2020-2021學(xué)年浙江省“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年浙江省“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可即可.【詳解】，.故選：D.2．下列說法正確的是（）A．直四棱柱是長方體B．兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D．平行六面體不是棱柱【答案】C【分析】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的定義判斷．【詳解】直四棱柱的底面不一定是長方形，因此不一定是長方體，A錯；兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體，當(dāng)側(cè)棱延長后不交于同一點(diǎn)時，就不是棱臺，B錯；正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，C正確；平行六面體一定是棱柱，D錯．故選：C．3．如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中①、④處于正方體的兩個相對面的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）【答案】B【分析】分別判斷出每個展開圖的相對面即可.【詳解】（1）①⑤相對，②④相對，③⑥相對，故（1）錯誤；（2）①④相對，②⑤相對，③⑥相對，故（2）正確；（3）①④相對，②⑤相對，③⑥相對，故（3）正確；（4）①⑥相對，②⑤相對，③④相對，故（4）錯誤.故選：B.4．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的形狀可能（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．鈍角或銳角三角形 D．銳角、鈍角或直角【答案】B【分析】根據(jù)大邊對大角的性質(zhì)確定的范圍后可得的范圍，從而判斷出三角形形狀．【詳解】因?yàn)椋?，所以，三角形為鈍角三角形．故選：B．5．已知向量滿足，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)條件求出和的值，然后根據(jù)向量的夾角公式來求與的夾角.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，?故選：A.6．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（i為虛數(shù)單位）的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)對應(yīng)的點(diǎn)為，求出，由復(fù)數(shù)模的幾何意義得的軌跡，根據(jù)圓的性質(zhì)可得最值．得范圍【詳解】因?yàn)?，所以對?yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2，3為半徑的圓環(huán)內(nèi)，如圖，記對應(yīng)的點(diǎn)為，則，，，由圖可得：，，所以的取值范圍是．故選：D．7．已知點(diǎn)P是邊長為1的菱形內(nèi)一動點(diǎn)（包括邊界），，則的最大值為（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用平面向量數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】解：在菱形中，因?yàn)檫呴L為1，，所以，且，如圖，過P作PQ垂直于AB于Q，過C作CE垂直于AB于E，因?yàn)辄c(diǎn)P是邊長為1的菱形內(nèi)一動點(diǎn)（包括邊界），所以由平面向量數(shù)量積的幾何意義，有,所以當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)處時最大為，即最大，此時，所以的最大值為，故選：B.8．已知向量的夾角為，，向量，且，則向量夾角的余弦值的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，，令，則，通過換元可得，所以，當(dāng)時，可得的最小值.【詳解】依題意可得，，則，，，則，所以，，令，則，令，由得，則，所以，故所以，當(dāng)時，有最小值.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是：令，通過換元得到.二、多選題9．已知函數(shù)，則（）A．是偶函數(shù) B．值域?yàn)镃．在上遞增 D．有一個零點(diǎn)【答案】BD【分析】畫出的函數(shù)圖象即可判斷.【詳解】畫出的函數(shù)圖象如下：由圖可知，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯誤；值域?yàn)?，故B正確；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故C錯誤；有一個零點(diǎn)1，故D正確.故選：BD.10．已知圓錐底面半徑為3，高為4，則（）A．圓錐的體積是B．圓錐的側(cè)面積是C．圓錐的內(nèi)切球體積是D．圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為【答案】BD【分析】根據(jù)圓錐的性質(zhì)求解．【詳解】由題意圓錐體積為，A錯；圓錐母線長為，側(cè)面積為，B正確；設(shè)圓錐內(nèi)切球半徑為，如圖是圓錐軸截面，則其內(nèi)切圓為球的大圓，則，，，C錯；圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓柱、圓錐、圓臺的計算問題，掌握畫出它們的軸截面，在軸截面中有底面圓半徑，高，母線，有側(cè)棱與底面所成的角．這個軸截面截它們的內(nèi)切球得軸截面的內(nèi)切圓，截外接球得軸截面的外接圓，這樣關(guān)系一目了然，偏于計算．11．中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，，下列選項正確的是（）A．B．若，則有兩解C．若為銳角三角形，則b取值范圍是D．若D為邊上的中點(diǎn)，則的最大值為【答案】BCD【分析】由數(shù)量積的定義及面積公式求得角，然后根據(jù)三角形的條件求解判斷各ABC選項，利用，平方后應(yīng)用基本不等式求得最大值，判斷D．【詳解】因?yàn)?，所以，，又，所以，A錯；若，則，三角形有兩解，B正確；若為銳角三角形，則，，所以，，，，C正確；若D為邊上的中點(diǎn)，則，，又，，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形的應(yīng)用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面積公式是解題關(guān)鍵．在用正弦定理解三角形時可能會出現(xiàn)兩解的情形，實(shí)際上不一定要死記結(jié)論，可以按正常情況求得，然后根據(jù)的大小關(guān)系判斷角是否有兩種情況即可．12．已知等腰中，P為內(nèi)部及邊上的點(diǎn)，則的值可能是（）A． B． C．24 D．16【答案】ACD【分析】以為軸，的中垂線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，用坐標(biāo)表示出，然后結(jié)合幾何意義可得其最大值、最小值，得出正確選項．【詳解】如圖，以為軸，的中垂線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，顯然在軸上，由，得，設(shè)，則，，因?yàn)闉閮?nèi)部及邊上的點(diǎn)，所以時，取得最小值，時，取得最大值24（內(nèi)部及邊上到點(diǎn)距離最大），故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查平面向量的數(shù)量積的最值問題，解題方法解析法，即建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運(yùn)算表示向量的數(shù)量積，把數(shù)量積轉(zhuǎn)換為平方式，再由其幾何意義得最值．三、填空題13．已知函數(shù)，則________．【答案】．【分析】由分段函數(shù)定義計算．【詳解】，．故答案為：．14．如圖，是水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測畫法）．若，則原的面積是_________．【答案】【分析】由題可得，則可得原圖中，，即可求出面積.【詳解】在直觀圖中，，則，則原圖中，，且，則的面積是,故答案為：.15．已知向量滿足若對任意實(shí)數(shù)x都有，則的最小值為_________．【答案】【分析】將對任意實(shí)數(shù)x都有成立，轉(zhuǎn)化為對任意實(shí)數(shù)x都有成立，利用判別式法求得，再由，利用二次函數(shù)法求解.【詳解】因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x都有成立，所以對任意實(shí)數(shù)x都有成立，因?yàn)?，即對任意?shí)數(shù)x都有成立，所以，即，解得，所以，，，當(dāng)時，取得最小值.故答案為：16．已知的重心為G，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則角A為________．【答案】【分析】由的重心為G，可得，再代入已知的等式中可得，而不共線，則，且，即，然后利用余弦定理可求得結(jié)果【詳解】解：因?yàn)榈闹匦臑镚，所以，即，因?yàn)椋?，因?yàn)椴还簿€，所以，且，所以，所以，因?yàn)?，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查平面向量的有關(guān)知識，考查余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由由的重心為G，可得，再結(jié)合已知條件可求得，從而利用余弦定理可得結(jié)果，考查計算能力，屬于中檔題四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位．（1）當(dāng)z是純虛數(shù)時，求m的值；（2）當(dāng)時，求．【答案】（1）0；（2）．【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)有分類求解；（2）由復(fù)數(shù)的除法法則計算．【詳解】（1）由題意，解得；（2）由題意．18．已知單位向量的夾角為，向量，向量．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)向量平行的條件求解；（2）由向量垂直得數(shù)量積為0求得，再把向量平方，把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算求解．【詳解】（1）若，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，因?yàn)椴还簿€，所以，解得；（2）單位向量的夾角為，則，由得，解得，，所以．19．如圖長方體，底面是邊長為3的正方形，高為4，E為的中點(diǎn)．（1）求長方體的表面積和它的外接球的表面積；（2）求三棱錐和長方體的體積之比．【答案】（1）長方體的表面積為66，它的外接球的表面積為；（2）【分析】（1）根據(jù)長方體的表面積公式直接求解即可，求出外接球半徑，即可求出外接球表面積；（2）求出長方體體積，根據(jù)等體積法求出三棱錐的體積，即可求出體積之比.【詳解】（1）由題可得該長方體的表面積為，該長方體的外接球的半徑為，則外接球的表面積為；（3）長方體的體積為，，則三棱錐和長方體的體積之比為.20．某市需拍賣一塊近似圓形的土地（如圖），內(nèi)接于圓的平面四邊形作為建筑用地，周邊需做綠化．因地面限制，只能測量出，測角儀測得角．（1）求的長；（2）因地理條件限制，不能變更，但點(diǎn)C可以調(diào)整．建筑商為利益最大化，要求在弧上設(shè)計一點(diǎn)C使得四邊形面積最大，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）在中利用余弦定理即可求出；（2）在中利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，即可求出，進(jìn)而求出四邊形面積的最大值.【詳解】（1）由題意可得，在中，由余弦定理可得：，，故的長為；（2）在中，，則由余弦定理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，，則，故四邊形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是正確利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解三角形.21．如圖，M，N分別是的邊上的點(diǎn)，且，交于點(diǎn)P．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算可求的值，從而得到的值；（2）設(shè)，可根據(jù)平面向量基本定理求出，再以為基底向量可求的值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，故，所以，?（2）設(shè)，連接，故，整理得到，同理，因?yàn)椴还簿€，由平面向量基本定理可得，解得，所以，故.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：向量的數(shù)量積的計算，有四種途徑：（1）利用定義求解，此時需要知道向量的模和向量的夾角；（2）利用坐標(biāo)來求，把數(shù)量積的計算歸結(jié)坐標(biāo)的運(yùn)算，必要時需建立直角坐標(biāo)系；（3）利用基底向量來計算，也就是用基底向量來表示未知的向量，從而未知向量數(shù)量積的計算可歸結(jié)為基底向量的數(shù)量積的計算；（4）靠邊靠角，也就是利用向量的線性運(yùn)算，把未知向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化到題設(shè)中的角或邊對應(yīng)的向量．22．已知向量．令函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的角平分線交于D．其中，函數(shù)恰好為函數(shù)的最大值，且此時，求的最小值．【答案】（1）的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公