第21講 重難點09全等三角形中“平行線中點”模型（教師版）-七升八數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）

重難點09全等三角形中“平行線中點”模型【知識梳理】【考點剖析】一．選擇題（共1小題）1．（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，點D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，連接DE并延長至F，使EF＝DE，連接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，則BD的長等于（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS證明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，從而解決問題．【解答】解：∵FC∥AB，∴∠DAE＝∠FCE，在△DAE與△FCE中，，∴△DAE≌△FCE（AAS），∴AD＝CF，∵CF＝3，∴AD＝CF＝3，又∵AB＝5，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，故選：B．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，證明△DAE≌△FCE是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共1小題）2．（2021秋?泌陽縣期末）如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一點，BE交AD于點F，若AB＝DE，則圖中陰影部分的面積為30．【分析】證明△BAF≌△EDF（AAS），則S△BAF＝S△EDF，利用割補法可得陰影部分面積．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠D，在△BAF和△EDF中，，∴△BAF≌△EDF（AAS），∴S△BAF＝S△EDF，∴圖中陰影部分面積＝S四邊形ACEF+S△BAF＝S△ACD＝?AC?AD＝×6×10＝30．故答案為：30．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形的面積計算方法，熟練掌握全等三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．三．解答題（共11小題）3．（2022秋?鹽都區(qū)月考）已知：如圖，BC∥EF，BC＝EF，AB＝DE．求證：（1）△ABC≌△DEF；（2）AC∥DF．【分析】由平行線的性質(zhì)得出∠ABC＝∠E．證明△ABC≌△DEF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠E．在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠FDE，∴AC∥DF．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及平行線的性質(zhì)．根據(jù)條件證明出△ABC≌△DEF是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?無錫期末）如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．點E是CD的中點，求AE的長．【分析】如圖，延長AE交BC于F，構(gòu)造全等三角形△AED≌△FEC（AAS），則對應(yīng)邊AE＝FE，AD＝FC．在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求得線段AF的長度．【解答】解：如圖，延長AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，又∵點E是CD的中點，∴DE＝CE．∵在△AED與△FEC中，，∴△AED≌△FEC（AAS），∴AE＝FE，AD＝FC．∵AD＝5，BC＝10．∴BF＝5在Rt△ABF中，，∴AE＝AF＝6.5．【點評】本題考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)．注意，本題輔助線的作法．5．（2021秋?上城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CA延長線上一點，且DE⊥BC交AB于點F．（1）求證：△ADF是等腰三角形；（2）若AC＝10，BE＝3，F(xiàn)為AB中點，求DF的長．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C，再利用等角的余角相等證明∠D＝∠AFD即可解答；（2）由（1）得△ADF是等腰三角形，想到等腰三角形的三線合一性質(zhì)，所以過點A作AG⊥DE，垂足為G，先在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的長，然后證明△AGF≌△BEF即可解答．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠D＝∠BFE，∵∠BFE＝∠AFD，∴∠D＝∠AFD，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形；（2）過點A作AG⊥DE，垂足為G，∵AB＝AC，AC＝10，∴AB＝10，∵F為AB中點，∴AF＝BF＝AB＝5，在Rt△BFE中，BE＝3，∴EF＝＝＝4，∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，∴△AFG≌△BFE（AAS），∴GF＝EF＝4，∵AD＝AF，AG⊥DF，∴DF＝2GF＝8．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022?珙縣校級模擬）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，AC＝FD，AC∥FD，∠A＝∠D．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10，F(xiàn)C＝4，求CE的長度．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出∠ACB＝∠DFE，根據(jù)ASA證明全等即可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC與△DEF中，．∴△ABC≌△DEF（ASA）；（2）由（1）△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝FC+CE，∴CE＝BF，∴BE＝FC+2CE，即10＝4+2CE，∴CE＝3．答：CE的長度為3．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?海淀區(qū)期末）如圖，已知線段AB與直線平行．（1）作∠CAB的角平分線AE交直線CD于點E（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，若AE的中點為F，連接BF并延長交直線CD于點G，請用等式表示線段AB，AC，CG之間的數(shù)量關(guān)系：CG+AC＝AB．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖作出角的平分線；（2）利用等腰三角形的判定和性質(zhì)先說明AC＝CE，再利用“ASA”說明△GFE≌△BFA，最后利用線段的和差及全等三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【解答】解：（1）AE就是∠CAB的角平分線；（2）∵AE是∠CAB的角平分線，∴∠CAE＝∠EAB．∵AB∥CD，∴∠CEA＝∠EAB．∴∠CAE＝∠CEA．∴AC＝CE．∵AE的中點為F，∴AF＝FE．在△GFE和△BFA中，，∴△GFE≌△BFA（ASA）．∴GE＝AB．∴CG+CE＝CG+AC＝AB．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022春?綏德縣期末）如圖，公園有一條“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F處各有一個小石凳，且BE＝CF，M為BC的中點，連接EM、MF，請問石凳M到石凳E、F的距離ME、MF是否相等？說出你推斷的理由．【分析】首先連接EM、MF，再證明△BEM≌△CFM可得ME＝MF．【解答】解：石凳M到石凳E、F的距離ME、MF相等．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∵M為BC中點，∴BM＝MC．在△BEM和△CFM中，，∴△BEM≌△CFM（SAS），∴ME＝MF．即石凳M到石凳E、F的距離ME、MF相等．【點評】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．9．（2021秋?濱湖區(qū)期末）已知：如圖，ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，垂足分別為D、C，AE∥BF，且AE＝BF．求證：（1）△ADE≌△BCF；（2）AC＝BD．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠ADE＝∠BCF＝90°根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠B，進而利用全等三角形的判定解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，∴∠ADE＝∠BCF＝90°，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，在△ADE與△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（AAS）；（2）∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC，∴AC＝BD．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是推出△AED≌△BFC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)邊相等．10．（2021秋?思明區(qū)校級期末）如圖，∠B＝∠E，BF＝EC，AB＝DE．求證：AC∥DF．【分析】證明△ABC≌△DEF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠ACB＝∠DFE，由平行線的判定可得出結(jié)論．【解答】證明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定．解題的關(guān)鍵是證明△ABC≌△DEF．11．（2021秋?云夢縣校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠GDF＝∠ADF．（1）求證：△ADE≌△BFE；（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由．【分析】（1）由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，得到一對角相等，再由一對對頂角相等及E為AB中點得到一對邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；（2）∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代換得到∠GDF＝∠BFE，利用等角對等邊得到GF＝GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，∵E為AB的中點，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：EG與DF的位置關(guān)系是EG垂直DF，理由為：連接EG，∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，∴∠GDF＝∠BFE，由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，即GE為DF上的中線，∴GE垂直DF．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．12．（2022秋?東港區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，點O為BD的中點，且OA⊥OC．（1）求證：CO平分∠ACD；（2）求證：AB+CD＝AC．【分析】（1）延長AO交CD的延長線于點E，可得△AOB≌△EOD，進而可得AC＝CE，由三線合一可得CO平分∠ACD，（2）由△AOB≌△EOD，可得AB＝DE，AB+CD＝CD+DE＝CE，由于AC＝CE，所以AB+CD＝AC【解答】解：（1）如圖，延長AO交CD的延長線于點E，∵O為BD的中點，∴BO＝DO，在△AOB與△EOD中，∴△AOB≌△EOD，（ASA）∴AO＝AE，又∵OA⊥OC，∴AC＝CE∴CO平分∠ACD；（三線合一）（2）由△AOB≌△EOD可得AB＝DE∴AB+CD＝CD+DE＝CE∵AC＝CE∴AB+CD＝AC【點評】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一等知識點，運用O是BD的中點，延長AO交CD的延長線于點E，可得△AOB≌△EOD，由全等轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系，熟練運用等腰三角形三線合一性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2021秋?臨高縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點M在BC邊上，且∠MDF＝∠ADF．（1）求證：△ADE≌△BFE．（2）求證：EM垂直平分DF．【分析】（1）根據(jù)AD∥BC，可得∠A＝∠EBF，∠ADE＝∠F，由E是AB的中點，可得AB＝BE，從而可以證明△ADE≌△BFE；（2）由△ADE≌△BFE，可得DE與EF相等，點E為DF的中點，再根據(jù)∠MDF＝∠ADF，AD∥BC，F(xiàn)M＝CM，可以得到M