2024八年級數(shù)學(xué)上冊第十七章特殊三角形練素養(yǎng)2.利用勾股定理解題的九種常見題型習(xí)題課件新版冀教版

冀教版八年級上第十七章特殊三角形集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)2.利用勾股定理解題的九種常見題型

勾股定理建立起了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，應(yīng)用勾

股定理可以解與直角三角形有關(guān)的計算問題，說明含有平方

關(guān)系的幾何問題，解決實際應(yīng)用問題及最短路徑問題、折疊

問題等.在解決過程中往往利用勾股定理列方程，有時需要

通過作輔助線來構(gòu)造直角三角形，化斜為直來解決問題.題型1利用勾股定理求線段長1.

在數(shù)學(xué)實驗課上，李歡同學(xué)剪了兩張直角三角形紙片，進(jìn)

行了如下的操作：操作一：如圖①，將Rt△

ABC

紙片沿某條直線折疊，使

斜邊兩個端點

A

與

B

重合，折痕為

DE

.

123456789(1)如果

AC

＝5

cm，

BC

＝7

cm，可得△

ACD

的周長

為

?；【點撥】由翻折的性質(zhì)可知

BD

＝

AD

，∴

AD

＋

DC

＝

BC

＝7

cm.∴△

ACD

的周長＝

CD

＋

AD

＋

AC

＝

BC

＋

AC

＝

7＋5＝12(cm).12

cm

123456789(2)如果∠

CAD

∶∠

BAD

＝1∶2，可得∠

B

的度數(shù)

為

?；【點撥】設(shè)∠

CAD

＝

x

，則∠

BAD

＝2

x

.由翻折的性質(zhì)可知∠

BAD

＝∠

B

＝2

x

.∵∠

B

＋∠

BAC

＝90°，∴2

x

＋

x

＋2

x

＝90°.解得

x

＝18°.∴2

x

＝2×18°＝36°.∴∠

B

＝36°.36°

123456789操作二：如圖②，李歡同學(xué)拿出另一張Rt△

ABC

紙片沿某

條直線折疊，使點

A

與點

E

重合，折痕為

CD

.

若

AB

＝10

cm，

BC

＝8

cm，請求出

BE

的長.123456789

∴

EA

＝3.6×2＝7.2(cm).∴

BE

＝

AB

－

AE

＝10－7.2＝2.8(cm).123456789題型2

利用勾股定理說明線段相等2.

如圖，在四邊形

ABFC

中，∠

ABC

＝90°，

CD

⊥

AD

，

AD2＝2

AB2－

CD2.求證：

AB

＝

BC

.

123456789【證明】∵

CD

⊥

AD

，∴∠

ADC

＝90°，即△

ADC

是直角三角形.由勾股定理，得

AD2＋

CD2＝

AC2.∵

AD2＝2

AB2－

CD2，∴

AD2＋

CD2＝2

AB2.∴

AC2＝2

AB2.∵∠

ABC

＝90°，∴

AB2＋

BC2＝

AC2.∴

AB2＋

BC2＝2

AB2.∴

BC2＝

AB2，即

AB

＝

BC

.

123456789題型3利用勾股定理說明線段之間的平方關(guān)系3.

如圖，∠

C

＝90°，

AM

＝

CM

，

MP

⊥

AB

于點

P

.

求證：

BP2＝

BC2＋

AP2.123456789【證明】如圖，連接

BM

.

∵

MP

⊥

AB

，∴△

BMP

和△

AMP

均為直角三角形.∴

BP2＋

PM2＝

BM2，

AP2＋

PM2＝

AM2.同理可得

BC2＋

CM2＝

BM2，∴

BP2＋

PM2＝

BC2＋

CM2.又∵

CM

＝

AM

，∴

CM2＝

AM2＝

AP2＋

PM2.∴

BP2＋

PM2＝

BC2＋

AP2＋

PM2.∴

BP2＝

BC2＋

AP2.123456789題型4利用勾股定理求四邊形中線段長(構(gòu)造法)4.

如圖，在四邊形

ABCD

中，

AB

＝

AD

＝8，∠

A

＝60°，

∠

D

＝150°，四邊形

ABCD

的周長為32.求

BC

和

CD

的

長度.123456789

解得

x

＝10.∴

BC

＝10，

CD

＝6.123456789題型5利用勾股定理求折疊中線段長(方程思想)5.

如圖，三角形紙片

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝2，

AC

＝3.沿過點

A

的直線將紙片折疊，使點

B

落在邊

BC

上

的點

D

處；再折疊紙片，使點

C

與點

D

重合，若折痕與

AC

的交點為

E

，則

AE

的長是(

A

)A123456789【點撥】由折疊的性質(zhì)可得

AD

＝

AB

＝2，∠

B

＝∠

ADB

，

CE

＝

DE

，∠

C

＝∠

CDE

.

∵∠

BAC

＝90°，∴∠

B

＋∠

C

＝90°，∴∠

ADB

＋∠

CDE

＝90°，∴∠

ADE

＝90°，∴

AD2＋

DE2＝

AE2.設(shè)

AE

＝

x

，則

CE

＝

DE

＝3－

x

，

【答案】A123456789【點技巧】根據(jù)折疊前后，重合的圖形全等，得到相等的線段和

角.在Rt△

ADE

中，設(shè)

AE

＝

x

，利用折疊的性質(zhì)，表示

出各邊長，列方程求解即可.123456789題型6利用勾股定理求動點中線段長6.

如圖，∠

AOB

＝90°，

OA

＝40

m，

OB

＝15

m.一機(jī)器

人在

B

點處看見一球從

A

點出發(fā)沿

AO

方向勻速滾向

O

，

機(jī)器人立即從

B

點出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截球，在

C

處

截住球.球滾動速度與機(jī)器人行走速度相同，機(jī)器人行走

的路程

BC

為多少？123456789

123456789題型7利用勾股定理解傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化問題7.

《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：今

有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各

幾何？其意思為：今有一門，高比寬多6尺8寸，門對角線

長度恰好為1丈.如圖，問門高、寬各是多少？(1丈＝10

尺，1尺＝10寸)123456789【解】由題意知門高

AB

為

x

尺，則寬為(

x

－6.8)尺.依題意，得(

x

－6.8)2＋

x2＝102，化簡得

x2－6.8

x

－26.88＝0，因式分解得(

x

－9.6)(

x

＋2.8)＝0，∴

x

－9.6＝0或

x

＋2.8＝0，∴

x

＝9.6或

x

＝－2.8(舍)，則

x

－6.8＝2.8.∴門高9.6尺，寬2.8尺.123456789題型8利用勾股定理求立體圖形中的最短距離8.

如圖，圓柱形玻璃容器高10

cm，底面周長為30

cm，在外

側(cè)距下底1

cm的點

S

處有一只螞蟻，與螞蟻相對的圓柱形

容器的上口外側(cè)距開口處1

cm的點

F

處有食物，求螞蟻要

吃到食物所走最短路線的長度.123456789【解】如圖，將圓柱形玻璃容器側(cè)面展開，連接

SF

，過

點

S

作

SP

⊥

MN

于點

P

.

由題意可知

FP

＝10－2＝8(cm)，

SP

＝15

cm.在Rt△

SPF

中，

SF2＝

SP2＋

FP2＝152＋82＝289，∴

SF

＝17

cm.答：螞蟻要吃到食物所走最短路線的長度為17

cm.123456789題型9利用勾股定理求動點中的最短距離9.

如圖，在四邊形

ABCD

中，∠

BAD

＝∠

B

＝∠

D

＝

90°，

AD

＝

AB

＝4，

E

是

AD

中點，

M

是邊

BC

上的一

個動點，

N

是邊

CD

上的一個動點，求

AM

＋

MN

＋

EN

的最小值.123456789【解】如圖，作

A

點關(guān)于

BC

的對稱點

A1，連接

A1

M

，

作

E

點關(guān)于

DC

的對稱點

E1，連接

E1

N

，

A1

E1.∵∠

B

＝∠

D

＝90°，點

A

和點

A1關(guān)于

BC

對稱，點

E

和

點

E1關(guān)于

DC

對稱，∴

AM

＝

A1

M

，

EN

＝

E1

N

，∴

AM

＋

MN

＋

EN

＝

A1

M

＋

MN

＋