2024八年級數(shù)學(xué)上冊提練第13招巧用勾股定理求最短路徑的長習(xí)題課件新版冀教版

冀教版八年級上第13招巧用勾股定理求最短路徑的長01教你一招02典例剖析03分類訓(xùn)練目

錄CONTENTS求最短距離問題，第一種情況是通過計(jì)算和比較解最短距離

問題；第二種情況是平面圖形，將分散的條件通過幾何變換

(平移或軸對稱)進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決；第三種

情況是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形

中將最短路徑的長轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，然后借助直角三角

形，利用勾股定理求出最短路程(距離).返回

如圖，有一個(gè)圓柱形玻璃杯，高為12

cm，底面周長為

18

cm，在杯內(nèi)離杯底4

cm的點(diǎn)

C

處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只

螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4

cm與蜂蜜相對的點(diǎn)

A

處，則

螞蟻到蜂蜜的最短路線長為

.

求最短路線長，就是將要求的路線長轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離或點(diǎn)到直線的距離來進(jìn)行計(jì)算.轉(zhuǎn)化是求最短路線長的核心步驟.本題是利用化曲為直，即將圓柱側(cè)面展開成平面圖形，用兩點(diǎn)間的距離再結(jié)合幾何圖形的相關(guān)知識求解.解：如圖，將圓柱側(cè)面的一半展開，作

CD

⊥

FA

于點(diǎn)

D

，作

A

關(guān)于

EF

的對稱點(diǎn)A'，連接A'C，與

EF

交于點(diǎn)

B

，連接

AB

，則

AB

＝A'B，則

A

→

B

→

C

為最短路線.由題意知

DC

＝9

cm，

FD

＝8

cm，F(xiàn)A'＝4

cm，在Rt△A'DC中，A'C

2＝A'D

2＋

DC

2＝(FA'＋

FD

)2＋

DC

2＝(4＋8)2＋92＝225＝152.故A'C＝15

cm.∵

AB

＋

BC

＝A'B＋

BC

＝A'C，∴最短路線長為15

cm.答案：15

cm返回

用平移法求平面中的距離問題1.

如圖，小明在廣場上先向東走10

m，又向南走40

m，再

向西走20

m，又向南走40

m，最后向東走70

m.則小明到

達(dá)的終點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)的距離是

?.100

m

123456(第1題)易知

AC

＝40＋40＝80(m)，

BC

＝70－20＋10＝60(m)，∴

AB2＝602＋802＝1002，則

AB

＝100

m.【點(diǎn)撥】如圖，作

AC

⊥

BD

于點(diǎn)

C

.

123456返回2.

如圖，已知∠

B

＝∠

C

＝∠

D

＝∠

E

＝90°，且

AB

＝

CD

＝3，

BC

＝4，

DE

＝

EF

＝2，則

AF

的長是

?.(第2題)10

123456【點(diǎn)撥】

123456返回

用對稱法求平面中的最短問題

123456【解】如圖所示，作

B

關(guān)于

AD

的對稱點(diǎn)

B1，關(guān)于

CD

的

對稱點(diǎn)

B2，連接

B1、

B2，與

AD

、

CD

分別交于點(diǎn)

E

，

F

，則此時(shí)△

BEF

的周長最小.∵作

B

關(guān)于

AD

的對稱點(diǎn)

B1，關(guān)于

CD

的對稱點(diǎn)

B2，∴

BE

＝

B1

E

，

BF

＝

B2

F

，∴

C△

BEF

＝

BE

＋

BF

＋

EF

＝

B1

E

＋

B2

F

＋

EF

.

∵兩點(diǎn)之間線段最短，123456∴此時(shí)△

BEF

的周長最小，

C△

BEF

＝

B1

B2.過點(diǎn)

B2作

B2

M

⊥

BB1，交

B1

B

延長線于點(diǎn)

M

，∵∠

ABC

＝135°，∴∠

MBB2＝45°，∴

BM

＝

MB2.∵

BC

＝1，∴

BB2＝2

BC

＝2，

123456

123456返回

用展開法求立體圖形中的最短問題類型1圓柱中的最短問題4.

有一只螞蟻要沿一個(gè)圓柱形玻璃杯的側(cè)面從點(diǎn)

A

處爬到點(diǎn)

B

處(點(diǎn)

A

，

B

均在玻璃杯外部)，如圖所示，已知杯子高8

cm，點(diǎn)

B

距杯口3

cm，杯子底面半徑為4

cm.螞蟻從

A

點(diǎn)

爬到

B

點(diǎn)的最短路程為多少？(π取3)123456【解】從點(diǎn)

A

處豎直向上剪開，此圓柱的側(cè)面展開圖為長

方形

ACDE

，如圖所示，其中

AC

的長為圓柱的底面周

長，連接

AB

，則

AB

即為螞蟻爬行的最短路徑.過點(diǎn)

B

作

BE'⊥

AE

于E'.

AC

＝2π

r

≈2×3×4＝24(cm)，

又∵

EA

＝8

cm，EE'＝3

cm，123456∴AE'＝

EA

－EE'＝8－3＝5(cm).在Rt△ABE'中，

AB2＝AE'2＋E'B2≈52＋122＝132，∴

AB

≈13

cm.即螞蟻從

A

點(diǎn)爬到

B

點(diǎn)的最短路程約為13

cm.123456返回類型2圓錐中的最短問題5.

如圖，觀察圖形解答下面的問題：(1)此圖形的名稱為

?；(2)請你與同伴一起做一個(gè)這樣的立體圖形，并把它的側(cè)面沿

AS

剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個(gè)

?；圓錐扇形123456(3)如果點(diǎn)

C

是

SA

的中點(diǎn)，在

A

處有一只蝸牛，在

C

處恰

好有蝸牛想吃的食物，且它只能繞此立體圖形的側(cè)面

爬行一周到

C

處.你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的

最短路線嗎？【解】把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，連接

AC

，則

AC

為蝸牛爬行的最短路線.123456(4)若

SA

的長為10，側(cè)面展開圖的圓心角為90°，請你求

出蝸牛爬行的最短路程的平方.【解】由題易知

SC

＝5.在Rt△

ASC

中，由勾股定理，得

AC2＝102＋52＝125.故蝸牛爬行的最短路程的平方為125.123456類型3長方體中的最短問題6.

有一個(gè)如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，其長

AD

＝80

cm，高

AB

＝60

cm，水深

AE

＝40

cm，在水面上緊貼內(nèi)壁的

G

處有一魚餌，點(diǎn)

G

在水面線

EF

上，且

EG

＝60

cm.一小蟲想從魚缸外的

A

點(diǎn)沿壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)的點(diǎn)

G

處吃魚餌.(1)小蟲應(yīng)該走怎樣的路線才能使爬行的路線最短呢？請你在圖中畫出它爬行的路線，并用箭頭標(biāo)注；123456【解】如圖，作點(diǎn)

A

關(guān)于直線

BC

的

對稱點(diǎn)

A

'，連接

A

'

G

，與

BC

交于點(diǎn)

Q

，連接

AQ

.

則

A

→

Q

→

G

為最短路線.123456(2)求小蟲爬行的最短路線長.【解】∵

AE

＝40

cm，AA'＝60＋60＝1