四年級數(shù)學下冊 同步復習與測試講義-第5章 認識方程 （含解析）（北師大版）

2019-2020學年北師大版小學四年級數(shù)學下冊同步復習與測試講義第5章認識方程【知識點歸納總結】1.用字母表示數(shù)字母可以表示任意的數(shù)，也可以表示特定意義的公式，還可以表示符合條件的某一個數(shù)，甚至可以表示具有某些規(guī)律的數(shù)，總之字母可以簡明地將數(shù)量關系表示出來．比如：t可以表示時間．

用字母表示數(shù)的意義：有助于概念的本質特征，能使數(shù)量的關系變得更加簡明，更具有普遍意義．使思維過程簡化，易于形成概念系統(tǒng)．

注意：

1．用字母表示數(shù)時，數(shù)字與字母，字母與字母相乘，中間的乘號可以省略不寫；或用“?”（點）表示．

2．字母和數(shù)字相乘時，省略乘號，并把數(shù)字放到字母前；“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫．

3．出現(xiàn)除式時，用分數(shù)表示．

4．結果含加減運算的，單位前加“（）”．

5．系數(shù)是帶分數(shù)時，帶分數(shù)要化成假分數(shù)．

例如：乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c

乘法結合律：（a×b）×c=a×（b×c）

乘法交換律：a×b=b×a．【經(jīng)典例題】例：甲數(shù)為x，乙數(shù)是甲數(shù)的3倍多6，求乙數(shù)的算式是（）

A、x÷3+6

B、（x+6）÷3

C、（x-6）÷3

D、3x+6

分析：由題意得：乙數(shù)=甲數(shù)×3+6，代數(shù)計算即可．

解：乙數(shù)為：3x+6．

故選：D．

點評：做這類用字母表示數(shù)的題目時，解題關鍵是根據(jù)已知條件，把未知的數(shù)用字母正確的表示出來，然后根據(jù)題意列式計算即可得解．2.含字母式子的求值在數(shù)學中，我們常常用字母來表示一個數(shù)，然后通過四則運算求解出那個字母所表示的數(shù)．通常我們所謂的求解x的方程也是含字母式子的求值．如x的4倍與5的和，用式子表示是4x+5．若加個條件說和為9，即可求出x=1．【經(jīng)典例題】例1：當a=5、b=4時，ab+3的值是（）

A、5+4+3=12

B、54+3=57

C、5×4+3=23

分析：把a=5，b=4代入含字母的式子ab+3中，計算即可求出式子的數(shù)值．

解：當a=5、b=4時

ab+3

=5×4+3

=20+3

=23．

故選：C．

點評：此題考查含字母的式子求值的方法：把字母表示的數(shù)值代入式子，進而求出式子的數(shù)值；關鍵是明確：ab表示a×b，而不是a+b．例2：4x+8錯寫成4（x+8）結果比原來（）

A、多4

B、少4

C、多24

D、少6

分析：應用乘法的分配律，把4（x+8）可化為4x+4×8=4x+32，再減去4x+8，即可得出答案．

解：4（x+8）-（4x+8），

=4x+4×8-4x-8，

=32-8，

=24．

答：4x+8錯寫成4（x+8）結果比原來多24．

故選：C．

點評：注意括號外面是減號，去掉括號時，括號里面的運算符合要改變．3.等式的意義含有等號的式子叫做等式．等式兩邊同時加上（或減去）同一個整式，或者等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的整式，等式的值不變．

等式的基本性質：

性質1：等式兩邊同時加上（或減去）同一個整式，等式仍然成立．若a=b，那么a+c=b+c

性質2：等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的整式，等式仍然成立．若a=b，那么有a?c=b?c，或a÷c=b÷c（c≠0）

性質3：等式具有傳遞性．若a1=a2，a2=a3，a3=a4，…am=an，那么a1=a2=a3=a4=…=an

等式的意義：

等式的性質是解方程的基礎，很多解方程的方法都要運用到等式的性質．如移項，去分母等．

運用等式的性質，涉及除法時，要注意轉換后，除數(shù)不能為0，否則無意義．【經(jīng)典例題】例1：500+△=600+□，比較△和□大小，（）正確．

A、△＞□B、△=□C、△＜□

分析：依據(jù)等式的意義，即表示左右兩邊相等的式子，叫做等式，于是即可進行正確選擇．

解：因為500+△=600+□，

且500＜600，

所以△＞□；

故選：A．

點評：此題主要考查等式的意義．例2：等式兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)，所得的結果仍是一個等式．×．（判斷對錯）

分析：根據(jù)等式的性質，可知：等式兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），等式仍然成立．

解：等式兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），等式仍然成立；需要限制相同的這個數(shù)，必須得0除外，因為0做除數(shù)無意義；

故答案為：×．

點評：此題考查等式的性質，即“方程的兩邊同加上或減去一個相同的數(shù)，同乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），等式仍然成立”．4.方程的意義含有未知數(shù)的等式叫方程．

方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可．

方程和算術式不同：算術式是一個式子，它由運算符號和已知數(shù)組成，它表示未知數(shù)．方程是一個等式，在方程里，未知數(shù)可以參加運算，并且只有當未知數(shù)為特定的數(shù)值時，方程才成立．

方程的意義：

數(shù)學中的方程讓很多問題變得簡單易懂，因為對于很多數(shù)之間的關系，如果直接求需要復雜的邏輯推理關系，而用代數(shù)和方程就很容易求解，從而降低難度．【經(jīng)典例題】例：一個數(shù)的7倍比35多14，設這個數(shù)為x，列方程是（）

A、7x+35=14

B、7x-35=14

C、35-7x=14

分析：設這個數(shù)為x，那么它的7倍就是7x，它減去35是14，根據(jù)等量關系列出方程即可．

解：設這個數(shù)為x，由題意得：

7x-35=14．

故選：B．

點評：解決這類問題的關鍵是找清數(shù)量關系，根據(jù)等量關系列出方程．5.方程與等式的關系1．方程：含有未知數(shù)的等式，即：

方程中必須含有未知；

方程式是等式，但等式不一定是方程．

2．方程是表示兩個數(shù)學式（如兩個數(shù)、函數(shù)、量、運算）之間相等關系的一種等式，通常在兩者之間有一等號“=”．

3．方程不用按逆向思維思考，可直接列出等式并含有未知數(shù)．【經(jīng)典例題】例：方程一定是等式，但等式不一定是方程．√．（判斷對錯）

分析：緊扣方程的定義，由此可以解決問題．

解：根據(jù)方程的定義可以知道，方程是含有未知數(shù)的等式，但是等式不一定都含有未知數(shù)，所以這個說法是正確的．

故答案為：√．

點評：此題考查了方程與等式的關系，應緊扣方程的定義，從而解決問題．6.方程需要滿足的條件方程必須滿足兩個條件（缺一不可）：

1、含有未知數(shù)；

2、是等式．【經(jīng)典例題】例1：下面的式子中，（）是方程．

A、45÷9=5

B、y+8

C、x+8＜15

D、4y=2

分析：分析各個選項，根據(jù)方程的定義找出是方程的選項．

解：A，45÷9=5這雖然是等式，但不含有未知數(shù)，它不是方程；

B，y+8，雖然含義未知數(shù)但不是等式，它不是方程；

C，x+8＜15，雖然含義未知數(shù)但不是等式，它不是方程；

D，4y=2，這是一個含有未知數(shù)的等式，它是方程．

故選：D．

點評：本題考查了方程滿足的條件，含有未知數(shù)的等式是方程，那么它要滿足兩個條件：一是等式，二是等式中要有未知數(shù)．例2：x=2是方程．√．（判斷對錯）

分析：方程是指含有未知數(shù)的等式；所以方程必須具備兩個條件：①含有未知數(shù)；②等式．由此進行選擇．

解：x=2，是含有未知數(shù)的等式，所以x=2是方程，原題說法正確．

故答案為：√．

點評：此題考查方程的辨識：只有含有未知數(shù)的等式才是方程．7.數(shù)與形結合的規(guī)律在探索數(shù)與形結合的規(guī)律時，一方面要考慮圖形的對稱（上下對稱和左右對稱），另一方面要考慮數(shù)的排列規(guī)律，通過數(shù)形結合、對應等方法，來解決問題．【經(jīng)典例題】例：用小棒照下面的規(guī)律搭正方形，搭一個用4根，搭2個用7根…，搭10個要用31根小棒，搭n個要用3n+1根小棒．

分析：能夠根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律：多一個正方形，則多用3根火柴．

解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：第一個圖形需要4根火柴，多一個正方形，多用3根火柴，則第n個圖形中，需要火柴4+3（n-1）=3n+1．

當n=10，3n+1=31，

答：搭10個要用3根小棒，搭n個要用3n+1根小棒．

故答案為：31，3n+1．

點評：本題考查了圖形的變化類問題，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和總結能力．【同步測試】單元同步測試題一．選擇題（共8小題）1．下列算式中，只有（）是方程．A．4a+8 B．6b﹣9＞12 C．3﹣x+5 D．a(chǎn)2．如果a＝2a，那么aA．0 B．2 3．a(chǎn)與b的差的10倍用式子表示是（）A．10a﹣b B．a(chǎn)﹣10b C．10（a﹣b4．當a＝9時，a2＝（）A．18 B．81 5．下面哪幅圖可用于表示方程和等式的關系？（）A． B． C．6．下面說法正確的是（）A．方程5x+5＝5的解是5 B．5x+5＜5是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式7．（）兩邊加上或減去同一個數(shù)，左右兩邊仍然相等．A．算式 B．式子 C．等式8．像如圖這樣擺下去，擺n個正方形需要（）根小棒．A．4n B．3n C．4n﹣1 D．3n+1二．填空題（共8小題）9．在等式的兩邊同時乘或除以同一個不等于0的數(shù)，所得結果仍然是等式．這是．10．果園里有桃樹A棵，梨樹的棵樹比桃樹的5倍多16棵．果園里有梨樹棵．11．一本故事書有a頁，小歡每天看10頁，看了b天，還沒看的頁數(shù)用式子表示為，如果這本書有108頁，小歡看了8天，還剩頁沒有看．12．當b＝9時，b2＝，3b＝．13．當a＝8，b＝7，c＝10時，2ab+3c的值是，c×a﹣4b的值是14．在①x+8，②2+3＝5，③x÷6＝4，④y﹣9＞12．⑤7x+8＝50中，等式有方程有．（填序號）15．請寫出一個方程式．16．如圖，用同樣大小的黑色棋子按照所示的方式擺圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第二十一個圖案需要棋子枚．三．判斷題（共5小題）17．7a+7b＝7ab．18．當a＝32時，的倒數(shù)是．（判斷對錯）19．3x﹣12＝0是方程．（判斷對錯）20．等式一定是方程，方程不一定是等式．．（判斷對錯）21．如圖，第五個點陣中點的個數(shù)是17個．（判斷對錯）四．計算題（共1小題）22．求下列各式子的值．當x＝5時．5x+1860﹣4x．五．應用題（共5小題）23．修一段公路，已經(jīng)修了12天，每天修a米，還剩300米沒有修．（1）請用含有字母的式子表示這段公路的長度．（2）如果a＝150，求這段公路長多少？24．利民蔬菜公司用來a車蔬菜，每車裝5噸，供應給菜場45噸．（1）用含有字母的式子表示剩下的噸數(shù)．（2）當a＝14時，求剩下多少噸蔬菜．25．一張桌子可以坐6人，兩張桌子拼起來可以坐10人，三張桌子拼起來可以坐14人．像這樣共幾張桌子拼起來可以坐50人．26．甲乙兩個工程隊分別從兩端同時開鑿一條隧道．甲隊每天鑿a米，乙隊每天鑿b米，120天后鑿完．（1）這條隧道長多少米？（2）當a＝11米，b＝9米時，這條隧道多少米？27．小明用面積為1cm2（1）像這樣拼下去，第（5）個圖形要用多少張小正方形卡紙？（2）如果要在第n個圖形的外圍用鐵絲鑲上一圈邊框，至少需要多少厘米鐵絲？

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【分析】根據(jù)方程的意義，含有未知數(shù)的等式叫做方程；以此解答即可．【解答】解：A：含有未知數(shù)，不是等式，所以不是方程；B：含有未知數(shù)，但不是等式，所以不是方程；C：含有未知數(shù)，但不是等式，所以不是方程；D：是含有未知數(shù)的等式，所以是方程．所以是方程的是D．故選：D．【點評】此題主要考查方程的意義，具備兩個條件，一含有未知數(shù)，二必須是等式；據(jù)此判斷選擇．2．【分析】根據(jù)0的特性，可知如果a＝2a，那么a一定等于0；也可以把每一個選項中的數(shù)值代入a＝2a，等式如果成立，那么此數(shù)就是a的數(shù)值，等式如果不成立，那么此數(shù)就不是【解答】解：A、當a＝0時，a＝2aB、當a＝2時，2×2＝4，2≠4；C、當a＝4時，2×4＝8，2≠8；故選：A．【點評】此題考查含字母的式子求值，解決關鍵是掌握0在乘法中的特性：0和任何數(shù)相乘都得0．3．【分析】先求出a與b的差再乘10即可．【解答】解：（a﹣b）×10＝10（a﹣b）所以，與b的差的10倍用式子表示是10（a﹣b）．故選：C．【點評】此題先求a與b的差的10倍，表示a與b的倍的差，注意一定要理解題意．4．【分析】根據(jù)乘方的意義，a2＝a×a，把a用9代替，計算即可，再根據(jù)計算結果進行選擇．【解答】解：把a＝9代入a2a2＝a×a＝9×9＝81故選：B．【點評】解答此題的關鍵是乘方的意義．5．【分析】等式是指用“＝”號連接的式子；而方程是指含有未知數(shù)的等式．所以等式的范圍大，而方程的范圍小，它們之間是包含關系．【解答】解：等式是指用“＝”號連接的式子；而方程是指含有未知數(shù)的等式．方程和等式的關系可以用下圖來表示：．故選：B．【點評】此題考查方程與等式的關系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程．6．【分析】方程是指含有未知數(shù)的等式．所以方程必須具備兩個條件：①含有未知數(shù)；②等式．由此進行判斷．【解答】解：A、方程5x+5＝5的解是x＝0，原題說法錯誤．B、5x+5＜5雖然含有未知數(shù)，但它是不等式，也不是方程，說法錯誤．C、等式一定是方程，說法錯誤．D、方程一定是等式，說法正確．故選：D．【點評】此題考查方程的辨識：只有含有未知數(shù)的等式才是方程．7．【分析】等式的性質：在等式的兩邊都加上（或減去）一個相同的數(shù)，等式依然成立；據(jù)此進行判斷．【解答】解：在等式的兩邊加上或減去同一個數(shù)，左右兩邊仍然相等．故選：C．【點評】此題考查等式的性質：在等式的兩邊同時都加上（或減去）一個相同的數(shù)；兩邊同時都乘上（或除以）一個相同的數(shù)（0除外），等式依然成立．要注意：必須是同一個數(shù)才行．8．【分析】根據(jù)圖示可知：擺1個正方形需要小棒：4根；擺2個正方形需要小棒：4+3＝7（根）；擺3個正方形需要小棒：4+3+3＝10（根）；……擺n個正方形需要小棒：4+3（n﹣1）＝（3n+1）根．據(jù)此解答．【解答】解：擺1個正方形需要小棒：4根擺2個正方形需要小棒：4+3＝7（根）擺3個正方形需要小棒：4+3+3＝10（根）……擺n個正方形需要小棒：4+3（n﹣1）＝（3n+1）根答：擺n個正方形需要（3n+1）根小棒．故選：D．【點評】本題主要考查數(shù)與形結合的規(guī)律，關鍵根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并運用規(guī)律做題．二．填空題（共8小題）9．【分析】等式的性質是指在等式的兩邊同時加、減同一個數(shù)，或同時乘、除以同一個不等于0的數(shù)，所得結果仍然是等式．【解答】解：在等式的兩邊同時乘或除以同一個不等于0的數(shù)，所得結果仍然是等式，這是等式的基本性質．故答案為：等式的基本性質．【點評】此題考查學生對等式的基本性質的理解，要注意：同時乘或除以同一個數(shù)時，必須是0除外．10．【分析】用A表示桃樹的棵數(shù)，先根據(jù)求一個數(shù)的幾倍，用乘法求出桃樹的5倍的棵數(shù)A×4，進而用桃樹的棵數(shù)5倍加上16棵，就是梨樹的棵數(shù)，即可得解．【解答】解：A×5+16＝5A答：梨樹有（5A故答案為：（5A【點評】解答此題的關鍵：根據(jù)求一個數(shù)的幾倍，用乘法；求比一個數(shù)多用加法．11．【分析】（1）根據(jù)乘法的意義用每天看的頁數(shù)乘看的天數(shù)計算出已經(jīng)看的頁數(shù)，用這本書的總頁數(shù)減去已經(jīng)看的頁數(shù)即可計算出還沒有看的頁數(shù)；（2）將a＝108和b＝8的數(shù)值代入（1）算式解答．【解答】解：（1）沒有看的頁數(shù)：a﹣10×b＝a﹣10b（頁）答：還有（a﹣10b）頁沒看．（2）將a＝108和b＝8的數(shù)值代入代入（a﹣10b），108﹣10×8＝108﹣80＝28（頁）答：還剩有28頁沒看．故答案為：（a﹣10b），28．【點評】解題關鍵是找出數(shù)量關系，把未知的數(shù)用字母正確的表示出來，然后根據(jù)題意列式計算即可得解．12．【分析】根據(jù)乘法的意義，b2＝b×b，把數(shù)代入計算即可；把b＝9代入：3b＝3×9＝27．【解答】解：9×9＝813×9＝27答：當b＝9時，b2＝81，3b＝27．故答案為：81；27．【點評】本題主要考查含有字母的式子求解，關鍵把字母代表的數(shù)字代入計算．13．【分析】把a、b、c的值代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：當a＝8，b＝7，c＝10時2ab+3c＝2×8×7+3×＝112+30＝142當a＝8，b＝7，c＝10時c×a﹣4b＝10×8﹣4×7＝80﹣28＝52答：2ab+3c的值是142，c×a﹣4b故答案為：142，52．【點評】本題考查了代數(shù)式求值，比較簡單，熟練掌握有理數(shù)的加減運算時解題的關鍵．14．【分析】等式是指用“＝”連接的式子，方程是指含有未知數(shù)的等式；據(jù)此進行分類．【解答】解：等式有：②2+3＝5，③x÷6＝4，⑤7x+8＝50；方程有：③x÷6＝4，⑤7x+8＝50；故答案為：②③⑤；③⑤．【點評】此題考查等式和方程的辨識，熟記定義，才能快速辨識．15．【分析】方程是指含有未知數(shù)的等式．所以方程必須具備兩個條件：①含有未知數(shù)；②等式．由此進行解答．【解答】解：方程是指含有未知數(shù)的等式，如5x﹣27＝72．故答案為：5x﹣27＝72．【點評】此題考查方程的辨識：只有含有未知數(shù)的等式才是方程．16．【分析】根據(jù)圖示，發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律：圖案1黑色棋子的枚數(shù)：5枚；圖案2黑色棋子枚數(shù)：5+3＝8（枚）；圖案3黑色棋子枚數(shù)：5+3+3＝11（枚）；……圖案n黑色棋子的枚數(shù)：5+3（n﹣1）＝（3n+2）枚．據(jù)此解題．【解答】解：圖案1黑色棋子的枚數(shù)：5枚圖案2黑色棋子枚數(shù)：5+3＝8（枚）圖案3黑色棋子枚數(shù)：5+3+3＝11（枚）……圖案n黑色棋子的枚數(shù)：5+3（n﹣1）＝（3n+2）枚……第21個圖形的黑色棋子的枚數(shù)：3×21+2＝63+2＝65（枚）答：第二十一個圖案需要棋子65枚．故答案為：65．【點評】本題主要考查數(shù)與形結合的規(guī)律，關鍵根據(jù)所給圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律，并運用規(guī)律做題．三．判斷題（共5小題）17．【分析】根據(jù)乘法分配律即可求解．【解答】解：7a+7b＝7（a+b故題干的計算錯誤．故答案為：×．【點評】考查了用字母表示數(shù)，關鍵是熟練掌握乘法分配律．18．【分析】根據(jù)倒數(shù)的意義，a＝32時，＝4，4的倒數(shù)是．據(jù)此判斷．【解答】解：＝41÷4＝答：當a＝32時，的倒數(shù)是．原說法正確．故答案為：√．【點評】本題主要考查含有字母的式子求值，關鍵利用倒數(shù)的意義做題．19．【分析】方程是指含有未知數(shù)的等式．所以方程必須具備兩個條件：①含有未知數(shù)；②等式．由此進行判斷．【解答】解：3x﹣12＝0，既含有未知數(shù)又是等式，具備了方程的條件，因此是方程；原題說法正確．故答案為：√．【點評】此題考查方程的辨識：只有含有未知數(shù)的等式才是方程．20．【分析】方程是指含有未知數(shù)的等式．所以等式包含方程，方程只是等式的一部分，據(jù)此解答即可．【解答】解：方程一定是等式，等式不一定是方程，而本題說等式一定是方程，方程不一定是等式，是錯誤的，故答案為：×．【點評】此題考查方程與等式的關系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程．21．【分析】根據(jù)圖示，發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律：第一個點陣中點的個數(shù)：1個；第二個點陣中點的個數(shù)：1+4＝5（個）；第三個點陣中點的個數(shù)：1+4+4＝9（個）；……第n個點陣中點的個數(shù)：1+4（n﹣1）＝（4n+3）（個）．據(jù)此判斷即可．【解答】解：第一個點陣中點的個數(shù)：1個第二個點陣中點的個數(shù)：1+4＝5（個）第三個點陣中點的個數(shù)：1+4+4＝9（個）……第n個點陣中點的個數(shù)：1+4（n﹣1）＝（4n+3）（個）……第五個點陣中點的個數(shù)：4×5+3＝20+3＝23（個）答：第五個點陣中點的個數(shù)是23個．所以原說法錯誤．故答案為：×．【點評】本題主要考查數(shù)與形結合的規(guī)律，關鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律，并運用規(guī)律做題．四．計算題（共1小題）22．【分析】把x＝5代入要求的式子計算即可．【解答】解：當x＝5時，5x+18＝5×5+18＝25+18＝43；60﹣4x＝60﹣4×5＝60﹣20＝40．【點評】本題考查了含字母式子求值，關鍵是把字母的值代入計算．五．應用題（共5小題）23．【分析】首先用每天修的米數(shù)乘以修的天數(shù)，求出已經(jīng)修了多少頁；然后加上還剩下的300米，就是這段公路的長度；然后再把a＝150代入含有字母的式子求出結果即可．【解答】解：（1）a×12+300＝12a答：示這段公路長（12a（2）當a＝150時；12a＝12×150+300＝1800+300＝2100（米）答：如果a＝150，這段公路長2100米．【點評】此題主要考查了用字母表示數(shù)的方法，以及代入法求含有字母的式子的值的應用．24．【分析】（1）用每車的質量乘輛數(shù)求出求出總噸數(shù)，再減去45噸就是剩下的噸數(shù)．（2）當a＝14時，把它代入問題（1）的式子求出求剩下多少噸蔬菜即可．【解答】解：（1）用含有字母的式子表示剩下的噸數(shù)是：（5a﹣（2）當a＝14時，5a﹣＝5×14﹣45＝25（噸）答：剩下25噸蔬菜．【點評】在數(shù)學中，我們常常用字母來表示一個數(shù)，然后通過四則運算求解出那個字母所表示的數(shù)．含字母的式子求值的方法：把字母表示的數(shù)值代入式子，進而求出式子的數(shù)值．25．【分析】由一張桌子坐6