山東省威海市乳山市銀灘高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高二數(shù)學(xué)10月份月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.直線：的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線的一般式可得直線的斜率，再由斜率的公式即可求解傾斜角.設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所?故選：.2.設(shè)為實(shí)數(shù)，已知直線，若，則（）A.6 B. C.6或 D.或3【答案】A【解析】【分析】由兩條直線的一般式方程平行的條件求解即可.因?yàn)椋?，解得：?當(dāng)時(shí)，，平行；當(dāng)時(shí)，，可判斷此時(shí)重合，舍去.故選：A3.若橢圓的離心率為，則該橢圓的半焦距為（）A. B. C.3或 D.3或【答案】D【解析】【分析】分焦點(diǎn)軸上和軸上討論，分別計(jì)算和，得到答案.若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則離心率，得，此時(shí)半焦距；若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則離心率，得，此時(shí)半焦距，所以該橢圓的半焦距為3或．故選：D．4.在平行六面體中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)結(jié)合空間向量基本定理求解即可.因?yàn)槠叫辛骟w中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，所以．故選：C．5.已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先設(shè)圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)在線上及兩點(diǎn)間距離得出，再求出半徑，得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.設(shè)圓心的坐標(biāo)為.因?yàn)閳A心在直線上，所以①，因?yàn)槭菆A上兩點(diǎn)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有，即②，由①②可得.所以圓心的坐標(biāo)是），圓的半徑.所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選:C.6.已知向量，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出，得到答案.因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C.7.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點(diǎn)，從而可得當(dāng)時(shí)，AB的最小，結(jié)合勾股定理代入計(jì)算，即可求解.因?yàn)橹本€，即，令，則，所以直線過定點(diǎn)，設(shè)，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，所以圓心，半徑，當(dāng)時(shí)，AB的最小，此時(shí).故選：C8.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將半正多面體補(bǔ)成正方體并建立空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用向量夾角的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)性質(zhì)求所成角的余弦值的取值范圍.將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榘胝嗝骟w的棱長(zhǎng)為，故正方體的棱長(zhǎng)為所以，.設(shè)，則.所以.令，則，因?yàn)?，所?故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為.故選：C二、多選題9.已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)，則B.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到實(shí)軸的距離等于到虛軸的距離C.若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)D.復(fù)數(shù)的虛部為【答案】AB【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可求解；對(duì)B，由復(fù)數(shù)的模的公式化簡(jiǎn)求出z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到實(shí)軸的距離等于到虛軸的距離即可判斷，對(duì)C，根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程即可求解；對(duì)D，由虛部概念即可判斷.解：對(duì)于A：，，故A正確；對(duì)于B：設(shè)，代入，得：，整理得：，即復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，故復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到實(shí)軸的距離等于到虛軸的距離，故B正確；對(duì)于C：是純虛數(shù)，則，解得：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：復(fù)數(shù)的虛部為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.直線恒過點(diǎn)（-3，-3）B.圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則m=4D.已知圓，過點(diǎn)P（3，4）向圓C引兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB方程為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)、點(diǎn)到直線距離、圓與圓的位置關(guān)系，相交弦所在直線方程等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).A選項(xiàng)，，，所以定點(diǎn)為，A錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓心到直線的距離為，所以圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為，由于、有三條公切線，所以兩個(gè)圓外切，所以，，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為.，以為直徑的圓的方程為，即，則所在直線方程為，.D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.如圖所示，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.與所成角的余弦值為B.與面的交點(diǎn)是的重心C.三棱錐的外接球的體積為D.與面所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，連接，可得即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角；對(duì)B，可得四面體為正四面體，證明平面即可判斷；對(duì)C，三棱錐和正方體有相同的外接球，求出即可；對(duì)D，可得為直線與平面所成的角，即可求出判斷.對(duì)A，連接，則由正方體的性質(zhì)可知，所以即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，連接，設(shè)，則為的中點(diǎn)，連接，則，，，在中，，即與所成角的余弦值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，連接，則，則四面體為正四面體，因?yàn)?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，因?yàn)椋云矫?，垂足為，又四面體為正四面體，所以為的中心，即為的重心，故B正確；對(duì)C，由于三棱錐的頂點(diǎn)均為正方體的頂點(diǎn)，所以三棱錐和正方體有相同的外接球，所以外接球半徑，體積為，故C正確；對(duì)D，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由選項(xiàng)B知平面，所以為直線與平面所成的角，由為正三角形，且為的中心，所以為的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，在中，，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題12.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念可求解.因?yàn)?，所?故答案為：13.一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列式整理可得動(dòng)圓圓心的軌跡為橢圓，根據(jù)橢圓定義可得軌跡方程.設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，又由圓得，圓心，半徑，由圓得，圓心，半徑，由已知得，兩式相加消去可得，根據(jù)橢圓定義可得動(dòng)圓圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)為其中，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.故答案為：.14.若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題可知曲線，表示圓心為，半徑，在直線及右側(cè)的半圓，作出直線與半圓，利用數(shù)形結(jié)合即得．方程是恒過定點(diǎn)，斜率為的直線，曲線，即，表示圓心為，半徑，在直線及右側(cè)的半圓，半圓弧端點(diǎn)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與半圓)，如圖，當(dāng)直線與半圓C相切時(shí)，得，且，解得，又，所以或，所以或．故答案為：．四、解答題15.在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求直線的方程；（2）求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的位置關(guān)系，算出直線的斜率為，利用直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡(jiǎn)整理即可得到直線的方程；（2）由邊高所在直線方程和，解出，從而得出直線的方程．由直線、關(guān)于直線對(duì)稱，算出方程.【小問1】由于所在直線的方程為，故的斜率為，與互相垂直，直線的斜率為，結(jié)合，可得的點(diǎn)斜式方程：，化簡(jiǎn)整理，得，即為所求的直線方程．【小問2】由和聯(lián)解，得,由此可得直線方程為：，即..,關(guān)于平分線x軸對(duì)稱，則傾斜角互補(bǔ)，斜率和y軸截距都互為相反數(shù).直線的方程為：.16.已知，以點(diǎn)為圓心的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，可直接計(jì)算出圓半徑；（2）根據(jù)直線的斜率是否存在分類討論，斜率不存在時(shí)，可得到直線方程為的直線滿足題意，斜率存在時(shí)，利用直線與圓相切，即到直線的距離等于半徑，然后解出關(guān)于斜率的方程即可.【小問1】不妨設(shè)圓的半徑為，根據(jù)垂徑定理，可得：解得：則圓的方程為：【小問2】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則有：故此時(shí)直線與圓相切，滿足題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線的斜率為，點(diǎn)的直線的距離為直線的方程為：則有：解得：，此時(shí)直線的方程為：綜上可得，直線的方程為：或17.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)到短袖的一個(gè)端點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，根據(jù)點(diǎn)到短袖的一個(gè)端點(diǎn)的距離為，然后根據(jù)即可；（2）先設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后根據(jù)韋達(dá)定理得到，兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，然后根據(jù)建立關(guān)于直線的斜率的不等式，解出不等式即可.【小問1】根據(jù)題意，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，則有：點(diǎn)到短袖的一個(gè)端點(diǎn)的距離為，則有：則有：故橢圓的方程為：【小問2】設(shè)過點(diǎn)作斜率為的直線的方程為：聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：則有：,直線過點(diǎn)，所以恒成立，不妨設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，則有：又且則有：將，代入后可得：若，則有：解得：或18.已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解；（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.【小問1】取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，故，且，由是的中點(diǎn)，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；【小問2】以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有A0,0,0、、、、C1,1,0、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；【小問3】由，平面的法向量為，則有，即點(diǎn)到平面的距離為.19.圖1是邊長(zhǎng)為的正方形ABCD，將沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐，且．（1）證明：平面平面ABC；（2）點(diǎn)M是棱PA上不同于P，A的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，若平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)為，連接，利用勾股定理證明，再結(jié)合，即可由線線垂直證明線面垂直；（2）根據(jù)（1）中所證，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，以及兩個(gè)平面的法向量，利用夾角公