154三角形全等的判定AAS（原卷版）

1.5.4三角形全等的判定AAS知識(shí)點(diǎn)管理知識(shí)點(diǎn)管理歸類探究夯實(shí)雙基，穩(wěn)中求進(jìn)歸類探究用AAS判定三角形全等概念兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）【注】：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.題型一：通過添加條件利用AAS，判定三角形全等【例1】（2020·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AO＝DO，請你補(bǔ)充一個(gè)條件,能直接利用AAS證全等，使得△AOB≌△DOC．你補(bǔ)充的條件是_____________________________．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法AAS.根據(jù)已知結(jié)合圖形，找到已經(jīng)有的條件，然后結(jié)合判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．特別注意題目要求利用AAS判定全等,需要的是兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等.變式訓(xùn)練【變式11】（2020·江蘇蘇州市·八年級期末）如圖，點(diǎn)B在AE上，∠CAB=∠DAB，要利用AAS使，可補(bǔ)充的一個(gè)條件是：______．【變式12】（2019·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級月考）如圖，∠BAC=∠DAC，若要以AAS證明△ABC≌△ADC，要補(bǔ)充的一個(gè)條件是_________【變式13】（2019·江蘇南京市·八年級期中）如圖，已知AB＝DC，∠A＝∠D，則補(bǔ)充條件_____可使△ACE≌△DBF（填寫你認(rèn)為合理的一個(gè)條件）．題型二：直接利用AAS證明三角形全等【例題2】（2021·全國八年級課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，交于點(diǎn)E．求證：．【點(diǎn)睛】AAS證明全等需要三個(gè)條件，在此類簡單的證明題中往往題目中給出兩個(gè)明顯的條件，第三個(gè)條件可能隱藏在公共邊、公共角、對頂角等；也可能第三個(gè)需要通過角度的和差或者線段的和差得到；此外還可能需要尋找題目中已知條件或者圖形中隱含條件通過等量代換達(dá)到證明全等的目的.變式訓(xùn)練【變式21】（2021·重慶彭水·八年級期末）如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，且，于，；求證：≌．【變式22】（2021·廣東大埔·七年級期末）如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．求證：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD．

【變式23】（2021·遼寧興城·八年級期末）如圖，，且，，是上兩點(diǎn)，，．求證：．AAS證明全等的應(yīng)用題型三：全等三角形性質(zhì)與AAS判定的綜合運(yùn)用【例題3】（2020·廣州市協(xié)和中學(xué)）已知，如圖：、、、在一條直線上，，，，求證：．變式訓(xùn)練【變式31】（2020·廣州市育才中學(xué)八年級期中）如圖，中，，，是過點(diǎn)的直線，于，于，，，求的長．【變式32】（2021·陜西碑林·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)）如圖，點(diǎn)A，E，B，D在同一條直線上，已知∠C＝∠F，∠ABC＝∠DEF，AE＝DB，試判斷AC與DF的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【變式33】（2021·陜西師大附中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求證：DB＝CD．題型四：AAS的實(shí)際應(yīng)用【例題4】（2020·駐馬店市第一高級中學(xué)分校七年級期中）如圖，小明和小華兩家位于A，B兩處，隔河相望．要測得兩家之間的距離，小明設(shè)計(jì)如下方案：從點(diǎn)B出發(fā)沿河岸畫一條射線BF，在BF上截取，過點(diǎn)D作，取點(diǎn)E使E，C，A在同一條直線上，則DE的長就是A，B之間的距離，說明他設(shè)計(jì)的道理．變式訓(xùn)練【變式41】（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年級期末）如圖，小強(qiáng)學(xué)習(xí)全等三角形后，用10塊高度都是5cm的相同長方體積木，搭了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離．題型五：三垂直模型與AAS的綜合運(yùn)用【例題5】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為D，E．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝cm．變式訓(xùn)練【變式51】（2019·福建期中）如圖1，將一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C置于直線l上，圖2是由圖1抽象出的幾何圖形，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為D、E．（1）△ACD與△CBE全等嗎？說明你的理由．（2）猜想線段AD、BE、DE之間的關(guān)系．（直接寫出答案）【變式52】（2019·河南月考）（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E．求證：△AEC≌△CDB．（2）如圖2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的結(jié)論，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S＝．鏈接中考鏈接中考【真題1】（2021·廣西百色·）如圖，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE、CD相交于點(diǎn)O，∠B＝∠C，BD＝CE．求證：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．【真題2】（2019·湖南益陽市·中考真題）已知，如圖，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求證：△ABC≌△EAD．【真題3】（2011·江蘇連云港·中考真題）兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點(diǎn)O為邊AC和DF的交點(diǎn)，不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？【真題4】（2017·江蘇常州·中考真題）如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求證：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù)．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（2020·黑龍江齊齊哈爾市·八年級期中）探究：（1）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠B＝28°，則∠ACD的度數(shù)是．拓展：（2）如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)A、B分別存CM、CN上，分別過點(diǎn)A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于點(diǎn)D、E，若AC＝CB，則AD、DE、BE三者間的數(shù)量關(guān)系為．應(yīng)用：（3）如圖③，點(diǎn)A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)D、E在射線CP上，連結(jié)AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．當(dāng)AC＝BC時(shí)，△≌△；此時(shí)如果CD＝2DE，且S△CBE＝6，則△ACE的面積是．【答案】（1）28°（2）DE＝AD﹣BE；理由見解析（3）ACD；C