北京市昌平區(qū)2023-2024學年高二上學期期末質量抽測試題 數(shù)學 含解析_第1頁
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昌平區(qū)2023——2024學年第一學期高二年級期末質量抽測數(shù)學試卷本試卷共4頁,共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效.考試結束后,將答題卡交回.第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.已知直線過點,且傾斜角是,則直線不經(jīng)過()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若,則()A.8 B.16 C.32 D.643.某氣象臺天氣預報的準確率為80%,則3次預報中恰有1次預報準確的概率是()A.9.6% B.10.4% C.80% D.99.2%4.如圖,在正方體中,直線與直線所成角的大小為()A. B. C. D.5.已知某班級中,喜歡文學閱讀的學生占75%,喜歡文學閱讀而且喜歡科普閱讀的學生占30%.若從這個班級的學生中任意抽取一人、則在抽到的學生喜歡文學閱讀的條件下,該學生也喜歡科普閱讀的概率為()A.22.5% B.30% C.40% D.75%6.已知雙曲線實軸長為4,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.7.為了迎接在杭州舉行的第十九屆亞運會,學校開展了“爭做運動達人,喜迎杭州亞運”活動.現(xiàn)從某班的4名男生和3名女生中選出3人參加活動,則這3人中既有男生又有女生的選法種數(shù)為()A.20 B.30 C.35 D.608.已知直線,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.《九章算術》中的方亭指的是正四面形棱臺體建筑物,正四面形棱臺即今天的正四棱臺.如圖,某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8,每個側面與下底面夾角的正切值均為,則方亭的側面積為()A. B. C. D.10.如圖,在長方體中,,,,分別是棱和上的兩個動點,且,則的中點到的距離為()A B. C. D.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.11.在的展開式中,的系數(shù)為___________.12.設為拋物線的焦點,則點的坐標為__________;若拋物線上一點滿足,那么點的橫坐標為___________.13.北京的三條文化帶——大運河文化帶、長城文化帶、西山永定河文化帶,是北京文化脈絡乃至中華文明的精華所在.為了讓同學們了解這三條文化帶的內(nèi)涵,現(xiàn)從4名老師中選3名老師,每人講述一條文化帶,每條文化帶由一名老師講述,則不同的分配方案種數(shù)是__________.14.已知圓,則圓的半徑為________;與圓和圓都相切的直線的方程為___________.(只需寫出一條直線的方程)15.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美的曲線,曲線就是其中之一.給出下列四個結論:①曲線關于坐標原點對稱;②曲線上任意一點到原點的距離的最小值為2;③曲線恰好經(jīng)過8個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);④曲線所圍成的區(qū)域的面積大于8.其中所有正確結論的序號是____________.三、解答題(本大題共6小題,共85分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)16.已知圓的圓心為,且過坐標原點.(1)求圓方程;(2)若過點的直線與圓相交于,兩點,且,求直線的方程.17.如圖,在三棱柱中,平面,,,.(1)求直線與平面所成角的正弦值;(2)求點到平面的距離.18.某網(wǎng)站為研究新聞點擊量的變化情況,收集得到了該網(wǎng)站連續(xù)30天的新聞點擊量變化數(shù)據(jù),如下表所示.在描述新聞點擊量變化時,用“↑”表示“上漲”,即當天新聞點擊量比前一天新聞點擊量高;用“↓”表示“下降”,即當天新聞點擊量比前一天新聞點擊量低;用“-”表示“不變”,即當天新聞點擊量與前一天新聞點擊量相同.時段新聞點擊量第1天到第15天↑-↑↓↑-↓↑-↓↑↓-↓↓第16天到第30天-↑-↑-↑↓↑↓↑-↓↑↓↑用頻率估計概率.(1)試估計該網(wǎng)站新聞點擊量“下降”概率;(2)從樣本中的前15天和后15天中各隨機抽取1天,記表示其中該網(wǎng)站新聞點擊量“上漲”的天數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;(3)從樣本給出的30天中任取1天,用“”表示該天新聞點擊量“上漲”,“”表示該天新聞點擊量“下降”或“不變”,然后繼續(xù)統(tǒng)計接下來的10天的新聞點擊量,其中有6天“上漲”、3天“下降”、1天“不變”,相應地,從這40天中任取1天,用“”表示該天新聞點擊量“上漲”,“”表示該天新聞點擊量“下降”或“不變”,直接寫出方差,大小關系.19.已知橢圓C:(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.(1)求橢圓C方程;(2)當△AMN的面積為時,求k的值.20.如圖,在四棱錐中,平面,,,,是的中點.(1)求證:平面;(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,求二面角的余弦值.條件①:;條件②:.注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答計分.21.已知橢圓的上頂點為,圓.對于圓,給出兩個性質:①在圓上存在點,使得直線與橢圓相交于另一點,滿足;②對于圓上任意點,圓在點處的切線與橢圓交于,兩點,都有.(1)當時,判斷圓是否滿足性質①和性質②;(直接寫出結論)(2)已知當時,圓滿足性質①,求點和點的坐標;(3)是否存在,使得圓同時滿足性質①和性質②,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.昌平區(qū)2023——2024學年第一學期高二年級期末質量抽測數(shù)學試卷本試卷共4頁,共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效.考試結束后,將答題卡交回.第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.已知直線過點,且傾斜角是,則直線不經(jīng)過()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意,求出直線方程,畫出圖象,結合圖象得到答案.【詳解】直線過點,且傾斜角是,所以直線斜率,所以直線方程為,即,畫出直線圖象為結合圖象可知,直線不過第四象限,故選:D.2.若,則()A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用賦值法計算作答.【詳解】因為,所以當時,,故選:C.3.某氣象臺天氣預報的準確率為80%,則3次預報中恰有1次預報準確的概率是()A.9.6% B.10.4% C.80% D.99.2%【答案】A【解析】【分析】根據(jù)獨立重復實驗的概率公式可求出結果.【詳解】由天氣預報的準確率為80%,則3次預報中恰有1次預報準確的概率為:,即.故選:A.4.如圖,在正方體中,直線與直線所成角的大小為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接、,可得且為等邊三角形,即可得直線與直線所成角的大小.【詳解】連接,,在正方體中,易得,故直線與直線所成角的大小與直線與直線所成角大小相等,又,故等邊三角形,故,即直線與直線所成角大小為.故選:C.5.已知某班級中,喜歡文學閱讀的學生占75%,喜歡文學閱讀而且喜歡科普閱讀的學生占30%.若從這個班級的學生中任意抽取一人、則在抽到的學生喜歡文學閱讀的條件下,該學生也喜歡科普閱讀的概率為()A.22.5% B.30% C.40% D.75%【答案】C【解析】【分析】由條件概率的公式計算即可得.【詳解】設事件為“抽到喜歡文學閱讀的學生”,設事件為“抽到喜歡科普閱讀的學生”,則,,則,即在抽到的學生喜歡文學閱讀的條件下,該學生也喜歡科普閱讀的概率為.

故選:C.6.已知雙曲線的實軸長為4,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)實軸長得到,再根據(jù)漸近線公式得到答案.【詳解】因為雙曲線的實軸長為4,即,解得,所以雙曲線的標準方程為,即,所以雙曲線的漸近線方程為,故選:A.7.為了迎接在杭州舉行的第十九屆亞運會,學校開展了“爭做運動達人,喜迎杭州亞運”活動.現(xiàn)從某班的4名男生和3名女生中選出3人參加活動,則這3人中既有男生又有女生的選法種數(shù)為()A.20 B.30 C.35 D.60【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意,分為兩類:一男兩女或兩男一女,結合組合數(shù)公式,即可求解.【詳解】由題意,可分為兩類:一男兩女或兩男一女,當一男兩女時,有種不同的選法;當兩男一女時,有種不同的選法,由分類計數(shù)原理得,共有種不同的選法.故選:B.8.已知直線,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由,求得即或,結合充分條件、必要條件的判定方法,即可求解.【詳解】因為直線,,所以當時,,即,即或,所以“”能推出“”,“”不能推出“”,所以“”是“”充分不必要條件,故選:A.9.《九章算術》中的方亭指的是正四面形棱臺體建筑物,正四面形棱臺即今天的正四棱臺.如圖,某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8,每個側面與下底面夾角的正切值均為,則方亭的側面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用側面與下底面的夾角的正切值均為,求得正棱臺的高,進而求得其斜高,結合側面積公式,即可求解.【詳解】設上底面為,下底面為,取的中點,的中點,連接,設上底面的中心為,下底面的中心為,連接,過點作于點,如圖所示,因為,所以即為側面與下底面夾角的平面角,即,又因為,所以,所以,所以,所以方亭的側面積為.故選:B.10.如圖,在長方體中,,,,分別是棱和上的兩個動點,且,則的中點到的距離為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中點,連接,以為坐標原點建立空間直角坐標系,結合,利用兩點間距離公式,求出的長即可.【詳解】取的中點,連接,以為坐標原點,,,所在直線分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,因為是的中點,所以,所以,而,所以,即,所以點到的距離就是,因為,所以,即,所以,即,所以的中點到的距離為.故選:D.【點睛】關鍵點睛:本題解決的關鍵是發(fā)現(xiàn),再利用整體法即可得解.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.11.在的展開式中,的系數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】求出二項展開式的通項,進而得到的系數(shù).【詳解】展開式的通項為,令,即,所以,所以的系數(shù)為,故答案為:.12.設為拋物線的焦點,則點的坐標為__________;若拋物線上一點滿足,那么點的橫坐標為___________.【答案】①.②.4【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程易得,即得焦點坐標;利用拋物線的定義將焦半徑轉化,即可求得點的橫坐標.【詳解】由可得拋物線的焦準距為,故焦點的坐標為;不妨設,由可得:,即得:,即點的橫坐標為.故答案為:;4.13.北京的三條文化帶——大運河文化帶、長城文化帶、西山永定河文化帶,是北京文化脈絡乃至中華文明的精華所在.為了讓同學們了解這三條文化帶的內(nèi)涵,現(xiàn)從4名老師中選3名老師,每人講述一條文化帶,每條文化帶由一名老師講述,則不同的分配方案種數(shù)是__________.【答案】24【解析】【分析】根據(jù)排列的含義結合排列數(shù)的計算,即可得答案.【詳解】從4名老師中選3名老師,每人講述一條文化帶,每條文化帶由一名老師講述,相當于從4個不同元素中選3個元素的排列問題,則不同的分配方案種數(shù)為,故答案為:2414.已知圓,則圓的半徑為________;與圓和圓都相切的直線的方程為___________.(只需寫出一條直線的方程)【答案】①.②.(答案不唯一,或亦可)【解析】【分析】將圓的一般方程化為標準方程即可得圓心;設出兩圓的公切線方程,注意討論斜率是否存在,由切線的性質列式計算即可得公切線方程.【詳解】由,即,故圓的半徑為,圓心坐標為,設直線與圓和圓都相切,若直線斜率不存在,設直線為,需有,解得,故符合要求;若直線斜率存在,設直線為,即,需有,兩式相除得,故或,化簡得或,由可得,故有或,化簡得或,即或,則或,故該直線為或,即或,綜上所述,與圓和圓都相切的直線的方程有:、、.故答案為:;(答案不唯一,或亦可)15.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美的曲線,曲線就是其中之一.給出下列四個結論:①曲線關于坐標原點對稱;②曲線上任意一點到原點的距離的最小值為2;③曲線恰好經(jīng)過8個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);④曲線所圍成的區(qū)域的面積大于8.其中所有正確結論的序號是____________.【答案】①③④【解析】【分析】對①:將點代入,依舊滿足該方程即可得;對②:找出反例即可得;對③:由曲線可得,將所有整點求出即可得;對④:借助曲線的對稱性,證明該曲線在第一象限部分與坐標軸圍成的面積大于直線與坐標軸圍成的面積即可得.【詳解】對①:將點代入,可得,故①正確;對②:令,則,故在曲線上,該點到原點的距離為,故②錯誤;對③:由、,故,令,有,解得,令,則,解得,令,則,此時不為整數(shù),令,則,解得,故曲線恰好經(jīng)過整點、、、,共8個整點,故③正確;對④:將點代入,可得,故曲線關于軸對稱,令點在曲線上,且該點在第一象限,則,,則有,故,令,則,即,當且僅當時,等號成立,故有,整理得,因式分解可得,由,故,故有,即,即,當且僅當時,等號成立,故除點在直線上外,點恒在直線上方,直線與坐標軸交點為、,則直線與坐標軸圍成的面積,則曲線在第一象限部分與坐標軸圍成的面積大于,由曲線關于坐標原點對稱且關于軸對稱,故,即故曲線所圍成的區(qū)域的面積大于8,故④正確.故答案為:①③④.【點睛】關鍵點睛:本題結論④關鍵在于將曲線所圍成的區(qū)域的面積大于8轉化為求證曲線在第一象限部分與坐標軸圍成的面積大于2,結合點在曲線上,轉化為證明除點外其余點恒在直線上方,即證當,時,恒成立.三、解答題(本大題共6小題,共85分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)16.已知圓的圓心為,且過坐標原點.(1)求圓的方程;(2)若過點的直線與圓相交于,兩點,且,求直線的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)依題意,設出直線方程,代入原點,即可得圓的方程;(2)根據(jù)斜率有無分別設出直線方程,根據(jù),求出直線方程即可.【小問1詳解】設圓的方程為,依題意,,所以圓的方程為.【小問2詳解】設圓心到直線的距離為,由,,解得.若直線的斜率不存在,則直線的方程為,滿足條件;若直線的斜率存在,設直線的方程為,即.可得,解得,此時,直線的方程為.所以直線的方程為或.17.如圖,在三棱柱中,平面,,,.(1)求直線與平面所成角的正弦值;(2)求點到平面的距離.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由平面得,又,建立空間直角坐標系,由線面角公式即可求出結果.(2)由點到平面的距離公式即可求出結果.【小問1詳解】因為平面,平面,所以,又因為,以所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系如圖所示,,,,,,,設平面的法向量為得,取,設直線與平面所成角為,所以.【小問2詳解】因為,設點到平面的距離為,所以.18.某網(wǎng)站為研究新聞點擊量的變化情況,收集得到了該網(wǎng)站連續(xù)30天的新聞點擊量變化數(shù)據(jù),如下表所示.在描述新聞點擊量變化時,用“↑”表示“上漲”,即當天新聞點擊量比前一天新聞點擊量高;用“↓”表示“下降”,即當天新聞點擊量比前一天新聞點擊量低;用“-”表示“不變”,即當天新聞點擊量與前一天新聞點擊量相同.時段新聞點擊量第1天到第15天↑-↑↓↑-↓↑-↓↑↓-↓↓第16天到第30天-↑-↑-↑↓↑↓↑-↓↑↓↑用頻率估計概率.(1)試估計該網(wǎng)站新聞點擊量“下降”的概率;(2)從樣本中的前15天和后15天中各隨機抽取1天,記表示其中該網(wǎng)站新聞點擊量“上漲”的天數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;(3)從樣本給出的30天中任取1天,用“”表示該天新聞點擊量“上漲”,“”表示該天新聞點擊量“下降”或“不變”,然后繼續(xù)統(tǒng)計接下來的10天的新聞點擊量,其中有6天“上漲”、3天“下降”、1天“不變”,相應地,從這40天中任取1天,用“”表示該天新聞點擊量“上漲”,“”表示該天新聞點擊量“下降”或“不變”,直接寫出方差,大小關系.【答案】(1)(2)分布列見解析,(3),理由見解析【解析】【分析】(1)30天中,有10天點擊量下降,從而估計出相應的概率;(2)求出的可能取值及對應的概率,得到分布列,求出數(shù)學期望;(3)求出,,得到,同理得到,比較出大小.【小問1詳解】30天中,有10天點擊量下降,故估計該網(wǎng)站新聞點擊量“下降”的概率為;【小問2詳解】前15天中,有5天的點擊量上漲,后15天中,有7天上漲,故可能取值為,則,,,故的分布列如下:012;【小問3詳解】,理由如下:由(2)知,樣本給出的30天中點擊量上漲的天數(shù)為12,故,,則,,這40天中點擊量上漲的天數(shù)為,故,,故,,由于,故.19.已知橢圓C:(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.(1)求橢圓C的方程;(2)當△AMN的面積為時,求k的值.【答案】(1)(2)1或-1.【解析】【詳解】(1)由題意得解得.所以橢圓C的方程為.(2)由得.設點M,N的坐標分別為,,則,,,.所以|MN|===.由因為點A(2,0)到直線的距離,所以△AMN的面積為.由,解得,經(jīng)檢驗,所以.20.如圖,在四棱錐中,平面,,,,是的中點.(1)求證:平面;(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,求二面角的余弦值.條件①:;條件②:.注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答計分.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)連接點與中點,連接,由題意可證四邊形是平行四邊形,故,由線面平行的判定定理即可得證;(2)若選條件①,則可由結合題意推出平面,從而得到,借助幾何性質及勾股定理從而計算出,再得到、、兩兩垂直,即可建立空間直角坐標解決二面角問題;若選條件②,由結合直角三角形幾何性質可推出,即可重復選條件①時步驟解決問題.【小問1詳解】連接點與中點,連接,由是中點,故為中位線,故且,又且,故且,故四邊形是平行四邊形,故,又平面,平面,故平面;【小問2詳解】若選條件①:,由平面,且平面,故,又,,、平面,故平面,又平面,故,連接點與中點,由,則,又,,故四邊形為矩形,故,故,則,即,則,由平面,、平面,故、,又,故、、兩兩垂直,以為原點,建立如圖所示空間直角坐標系,則有、、、,則,有、,由平面,故平面的法向量可為,設平面的法向量為,則有,即,令,則、,故平面的法向量可為,則,即二面角的余弦值為.若選條件②:,由平面,且平面,故,又是的中點,故,由,故,故,由平面,且平面,故,又,,、平面,故平面,又平面,故,連接點與中點,由,則,又,,故四邊形為矩形,故,故,則,即,則,由平面,平面,故,又,,故、、兩兩垂直,以為原點,建立如圖所示空間直角坐標系,則有、、、,則,有、,由平面,故平面的法向

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