)f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2且x1≠x2,令,求證:f'(x0)>0;(4)函數(shù)f(x)中存在x1,x2且x1≠x2,滿足f(x1)=f(x2),令,求證:f'(x0)>0.3.極值點(diǎn)偏移問題的常見解法(1)(對(duì)稱化構(gòu)造法):構(gòu)造輔助函數(shù):①對(duì)結(jié)論x1+x2>2x0型,構(gòu)造函數(shù).②對(duì)結(jié)論型,方法一是構(gòu)造函數(shù),通過研究的單調(diào)性獲得不等式;方法二是兩邊取對(duì)數(shù),轉(zhuǎn)化成lnx1+lnx2>2lnx0,再把lnx1,lnx2看成兩變量即可.(2)(比值代換法):通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式,利用函數(shù)單調(diào)性證明.【知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)、對(duì)數(shù)均值不等式解決極值點(diǎn)偏移問題】極值點(diǎn)偏移問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題,求解此類問題的一個(gè)重要工具就是指數(shù)均值不等式和對(duì)數(shù)均值不等式.1.對(duì)數(shù)均值不等式結(jié)論1對(duì)任意的a,b>0(a≠b),有.2.指數(shù)均值不等式結(jié)論2對(duì)任意實(shí)數(shù)m,n(m≠n),有.【題型1極值點(diǎn)偏移:加法型】【例1】(2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx=lnmx?xm>0.(1)若fx≤0恒成立,求(2)若fx有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,【變式1-1】(2024·遼寧·三模)已知fx(1)討論函數(shù)fx(2)當(dāng)a>0時(shí),證明:函數(shù)fx有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)x1,【變式1-2】(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=xe1x?a(x>0),且(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)證明:x1【變式1-3】(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx(1)若曲線fx在點(diǎn)1,?1處的切線與曲線gx有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)(2)若方程gx?fx①求實(shí)數(shù)a的取值范圍;②求證:x1【題型2極值點(diǎn)偏移:減法型】【例2】(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=x2?(2+a)x+a(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)g(x)=exx?f(x)+x2?(a+1)x?2a+(a?1)lnx(i)證明:2a>e(ii)證明:x2【變式2-1】(2024·湖南株洲·一模)已知函數(shù)fx=x+aebx(1)求a、b的值及fx(2)設(shè)x1,x2是方程fx=kx【變式2-2】(2024·北京朝陽·二模)已知函數(shù)f(1)求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)若fx≥0恒成立,求(3)若fx有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2【變式2-3】(2024·河南·模擬預(yù)測)已知b>0,函數(shù)fx=x+alnx+b(1)求a,b的值;(2)若方程fx=1e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x【題型3極值點(diǎn)偏移:乘積型】【例3】(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí),討論函數(shù)fx(2)若fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x①求實(shí)數(shù)a的取值范圍;②求證:x1【變式3-1】(2024·四川眉山·三模)已知函數(shù)f(x)=xln(1)若過點(diǎn)(1,0)可作曲線y=f(x)兩條切線,求a的取值范圍;(2)若f(x)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)x1①求a的取值范圍;②當(dāng)x1>4x【變式3-2】(23-24高二下·重慶·階段練習(xí))已知函數(shù)fx=x+a(1)求實(shí)數(shù)a的值并求函數(shù)f(x)的極值;(2)若fx1=f【變式3-3】(2024·安徽合肥·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=a(1?2ln(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若x1,x2x1≠【題型4極值點(diǎn)偏移:商型】【例4】(2023·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx(1)設(shè)函數(shù)gx=ekx?(2)若方程fx=m有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1、x【變式4-1】(23-24高二下·河南平頂山·階段練習(xí))已知函數(shù)fx(1)若fx恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a(2)若fx的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2【變式4-2】(2023·湖北武漢·三模)已知函數(shù)fx=ax+a?1(1)討論函數(shù)fx(2)若關(guān)于x的方程fx=xex?(?。┣髮?shí)數(shù)a的取值范圍;(ⅱ)求證:ex【變式4-3】(2024·全國·一模)已知f(1)若fx≥0,求實(shí)數(shù)(2)設(shè)x1,x2是fx的兩個(gè)零點(diǎn)(x【題型5極值點(diǎn)偏移:平方型】【例5】(2024·福建南平·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx=ln(1)討論fx(2)若方程fx=1有兩個(gè)不同的根(i)求a的取值范圍;(ii)證明:x1【變式5-1】(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx在1,3(2)若方程fx=1a有兩個(gè)不相等的解x1【變式5-2】(2024·四川涼山·二模)已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)fx在R上是增函數(shù),求a(2)設(shè)gx=x?12sin【變式5-3】(2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx=x2ln(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求證:t<1;(3)比較t與2e及2m+【題型6極值點(diǎn)偏移:復(fù)雜型】【例6】(2024·四川·一模)已知函數(shù)fx(1)若a=1,求fx(2)若fx有2個(gè)零點(diǎn)x1,【變式6-1】(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx=x2a(1)求a的取值范圍;(2)證明:x1【變式6-2】(2024·貴州·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=xe(1)求函數(shù)fx(2)若方程f(x)=4ex+4elnx有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1【變式6-3】(2024·山東·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx=1(1)當(dāng)a≥1時(shí),判斷fx(2)若fx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x(?。┳C明:x2(ⅱ)證明:x∈1,+∞時(shí),【題型7拐點(diǎn)偏移問題】【例7】(23-24高三下·四川成都·期末)已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí),求fx在x=0(2)設(shè)函數(shù)gx=fx?sinx,當(dāng)【變式7-1】(23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí))“拐點(diǎn)”又稱“反曲點(diǎn)”,是曲線上彎曲方向發(fā)生改變的點(diǎn).設(shè)φ′x為函數(shù)φx的導(dǎo)數(shù),若α為φ′x已知函數(shù)fx=aex?xlnx有兩個(gè)極值點(diǎn)x(1)求a的取值范圍;(2)證明:C在Q處的切線與其僅有一個(gè)公共點(diǎn);(3)證明:f′【變式7-2】(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=2ln(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.(2)若正實(shí)數(shù)x1,x2滿足【變式7-3】(23-24高二下·貴州貴陽·階段練習(xí))設(shè)f′x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù),若f′x可導(dǎo),則稱函數(shù)f′x的導(dǎo)函數(shù)為fx的二階導(dǎo)函數(shù),記為f″(1)研究發(fā)現(xiàn),任意三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0,曲線y=fx都有“拐點(diǎn)”,且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)(2)已知函數(shù)gx(i)求曲線y=gx(ii)若gx1+g一、單選題1.(2024·河北衡水·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx=lnx+1?ax有兩個(gè)零點(diǎn)x1A.a(chǎn)>1 B.xC.x1?x2.(2024·全國·模擬預(yù)測)若函數(shù)fx=alnx+12x2?2xA.?∞,?5 B.?∞,?5 C.3.(2023·吉林通化·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=x2+2x3?3ax2+b滿足:①定義域?yàn)镽;②1A.(?2,?1) B.?1,?12 C.124.(2024·遼寧·三模)已知函數(shù)f(x)=lnx+12ex2?ax存在兩個(gè)極值點(diǎn),若對(duì)任意滿足f(xA.(2e,C.(2e,1+5.(2023·四川南充·一模)已知函數(shù)f(x)=lnx?2x+2?m(0<m<3)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(①x2x1<e2m
②xA.1 B.2 C.3 D.46.(2023·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx=ex?mx2有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(0<x1<xA.0<M<1e C.M>e2+17.(2023·四川成都·一模)已知函數(shù)fx=lnx2?a2xlnx+aeA.?1e2?e,0 B.?8.(2023·四川南充·一模)已知函數(shù)f(x)=lnx?2x+2?m(0<m<3)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(①x2x1<e2mA.0 B.1 C.2 D.3二、多選題9.(2024·貴州畢節(jié)·二模)已知函數(shù)fx=xe?x,方程fxA.fx≤1e C.lnx1?10.(2024·山西太原·三模)已知x1是函數(shù)fx=x3A.fx的對(duì)稱中心為0,n B.C.2x1+11.(23-24高二上·湖北武漢·期中)已知函數(shù)f(x)=xlnx?x與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn),交點(diǎn)坐標(biāo)分別為x1,y1,A.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞B.a(chǎn)的取值范圍為(?1,0]C.xD.x三、填空題12.(2023·河北衡水·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=2023ex?ax2?1(a∈R)有兩個(gè)極值點(diǎn)13.(23-24高三下·云南·階段練習(xí))若關(guān)于x的方程ex?3ax=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2,且x114.(2023·陜西西安·二模)若函數(shù)fx=12ax2?ex+1四、解答題15.(2024·陜西安康·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx=x(1)求a的取值范圍;(2)若fx1=f16.(2024·重慶·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=a(ln(1)求證:1+xln(
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