2021年滬教版必修二數(shù)學期末復習-第8章 平面向量章節(jié)考點分類復習導學案

章節(jié)考點分類復習導學案

【考點1】向量的概念及線性運算

1.（2021?湖南師大附中高二月考）如圖所示，。為線段4A201外一點，若4,A，4,4,…,

42。1中任意相鄰兩點間的距離相等，西=￡,OA^^b,則用B表示

西+兩+砥+…+砥〉其結果為（）

A.100（。+可B.101（a+B）

C.2010+與D.202（Z+B）

【答案】B

【分析】設的中點為A，根據(jù)中線的向量表示，化簡即可求和.

【詳解】設44oi的中點為A,則A也是AA200,…，Aoodoi的中點，

可得砥+皈'=2礪=3+3,同理可得

OA^+0^^-OA2+CM19g=???=OAjgo+=a+b,

故西+西+就+…+西^=101x2礪=101R+?,

故選：B

2.（2021?北京延慶區(qū)?高三其他模擬）設。為AABC所在平面內(nèi)一點，元=2麗，則

（）

A.AD=--AB+-ACB.AD=--AB+-AC

3322

.3—■1.

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB--AC

2222

【答案】B

【分析】利用向量減法的三角形法則的逆運算，將耳心=2麗化為以A為始點的向量即可得

解.

【詳解】因為豆心=2而，所以就一通=2（而一/），

-.1―.3―-

所以AQ=——AB+-AC.

22

故選：B

3.（2021?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學高一月考）下列說法中正確的是（）

A.若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合

B.模相等的兩個平行向量是相等向量

C.若￡和加都是單位向量，則￡=萬

D.零向量與其它向量都共線

【答案】D

【分析】利用相等向量的定義可判斷AC選項的正誤；利用相等向量和相反向量的定義可判斷B

選項的正誤；利用零向量與任意向量共線這一性質可判斷D選項的正誤.

【詳解】對于A選項，因為向量是可以移動的，兩個向量相等時，它們的起點和終點不一定重

合，A選項錯誤；

對于B選項，模相等的兩個平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B選項錯誤；

對于C選項，￡和辦都是單位向量，但它們的方向不一定相同，故￡和辦不一定相等，C選項錯

誤；

對于D選項，零向量的方向是任意的，零向量與其它向量都共線，D選項正確.

故選：D.

4.（2021?湖南岳陽市?）已知等邊三角形力式的邊長為4,媯三角形內(nèi)一點，且

OA+OB+2OC=0<則的面積是（）

A.B.隨C.芷D.25/3

33

【答案】D

【分析】設/刪中點為〃，可得麗+麗=2而，進而可得反=-而，得出提械I中點，

即可求解面積.

【詳解】解：根據(jù)題意，設力砸中點為〃，AABC是等邊三角形，則

力力的中點為〃，則麗+。行=2瓦i，

又由次+而+2反=6，則反=一而，則段力尻付中點，

又由△ABC的邊長為4,則A￡>=2，CD=2g,則OO=百，

l

WJSAOfl=lx4xV3=273,

故選：D.

c

【點睛】關鍵點睛：本題考查向量的相關問題，解題的關鍵是判斷出娓中線血的中點.

【考點2】向量的數(shù)量積

5.（2021?江蘇泰州市?泰州中學高一月考）若兩個向量瓶與日的夾角為亍，且色是單位向

量，向量|5|=2,c=2a+b>則向量1與很的夾角為______

【答案】7

O

【分析】求出"?石及El,然后由數(shù)量積定義可得夾角.

【詳解】由已知a-B=lx2xcosC=l,

3

所以0]=（2.+歷％=2〃石+片=2x1+2?=6.

同=忸+*yl（2a+bY=\l4a+4a-b+b=V4xl2+4xl+22=2也，

c-b6V3兀

設E與萬的夾角為氏則8$6n=麗=訪裒=5-,。￡[0,加，所以

故答案為：?

6

6.（2021?浙江高一單元測試）設,畛為單位向量，滿足|2e1-e2區(qū)及，a=e1+e2,

b=3et+e2,設a,的夾角為6,則cos?。的最小值為.

【答案】W

29

urir3

【分析】利用復數(shù)模的平方等于復數(shù)的平方化簡條件得6.2上（，再根據(jù)向量夾角公式求

cos?e函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)單調性求最值.

【詳解】|24一國《a=（24一當）一42,解得：e,-e2>-,

cosQ==（4+?（3烏+,）_4+44

同WJ（R+02）2X［（3召+。2）2也+2夠x110+6眄'

設號,a=x,

cos?。.：?x+l）216（x+l）,4（x+iy

（2+2x）（10+6x）12冗2+32X+203X2+8X+5

_4（X+1）2_4'

3（x+l『+2（x+l）3?2

x+l

onoOQ

當=時，8$26€［二,1］,二以光26的最小值是一.

42929

28

故答案為：——

29

【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是合理轉化，應用函數(shù)求最值.本題的特點是注重基礎，本

題考查了利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調性求最值，考查

轉化與化歸思想，考查數(shù)學運算、數(shù)學建模等學科素養(yǎng).

7.（2021?浙江高一單元測試）如圖，在矩形川及沖，AB=y/2,80=2,點創(chuàng)豌勺中點，

點雁邊G9上，若%從Ak=C，則亞戶的值是.

【答案】V2

【分析】根據(jù)矩形的垂直關系和長度關系，先利用平面向量加法的運算律求解|而|=1，

|CF|=V2-1,再利用運算律轉化求正.旃即可.

..UUUUUIU

【詳解】?..AF=AD+Ob，ABAD=Q<

ABAF=AB-^AD+DF)=ABAD+ABDF=ABDF=y/2\DF\=y[2,

A|DF|=1,|CF|=V2-1,

AEBF=(JB+BE^(BC+CF^ABBC+ABCF+BEBC+BECF,

ABBC=O,BECF=O,ABCF=\AB\\CF\COS71=-V2（V2-1）,

B￡-BC=|BE|-|BC|=1X2=2,

AE-BF=A5-CF+B￡-BC=-V2（V2-l）+2=-2+V2+2=V2,

故答案為：母.

8.（2021?北京市八一中學高三期末）已知向量￡、坂，同=1,忖=2,九伍一句，則內(nèi)―q=

【答案】2

【分析】由小但一可可得出￡%的值，計算出悔-邛的值，即可求得忤一q的值.

【詳解】由己知條件可得==0,^\a-b=a=|a|=1.

所以，-彳=4了一4￡4+片=4xF-4x1+2?=4,因此，|2a-^|=2.

故答案為：2.

9.（2021?沙坪壩區(qū)?重慶一中高三月考）已知向量2,日，同=3,a?b2,則小,一5）=

【答案】7.

【分析】利用向量數(shù)量積運算展開即可得到答案.

【詳解】a-（a-ft）=（a）2-（5^）=9-2=7.

故答案為：7.

【考點3】向量的坐標表示

-61-八⑨…

10.（2021?浙江局一單兀測試）已知向量4=—,-r-，b=---—，則;

I乙77

B斗——?

【答案】—gG

【分析】利用向量數(shù)量積運算可求出7人向量減法運算求出工-各的坐標，即可計算出，

-門⑸7（\⑸

【詳解】解：因為向量。=,b=-一-,

7I'7

117361131

所以a%==—X-----F------X—=--=—

（2'2人2'222227442

a-B=（0,G）,

,一q=Vo2+32=8.

故答案為：一萬；^3.

TT

11.（2020?山東濟寧市?高三期中）如圖所示，在AABC中，AB=4,AC=3,ZBAC=-,

戶是密上一點，且滿足麗=機就+g麗，則實數(shù)”?=；APCB=

2I-.1—.?―-

【分析】由于民C,P三點共線，所以機+§=1,得m=所以AP=]AC+§AB,由于

AB=4,AC=3,ZBAC=y,所以將福,彳心作為基底，而屈=麗一恁，所以

/壬=1而+：福卜通-記號啟4^宓，代值可得結果

【詳解】???而，AC,通的終點共線，

2,1

m+—=1,...”=一,

33

一1一2一

AP=-AC+-AB,

33

又；麗=麗-箱

XP-CB=^1AC+|ABJ-（AB-AC）=|AB2-|AB-AC-|IC2,①

7T

?：AB=4,AC=3,ZBAC=~,

.??滴=16,AC2=9.ABAC=4X3XCOS-=6,

----17

代入①式，計算得：APCB=—.

3

117

故答案為：—，—■

33

【點睛】關鍵點點睛：本題考查了向量共線的應用，平面向量基本定理的應用以及數(shù)量積的

計算，屬于典型的向量綜合題，難度適中，解題的關鍵是將旃,衣作為基底，把而，而用

基底表示出來

12.(2021?折江高三其他模擬)已知向量￡,B滿足￡+%=(1,2+2。，2=(—3,2—2。.若

a-(a+B)=6,則/=，向量Z+坂與B的夾角為.

7T

【答案】1-

4

【分析】由￡+4+￡—刀=2￡得￡，由￡+方一僅一4)=4瓦得分，再由—(￡+萬)=6可

得f，由cos(a+B,=可得答案.

【詳解】由Z+%+￡—%=2￡=(l,2+2f)+(—3,2—2/)=(—2,4),得￡=(-1,2),

由％+4_僅_叫=4萬=(1,2+2>(_3,2_2。=(4,旬，得力=(]#,

所以a+否=(0,2+f),因為a-(a+沖=6,所以2(2+/)=6,解得f=l,6=(1,1),

伍+爐_3—夜

a+b=(0,3).所以cos(a+-B)

|?+^|-|/?|3x02

所以(a+aB)=a，即向量a+5與加的夾角為a-

故答案為：①1；②一.

4

13.(2021?浙江高三其他模擬)如圖，在矩形48CQ中，45=3,AD=2,DE=2EC,

M為的中點，則上任.而=；若點尸在線段BD上運動，則》后.麗■的最小值為

DE

【分析】解法一：由赤?麗=（碇+G卻?（配+包）展開計算即可，設

PB=/IBD（O</1<1）,則而?兩=［（1一4）而+詼］?-；1而+而）展開計算即可；解法

二：建立如圖所示的平面直角坐標系，轉化為點坐標計算則配?麗=（-□）?（-3,2）,

PEPM=PG而PG的最小值是點G到直線的距離d,計算即可.

2

【詳解】

解法-由題意知CE=CA7=1,則礪.麗=（研+在）?（而+①）

MC-BC+MCCD+CEBD+CECD=2+0+0+3=5

設P8=X8￡>（OK/l<l）,則麗=々麗，麗=（1一4）而，

故屋麗=（而+詼）?例+麗/［（1-/I）而+詼］（-4而+麗'）

-ABDDE+DEBM而忸。=回，BD=AD-AB>

所以

（）（）2j23

=-132l-2+l-A^D-W+AAB-DE=132-9/l+2=13U-^?+521

23

所以而?西的最小值為5.

解法二：由題意得DE=2,BM=\.以A為坐標原點，AB,AD所在直線分別為x,》軸,

建立如圖所示的平面直角坐標系，則4（0,0）,8（3,0）,D（0,2）,￡（2,2）,“（3,1）,則

礪=（-1,1）,麗=（-3,2）,

所以斯?麗3,2）=5.易得直線3￡）的方程為尹1=1,

即2x+3y—6=0,取EM的中點G,則G^，|），所以G到直線80的距離

53

2x-+3x--6

a/=----2,2---7

V22+32一2后

由極化恒等式得

]_

PEPM

2

若要求而?麗的最小值，則只需求PG的最小值即可，而PG的最小值是點G到直線BD的

距離d,

所以而.閑的最小值為4^9|-；1=臣23.

故答案為：5；—

52

【點睛】關鍵點點睛：本題求數(shù)量積最值問題，需要轉化點與點之間的距離或點到線的距離

問題，利用幾何法求解是解題的關鍵.

【考點4】向量的應用

14.（2021?湖南高一月考）AABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,已知

.「乖＞.

asmC=——ccosA?

3

（1）求A的值；

（2）若a=5,求2A-血的取值范圍.

【答案】（1），（2）（-573,10）.

【分析】（1）由正弦定理的邊化角公式求出A的值；

（2）由4=上=—J=10得出2b-Gc=10cosC,再由C的范圍結合余弦函數(shù)的

sinAsinBsinC

性質得出答案.

【詳解】解：(1)因為osinC=」^ccosA，所以sinAsinC='^sinCcosA.

33

J3出

又sinCwO,所以sinA=^cosA，BPtanA

3T

■JT

又A￡(o,%),所以A=—.

6

(2)因為a=5,所以，一=—C_=-^=H)

sinAsinBsinC

所以2》一叢c=20sinB-105/3sinC=20sin(+Cj-10>/3sinC=lOcosC.

由題可知,ceH"),則10cosCe(—56,l(?,

故2。-6c的取值范圍是"6/0）.

【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵在于利用正弦定理的邊化角公式求出A,再由三角函數(shù)

的性質得出2b-瓜的取值范圍.

15.（2021?天津靜海區(qū)?靜海一中高一月考）在AA5c中，角力、B、。的對邊分別為a、b、

c,已知3（a—c）~=3〃-2ac

（1）求cosB的值；

jr

(2)若5a=3b,求sin(2A+7)的值.

【答案】（1）2：（2）4、+3

310

【分析】（1）化簡原式，直接利用余弦定理求cosB的值即可；

（2）利用正弦定理求得sinA=、5,結合角A的范圍可得cosA=2叵，再由二倍角的正余

55

弦公式以及兩角和的正弦公式可得結果.

【詳解】（1）在AABC中，由3（。一］=3〃一2呢，整理得,

''2ac3

2

又由余弦定理，可得cos5=

（2）由（1）可得sin8=逝，又由正弦定理」一=一竺，

3sinAsinB

及已知年沏可得sd手=|>4=字

13

可得cos24=l-2sirrA二m,由已知5。=38，可得。<。，故有A<3，

.??A為銳角，故由sinA=@,可得cosA=*，從而有sin2A=2sinAcosA=q,

555

.（c.乃）.c.兀c..乃4G3146+3

sin2A+—=sin2Acos—+cos2Asin—=—x——+-x—=----------.

I6J66525210

【點睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)

"角化邊”.

16.（2021?天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學高一月考）在AABC中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別為

,.3

a,b,c.已知a>￡>,（7=5,c=6,sinB.

（1）求b和sinA的值;

（2）求三角形必電的中線AO長；

TT

（3）求sin（2A+：）的值.

4

【答案】（1）V13.土姮；（2）叵；（3）—.

13226

【分析】（1）確定8銳角，求得cosB,由余弦定理求得b,再由正弦定理得sinA；

（2）在△回￡>中由余弦定理求得中線AD，

（3）確定A是銳角，求得cos4,由二倍角公式求得sin2Acos2A,然后由兩角和的正弦公

式求值.

34

【詳解】（1）在AABC中，因為故由sinB=j,可得8$3=二.

由已知及余弦定理，有〃=。2+。2一2accosB=13，所以匕=舊.

由正弦定理一仁=/_,得sinA=0@BO=M3.

sinAsmBb13

所以，。的值為JR，sinA的值為之姮.

13

4

（2）設比邊的中點為〃，在中，cos5=-

由余弦定理得:

AD=JAB2+(—)2-2XABX-XCOSBL,5、2_zW4773

V22=^6-+(-)2-2x6x(-)x-=^-,

(3)由(1)及“<c,得cosA=2''^,所以sin2A=2sinAcosA=2,

1313

■15

cos2A=1-2sin-A=-----.

13

故sin(2A+E)=sin2Acos色+cos2Asin工.

44426

【點睛】關鍵點點睛：本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，解題時根據(jù)已知條件選用正

弦定理或余弦定理求解，注意在用平方關系求得角的余弦時，先確定角的范圍，然后計算.

17.(2021?天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學高一月考)如圖，是底部不可到達的一座建筑物，A

為建筑物的最高點，經(jīng)過測量得到在點，處的仰角為45。，。處的仰角為75。，且。20,測角儀

的高為1.2,求出建筑物的高度.

【答案】10(6+1)+12

【分析】在AADC中，求得ND4C=75°-45'=30°，根據(jù)正弦定理可得AC=2()JLW在

直角AAEC中，由A￡=AC-sine,即可求解.

【詳解】在AADC中,根據(jù)題意可得ZDAC=75°—45°=30，

由正弦定理可得AC=絲n'=----------1=20顯，

smOACsin三

6

在直角AAEC中，可得AE=AC?sina=20叵xsin75、200sin(300+45)

=20式(sin30cos45。+cos30sin450)=10(73+1)

所以建筑的高為A3=10(6+1)+12.

18.(2021?浙江高一期末)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點4處下山至說有兩種路徑.一種

是從1沿直線步行到C另一種是先從/沿索道乘纜車到8,然后從團才直線步行到C,現(xiàn)有甲、乙

兩位游客從4處下山，甲沿力⑥速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從/乘纜車到

B,在8處停留Imin后，再勻速步行到C假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min,山路/C

463

長為1260m,經(jīng)測量得sinC=一，sin3