2020-2021學(xué)年浙江省浙東北聯(lián)盟（ZDB）高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年浙江省浙東北聯(lián)盟（ZDB）高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，則的值等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則計算可得；【詳解】解：故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則，屬于基礎(chǔ)題.2．如圖，在中，，若的水平放置直觀圖為，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先在中求出，則利用原圖與直觀圖之間的關(guān)系可求得，，再求出上的高可求得其面積【詳解】解：因為，，所以，，所以，所以上的高，所以的面積為，故選：B3．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，且圓錐的底面半徑為1，則該圓錐的母線長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，半圓的半徑圓錐的母線長，半圓的弧長是圓錐底面的周長，由此求出結(jié)果．【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖是個半圓，且半圓的半徑是母線長，半圓的弧長是，由圓錐的底面圓周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，且圓錐的底面半徑是，所以，所以該圓錐的母線長為．故選：．4．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的投影定義，結(jié)合向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解的投影和投影向量．【詳解】解：向量，，則向量在向量上的投影為；所以向量在向量上的投影向量為．故選：．5．已知在中，分別為內(nèi)角的對邊，若，則角的大小為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理可求，進而可求．【詳解】解：因為，由正弦定理得，，由余弦定理得，，因為，所以．故選：．6．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法則化簡復(fù)數(shù)，即可得到其共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)虛部的定義即可得出．【詳解】解：為虛數(shù)單位），，化為：，，，則的虛部為，故選：．7．在平行四邊形中，點在線段上，且，與的交點為，則向量等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，又，則可得，然后利用三角形法則即可求解．【詳解】解：如圖所示，因為，則，在平行四邊形中，，所以，所以所以，故選：．8．如圖，在四邊形中，，，，分別為邊上的動點，且，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)的中點為，連接，可得，連接，，由已知求得，再由及，即可求得的最小值．【詳解】解：設(shè)的中點為，連接，，即，可得的軌跡是以為圓心，以1為半徑的一段圓弧，連接，，則，．，，，即的最小值為24．故選：．二、多選題9．在復(fù)平面內(nèi)有一個平行四邊形，點為坐標(biāo)原點，點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A．點位于第二象限 B． C． D．【答案】BC【分析】由題意畫出圖形，求出的坐標(biāo)，得到，然后逐一分析四個選項得答案．【詳解】解：如圖，由題意，，，，為平行四邊形，則，，點位于虛軸上，故錯誤；，故正確；，故正確；，故錯誤．故選：．10．已知向量，，則下列敘述不正確的是（）A．若與的夾角為銳角，則 B．若與共線，則C．若，則與垂直 D．若，則與的夾角為鈍角【答案】BD【分析】對A：利用平面向量的數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運算即可求解，注意排除同向的情況；對B：結(jié)合平面向量共線的坐標(biāo)運算即可求解；對C：結(jié)合平面向量垂直的坐標(biāo)運算即可求解；對D：舉出反例即可說明.【詳解】對A：因為與的夾角為銳角，所以且與不同向，所以，則，故A正確；對B：因為與共線，所以，即，故B不正確；對C：因為，所以，所以與垂直，故C正確；對D：因為時，與反向，此時夾角為，故D錯誤；故選：BD.11．在中，分別為內(nèi)角的對邊，若，,且，則邊的大小可能是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)，以及和差角公式展開，得到，求和兩種情況下的解即可.【詳解】，，，即，，若，那么，，則；若，那么，有，，即，故選：AB12．已知某多面體的平面展開圖如圖所示，每個面都是邊長為2的正三角形，則下列結(jié)論正確的是（）A．該多面體的體積為B．該多面體的外接球的表面積為C．該多面體的內(nèi)切球的體積為D．該多面體的表面積為【答案】ABC【分析】根據(jù)平面展開圖還原幾何體，根據(jù)正八面體的幾何特征可以求出體積和表面積進而判斷A、D選項的；然后結(jié)合外接球的定義根據(jù)圖形的對稱性可以確定球心的位置進而求出求半徑，進而求出表面積，可判斷B選項；然后結(jié)合（為幾何體的表面積，為幾何體的內(nèi)切球的半徑，為幾何體的體積）即可求出內(nèi)切球的半徑，進而求得內(nèi)切球的體積，即可判斷C選項.【詳解】根據(jù)平面展開圖還原幾何體為側(cè)面為正三角形的正八面體，如下圖：連接交于，連接，在正八面體中，，，四邊形為正方形，在正方形中，，又因為，所以，因為，所以，因為，所以平面，因為，所以該多面體的體積，故A正確；因為，由正八面體的對稱性知，所以是外接球的球心，外接球的半徑為，所以該多面體的外接球的表面積，故B正確；設(shè)該多面體的內(nèi)切球的半徑為，則內(nèi)切球的球心到正八面體的各個面的距離為，設(shè)該多面體的表面積，故D錯誤；所以，即，解得，則該多面體的內(nèi)切球的體積為，故C正確；故選：ABC.三、填空題13．若一個圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則這個圓柱的體積為___________．【答案】【分析】根據(jù)軸截面為正方形可知圓柱的底面半徑為1，高為2．【詳解】解：圓柱的軸截面是面積為4的正方形，圓柱的底面半徑為1，高為2．圓柱的體積．故答案為：．14．復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為_____________．【答案】【分析】由已知直接利用向量的減法運算求解．【詳解】解：，，，即表示向量的復(fù)數(shù)為．故答案為：．15．在中，，，，，則的值為_________．【答案】13【分析】由已知結(jié)合和差角及同角基本關(guān)系可求，然后結(jié)合勾股定理可求．【詳解】解：由題意得，，，，，所以，，所以，所以，．故答案為：13．16．已知是兩個平面向量，，且對任意，恒有，則的最大值是__________．【答案】4【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律及不等式恒成立，得到恒成立，即可得到，從而得到，設(shè)，，則，再利用基本不等式計算可得．【詳解】解：對任意，恒有，所以，即即恒成立，所以，即所以，即．設(shè)，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時“”成立．的最大值為4．故答案為：4．四、解答題17．已知向量，，且．（1）設(shè)向量與的夾角為，求的值；（2）若，求實數(shù)的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義，求得的值．（2）由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，求得的值．【詳解】解：（1）設(shè)向量與的夾角為，向量，，所以，且，，．（2）因為，則，．18．已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，．（1）若，，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）5．【分析】（1）結(jié)合復(fù)數(shù)的減法運算求出，然后帶入模長公式即可求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運算求出，，，然后利用復(fù)數(shù)相等的條件得到，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，，所以，所以；（2）因為，而，，所以，即，則.19．如圖，在長方體中，，，．（1）求平面四邊形的面積；（2）求幾何體的體積．【答案】（1）；（2）25．【分析】（1）證明四邊形為平行四邊形，求出的余弦值，進一步得到正弦值，利用平行四邊形面積公式求解；（2）把幾何體的體積轉(zhuǎn)化為兩個全等的四棱錐的體積求解．【詳解】解：（1）在平面中，過作，由，，可得，在中，求得，在中，，則且，四邊形為平行四邊形．又，，在中，可得，．平面四邊形的面積；（2）幾何體的體積．20．如圖，在公園內(nèi)有一塊邊長為100米的等邊三角形空地（記為），現(xiàn)修成草坪，圖中把草坪分成面積相等的兩部分，點在上，點在上．（1）若米，求長；（2）如果是灌溉水管，為了節(jié)約成本，希望灌溉水管最短，請確定點的位置，并求的最小值．【答案】（1）米；（2）當(dāng)米時，的最小值為米．【分析】（1）利用題中的條件三角形的面積是三角形面積的一半，即可解出；（2）設(shè)，則利用三角形的面積是三角形面積的一半，可將的長度用表示出，再利用余弦定理即可解出．【詳解】解：（1）由，，設(shè)，則，，即的長為．（2）設(shè)，，在中由余弦定理可得，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；即當(dāng)，分別在，上距離點米時距離最小，最小值為．21．如圖，在中，已知，且，，．（1）求；（2）設(shè)與交于點，求的余弦值大?。敬鸢浮浚?）16；（2）．【分析】（1）結(jié)合平面向量的數(shù)量積的運算律以及線性運算可以求出，進而，即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合平面向量的線性運算以及數(shù)量積的運算律可得，然后帶入平面向量的夾角公式即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）因為，所以所以因為，所以所以；（2）因為，所以，而，所以，所以．22．在中，分別為內(nèi)角的對邊，已知，且邊上的中線長為4．（1