104三元一次方程組-2020-2021學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)課堂幫幫幫（蘇科版）

三元一次方程組知識(shí)點(diǎn)一、三元一次方程組的概念1. 含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程；2. 三元一次方程組必須同時(shí)滿足的條件：①是整式方程，②含有三個(gè)未知數(shù)，③含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1次.知識(shí)點(diǎn)二、解三元一次方程組1. 解三元一次方程組的基本思路是：通過(guò)“代入”或“加減”消元，把“三元”化為“二元”．使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程．2. 解三元一次方程組的一般步驟（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程；（4）解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值；（5）將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．例：解三元一次方程組3x-A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常數(shù)【分析】利用加減消元法判斷即可．【解答】解：解三元一次方程組3x-4y=14x-6y-z=2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查看解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．鞏固練習(xí)一．選擇題（共12小題）1．方程組x+y-A．x=7y=-8z=9 B．C．x=2y=3z=3 D【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：x+y-②+③得：x+y＝﹣1④，把④代入①得﹣1﹣z＝8，解得：z＝﹣9，把z＝﹣9代入②得：y＝10，把z＝﹣9代入③得：x＝﹣11，則方程組的解為x=-故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題了考查了解三元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．2．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①多項(xiàng)式3ab﹣a+2是關(guān)于a，b的二次三項(xiàng)式；②方程x+2y＝5有2組非負(fù)整數(shù)解；③5.5°＝5°50′；④已知x+2y-z=4x-y+z=-1，則x+yA．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)多項(xiàng)式概念判斷①即可；根據(jù)二元一次方程的解的定義可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)度分秒的換算即可判斷③；根據(jù)方程組的解即可判斷④．【解答】解：①多項(xiàng)式3ab﹣a+2是關(guān)于a，b的二次三項(xiàng)式，故①正確；②方程x+2y＝5的非負(fù)整數(shù)解是x＝3，y＝1或x＝5，y＝0或x＝1，y＝2，故②錯(cuò)誤；③5.5°＝5°30′，故③錯(cuò)誤；④已知x+2y-z=4①x-y+z=-1②，則①+②得，2x+y＝故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程，多項(xiàng)式的概念、二元一次方程的解、度分秒的換算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．3．解三元一次方程組x-A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：第三個(gè)方程不含z，故前兩個(gè)方程相加消去z，可將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組來(lái)求解．【解答】解：解三元一次方程組x-y+z=-3①故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．4．解方程組2x+y=292y+z=292z+x=32得A．18 B．11 C．10 D．9【分析】先由①×2﹣②得出4x﹣z＝29④，再由④×2+③得到9x＝90，即可求得x＝10．【解答】解：2x+y=29①①×2﹣②得：4x﹣z＝29④，④×2+③得：9x＝90，解得x＝10，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程組，先轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，求出二元一次方程組的解，再求出第三個(gè)未知數(shù)的值．5．關(guān)于x，y的二元一次方程組x+y=5kx-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，則kA．-34 B．34 C．43【分析】先求出方程組的解，把x、y的值代入方程2x+3y＝6，即可求出k．【解答】解：解方程組x+y=5kx-y=9k得：x=7k∵關(guān)于x，y的二元一次方程組x+y=5kx-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y＝6∴代入得：14k﹣6k＝6，解得：k=3故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的解，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，能得出關(guān)于k的方程是解此題的關(guān)鍵．6．已知y＝ax2+bx+c當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝9；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5，則a+b﹣c的值是（）A．5 B．﹣3 C．3 D．5【分析】把x與y的三對(duì)值代入計(jì)算求出a，b，c的值，進(jìn)而求出所求．【解答】解：把x＝﹣2，y＝9；x＝0，y＝3；x＝2，y＝5代入得：4a-解得：a=1b=-1則a+b﹣c＝1﹣1﹣3＝﹣3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．7．已知方程組2x+y-z=-35x-2y-z=3，則x2﹣2A．1 B．2 C．4 D．9【分析】方程組利用加減消元法消去z求出x﹣y的值，原式利用完全平方公式變形后代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：2x+y-②﹣①得：3x﹣3y＝6，整理得：x﹣y＝2，則原式＝（x﹣y）2＝4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，以及完全平方公式，熟練掌握方程組的解法及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．8．解方程組2x-A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常數(shù)項(xiàng)【分析】分析方程組中各未知數(shù)系數(shù)的特征，判斷即可．【解答】解：解方程組2x-y+7z=53x+y+5z=7故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．9．方程組a-b+c=0，A．a(chǎn)+b＝1 B．a(chǎn)﹣b＝1 C．4a+b＝10 D．7a+b＝19【分析】方程利用加減消元法消去c，即可作出判斷．【解答】解：a-②﹣①得：3a+3b＝3，即a+b＝1，③﹣①得：24a+6b＝60，即4a+b＝10，③﹣②得：21a+3b＝57，即7a+b＝19，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．10．解方程組2x-3y+2z=2①3x+4y-2z=5②4x+5y-4z=2③A．①+②①×2+③ B．①+②②×2-③ C【分析】分別按下列操作完成后，即可做出判斷．【解答】解：A．①+②得5x+y＝7，①×2+③得8x﹣y＝6，故A正確；B．①+②得5x+y＝7，②×2﹣③得：2x+3y＝8，故B錯(cuò)誤；C．①+②得5x+y＝7，①×2﹣③得﹣11y+8z＝2，故C錯(cuò)誤；D．①×2﹣③得﹣11y+8z＝2，①×2+③得8x﹣y＝6，故D錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．11．已知x，y，z為3個(gè)非負(fù)數(shù)，且滿足3x+2y+z＝5，x+y﹣z＝2，若S＝2x+y﹣z，則S的最大值與最小值的和為（）A．5 B．234 C．274 D【分析】聯(lián)立已知等式，用S表示出x，y，z，由x，y，z為非負(fù)數(shù)確定出S的范圍，即可求出最值．【解答】解：由3x+2y+z＝5，x+y﹣z＝2，S＝2x+y﹣z，解得：x＝S﹣2，y=15-4S3，z由題意得：S﹣2≥0，15-4S3≥0，3-S解得：2≤S，S≤154，S≤3，即2≤S≤則S的最大值為154，最小值為2，之和為23故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，用S表示出x，y，z是本題的突破點(diǎn)．12．已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=74x+y-2z=2，則代數(shù)式3（x﹣z）+1A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6【分析】將方程組x+y+z=7①4x+y-2z=2②②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，整理得：3（x﹣z）＝﹣5，把3（x﹣z）＝﹣5代入代數(shù)式3（x﹣z【解答】解：方程組x+y+z=7①②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，整理得：3（x﹣z）＝﹣5，把3（x﹣z）＝﹣5代入代數(shù)式3（x﹣z）+1得：﹣5+1＝﹣4，即代數(shù)式3（x﹣z）+1的值是﹣4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三元一次方程組，正確掌握加減消元法消去未知數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）13．三元一次方程組x+y=10y+z=20z+x=40的解是x=15【分析】將方程組三方程相加求出x+y+z的值，即可確定出解．【解答】解：x+y=10①①+②+③得：2（x+y+z）＝70，即x+y+z＝35④，把①、②、③分別代入④得：z＝25，x＝15，y＝﹣5，則方程組的解為x=15y=-5故答案為：x=15y=-5【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．14．已知方程組x+y-5z=0x-y+z=0，則x：y：z＝2：3：【分析】先解方程組，用含z的代數(shù)式表示x、y，再求x：y：z．【解答】解：x+y-①+②，得2x﹣4z＝0，∴x＝2z．①﹣②，得2y﹣6z＝0，∴y＝3z．∴x：y：z＝2z：3z：z＝2：3：1．故答案為：2：3：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．15．如果x+y=5y+z=6x+z=7，則x+y+z＝9【分析】方程組三方程相加即可求出x+y+z的值．【解答】解：x+y=5①①+②+③得：2（x+y+z）＝18，即x+y+z＝9，故答案為9．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三元方程組的問(wèn)題，關(guān)鍵是把三個(gè)方程相加解答．16．三元一次方程組x+y+z=13y+z=10x+y-2z=-5的解是x=3【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：x+y+z=13①①﹣③得：3z＝18，解得：z＝6，把z＝6代入②得：y＝4，把y＝4，z＝6代入①得：x＝3，則方程組的解為x=3y=4故答案為：x=3y=4【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元與加減消元法．17．已知a﹣3b+c＝8，7a+b﹣c＝12，則5a﹣4b+c＝18．【分析】?jī)墒较嗉?，得關(guān)于a、b的關(guān)系式，再與第一個(gè)式子相加得結(jié)論．【解答】解：由題意：a﹣3b+c＝8①，7a+b﹣c＝12②，②+①，得8a﹣2b＝20．所以4a﹣b＝10③．所以①+③，得5a﹣4b+c＝18．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組．根據(jù)要求整式的系數(shù)特點(diǎn)，利用整體代入是解決本題的關(guān)鍵18．對(duì)于方程組x-y+z=-3x+y-2z=9，若消去z可得含x、y的方程是3x﹣y＝3（含x【分析】①×2+②得出3x﹣y＝3即可．【解答】解：x①×2+②得：3x﹣y＝3，故答案為：3x﹣y＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程組的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確消元，即把三元一次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組．19．已知有理數(shù)x，y，z滿足條件：|x﹣z﹣2|+|3x﹣6y﹣7|+（3y+3z﹣4）2＝0，則xyz＝1．【分析】已知等式為三個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0的形式，只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，可組成方程組，求x、y、z的值，即可求得xyz的值．【解答】解：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得x①×3﹣②，得6y﹣3z+1＝0④④+③，得9y＝3，解得y=1把y=13代入④得z＝把z＝1代入①得x＝3．∴xyz＝3×13×1故答案為1．【點(diǎn)評(píng)】考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，三元一次方程組的解法，代數(shù)式求值，綜合題，難度較大．20．已知x，y，z為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足x+y+z=302x+3y+4z=100，若s＝3x+2y+5z，則s的最小值為90【分析】把x+y+z=302x+3y+4z=100看作為關(guān)于x和y的二元一次方程組，然后利用加減消元法可得到x＝z﹣10，y＝﹣2z+40，把x＝z﹣10，y＝﹣2z+40代入s＝3x+2y+5z中得S＝4z+50，再根據(jù)x，y，z為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，即z﹣10≥0，﹣2z+40≥0，z≥0，解得10≤z≤20【解答】解：x+y+z=30①①×3﹣②得3x﹣2x+3z﹣4z＝﹣10，解得x＝z﹣10，①×2﹣②得2y﹣3y+2z﹣4z＝﹣40，解得y＝﹣2z+40；∵x＝z﹣10，y＝﹣2z+40；∴S＝3（z﹣10）+2（﹣2z+40）+5z＝4z+50，∵x，y，z為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，∴z﹣10≥0，﹣2z+40≥0，z≥0，∴10≤z≤20，當(dāng)z＝10時(shí)，S有最小值，最小值＝40+50＝90．故答案為90．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組：利用加減消元法或代入消元法把三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．三．解答題（共5小題）21．解方程組：（1）2x+y=42y+1=5x（2）2x+y=10x-y+z=4【分析】（1）利用代入消元法求解即可；（2）利用加減消元法求解即可．【解答】解：（1）2x+y=4①由①得：y＝4﹣2x③，把③代入②得：2（4﹣2x）+1＝5x，解得：x＝1，把x＝1代入③得：y＝2，∴方程組的解為x=1y=2（2）2x+y=10①②+③得：2x﹣y＝2④，①+④得：4x＝12，解得x＝3，把x＝3代入④得：y＝4，把x＝3，y＝4代入②得：z＝5，∴方程組的解為x=3y=4【點(diǎn)評(píng)】本題考查解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握加減消元法、代入消元法解方程組．22．下表給出了代數(shù)式ax2+bx+c與x的一些對(duì)應(yīng)值：x…01234…ax2+bx+c…3m﹣10n…（1）利用表中所給數(shù)值求出a，b，c的值；（2）直接寫出：m＝0，n＝3；（3）設(shè)y＝ax2+bx+c，則當(dāng)x取何值時(shí)，y＜0．【分析】（1）根據(jù)題意得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解方程組即可求得結(jié)果；（2）當(dāng)x＝1代數(shù)式x2+bx+c的值為0可計(jì)算出m，同理求得n＝0；（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)得拋物線開(kāi)口向上，然后找出x軸下方的拋物線所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可；【解答】解：（1）根據(jù)題意得c=34a+2b+c=-19a+3b+c=0，解得∴a，b，c的值分別為1，﹣4，3．（2）當(dāng)x＝1時(shí)，x2﹣4x+3＝1﹣4+3＝0，當(dāng)x＝4時(shí)，x2﹣4x+3＝16﹣16+3＝3；∴m＝0，n＝3，故答案為0，3；（3）因?yàn)閽佄锞€y＝x2﹣4x+3的開(kāi)口向上，當(dāng)1＜x＜3時(shí)，y＜0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)．23．閱讀材料：我們把多元方程（組）的非負(fù)整數(shù)解叫做這個(gè)方程（組）的“好解”例如：x=1y=8就是方程3x+y＝11的一組“好解”；x=1y=2z=3（1）求方程x+2y＝5的所有“好解”；（2）關(guān)于x，y，k的方程組x+y+k=15x+5y+3k=27【分析】（1）分別計(jì)算y＝0、1、2對(duì)應(yīng)的x的值得到方程x+2y＝5的“好解”；（2）先利用加減消元法得到k＝6﹣2y，x＝9+y，則利用x、y、k為非負(fù)整數(shù)得到y(tǒng)＝0、1、2，然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的x、k的值，從而得到方程組的“好解”．【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，x＝5；當(dāng)y＝1時(shí)，x+2＝5，解得x＝3；當(dāng)y＝2時(shí)，x+4＝5，解得x＝1，所以方程x+2y＝5的所有“好解”為x=5y=0或x=3y=1或（2）有．x+y+k=15①②﹣①得4y+2k＝12，則k＝6﹣2y，①×3﹣②得2x﹣2y＝18，則x＝9+y，∵x、y、k為非負(fù)整數(shù)，∴6﹣2y≥0，解得y≤3，∴y＝0、1、2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝9，k＝6；當(dāng)y＝1，x＝10，k＝4；當(dāng)y＝2時(shí)，x＝11，k＝2，當(dāng)y＝3時(shí)，x＝12，k＝0∴關(guān)于x，y，k的方程組x+y+k=15x+5y+3k=27的“好解”為x=9y=0k=6或x=10y=1k=4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程組：利用代入法或加減法，把三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，然后解二元一次方程組．24．在等式y(tǒng)＝ax2+bx+c中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣5；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝11．（1）求a，b，c的值；（2）小蘇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x＝﹣1或x=53時(shí)，【分析】（1）由“當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣5；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝11”即可得出關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；（2）把x＝﹣1，x=53分別代入等式求得【解答】解：（1）根據(jù)題意，得c=-②﹣③，得4b＝﹣8，解得b＝﹣2；把b＝﹣2，c＝﹣