第04講直角三角形（原卷版）

第04講直角三角形思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余2.判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形3.在網(wǎng)格中判斷直角三角形4.利用勾股定理的逆定理求解5.勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用6.全等的性質(zhì)和HL綜合1.直角三角形的性質(zhì)定理定理1直角三角形的兩個(gè)銳角互余；定理2在直角三角形中，如果一個(gè)角等于300，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.2.勾股定理圖形名稱定理符號(hào)表示邊的定理在直角三角形中，斜邊大于直角邊.在中，勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形.在中，，3.直角三角形全等的判定圖形定理符號(hào)如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)記：HL）在中，，1.在直角三角形中，如果一個(gè)角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.2.勾股定理逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形.3.直角三角形全等的判定：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)記：HL）考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、直角三角形的兩個(gè)銳角互余例題：在直角三角形中，若一個(gè)銳角是，則該直角三角形的另一個(gè)銳角是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于，另一個(gè)銳角的度數(shù)是．故選：C．【變式訓(xùn)練】1．如圖，某同學(xué)在課桌上無(wú)意中將一塊三角尺疊放在直尺上，則．【答案】/度【解析】由圖可知，和的對(duì)頂角互余，，故答案為：．2．如圖，等腰三角形中，，，于D，則等于．【答案】/23度【解析】∵在等腰三角形中，，，∴，∵，∴，∴；故答案為：．考點(diǎn)二、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形例題：下列各組數(shù)據(jù)中，能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，，1 D．3，4，6【答案】C【解析】，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故選項(xiàng)C正確；，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選C．【變式訓(xùn)練】1．以下列各組線段為邊，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【解析】根據(jù)題意得：選項(xiàng)中，，不能構(gòu)成三角形，也不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)中，，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；選項(xiàng)中，，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)中，，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：．2．已知a，b，c滿足．(1)求a，b，c的值；(2)試問(wèn)：以a，b，c為三邊長(zhǎng)能否構(gòu)成直角三角形，如果能，請(qǐng)求出這個(gè)三角形的面積，如不能構(gòu)成三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）根據(jù)題意得：，，，解得：，，．（2）能構(gòu)成直角三角形，，，，以、、為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形,三角形的面積是：．考點(diǎn)三、在網(wǎng)格中判斷直角三角形例題：如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是，求下列問(wèn)題：

(1)試說(shuō)明是直角三角形；(2)求點(diǎn)到的距離．【解析】（1）由圖可知：，，．,是直角三角形

（2）由（1）可知：，，點(diǎn)到的距離是．【變式訓(xùn)練】1．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，網(wǎng)格中有以格點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)的，請(qǐng)根據(jù)所學(xué)的知識(shí)回答下列問(wèn)題：(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求的面積．【解析】（1）是直角三角形，理由：，，，所以，所以是直角三角形；（2）的面積：．考點(diǎn)四、利用勾股定理的逆定理求解例題：如圖，點(diǎn)在中，，，，

(1)求的長(zhǎng)；(2)求圖中陰影部分的面積．【解析】（1）∵，，，，（2）∵，，，是直角三角形，，．故圖中陰影部分的面積為．【變式訓(xùn)練】1．在四邊形中，，求四邊形的面積．【解析】連接，∵∠B=90°，∴為直角三角形，∵，根據(jù)勾股定理得：，又∵，∴，∴，∴為直角三角形，∴，答：四邊形的面積為36．2．如圖，學(xué)校有一塊三角形空地，計(jì)劃將這塊三角形空地分割成四邊形和，分別擺放“秋海棠”和“天竺葵”兩種不同的花卉，經(jīng)測(cè)量，，，，，，，求四邊形的面積．【解析】由題意得：，，在中，由勾股定理得：，，，是直角三角形，且，．答：四邊形的面積為18．考點(diǎn)五、勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用例題：如圖，在筆直的公路旁有一座山，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路上的處開(kāi)鑿隧道修通一條公路到處，已知點(diǎn)與公路上的?？空镜木嚯x為，與公路上另一?？空镜木嚯x為，?？空局g的距離為，且．

(1)求修建的公路的長(zhǎng)；(2)一輛貨車(chē)從點(diǎn)到點(diǎn)處走過(guò)的路程是多少？【解析】（1），，，，是直角三角形，，，（）．故修建的公路的長(zhǎng)是；（2）在中，（），故一輛貨車(chē)從點(diǎn)到處的路程是．【變式訓(xùn)練】1．在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D（A，D，B在同一條直線上），并新修一條路，測(cè)得千米，千米，千米．

(1)求的度數(shù)；(2)求取水點(diǎn)A到取水點(diǎn)D的距離．【解析】（1）∵千米，千米，千米，∴，∴，∴為直角三角形，∴，∴；（2）設(shè)千米，則千米，∴千米，∵，∴，∴，即，解得：．答：取水點(diǎn)A到取水點(diǎn)D的距離為千米．2．黨的十八大以來(lái)，各地積極推動(dòng)城市綠化工作，大力拓展城市生態(tài)空間，讓許多城市再現(xiàn)綠水青山.某小區(qū)物業(yè)在小區(qū)拐角清理出了一塊空地進(jìn)行綠化改造，如圖，，．(1)為了方便居民的生活，在綠化時(shí)將修一條從點(diǎn)A直通點(diǎn)C的小路，求小路的長(zhǎng)度；(2)若該空地的改造費(fèi)用為每平方米150元，試計(jì)算改造這片空地共需花費(fèi)多少元？【解析】（1）∵，，∴；答：小路的長(zhǎng)度為15m；（2）∵，，∴，∴為直角三角形，∴四邊形的面積，元；答：改造這片空地共需花費(fèi)17100元．考點(diǎn)六、全等的性質(zhì)和HL綜合例題：如圖，中，，，F(xiàn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【解析】（1）在與中，，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．如圖，，，垂足分別為D，C，，．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【解析】（1）證明：，，，，則，，，∴．（2），，，，．的度數(shù)為．2．已知在中，，且，作等腰，使得．

(1)如圖1，若與互余，則___________；（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖2，若與互補(bǔ)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，求證：；(3)若與的面積相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．（用含的式子表示）【解析】（1）中，，且=,，，，，∠DAB；故答案為：；（2）證明：如圖，過(guò)A點(diǎn)作于E點(diǎn)，

中，，，，中，，，，,=，∠ACB，

，

，

∴∠ACH=，．在和中，，∴，

∴，

∴；（3）①如圖，作于，于，

∵與的面積相等，∴，又∵，∴，∴，即，，；②如圖，作于，作垂直于的延長(zhǎng)線于，

則，∵，，∴，∵與的面積相等，∴，∴，∴，，∴，，∴∠ACD=，綜上，或．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．下列給出的四組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形三邊的一組是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．分別具備下列條件的中，不屬于直角三角形的是（

）A． B．，，C． D．3．如圖，已知直線，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．如圖，于點(diǎn)B，于D，若，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，，若，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．二、填空題6．若中，，且，那么的度數(shù)為．7．如圖，，，垂足分別為C，B，要根據(jù)“”證明，應(yīng)添加的條件是．8．如圖中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則的面積是．9．如圖，幼兒園的滑梯中有兩個(gè)長(zhǎng)度相等的梯子，且，已知，，則．10．如圖，在中，，，，為邊上的高，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在直線上以/s的速度移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)s時(shí)，．三、解答題11．如圖，已知，，，與交于點(diǎn)O，求證：12．如圖，在中，，，，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，連接，且(1)求的長(zhǎng)；(2)求證：是直角三角形．13．如圖，在中，D為邊上一點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，，垂足為F，且．(1)求證：；(2)若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，求的度數(shù)．14．已知：在四邊形中，，．(1)求的長(zhǎng)．(2)是直角三角形嗎？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)求這塊空地的面積．15．如圖，在四邊形中，連結(jié)，，，，，．(1)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)過(guò)點(diǎn)D作直線的垂線，垂足為點(diǎn)H，求線段的長(zhǎng)．16．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為，，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，為等邊三角形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，為直角三角形？17．在學(xué)校組織的研學(xué)活動(dòng)中，辰星小組合作搭建帳篷．圖是他們搭建帳篷的支架示意圖．在中，兩根支架從帳篷頂點(diǎn)支撐在水平的支架上，一根支架于點(diǎn)，另一根支架的端點(diǎn)在線段上，且．經(jīng)測(cè)量，知，，．根據(jù)測(cè)量結(jié)果，解答下列問(wèn)題：

(1)求的長(zhǎng)；(2)按照要求，當(dāng)帳篷支架與所夾的角度為直角時(shí)，帳篷最為穩(wěn)定．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明辰星小組搭建的帳篷是否符合要求．18．已知在四