13線段的垂直平分線（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(北師大版)

1.3線段的垂直平分線一、單選題1．如圖所示，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，若，則B、E兩點(diǎn)間的距離是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可．【解析】解：如圖，連接．∵垂直平分線段，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩點(diǎn)的距離相等．2．如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長為，則的周長是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，得到AD=CD，AC=2AE，結(jié)合周長，進(jìn)行線段的等量代換可得答案．【解析】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周長=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周長=AB+BC+AC=13+6=19cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等），進(jìn)行線段的等量代換是正確解題關(guān)鍵．3．如圖，在四邊形中，垂直平分，垂足為點(diǎn)E，下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB＝AD，BC＝BD，再對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解析】解：∵垂直平分，∴，故A正確，該選項(xiàng)不符合題意；在和中，∴，故C正確，該選項(xiàng)不符合題意，；∴，故B正確，該選項(xiàng)不符合題意；；不一定等于，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖所示，直線l是一條河的河岸，P，Q是河同側(cè)的水產(chǎn)的生產(chǎn)基地，現(xiàn)從河岸某點(diǎn)M處分別派出兩輛水產(chǎn)車運(yùn)送水產(chǎn)如下有四種運(yùn)輸方案，則運(yùn)輸路程合理且最短的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型求最短路線題型，作點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接Q交直線l于點(diǎn)M，作圖即可.【解析】根據(jù)“將軍飲馬”模型求最短路線題型，作點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接Q交直線l于點(diǎn)M，利用兩點(diǎn)之間線段最短和線段垂直平分線的性質(zhì)作圖即可，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了“將軍飲馬”模型求最短路線題型，掌握兩點(diǎn)之間線段最短和線段垂直平分線的性質(zhì)作圖方法.5．下列條件中，不能判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線的是（）A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥ABC．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB【答案】C【分析】根據(jù)垂直平分線的概念逐個(gè)判斷即可．【解析】解：A、CA=CB，DA=DB，可以判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線，不符合題意；B、CA=CB，CD⊥AB，可以判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線，不符合題意；C、CA=DA，CB=DB，不能判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線，符合題意；D、CA=CB，CD平分AB，可以判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了垂直平分線的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線的概念．6．如圖，有A、B、C三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（）．A．在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處C．在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處 D．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出答案．【解析】解：根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，可知超市應(yīng)建在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，若，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解析】解：，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N，若∠BAC＝70°，則∠EAN的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．50° D．55°【答案】B【分析】由三角形內(nèi)角和180°解得，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，解得，進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角性質(zhì)，解得，最后根據(jù)角的和差計(jì)算的度數(shù)即可．【解析】，，的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和180°等性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．9．如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD=DC，E是BC延長線上一點(diǎn)，且點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，有下列結(jié)論：①AB=AC=CE；②AB+BD=DE；③AD=AE；④BD=DC=CE，其中，正確的結(jié)論是（）A．只有 B．只有C．只有 D．只有【答案】B【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得CA=CE，又可判定AB=AC，可AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，由于∠E不一定等于30°，于是得到AD不一定等于AE，由BD=CD＜AC，故④錯(cuò)誤．【解析】解：∵BD=CD，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∵C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE，∴AB=AC=CE，故①正確，∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，故②正確，∵∠E不一定等于30°，∴AD不一定等于AE，故③錯(cuò)誤，∵BD=CD＜AC，故④錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，分別為邊上的高，相交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則周長等于的長．其中正確的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④【答案】B【分析】證明△BDF≌△ADC，可判斷①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延長CF交AB于H，證明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判斷③；根據(jù)①可以得到E是AC的中點(diǎn)，然后可以推出EF是AC的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質(zhì)可判斷④．【解析】解：∵△ABC中，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，F(xiàn)D=CD，故①正確，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②錯(cuò)誤；延長CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正確；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=AC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周長=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周長等于AB，故④正確，綜上：①③④正確，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，也考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，也利用了三角形的周長公式解題，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求比較高．＜二、填空題11．線段的垂直平分線；經(jīng)過_______并且_______的______叫做這條線段的垂直平分線（也叫線段的中垂線）．【答案】線段的中點(diǎn)垂直于這條線段直線【分析】根據(jù)線段垂直平分線的定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，即可求得答案．【解析】解：經(jīng)過線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．故填：線段的中點(diǎn)，垂直于這條線段，直線．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的定義，比較簡單，注意掌握線段垂直平分線的定義是解此題的關(guān)鍵．12．如圖，垂直平分線段，且垂足為點(diǎn)M，則圖中一定相等的線段有________對(duì)．【答案】3【分析】由CD垂直平分線段AB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線商店的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可得，，，從而求得答案．【解析】∵垂直平分線段，∴．∴圖中一定相等的線段有3對(duì)．故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)并能靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．13．如圖，根據(jù)已知條件，填寫由此得出的結(jié)論．（1）∵中，，∴_____．（2）∵中，，∴垂直平分_____．（3）∵中，，∴_______．（4）∵中，，∴________．【答案】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角可得；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三線合一可得；（3）根據(jù)三線合一可得；（4）根據(jù)三線合一可得；【解析】（1）∵中，，∴．（2）∵中，，∴垂直平分．（3）∵中，，∴．（4）∵中，，∴．故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，且的周長為，則________．【答案】7【分析】根據(jù)是的垂直平分線可得，結(jié)合的周長為可得結(jié)論．【解析】∵是的垂直平分線，∴，∵的周長為，∴，又∵，∴．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上的任意一點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，則∠CBE的度數(shù)為____度．【答案】27【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC=∠C=70°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，計(jì)算即可．【解析】∵AB=AC，∠A=42°，∴∠ABC=∠C=69°，∵DE是AB的垂直平分線，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=42°，∴∠CBE=∠ABC∠EBA=27°，故答案為：27．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．16．如圖，線段的垂直平分線交于點(diǎn)．若，則__________【答案】【分析】連接OB，由線段垂直平分線的性質(zhì)求得AO=OB=OC，由等腰三角形的性質(zhì)得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，進(jìn)而得到∠A+∠C=∠ABC，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解．【解析】解：連接BO并延長，如圖：線段的垂直平分線交于點(diǎn)∴AO=OB=OC∴A=∠ABO，∠C=∠CBO∴∠A+∠C=∠ABC=35°∴故答案為：70【點(diǎn)睛】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，若∠BAC＝100°，則∠DAE＝_____．【答案】20°【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可知：，即得：，即，即求出．【解析】由垂直平分線的性質(zhì)可知：，∵，∴，即，∴，即，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．由垂直平分線的性質(zhì)得出是解答本題的關(guān)鍵．18．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM的周長的最小值為_____．【答案】9．【分析】連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解析】連接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．故答案為9．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路線問題.能根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出AM=MC，并由此得出MC+DM=MA+DM≥AD是解決此題的關(guān)鍵.三、解答題19．如圖，A，B表示兩個(gè)倉庫，要在A，B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建造在什么位置？【答案】見解析．【分析】連接AB，作AB的垂直平分線，其與河岸邊的交點(diǎn)即是所求．【解析】解：連接AB，分別以A和B為圓心，以大于為半徑的兩弧交于點(diǎn)E和F，作直線EF，與河岸交于點(diǎn)C，如圖，則碼頭應(yīng)建在點(diǎn)C處．【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖問題，難度適中，關(guān)鍵要理解題意，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．20．如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，的垂直平分線交于點(diǎn)F，請(qǐng)找出圖中相等的線段，并求的周長．【答案】EA=EB，F(xiàn)A=FC；2．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算即可．【解析】∵AB的垂直平分線交于點(diǎn)E，的垂直平分線交于點(diǎn)F，∴EA=EB，F(xiàn)A=FC，∴的周長為：EA+FA+EF=EB+EF+FC=BC=2．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用計(jì)算周長是解題的關(guān)鍵．21．已知：如圖，是線段的垂直平分線，E，F(xiàn)是上的兩點(diǎn)．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)線段的垂直平分線可得，又，SSS證明即可證明．【解析】證明：是線段的垂直平分線，E，F(xiàn)是上的兩點(diǎn)，，又，（SSS），．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，D為垂足，連接．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長．【答案】（1）72°；（2）5【分析】（1）是的垂直平分線，可得；，已知，可求,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出，求出，推出，由得出．【解析】解：（1）∵垂直平分，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．23．已知：是線段的垂直平分線，C，D是上的兩點(diǎn)．求證：（1）是等腰三角形；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由MN是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上的兩點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可證得△ABC，△ABD是等腰三角形；（2）由△ABC，△ABD是等腰三角形，根據(jù)等等邊對(duì)等角的性質(zhì)，即可證得結(jié)論．【解析】】解：（1）∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上的兩點(diǎn)．∴AC=BC，AD=BD，即△ABC，△ABD是等腰三角形；（2）∵AC=BC，AD=BD，∴∠CAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA，即∠CAD=∠CBD．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．24．如圖所示，為的角平分線，，求證：線段所在直線是線段的垂直平分線．【答案】見解析【分析】利用全等三角形的判定定理證明，再利用性質(zhì)定理可得，，證得結(jié)論．【解析】證明：∵是的平分線，∴．在和中，∴．∴，點(diǎn)D在線段的垂直平分線上，又∵，∴點(diǎn)A在線段的垂直平分線上，∴線段所在的直線是線段的垂直平分線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，綜合運(yùn)用定理是解答此題的關(guān)鍵．25．如圖，在中，，，邊的垂直平分線與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）求證：△ACD為等腰三角形．【答案】（1）；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得DB=DA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠DAB，利用三角形外角的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)即可；（2）根據(jù)角的和差關(guān)系可求出∠DAC=80°，可得∠ADC=∠DAC，即可證明CA=CD，可得△ACD是等腰三角形．【解析】（1）∵垂直平分，∴，∴∵，∴，∴．（2）∵∠BAC=120°，∠DAB=40°，∴，∵，∴，∴，∴為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的判定，熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到相等兩端點(diǎn)的距離相等及等角對(duì)等邊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．26．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)使，連接（或?qū)⒗@著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到），把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______，并寫出過程；（2）問題解決：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）見解析【分析】（1）延長AD至E，使DE=AD，由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；（2）延長FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）如圖1所示：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，∵∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：ABBE＜AE＜AB+BE，∴86＜AE＜8+6，即2＜AE＜14，∴1＜AD＜7；故答案為：1＜AD＜7；（2）如圖2所示：延長FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM、EM，同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM=CF，∵DE⊥DF，DM=DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合問題，考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．27．已知，等邊△ABC中，D為AC延長線上一點(diǎn)，以BD為斜邊做Rt△BED使∠BED＝90°，∠BDE＝30°，連接CE并延長與射線AB交于點(diǎn)F，連接DF．（1）如圖1，求證：∠FBE＝∠ADB；（2）如圖1，求證：AD＝BF；（3）如圖2，若∠AFC＝15°，EF＝4，求△DEC的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=∠ABC=60°，則∠CBD+∠ADB=180°∠A∠ABC=60°，求∠EBD=60°，得到∠FBE+∠CBD=180°∠ABC∠EBD=60°，則∠FBE+∠CBD=∠ADB+∠CBD，即可推出∠FBE=∠ADB；（2）取BD中點(diǎn)G，連接AG，先推出∠ABG=∠CBE，即可證明△ABG≌△CBE得到∠BAG=∠BCE，然后推出∠BFC=∠DAG，即可證明△BEF≌△DGA得到BF=AD；（3）取BD中點(diǎn)G，連接AG，過點(diǎn)F作FH∥BC交AD延長線于H，過點(diǎn)F作FQ⊥AD于Q，過點(diǎn)E作EM⊥AD于M，同（2）可證△BEF≌△DGA，△ABG≌△CBE，得到AG=CE=EF=4，則CF=EC+EF=8，證明△AFH是等邊三角形，得到AF=AH，即可推出AB=DH