5.2 任意角的三角函數(shù) 教案（表格式3課時(shí)）

5.2.1任意角三角函數(shù)的定義【教學(xué)目標(biāo)】1.理解并掌握任意角三角函數(shù)的定義；熟記其在各象限的符號(hào)；掌握三角函數(shù)線的定義及畫法．2．通過教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．【教學(xué)重點(diǎn)】任意角三角函數(shù)的定義．【教學(xué)難點(diǎn)】單位圓及三角函數(shù)線．【教學(xué)方法】本節(jié)課主要采用啟發(fā)引導(dǎo)與講練結(jié)合的教學(xué)方法．在復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，定義了任意角的三角函數(shù)，講練結(jié)合，使學(xué)生牢固掌握．然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)定義和象限內(nèi)的點(diǎn)坐標(biāo)符號(hào)導(dǎo)出三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，接著把正弦值、余弦值、正切值轉(zhuǎn)化為單位圓中的有向線段表示，使數(shù)與形密切結(jié)合起來，以加強(qiáng)學(xué)生對三角函數(shù)定義的理解．【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)定義．師：初中時(shí)我們學(xué)過銳角三角函數(shù)，當(dāng)時(shí)是怎樣定義的？以舊引新．新課新課新課新課任意角的三角函數(shù)定義．已知是任意角，P(x，y)，P(x，y)是角的終邊與兩個(gè)半徑不同的同心圓的交點(diǎn)．(r＝EQ\R(,x2+y2)，r'＝EQ\R(,x'2+y'2))yPryPrr′yy′Ox′xxP’當(dāng)角不變時(shí)，對于角的終邊上任意一點(diǎn)P（x，y），不論點(diǎn)P在角的終邊上的位置如何，三個(gè)比值EQ\F(x,r)，EQ\F(y,r)，EQ\F(y,x)始終等于定值．因此定義：角的余弦cos＝EQ\F(x,r)；角的正弦sin＝EQ\F(y,r)；角的正切tan＝EQ\F(y,x)．依照上述定義，對于每一個(gè)確定的角，都分別有唯一確定的余弦值、正弦值、正切值與之對應(yīng)，所以這三個(gè)對應(yīng)關(guān)系都是以角為自變量的函數(shù)，分別叫做角的余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)．三角函數(shù)求值．根據(jù)三角函數(shù)定義，可得計(jì)算三角函數(shù)值的步驟：S1畫角：在直角坐標(biāo)系中，作轉(zhuǎn)角等于α；S2找點(diǎn)：在角α的終邊上任找一點(diǎn)P，使OP＝1，并量出該點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)；S3求值：根據(jù)相應(yīng)三角函數(shù)的定義，求該角的三角函數(shù)值．例1已知角終邊上一點(diǎn)P(2，－3)，求角的三個(gè)三角函數(shù)值．解已知點(diǎn)P（2，－3），則r＝OP＝EQ\R(,22＋（－3）2)＝EQ\R(,13)，由三角函數(shù)的定義，得sin＝EQ\F(y,r)＝EQ\F(－3,EQ\R(,13))＝－EQ\F(3EQ\R(,13),13)；cos＝EQ\F(x,r)＝EQ\F(2,EQ\R(,13))＝；tan＝EQ\F(y,x)＝－EQ\F(3,2)；練習(xí)1教材P138，練習(xí)A組第1、4、5題．例2試確定三角函數(shù)在各象限的符號(hào)．解由三角函數(shù)的定義可知，sin＝EQ\F(y,r)，角終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y的正、負(fù)與角的正弦值同號(hào)；cos＝EQ\F(x,r)，角終邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的正、負(fù)與角的余弦值同號(hào)；由tan＝EQ\F(y,x)，則當(dāng)x與y同號(hào)時(shí)，正切值為正，當(dāng)x與y異號(hào)時(shí)，正切值為負(fù)．OxyOxy＋＋－－sinαOxy＋－＋－cosαOxy＋－－＋tanα練習(xí)2確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào)：(1)sin(－EQ\F(π,4))；(2)cos130；(3)tanEQ\F(4π,3)．例3使用函數(shù)型計(jì)算器，計(jì)算下列三角函數(shù)值：(1)sin，cos372，tan(－86)；(2)sin1.2，cosEQ\F(3π,4)，tanEQ\F(5π,6)．解略．3.單位圓與三角函數(shù)線．如圖，以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓稱作單位圓．OMxOMxA(1，0)1P(cos，sin)y設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x，y)，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，則sin＝y(tǒng)，cos＝x，即P(cos，sin)．cos＝x＝OM；sin＝y(tǒng)＝MP．于是我們把規(guī)定了方向的線段OM，MP分別稱作角的余弦線、正弦線．練習(xí)3（1）在直角坐標(biāo)系的單位圓中，分別畫出EQ\F(π,3)和－EQ\F(2π,3)的正弦線、余弦線．設(shè)單位圓在點(diǎn)A的切線與角的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T(T)，則tan＝EQ\F(y,x)＝EQ\F(AT,OA)＝AT(AT)，所以AT(AT)稱作角α的正切線．練習(xí)3（2）在直角坐標(biāo)系的單位圓中，分別畫出EQ\F(π,3)和－EQ\F(2π,3)的正切線．問題1：當(dāng)我們把銳角的概念推廣為轉(zhuǎn)角后，我們?nèi)绾味x任意角的三角函數(shù)呢？如左圖所示，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得，EQ\F(x,r)＝EQ\F(x',r')，EQ\F(y,r)＝EQ\F(y',r')，EQ\F(y,x)＝EQ\F(y',x').由于點(diǎn)P，P'在同一象限內(nèi)，所以它們的坐標(biāo)符號(hào)相同，因此，EQ\F(x,r)＝EQ\F(x',r')，EQ\F(y,r)＝EQ\F(y',r')，EQ\F(y,x)＝EQ\F(y',x')，所以三個(gè)比值EQ\F(x,r)，EQ\F(y,r)，EQ\F(y,x)只依賴于的大小，與點(diǎn)P在終邊上的位置無關(guān)．教師引領(lǐng)學(xué)生識(shí)記三角函數(shù)定義．依據(jù)函數(shù)定義說明角與三角函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系．練習(xí)：在直角坐標(biāo)系中，畫出半徑為１的圓，求出30°，38°，128°等角的正弦、余弦和正切的值.在例1中強(qiáng)調(diào)：（１）P為角α的終邊上任意一點(diǎn)；（２）求三角函數(shù)值時(shí)用到的三個(gè)量x，y，r以及三者的關(guān)系；教師可通過教材P138練習(xí)A組第1題中的練習(xí)讓學(xué)生自己總結(jié)出三角函數(shù)在各象限的符號(hào)．根據(jù)三角函數(shù)的定義，及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)得出三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，教師總結(jié)口訣，幫助學(xué)生記憶：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦．練習(xí)2也可以用計(jì)算器直接求出三角函數(shù)值，然后確定符號(hào)．師：在任意角三角函數(shù)的定義中，當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足r＝EQ\R(,x2+y2)＝1時(shí)，三角函數(shù)的正弦、余弦會(huì)變成什么樣呢？看著圖示，結(jié)合三角函數(shù)定義講解正弦線、余弦線、正切線的由來．學(xué)生自己動(dòng)手，熟悉正弦線，余弦線的畫法．學(xué)生自己動(dòng)手，熟悉當(dāng)角在不同象限時(shí)正切線的畫法．說明三角函數(shù)定義的理論根據(jù)．通過學(xué)生自己動(dòng)手測量,加深學(xué)生對三角函數(shù)定義的理解,并為學(xué)習(xí)單位圓做鋪墊.強(qiáng)調(diào)這幾點(diǎn)為練習(xí)B組第1、2、3做鋪墊.通過練習(xí)1，熟練已知角的終邊上一點(diǎn)求三角函數(shù)值的步驟．由練習(xí)中的具體題目到例2的理論分析，由特殊到一般加深學(xué)生對三角函數(shù)符號(hào)的理解.學(xué)生理解正切線難度較大，教師要詳細(xì)講解各個(gè)象限內(nèi)的角的正切線的做法.小結(jié)回憶本節(jié)課所學(xué)知識(shí)點(diǎn)：(1)任意角三角函數(shù)的定義（代數(shù)表示）．(2)任意角三角函數(shù)值的求法（兩種方法）．(3)任意角三角函數(shù)值的符號(hào)（記住口訣）．(4)任意角三角函數(shù)的幾何表示（三角函數(shù)線）．讓學(xué)生敘述本節(jié)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)以及典型例題及解題步驟．梳理知識(shí)脈絡(luò)．作業(yè)教材P138，練習(xí)A組，練習(xí)B組．本節(jié)教材內(nèi)容頗多，教師可根據(jù)當(dāng)堂內(nèi)容布置相應(yīng)作業(yè)．

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式【教學(xué)目標(biāo)】1.理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，會(huì)運(yùn)用公式求值，化簡，證明．2.通過教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生用方程（組）解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力．3.通過學(xué)習(xí)，揭示事物間普遍聯(lián)系的辨證唯物主義思想．【教學(xué)重點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用（求值、化簡、恒等式證明）．【教學(xué)難點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在解題中的靈活運(yùn)用．【教學(xué)方法】本節(jié)主要采用講練結(jié)合的方法．在教學(xué)過程中，要注意引導(dǎo)學(xué)生理解每個(gè)公式，懂得公式的來龍去脈，并能靈活運(yùn)用．課堂中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生自主探究問題并解決問題，使學(xué)生熟練用方程（組）解決問題的方法．【教學(xué)過程】教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)導(dǎo)入OcosxPOcosxP(cos，sin)ysin1教師提出問題，學(xué)生回答．推出sin2＋cos2＝1EQ\F(sin,cos)＝tan這兩個(gè)基本關(guān)系式．新課在單位圓中，由三角函數(shù)的定義和勾股定理，可得同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2＋cos2＝1；EQ\F(sin,cos)＝tan．師講解：1．sin2，cos2的讀法、寫法．2．讓學(xué)生驗(yàn)證30°，45°，60°的正弦，余弦，正切值滿足兩個(gè)關(guān)系式．3．“同角”的概念與角的表達(dá)形式無關(guān)，如：sin2β＋cos2EQβ＝1．4．同角的意義：一是“角相同”；二是“任意一個(gè)角”．初步認(rèn)識(shí)和記憶兩個(gè)關(guān)系式，理解“同角”的含義．應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例當(dāng)我們知道一個(gè)角的某一三角函數(shù)值時(shí)，利用這兩個(gè)關(guān)系式和三角函數(shù)定義，就可求出這個(gè)角的另外幾個(gè)三角函數(shù)值．此外，還可用它們化簡三角函數(shù)式和證明三角恒等式．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式應(yīng)用之一：求值．例1已知sin＝EQ\F(4,5)，且是第二象限的角，求的余弦和正切值．解由sin2＋cos2＝1，得cos＝±EQ\R(,1－sin2)．因?yàn)槭堑诙笙藿牵琧os＜0,所以cos＝－EQ\R(,1－(EQ\F(4,5))2)＝－EQ\F(3,5)，tan＝EQ\F(sin,cos)＝EQ\F(EQ\F(4,5),－EQ\F(3,5))＝－EQ\F(4,3)．例2已知tan＝－EQEQ\R(,5)，且是第二象限角，求的正弦和余弦值．解由題意得EQsin2＋cos2＝1，①EQ\F(sin,cos)＝－EQEQ\R(,5)．②由②，得sin＝－EQ\R(,5)cos，代入①式得6cos2＝1，cos2＝EQ\F(1,6)．因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以cos＝－EQ\F(EQ\R(,6),6)，代入③式得sinα＝－EQEQ\R(,5)cosα＝－EQEQ\R(,5)×(－EQ\F(EQ\R(,6),6))＝EQ\F(EQ\R(,30),6)．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式應(yīng)用之二：化簡．例3化簡：EQ\F(sinθ－cosθ,tanθ－1)．解原式＝EQ\F(sinθ－cosθ,EQ\F(sinθ,cosθ)－1)＝EQ\F(sinθ－cosθ,EQ\F(sinθ－cosθ,cosθ))＝cosθ．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式應(yīng)用之三：證明．例4求證：（1）sin4－cos4＝2sin2－1；（2）tan2－sin2＝tan2sin2；（3）EQ\F(cosx,1－sinx)＝EQ\F(1＋sinx,cosx)．證明：（1）原式左邊＝(sin2＋cos2)(sin2－cos2)＝sin2－cos2＝sin2－(1－sin2)＝2sin2－1＝右邊．因此sin4－cos4＝2sin2－1．（2）原式右邊＝tan2(1－cos2)＝tan2－tan2αcos2＝tan2－EQ\F(sin2,cos2)cos2＝tan2－sin2＝左邊．因此tan2－sin2＝tan2sin2．（3）證法1：因?yàn)镋Q\F(cosx,1－sinx)－EQ\F(1＋sinx,cosx)＝EQ\F(cos2x－(1－sinx)2,(1－sinx)cosx)＝EQ\F(cos2x－cos2x,(1－sinx)cosx)＝0．所以EQ\F(cosx,1－sinx)＝EQ\F(1＋sinx,cosx)．證法2：因?yàn)樽筮叄紼Q\F(cosx,1－sinx)·EQ\F(cosx,cosx)＝EQ\F(cos2x,(1－sinx)cosx)；右邊＝EQ\F(1＋sinx,cosx)·EQ\F(1－sinx,1－sinx)＝EQ\F(cos2x,(1－sinx)cosx)．所以左邊＝右邊．即原等式成立．例1鼓勵(lì)學(xué)生自己解決，教師只在開方時(shí)點(diǎn)撥符號(hào)問題．練習(xí)：教材P141，練習(xí)A組第1（2）（3）題．小結(jié)步驟：已知正弦（或余弦）求余弦（或正弦）求正切．例2可在教師的引導(dǎo)下解決，帶領(lǐng)學(xué)生詳細(xì)解方程組．練習(xí)：教材P141，練習(xí)A組第1（4）題．小結(jié)步驟：知正切求余弦（或正弦）．師：求值題目總結(jié)1．注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變形應(yīng)用．2．已知sin，cos，tan中的任意一個(gè)，可以用方程（組）求出其余的兩個(gè)．教師小結(jié)化簡方法：把切函數(shù)化為弦函數(shù)．練習(xí)：教材P142，練習(xí)A組第2題，練習(xí)B組第1題．教師提示：證明恒等式一般從繁到簡，從高次到低次．從左向右，或從右向左，或從兩頭向中間來證明．可讓學(xué)生自己先獨(dú)立探索證明思路，再小組討論．教師在證明思路和解題格式上給予指導(dǎo)．由學(xué)生完成證明，展示不同證法，分析優(yōu)劣．對（3）作分析：思路1：用作差法，不管分母，只需將分子轉(zhuǎn)化為零．思路2：利用公分母將原式的左邊和右邊轉(zhuǎn)化為同一種形式的結(jié)果．練習(xí)：教材P142，練習(xí)A組第3題，練習(xí)B組第2題．多練幾個(gè)類似例題的題目，使學(xué)生熟練兩個(gè)基本關(guān)系式的應(yīng)用和用方程求值的方法．靈活應(yīng)用公式，加快運(yùn)算速度．為下面運(yùn)用公式化簡和證明做好知識(shí)鋪墊．通過討論探究，使學(xué)生進(jìn)一步熟練公式的各種變形.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題、解決問題的能力．小結(jié)1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2＋cos2＝1，EQ\F(sin,cos)＝tan．2.求值、化簡和證明題目的思路與注意事項(xiàng)．師生共同總結(jié)．作業(yè)必做題：寫出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并寫出其變形公式．選做題：教材P142，練習(xí)B組第3題．教材課后練習(xí)A組已融在新課中．

5.2.3誘導(dǎo)公式【教學(xué)目標(biāo)】1.理解并掌握誘導(dǎo)公式，會(huì)求任意角的三角函數(shù)值與證明簡單的三角恒等式；2.了解對稱變換思想在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用；3.通過教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．【教學(xué)重點(diǎn)】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡．【教學(xué)難點(diǎn)】誘導(dǎo)公式(一)、（二）、（三）的推導(dǎo)．【教學(xué)方法】本節(jié)課主要采用啟發(fā)誘導(dǎo)與講練結(jié)合的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生借助單位圓和三角函數(shù)線，充分利用對稱的性質(zhì)，揭示誘導(dǎo)公式與同角公式之間的聯(lián)系，然后講練結(jié)合，使學(xué)生牢固掌握其應(yīng)用．【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、單位圓與三角函數(shù)線．2.復(fù)習(xí)對稱點(diǎn)的知識(shí)．1.教師運(yùn)用多媒體展示三角函數(shù)的定義、單位圓與三角函數(shù)線，提問相關(guān)問題，學(xué)生回答．2.師：已知任意角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，請分別寫出點(diǎn)P關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．共同回顧，為新課做準(zhǔn)備．新課新課新課新課1．角與＋k·2π（kZ）的三角函數(shù)間的關(guān)系．直角坐標(biāo)系中，與＋k·2π(kZ)的終邊相同，由三角函數(shù)的定義，它們的三角函數(shù)值相等．公式（一）：sin(＋k·2π)＝sin；cos(＋k·2π)＝cos（kZ）；tan(＋k·2π)＝tan．例1求下列各三角函數(shù)的值：(1)sinEQ\F(13π,2)；(2)cosEQ\F(19π,3)；(3)tan405．解(1)sinEQ\F(13π,2)＝sin(EQ\F(π,2)＋6π)＝sinEQ\F(π,2)＝1；(2)cosEQ\F(19π,3)＝cos(EQ\F(π,3)＋6π)＝cosEQ\F(π,3)＝EQ\F(1,2)；(3)tan405＝tan(45＋360)＝tan45＝1．2.角和角－的三角函數(shù)間的關(guān)系．如圖5-17，設(shè)單位圓與角和角－的終邊的交點(diǎn)分別是點(diǎn)P和點(diǎn)P′．xP(x，y)MOP(xxP(x，y)MOP(x，y)圖5-17已知P(cos，sin)和P(cos(－)，sin(－))．于是，得到公式（二）：sin（－）＝－sin；cos（－）＝cos；tan（－）＝－tan．例2求下列各三角函數(shù)的值：(1)sin(－EQ\F(π,6))；(2)cos(－EQ\F(π,4))；(3)tan(－EQ\F(π,3))；(4)sin(－EQ\F(7π,3))．解(1)sin(－EQ\F(π,6))＝－sinEQ\F(π,6)＝－EQ\F(1,2)；(2)cos(－EQ\F(π,4))＝cosEQ\F(π,4)＝EQ\F(EQ\R(,2),2)；(3)tan(－EQ\F(π,3))＝－tanEQ\F(π,3)＝－EQ\R(,3)；(4)sin(－EQ\F(7π,3))＝－sinEQ\F(7π,3)＝－sin(EQ\F(π,3)＋2π)＝－sinEQ\F(π,3)＝－EQ\F(EQ\R(,3),2)．3.角與±π的三角函數(shù)間的關(guān)系．如圖5-18，角與±π的終邊與單位圓分別相交于點(diǎn)P與點(diǎn)P′，容易看出，點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于原點(diǎn)對稱，它們的坐標(biāo)互為相反數(shù)P(x，y)，P′(－x，－y)，Ｐ(Ｐ(x，y)xyO+P(-x,-y)-圖5-18所以得到公式（三）sin(±)＝－sin；cos(±)＝－cos；tan(±)＝tan．4.角與π－的三角函數(shù)間的關(guān)系．ＰP′xＰP′xyO圖5-19如圖5-19，角與π－和單位圓分別交于點(diǎn)P與點(diǎn)P′，由P′與點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱，可以得到與π－之間的三角函數(shù)關(guān)系：sin(－)＝sin；cos(－)＝－cos．即互為補(bǔ)角的兩個(gè)角正弦值相等，余弦值互為相反數(shù)．例如：sinEQ\F(5π,6)＝sinEQ\F(π,6)＝EQ\F(1,2)；cosEQ\F(3π,4)＝－cosEQ\F(π,4)＝－EQ\F(EQ\R(,2),2)．例3求下列各三角函數(shù)的值：(1)sinEQ\F(4π,3)；(2)cos(－EQ\F(8π,3))；(3)tan(－EQ\F(10π,3))；(4)sin930．解略．例4求下列各三角函數(shù)的值：(1)sin(－EQ\F(55π,6))；(2)cosEQ\F(11π,4)；(3)tan(－EQ\F(14π,3))；(4)sin870．解(1)sin(－EQ\F(55π,6))＝－sin(EQ\F(π,6)＋9π)＝－(－sinEQ\F(π,6))＝EQ\F(1,2)；(2)cosEQ\F(11π,4)＝cos(－EQ\F(π,4)＋3π)＝cos(π－EQ\F(π,4))＝－cosEQ\F(π,4)＝－EQ\F(EQ\R(,2),2)；(3)tan(－EQ\F(14π,3))＝tan(EQ\F(π,3)－5π)＝tanEQ\F(π,3)＝EQ\R(,3)；(4)sin870＝sin(－30＋5×180)＝sin(180－30)＝sin30＝EQ\F(1,2)．例5化簡：EQ\F(sin(2π－α)tan(α+π)tan(－α－π),cos(π－α)tan(3π－α))解EQ\F(sin(2π－α)tan(α+π)t