云南省曲靖市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

曲靖市2023—2024學(xué)年高三年級(jí)第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題卷（本題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前、考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．每小題選出答案后，將對(duì)應(yīng)的字母填在答題卡相應(yīng)位置上，在試題卷上作答無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別是，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)與向量坐標(biāo)關(guān)系及向量減法求對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可得對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù).【詳解】由題設(shè)，則，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：D2.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個(gè)數(shù)為4.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道容易題.3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.36 B.54 C.28 D.42【答案】D【解析】【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式整體代入計(jì)算即可求得.【詳解】根據(jù)題意設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，易知；由可得，兩式相除可得，即；所以.故選：D4.已知變量關(guān)于的回歸方程為，若對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：12345則當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，可得出，求出、的值，將、的值代入，求出的值，可得出變量關(guān)于的回歸方程，然后令，可得出的值.【詳解】令，由可得，如下表所示：由表格中數(shù)據(jù)可得，，則有，解得，故，當(dāng)時(shí)，.故選：C.5.為努力推進(jìn)“綠美校園”建設(shè)，營(yíng)造更加優(yōu)美的校園環(huán)境，某校準(zhǔn)備開展校園綠化活動(dòng)．已知栽種某綠色植物的花盆可近似看成圓臺(tái)，圓臺(tái)兩底面直徑分別為18厘米，9厘米，母線長(zhǎng)約為7.5厘米．現(xiàn)有2000個(gè)該種花盆，假定每一個(gè)花盆裝滿營(yíng)養(yǎng)土，請(qǐng)問(wèn)共需要營(yíng)養(yǎng)土約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.1.702立方米 B.1.780立方米C.1.730立方米 D.1.822立方米【答案】B【解析】【分析】利用圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求高，再由圓臺(tái)體積公式求體積，即可求2000個(gè)該種花盆所需要的營(yíng)養(yǎng)土.【詳解】令（單位厘米），則花盆的高，所以花盆的體積為，故2000個(gè)該種花盆共需要營(yíng)養(yǎng)土約立方厘米，即1.780立方米.故選：B6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】?jī)山遣畹恼夜?、兩角和的余弦公式化?jiǎn)可得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)?，因此?故選：A.7.已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)作一條直線分別交兩條漸近線于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)有雙曲線漸近線為，，且，求坐標(biāo)，根據(jù)得到齊次方程，即可得漸近線.【詳解】由題設(shè)作出圖形，雙曲線漸近線為，，則直線，故，可得，故，即，又三角形BOF為等腰三角形，所以，則，整理得，即雙曲線的漸近線方程為.故選：B8.已知，若點(diǎn)為曲線與曲線的交點(diǎn)，且兩條曲線在點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，由切線重合得導(dǎo)數(shù)值相等解得，再由點(diǎn)為交點(diǎn)，則坐標(biāo)滿足兩曲線方程，由此建立等量關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則由可得，又可得，且兩條曲線在點(diǎn)處的切線重合，所以切線的斜率，解得或（舍去），即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由點(diǎn)為曲線與曲線的交點(diǎn)，所以，即，令，則，令可得，由知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)的最小正周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度以后，所得的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】AC【解析】【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，代值計(jì)算可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的周期性可判斷B選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項(xiàng).【詳解】由圖可知，，函數(shù)的最小正周期滿足，則，，B錯(cuò)；所以，，，可得，因?yàn)?，所以，，則，可得，所以，，則，A對(duì)；，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C對(duì)；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度以后，得到函數(shù)的圖象，所得函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò).故選：AC.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且與都為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A.為奇函數(shù) B.為周期函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性定義可求得，即可判斷A錯(cuò)誤；B正確；再利用周期可得為奇函數(shù)，，即可知C正確，D錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)題意由為奇函數(shù)可得，即；由為奇函數(shù)可得，即；所以可得，即，即可得為周期是4的周期函數(shù)，且，可得不是奇函數(shù)，即A錯(cuò)誤；B正確；由周期性可知，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以也為奇函數(shù)，即C正確；因?yàn)?，所以不是偶函?shù)，即D.錯(cuò)誤；故選：BC11.下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，則，即，即，即，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，即，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，令，其中，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，則，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，令，其中，則，令，由C選項(xiàng)可知，對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，即，D錯(cuò).故選：ABC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答比較函數(shù)值大小問(wèn)題，常見的思路有兩個(gè)：（1）判斷各個(gè)數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問(wèn)題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.12.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別是棱的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面分別與棱交于點(diǎn)，以下四個(gè)命題中正確的是（）A.四邊形一定為菱形B.四棱錐體積為C.平面平面D.四邊形的周長(zhǎng)最小值為4【答案】ACD【解析】【分析】由正方體截面性質(zhì)有為平行四邊形，若為中點(diǎn)，易得為正方形，進(jìn)而得到即可判斷A；由到面的距離之和為底面對(duì)角線且求體積判斷B；利用線面垂直、面面垂直的判定判斷C；根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征判斷在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，周長(zhǎng)最短時(shí)位置判斷D.【詳解】由題意，正方體截面的性質(zhì)易知，即為平行四邊形，取為中點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，則為正方形，所以，則，故為菱形，A對(duì)；由到面的距離之和為底面對(duì)角線為，又定值，B錯(cuò)；由菱形性質(zhì)知，由正方體性質(zhì)知面，面，則，又，面，故面，而面，所以平面平面，C對(duì)；在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，僅當(dāng)它們?yōu)閷?duì)應(yīng)線段中點(diǎn)時(shí)，菱形各邊最短且為1，此時(shí)為正方形，周長(zhǎng)為4，D對(duì).故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若向量，，則向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算與投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以向量在向量上的投影向量的坐?biāo)為.故答案：.14.如圖，在第一象限內(nèi)，矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，分別在函數(shù)的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標(biāo)軸平行，若A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則D點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)冪函數(shù)的圖象及解析式求出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)、點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可得D點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由題意，縱坐標(biāo)都為2，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，所以A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，由為矩形及題圖知：D點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：15.已知為橢圓上一點(diǎn)，分別為的左、右焦點(diǎn)，且，若外接圓半徑與其內(nèi)切圓半徑之比為，則的離心率為______．【答案】【解析】【分析】由橢圓性質(zhì)及定義有，結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓、外接圓相關(guān)性質(zhì)求對(duì)應(yīng)半徑，進(jìn)而得到橢圓參數(shù)的齊次方程，即可得求離心率.【詳解】由題意，中，所以其外接圓半徑，內(nèi)切圓的半徑為，故.故答案為：16.大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程．已知大衍數(shù)列滿足，，則______，數(shù)列的前50項(xiàng)和為______．【答案】①.②.【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，推出，利用累加法可得，從而求得，即可求解，根據(jù)，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，①，當(dāng)時(shí)，②，由①②可得，，所以，累加可得，，所以，令且為奇數(shù))，，當(dāng)時(shí)，成立，所以當(dāng)為奇數(shù)，，當(dāng)為奇數(shù)，，所以當(dāng)為偶數(shù)，，所以故；根據(jù)所以的前項(xiàng)的和.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步?．17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）線段上一點(diǎn)滿足，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦邊角關(guān)系及已知得，再由余弦定理即可求；（2）由題設(shè)得，且，，在、應(yīng)用正弦定理得、，即可求的長(zhǎng)度．【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)及余弦定理知：，所以，又，，所以.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，且，，在中，則，在中，則，綜上，可得，則，故.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，求使得成立的的最小值．【答案】（1）；（2）10.【解析】【分析】（1）根據(jù)關(guān)系及遞推式可得，結(jié)合等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式，即可得結(jié)果；（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求，由不等式能成立及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得，即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，則，而，所以，故是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】由，所以，要使，即，由且，則.所以使得成立的的最小值為10.19.2023年9月23日至10月8日、第19屆亞運(yùn)會(huì)在中國(guó)杭州舉行．樹人中學(xué)高一年級(jí)舉辦了“亞運(yùn)在我心”乒乓球比賽活動(dòng)．比賽采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率．（1）若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，即，求的取值范圍．【答案】（1）分布列見解析，期望為；（2）.【解析】【分析】（1）先寫出離散型隨機(jī)變量的分布列，再求出數(shù)學(xué)期望即可；（2）先根據(jù)已知不等式列式求解，再根據(jù)單調(diào)性定義作差證明單調(diào)遞增說(shuō)明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】，即采用3局2勝制，所有可能值為，，，的分布列如下，23所以.【小問(wèn)2詳解】采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為，采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為，則，得.20.在圖1的直角梯形中，，點(diǎn)是邊上靠近于點(diǎn)的三等分點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2．（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出線段的長(zhǎng)度，若不存在說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由直角梯形邊長(zhǎng)可知，連接交于點(diǎn)，由線面垂直的判定定理可證明平面，即可得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用二面角的大小為解方程即可求得線段的長(zhǎng)度為.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，由直角梯形邊長(zhǎng)可知；又點(diǎn)是邊上靠近于點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，可得為等邊三角形；連接，交于點(diǎn)，如下圖所示：可得四邊形為菱形，所以，即折起后，如下圖所示：易知，又，滿足，即；又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；【小?wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則；可得，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，所以，則，由（1）可知平面，利用易得平面的一個(gè)法向量可取為設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得；所以，解得或（舍），此時(shí)，可得；即線段的長(zhǎng)度為.21.已知斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)、處作拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，則的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)、，由已知可得出，利用斜率公式以及拋物線的方程可求得的值，由此可得出拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，分析可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出，求出兩切線的方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可得出，求出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最小值，及其對(duì)應(yīng)的直線的方程.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)橹本€的斜率為，則，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，可得，所以，拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，易知點(diǎn)，若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，則直線的方程為，即，同理可知，直線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，則，，所以，，即，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的面積存在最小值，且最小值為，此時(shí)，直線的方程為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．22.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；（2）討論