電路的計(jì)算機(jī)輔助分析與設(shè)計(jì)

電路的計(jì)算機(jī)輔助分析與設(shè)計(jì)

應(yīng)忍冬

Nov.15,2006

uinqrd@cimaiLcom

i

1電路基礎(chǔ).........................................................5

1.1關(guān)聯(lián)方向.................................................5

1.2基本元件.................................................5

1.2.1電阻.....................................................5

1.2.2電容.....................................................6

1.2.3電感.....................................................6

1.2.4VCCS........................................................................................................6

1.2.5VCVS........................................................................................................7

1.2.6CCCS........................................................................................................7

1.2.7CCVS........................................................................................................7

1.2.8獨(dú)立電壓源...............................................7

1.2.9獨(dú)立電流源...............................................8

1.2.10其他.....................................................8

1.3電路基本定律.............................................8

1.3.1關(guān)聯(lián)矩陣.................................................8

1.3.2KCL...........................................................................................................9

1.3.3KVL........................................................................................................10

1.3.4VCR（電壓電流關(guān)系方程）................................12

1.3.5附力口內(nèi)容.................................................13

1.4STA（稀疏表矩陣方程）..................................15

1.5節(jié)點(diǎn)法方程..............................................15

2修正節(jié)點(diǎn)法......................................................17

2.1導(dǎo)納.....................................................17

2.2阻抗.....................................................17

2.3VCCS.......................................................................................................18

2.4CCCS.......................................................................................................19

2.5CCVS.......................................................................................................19

2.6VCVS......................................................................................................20

2.7獨(dú)立電壓源...............................................21

2.8獨(dú)立電流源...............................................21

2.9互感器..................................................22

2.10理想變壓器..............................................22

3線性方程求解....................................................24

3.1解的存在性..............................................24

3.2解的唯一性..............................................24

3.3高斯消元法...............................................24

3.4LU分解.................................................26

4靈敏度..........................................................31

4.1定義.....................................................31

4.1.1靈敏度...................................................31

4.1.2歸一化靈敏度.............................................31

4.2線形電路方程的靈敏度求解.................................31

4.2.1問題描述.................................................31

4.2.2靈敏度求解...............................................31

4.3求解x的線性組合的靈敏度.................................32

2

4.3.1問題描述................................................32

4.3.2靈敏度求解..............................................33

4.3.3伴隨網(wǎng)絡(luò)法..............................................34

4.3.4對元件的靈敏度..........................................34

4.4復(fù)頻域的模型的參數(shù)（復(fù)數(shù)）的靈敏度......................35

4.4.1輸出信號的模和相角的靈敏度..............................35

4.4.2輸出信號對頻率的靈敏度..................................36

4.5電路輸出對溫度的靈敏度...................................37

4.6例子....................................................38

4.6.138

4.6.239

5元件大變化靈敏度................................................42

5.1問題描述................................................42

5.2方程求解問題的化簡......................................42

5.2.1AT的分析...............................................42

5.2.2方程求解................................................43

6非線性網(wǎng)絡(luò)的直流解..............................................45

6.1問題描述................................................45

6.2方程求解................................................45

6.2.1一維非線性方程求解......................................45

6.2.2多維非線性方程組求解....................................46

6.2.3改進(jìn)收斂性能的措施......................................47

6.2.4源步進(jìn)法................................................47

6.3非線性電路的方程描述....................................48

6.3.1基本電路方程............................................48

6.3.2電路求解................................................49

6.3.3直流伴隨模型............................................49

7微分方程的數(shù)值解................................................52

7.1問題描述................................................52

7.2方程求解................................................52

7.2.1前向歐拉法..............................................52

7.2.2后向歐拉法..............................................53

7.2.3梯形法..................................................54

7.2.4高階Taylor法............................................55

7.2.5Runger-Kutta法...........................................56

7.2.6多步法..................................................57

8電路微分方程的求解..............................................64

8.1線性電路方程的一般形式及其求解..........................64

8.2獲得線性電路的微分方程..................................64

8.3非線性電路方程的一般形式及其求解........................66

8.4建立非線性電路微分方程..................................67

8.4.1非線性電阻..............................................67

8.4.2非線性電容..............................................68

8.4.3非線性電感..............................................69

9隨機(jī)仿真........................................................72

3

9.1直接變換法..............................................72

9.2拒絕法..................................................72

4

1電路基礎(chǔ)

1.1關(guān)聯(lián)方向

元件的功率為:

P-in(1.1)

P>0消耗能量

尸<0釋放能量

1.2基本元件

1.2.1電阻

+

U

u-ri

i=gn(1.2)

gr=l

5

1.2.2電容

1F

.「du

i=c——(1.3)

dt

i-sCu(1.4)

1.2.3電感

rdi

u=L—(1.5)

dt

u=sLi(1.6)

1.2.4vccs

4-

U

i=g〃(1.7)

6

1.2.5VCVS

+

(1.8)

1.2.6CCCS

(1.9)

1.2.7CCVS

u=”(1.10)

1.2.8獨(dú)立電壓源

u=U(l.H)

7

1.2.9獨(dú)立電流源

(1.12)

1.2.10其他

理想變壓器、互感器

1.3電路基本定律

1.3.1關(guān)聯(lián)矩陣

上面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)用矩陣A“表示，即:

123456

(。)0+100-1-1

A“=(1)-1-1+1000(1.13)

⑵00-1+10+1

⑶+100-1+10

8

A〃的行號對應(yīng)節(jié)點(diǎn)號，列號對應(yīng)支路號。對于從節(jié)點(diǎn)。始發(fā)到節(jié)點(diǎn)6的第左條

支路,在A0里面表示為:

A“(。,左)=1

(1.14)

A“(6㈤=7

注意:A”非行滿秩，去除任意一行得到矩陣A,它是行滿秩的,并被稱為關(guān)聯(lián)

矩陣

123456

(1)--I-1+1000

A(1.15)

(2)00-1+10+1

⑶+100-1+10

1.3.2KCL

(1.16)

例:

KCL表示為:

(1.17)

寫成矩陣形式為:

9

0

i0

-1-1+10002

>30

00-1+10+1(1.18)

0

+100-1+10

，50

40

或者用更簡潔的符號表示:

(1.19)

其中：

A是N*8關(guān)聯(lián)矩陣

!=[/,z2…乙/為支路電流向量

0=[00…o]7

N是電路的節(jié)點(diǎn)數(shù)目(不包括參考節(jié)點(diǎn))

8是支路數(shù)目。

1.3.3KVL

+

喙1吸2

%或6=°(1.20)

其中0取值±1,當(dāng)左號支路的參考方向順著環(huán)路繞行方向時(shí)&=1，反之為

-1O

KVL的另一種等效的表示為:

以if(1.21)

等式(1.21)和(1.20)的聯(lián)系在后面135節(jié)給出。下面給出以(1.21)給出的KVL定

律的例子

例：

10

KVL表示為：

1v3fli

2v0-v,=u2

3vy-v2=u3

<(1.22)

4v2-v3=w4

5匕-%=%

6匕一%="

注意：上面等式中%=0表示參考地。上式的矩陣形式為:

--10+1-ux

-100r--1u2

V1

+1-10

V2=(1.23)

0+1-1114

_匕_

00+1li5

0+10_〃6_

寫成矩陣形式為:

Arv=u(1.24)

其中：

A是NxB關(guān)聯(lián)矩陣

V=(V|V,…為節(jié)點(diǎn)電壓向量

u=[w(w2???以/為支路電壓向量

N是電路的節(jié)點(diǎn)數(shù)目(不包括參考節(jié)點(diǎn))

11

8是支路數(shù)目。

1.3.4VCR(電壓電流關(guān)系方程)

VCR方程表示支路電流和支路電壓的約束關(guān)系。一般形式為：

P(i,u)=O(1.25)

對于線性元件，上式表示為：

Dji+Duu-s=0(1.26)

或者：

Dji+Duu=s(1.27)

例：

1

L----w.=0

1R1

u2=E

?

z2-gz/3=0(1.28)

h=i

z4-sCuA=0

寫成(1.27)的形式為：

'1000'--000'O-

Z.Ru.

01001I0

00-g0

z2L

0010+=I(1.29)

L0000U-.

0001330

i.000—sC

0000L4」L4」E

0100

12

'1000'~~R000

0100

i00~g0

其中：D,=00102,D=

0000

0001

000-sC

0000

0100

0

0

及s=I

0

E

1.3.5附加內(nèi)容

1.3.5.1節(jié)點(diǎn)電壓、支路電壓、環(huán)路電壓和KVL的關(guān)系

考慮環(huán)路電壓和與4=u的聯(lián)系

下面要說明當(dāng)支路電壓如由A'v=u給出時(shí)，KVL表達(dá)式:

^kckuk~0(1.30)

是必然成立的。

沿環(huán)路繞行方向，考察每一個(gè)節(jié)點(diǎn)電位在上面求和表達(dá)式中出現(xiàn)的規(guī)律，

可見在q的符號作用下每個(gè)節(jié)點(diǎn)電位正好以+匕.和-匕.分別出現(xiàn)一次，正好抵

消。環(huán)路電壓和為0。

13

1.3.5.2特勒根定律

KVL：Arv=u表明向量u在（A「）的列向量空間

KCL：Ai=O表明向量i在（A「）的列向量的正交補(bǔ)空間

因而必然有：

iru=O(1.31)

L3.5.3i和u的解的確定性

考慮有8條支路和N個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路（參考節(jié)點(diǎn)除外）的關(guān)聯(lián)矩陣A。由

KCL和KVL得至I」：

V）=（1.32

0A，1v」LuJ

其中（A「『列滿秩并滿足A（A「『=O,即（A）的列向量垂直于（A7）的列向

量，w為B-N維未知列向量。

1),>列滿秩，且列秩=8。

0A：

[雖然有2B個(gè)元素，但它是8個(gè)線性獨(dú)立的向量（指（A'）°的

2)

LUJ[0Ar_

w

列向量）的線性組合（列向量的加權(quán)系數(shù)由給出），因此自由度為

V

B。

iw

3)由2）可見，求的23個(gè)元素的關(guān)鍵是確定4個(gè)組合系數(shù)值?？?/p>

uj|_v_

wl「i

見至少需要額外的8個(gè)約束方程才能確定并由此得到的值。

_vJ|_u_

4)考慮線性電路的VCR方程

可見：

14

（A,『

有唯解的必要條件是MD“]列滿秩。通過（1.33）

確定了就能帶入（1.32）來確定

1.4STA（稀疏表矩陣方程）

考慮線性電路的電路基本方程組：

KCL：Ai=O

KVL：Arv-u=O

VCR：Dji+DuU=s

把上面方程寫在同一個(gè)矩陣方程里，即STA方程

0

D,

1.5節(jié)點(diǎn)法方程

考慮僅僅包含電阻（電導(dǎo)）、獨(dú)立電流源和VCCS的電路。令電路的拓?fù)?/p>

結(jié)構(gòu)不考慮獨(dú)立電流源的支路，于是KCL成為：

Ai=j(1.35)

其中j代表節(jié)點(diǎn)電流源（列）向量。當(dāng)節(jié)點(diǎn)m6之間存在電流為4的獨(dú)立電流

源，電流方向由a到6時(shí)候：

j(6)=T(a)=4(1.36)

如果節(jié)點(diǎn)人沒有連接電流源，則“左）=0

電路的VCR方程為：

(1.37)

其中G的第4個(gè)對角線元素代表在左號支路上的電導(dǎo)值。G的非對角元素比如

G（〃,⑼代表受控支路為叭受控支路為"的壓控電流源的控制系數(shù)。（如果G

的某個(gè)元素既不受電導(dǎo)影響，又不受VCCS影響，那它就填0）

（1.37）兩邊同時(shí)左乘A得到:

15

AGu=Ai=j(1.38)

其中第二個(gè)等號來自于(1.35)。另外由KVL得到unA%,代入(1.38)得到：

AGArv=j(1.39)

☆Y=AGA"其中Y為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，于是我們得到下面的節(jié)點(diǎn)法方程：

Yv=j(1.40)

要注意的是通過分析可以發(fā)現(xiàn)獲得Y不必通過矩陣乘法Y=AGA"可以直接

根據(jù)元件的連接位置直接生成Y。即：

1)對于連接節(jié)點(diǎn)(a1)的電導(dǎo)g,我們有

Y(a,a)=Y(b,6)=—Y=-Y(/>,?)=g

2)對于控制支路連接節(jié)點(diǎn)(“/)(控制電壓〃=匕-匕)、受控支路連接節(jié)

點(diǎn)(c,d)(受控電流由。流向d)的壓控電流源的控制系數(shù).皿，我們有

(加僅,

Y(a,c)=Yd)=-Y(a,d)=-Yc)=gvccs

3)前面1)和2)是Y的某個(gè)元素受一個(gè)元件影響的情況。如果Y的某個(gè)

元素受兩個(gè)以上的元件影響，則該元素填入的內(nèi)容是所有元件施加的影

響的和。比如Y(2,3)受一個(gè)VCCS影響應(yīng)該根據(jù)2)填入g「但它還受

另一個(gè)VCCS影響需要根據(jù)2)填入-g?，那么Y(2,3)=g「g2

16

2修正節(jié)點(diǎn)法

節(jié)點(diǎn)法方程(1.40)的未知數(shù)為節(jié)點(diǎn)電壓，但當(dāng)電路含有獨(dú)立電壓源、受控電

壓源等元件時(shí)，直接生成(1.40)有困難，需要改進(jìn)。修正節(jié)點(diǎn)法在節(jié)點(diǎn)法方程的

基礎(chǔ)上加入額外的變量列出完整的電路方程。

2.1導(dǎo)納

對節(jié)點(diǎn)電流的影響:

y(匕「物)-/以廣好)

對矩陣方程的貢獻(xiàn):

2.2阻抗

17

對節(jié)點(diǎn)電流的影響:

ab

對節(jié)點(diǎn)電位的影響：

匕_%一刀；“=0

對矩陣方程的貢獻(xiàn)：

2.3VCCS

對節(jié)點(diǎn)電流的影響:

Cd

y(va-vh)-y(ya-vb)

對矩陣方程的貢獻(xiàn):

Vb

y-y

zZ_____

18

2.4CCCS

im%

b

對節(jié)點(diǎn)電流的影響：

abCd

im-im儀m-仇加

對節(jié)點(diǎn)電位的影響:

匕一匕=°

對矩陣方程的貢獻(xiàn):

2.5CCVS

對節(jié)點(diǎn)電流的影響:

abCd

Tmin-in

對節(jié)點(diǎn)電位的影響:

19

匕_匕_8）=0

匕一匕=0

對矩陣方程的貢獻(xiàn):

Cd

tn-in

對節(jié)點(diǎn)電位的影響：

匕一匕_〃（匕—以）=0

對矩陣方程的貢獻(xiàn)：

20

2.7獨(dú)立電壓源

對節(jié)點(diǎn)電流的影響:

對節(jié)點(diǎn)電位的影響:

匕一匕

對矩陣方程的貢獻(xiàn):

2.8獨(dú)立電流源

對節(jié)點(diǎn)電流的影響:

b

21

對矩陣方程的貢獻(xiàn):

b

2.9互感器

對節(jié)點(diǎn)電位的影響:

v-v=sLi+sMi

<abmmn

vv

e-d=sLni?+sMim

對矩陣方程的貢獻(xiàn)：

2.10理想變壓器

22

對節(jié)點(diǎn)電位的影響：

匕一％=K（匕一匕）

對矩陣方程的貢獻(xiàn)：

23

3線性方程求解

3.1解的存在性

考慮方程

Tx=b(3.1)

(3.1)可以等價(jià)地寫成：

丙=b(3.2)

其中t,是T的第［?歹U，七是x的第i行元素。(3.2)表明當(dāng)且僅當(dāng)b在t,的列向量

生成的線性空間時(shí)x有解

3.2解的唯一性

如果X有解，則X的解在所有t；相互線性獨(dú)立時(shí)候唯一

3.3高斯消元法

考慮方程(3.1)并假設(shè)T為4x4矩陣，即：

出?■

Mz(o)/(0)/(0)

“2.1”,2

T=(3.3)

MJ0)::片

"3,113,2線設(shè)

高斯消元法要求把矩陣T變成上三角陣，即:

-1***-

01**

U=,*(3.4)

001*

0001

把矩陣T變成上三角陣的具體步驟用矩陣形式描述就是在T左面依次乘

以矩陣耳，P2,P3和A,即：

1)P,T=T,

24

100

-既說）10

01

00

2)P2T,=T2

f((0)/?)f(0)

loo。)f

oft?e??"1,1"1,2，1,3ll,4

0

010。心理M0圖瑁M

0地/線100艱記M004,3&

1」［。小理理

0-七/世00045記

3)P3T2=13

-100°]e4??■小4??山

010°°短0鐫理

0010

00瑁00瑁熄

1]

00。0000以

4)AT3=T3

一1/針000W）檔5腰1秒說）科/公位/黑

01/噌000政01以/包包/包

001/瑁000瑁理001熄譚

0001/?.0000001

總結(jié)下來就是

1吧/檔檔就）

01理碎M/徵

AP3P2P.T==￡=U(3.5)

001燒/瑁

0001

其中U是上三角矩陣

下面考慮把P3P2Pl作用在原先的方程Tx=b上，我們得到:

(AP3P2P,T)x=(AP3P,P1)b(3.6)

或者等價(jià)的表示為:

25

Ux=6(3.7)

其中:

U=AP3PFT為上三角矩陣

$=(AP3PJjb是列向量

注意：U可以看成把A,Pi,P2,P3依次作用到T上得到的

6可以看成把A,P1,P"P3依次作用到向量b上得到的

3.4LU分解

前面看到高斯消去法就是把原來方程轉(zhuǎn)化為

(AP3P2P,)Tx=(AP3P2P,)b

它等價(jià)于：

1

(AP3P2P,f(AP,P.P.T)x=b(3.8)

可以證明(AP￡P(guān)j為下三角陣，而(AP3P2電)為上三角陣。把(AP3P2PJT記

作L,(AP3PzRT)記作U。把(3.8)和Tx=b比較我們可以看到：

T=LU(3.9)

并且得到：

LUx=b(3.10)

表達(dá)式(3.9)和(3.10)暗示x可以用下面的方法求解：

1)把Ux記作y,先求解方程

Ly=b(3.11)

獲得y(由于L的特殊結(jié)構(gòu)，這很容易)

2)求解方程

Ux=y(3.12)

獲得x(由于U的特殊結(jié)構(gòu)，這也很容易)

上述方法的一個(gè)問題關(guān)鍵是如何得到L,即：

26

1

L=(AP3P2P,)-

=P；IP；IP；'A-'(3.13)

=?

1

下面逐一分析Pj,P2,P2'和Ai得到L的表達(dá)式，即：

1000-1000'

翦)/公

100_100

4==>K

010例/檔010

_-?/<?001_?//??001

-1000'-1000'

01000100

0P；1_

p2=-理//I)。理儂

0’2,21010

/I)

.0翦/‘2.201_0短/強(qiáng)01

-1000'-1000'

01000100

二P；1_

匕=00100010

僧/，,⑵.0。瑕/I,(2)

00-3,313,31

000000

01碎000短00

A==>A-1=

001/以000瑁0

,(3)

0001/‘4.4000

于是可以得到:

27

L=PJPJP；AT

1000100000

包/婢100010010

鐘/鐘0100記/包1001

00100100短/以

鏢000

/(。)以00

4?記0

短

L可以在對T的高斯消元的同時(shí)得到,另外L和U矩陣可以放在同一個(gè)矩陣空

間，如下圖所示（左）。每個(gè)U和L的元素的計(jì)算次序也在下圖（右）給出:

(1)

(3)

(0)

(5)

(2)

(4)

(6)

計(jì)算方法總結(jié)為兩句話:

1)計(jì)算行向量：用簡單除法

例如標(biāo)注為黃顏色的行是通過原先的元素除以左邊一個(gè)元素得到

2)計(jì)算列向量：用乘法和減法

28

例如標(biāo)注為黃顏色的塊是通過原先的元素減去藍(lán)色列向量和綠色行向量

的乘積

2610-2

LU分解的例子14110

3811-6

-2-6-94

261010-2

1411110

3