數(shù)學(xué)自主練習(xí)：最大值與最小值

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1。函數(shù)f（x)=2x3-3x2—12x+5在［0,3］上的最大值和最小值分別是(）A。5,—15B.5,—4C?！?，-15思路解析：f′（x）=6x2-6x—12=0，解得x=—1或x=2.f(—1）=12（舍），f(2）=-15，f（0）=5,f（3)=-4。答案:A2。函數(shù)f（x）=x5-5x4+5x3+1當(dāng)x∈［—1,2］時(shí)的最小值為(）A。-10B。1C?！?思路解析：f′（x)=5x4-20x3+15x2.令f′(x)=0,得x1=0，x2=1,x3=3.∴f(—1)=—10，f（0）=1，f(1)=2，f（2）=—7。答案：A3.若函數(shù)f（x）=asinx+sin3x在x=處有最值,那么a等于_____________。思路解析：f′（x)=acosx+cos3x。由題意f′()=0,即a·+（-1）=0，∴a=2。答案:24.函數(shù)f(x）=當(dāng)—6≤x≤8時(shí)的最大值為_____________,最小值為_____________.思路解析:令f′(x）=0,得x=0.又f（—6)=8,f(0）=10，f（8)=6,故f(x）max=10,f(x）min=6。答案:1065。函數(shù)f（x）=sin2x在［，0]上的最大值是___________，最小值是___________。思路解析：令f′(x)=2sinx·cosx,得x=0，f(）=,f（0)=0.答案:06。求下列函數(shù)的值.（1）f（x）=3x-x3;(2)f(x）=.思路分析：先求出函數(shù)的定義域，再求f（x)在定義域內(nèi)的極值，最后將f(x)的各極值與端點(diǎn)的函數(shù)值f(a）、f（b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。解:（1)f′(x）=3—3x2,令f′（x）=0，得x=±1.∴f（1）=2,f(-1)=—2.又f（）=0,f（3)=-18,∴[f(x）］max=2，[f（x)]min=—18.（2）函數(shù)定義域?yàn)?1≤x≤1，當(dāng)x∈(—1,1）時(shí)。f′（x)=，令f′(x）=0，解得x=。∴f(）=。又f(—1）=-1,f（1)=1，∴［f（x）］max=，［f（x)］min=-1.我綜合我發(fā)展7.給出下面四個(gè)命題：①函數(shù)y=x2-5x+4（-1≤x≤1）的最大值為10，最小值為;②函數(shù)y=2x2-4x+1（2＜x＜4）的最大值為17,最小值為1;③函數(shù)y=x3—12x（—3＜x＜3)的最大值為16，最小值為—16；④函數(shù)y=x3—12x（-2＜x＜2）無最大值,也無最小值.其中正確的命題有（)A.1個(gè)B。2個(gè)C.3個(gè)D。4個(gè)思路解析：①y′=2x—5，當(dāng)—1≤x＜1時(shí),y′＜0。函數(shù)單調(diào)遞減?！鄖max=10，ymin=.③y′=3x2—12=3（x-2)(x+2)=0,x=±2。當(dāng)-3＜x＜—2或2＜x＜3時(shí),y′＞0,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)-2＜x＜2時(shí),y′＜0,函數(shù)單調(diào)遞減.∴函數(shù)在x=-2時(shí)，取得最大值f（-2）=16。函數(shù)在x=2時(shí)，取得最小值f(2）=-16。故①③正確。答案:B8.已知函數(shù)f(x）=，x∈[1，+∞).(1)當(dāng)a=時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值；（2)若對(duì)于任意x∈[1,+∞）,f(x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。思路分析：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)求最值的方法,在非閉區(qū)間上求最值，利用單調(diào)性即可.解：（1)當(dāng)a=時(shí),f（x)=.x∈［1,+∞)，由f′(x)=.當(dāng)x∈[1，+∞)時(shí),f′（x)＞0，∴函數(shù)f（x）是增函數(shù)?！喈?dāng)x=1時(shí)，f(x)的最小值為.(2）對(duì)任意x∈［1，+∞),f（x）＞0恒成立，即＞0對(duì)任意x∈［1,+∞）恒成立，∴x2+2x+a＞0對(duì)任意x∈［1,+∞)恒成立.設(shè)g（x）=x2+2x+a，則g′（x）=2x+2,當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí),g′（x）＞0?！嗪瘮?shù)g(x）是增函數(shù).∴當(dāng)x=1時(shí),g（x)取最小值3+a。由題意3+a＞0,∴a＞-3.9。已知兩個(gè)函數(shù)f（x）=8x2+16x-k，g（x)=2x3+5x2+4x,其中k為實(shí)數(shù)。（1)對(duì)任意的x∈［-3,3］,都有f（x）≤g(x）成立,求k的取值范圍;(2）對(duì)任意的x1∈[—3，3］，x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g(x2），求k的取值范圍.思路分析：構(gòu)造函數(shù)h(x)=g（x）-f（x)，利用導(dǎo)數(shù)求解較為簡便。解:（1)設(shè)h(x)=g(x)-f(x),則h（x）=2x3—3x2-12x+k.對(duì)于“任意的x∈[—3，3］都有f（x）≤g(x）”等價(jià)于-3≤x≤3,h（x）的最小值大于或等于零，h′(x）=6x2-6x—12=6（x+1）（x—2).x-3（-3,-1)—1（—1，2）2(2,3）3h′（x）+0—0+h（x)-45+k增函數(shù)7+k減函數(shù)—20+k增函數(shù)-9+k于是h（x)的最小值為-45+k,即-45+k≥0，k≥45。(2）對(duì)于“任意的x1∈［-3,3］，x2∈［-3,3］，都有f（x2）≤g(x2)"等價(jià)于“f（x)在［-3,3］的最大值小于或等于g(x）在［-3，3]的最小值。”下面求在［—3,3］上的g(x)的最小值。g′(x）=6x2+