2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習專題3.4冪函數(shù)知識點講解含解析

專題3.4冪函數(shù)【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.了解冪函數(shù)的概念．駕馭冪函數(shù)，的圖象和性質(zhì).2.了解冪函數(shù)的改變特征.3．培育學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心數(shù)學素養(yǎng).4.高考預料：（1）與二次函數(shù)相關(guān)的單調(diào)性、最值問題.除單獨考查外，多在題目中應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)；（2）冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.（3）在分段函數(shù)中考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).5.備考重點：（1）“三個二次”的結(jié)合問題；（2）冪函數(shù)圖象和性質(zhì).【學問清單】1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n).零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－eq\f(b,2a)對稱【典例剖析】高頻考點一：冪函數(shù)的概念【典例1】已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m為何值時，f(x)是：(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)；(3)二次函數(shù)；(4)冪函數(shù).【答案】(1)m＝1.(2)m＝－1.(3)eq\f(－1±\r(13),2).(4)－1±eq\r(2).【解析】(1)若f(x)為正比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1,m2＋2m≠0))，∴m＝1.(2)若f(x)為反比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1,m2＋2m≠0))，∴m＝－1.(3)若f(x)為二次函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝2,m2＋2m≠0))，∴m＝eq\f(－1±\r(13),2).(4)若f(x)為冪函數(shù)，則m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq\r(2).【總結(jié)提升】形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：(1)系數(shù)為1，(2)指數(shù)為一常數(shù)，(3)后面不加任何項．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是冪函數(shù)，再者留意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)分，例如：y＝x2是冪函數(shù)，y＝2x是指數(shù)函數(shù)．【變式探究】有下列函數(shù)：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－eq\f(1,x)；④y＝eq\f(1,x)；⑤y＝xeq\s\up4(\f(2,3))；⑥y＝2x.其中，是冪函數(shù)的有____(只填序號)．【答案】④⑤【解析】①中，x2的系數(shù)為3，故不是冪函數(shù)；②中，y＝x2＋1不是xα的形式，故不是冪函數(shù)；③中，y＝－eq\f(1,x)＝－(x－1)，系數(shù)是－1，故不是冪函數(shù)；④中，y＝eq\f(1,x)＝x－1是冪函數(shù)；⑤中，y＝xeq\s\up4(\f(2,3))是冪函數(shù)；⑥中，y＝2x是指數(shù)函數(shù)．高頻考點二：冪函數(shù)的圖象【典例2】（2024·四川省高一期末）若四個冪函數(shù)，，，在同一坐標系中的部分圖象如圖，則、、、的大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，在的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)依次增大，可得.故選：B.【典例3】【2025屆湖北省鄂東南省級示范中學教化教學改革聯(lián)盟高三上期中】若冪函數(shù)與在第一象限的圖象如圖所示，則與的取值狀況為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】在第一象限作出冪函數(shù)的圖象，在內(nèi)取同一值，

作直線，與各圖象有交點，則由“指大圖高”，可知

如圖，

故選D．【典例4】（2024·江西高三期中（文））冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則()A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，∵點在函數(shù)的圖象上，∴，即，解得，∴，∴．故選B．【總結(jié)提升】1.函數(shù)y＝xα的形式的圖象都過點(1,1)．它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當α>0時，第一象限圖象是上坡遞增；當α＜0時，第一象限圖象是下坡遞減．然后依據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可．2.冪函數(shù)y＝xα的形式特點是“冪指數(shù)坐在x的肩膀上”，往往利用待定系數(shù)法，求冪指數(shù)，得到函數(shù)解析式，進一步解題.【變式探究】1．（2024·廣西壯族自治區(qū)南寧三中高二月考（文））函數(shù)的圖像大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，該函數(shù)的定義域為，所以解除C；因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以解除D；又，在第一象限內(nèi)的圖像與的圖像類似，解除B.故選A．9．（2024·上海高一課時練習）如圖是冪函數(shù)的部分圖像,已知取這四個值,則于曲線相對應(yīng)的依次為()A． B．C． D．【答案】A【解析】方法一曲線過點，且在第一象限單調(diào)遞增，，為.明顯對應(yīng)，對應(yīng).曲線過點，且在第一象限單調(diào)遞減，，為.明顯對應(yīng)，對應(yīng).方法二令，分別代入，得，，所以曲線相對應(yīng)的依次為.故選：.3．（2024·上海高一課時練習）下列四個結(jié)論中，正確的是（）A．冪函數(shù)的圖像過和兩點 B．冪函數(shù)的圖像不行能出現(xiàn)在第四象限C．當時，是增函數(shù) D．的圖像是一條直線【答案】B【解析】冪函數(shù)的圖像都過點,但不肯定過點，如，所以A錯；因為當時，所以冪函數(shù)的圖像不行能出現(xiàn)在第四象限，即B對；當時，不一是增函數(shù)，如在上單調(diào)遞減，所以C錯；的圖像是一條去掉一點的直線，所以D錯.故選:B高頻考點三：冪函數(shù)的性質(zhì)【典例5】【多選題】（2024·新泰市其次中學高二月考）已知函數(shù)圖像經(jīng)過點(4,2)，則下列命題正確的有（）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．若，則 D．若，則.【答案】ACD【解析】將點(4,2)代入函數(shù)得：，則.所以，明顯在定義域上為增函數(shù)，所以A正確.的定義域為，所以不具有奇偶性，所以B不正確.當時，，即，所以C正確.當若時，=.=.==.即成立，所以D正確.故選：ACD.【典例6】（2024·四川省高三二模（文））已知點（3，28）在函數(shù)f（x）＝xn+1的圖象上，設(shè)，b＝f（lnπ），，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】D【解析】依據(jù)題意，點（3，28）在函數(shù)f（x）＝xn+1的圖象上，則有28＝3n+1，解可得n＝3；則f（x）＝x3+1，易得f（x）在R上為增函數(shù)，又由1＜lnπ，則有c＜a＜b.故選：D.【典例7】（2024·上海高考模擬）設(shè)，若為偶函數(shù)，則______．【答案】【解析】由題可知，時，，滿意f(-x)=f(x),所以是偶函數(shù)；時，不滿意f(-x)=f(x),．故答案為：．【方法技巧】1.在比較冪值的大小時，必需結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大?。撼Ｕ业揭粋€中間值，通過比較冪函數(shù)值與中間值的大小進行推斷．精確駕馭各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)．當冪的底數(shù)不確定時，要留意探討底數(shù)的不同取值狀況.【變式探究】1.（2024·湖北高三高考模擬（理））冪函數(shù)的圖象過點，且，，，則、、的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】冪函數(shù)的圖象過點，∴＝4，m＝2；∴，，＝﹣log23＜0，∴l(xiāng)og23，∴．故選：C．2．（2024·上海高一課時練習）已知冪函數(shù)的圖像滿意，當時，在直線的上方；當時，在直線的下方，則實數(shù)的取值范圍是_______________.【答案】【解析】當時，冪函數(shù)和直線第一象限的圖像如下由圖可知，不滿意題意當時，冪函數(shù)和直線重合，不滿意題意當時，冪函數(shù)和直線第一象限的圖像如下由圖可知，滿意題意當時，冪函數(shù)和直線第一象限的圖像如下由圖可知，滿意題意當時，冪函數(shù)和直線第一象限的圖像如下由圖可知，滿意題意綜上，故答案為3．（2024·內(nèi)蒙古自治區(qū)集寧一中高二月考（文））已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實數(shù)________.【答案】2【解析】∵冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴，解得m＝2或-1（舍）．故答案為2．高頻考點四：冪函數(shù)綜合問題【典例8】（2013·江蘇省高考真題）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)定點A(a，a)，P是函數(shù)y＝(x>0)圖象上一動點．若點P，A之間的最短距離為2，則滿意條件的實數(shù)a的全部值為________．【答案】－1或【解析】設(shè)點，則令令（1）當時，時取得最小值，，解得（2）當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，解得綜上可知：或所以答案應(yīng)填：-1或.【典例9】（2024·上海高一課時練習）若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】【解析】由冪函數(shù)的定義域為，且滿意，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又由冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又由，則滿意，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍．【典例10】（2024·江西省南康中學高一月考）已知冪函數(shù)滿意．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，是否存在實數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（3）若函數(shù)，是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在使得的最小值為0；（3）．【解析】（）∵為冪函數(shù)，∴，∴或．當時，在上單調(diào)遞減，故不符合題意．當時，在上單調(diào)遞增，故，符合題意．∴．（），令．∵，∴，∴，．當時，時，有最小值，∴，．②當時，時，有最小值．∴，（舍）．③當時，時，有最小值，∴，（舍）．∴綜上．（），易知在定義域上單調(diào)遞