14角平分線（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊(北師大版)

1.4角平分線一、單選題1．如圖，在中，，為的角平分線．若，則點到的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)題意作出點D到AC的距離ED，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可．【解析】解：如圖所示，過點D作于點E，則ED的長度為點到的距離．∵為的角平分線，，，，∴ED=BD=4．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到兩邊的距離是解題關(guān)鍵．2．點在的角平分線上，點到邊的距離等于，點是邊上的任意一點，則下列選項正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點P到OB的距離為5，再根據(jù)垂線段最短解答．【解析】∵點P在∠AOB的平分線上，點P到OA邊的距離等于5，∴點P到OB的距離為5，∵點Q是OB邊上的任意一點，∴PQ≥5．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，OC為∠AOB的平分線，CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，則點C到射線OA的距離為（）A．9 B．6 C．3 D．4.5【答案】C【分析】作CN⊥OA，利用面積求出CM，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得CN=CM，即可得答案．【解析】解：過點C作CN⊥OA，∵CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，∴S△COM=，∴，∵OC為∠AOB的平分線，CN⊥OA，CM⊥OB，∴CN=CM=3．故選C．【點睛】本題考查了三角形面積，角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點，到角兩邊的距離相等；熟練掌握角平分線的性質(zhì)和面積公式是解題關(guān)鍵．4．如圖，，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意先證明平分，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和求得度數(shù)，則結(jié)果可求．【解析】∵，∴平分，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查角平分線的判定，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，則AC長是()A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得AC邊上的高，再利用S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．【解析】解：作DF⊥AC于F，如圖：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴，∴AC=4．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．6．在中，，AD平分交BC于點D，，則AC長為（）．A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】過作，垂足為，利用角平分線的性質(zhì)證出，再利用全等的性質(zhì)和勾股定理建立等式運算求解即可．【解析】解：過作，垂足為∵為角平分線，，∴∵，∴∴在中，∴∴整理可得：∴解得：故選：【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟悉利用角平分線的性質(zhì)證三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．下列說法正確的有（）①角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等②到一個角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上③三角形三個角平分線的交點到三個頂點的距離相等④三角形三條角平分線的交點到三邊的距離相等A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理逐一判斷即得答案．【解析】解：角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等，故①正確；在一個角的內(nèi)部，到一個角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上，故②錯誤，三角形三個角平分線的交點到三邊的距離相等，故③錯誤，④正確；綜上，正確的說法是①④，有2個．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定定理，屬于基本題目，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵．8．如圖，AD平分，于點E，于點F，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用“HL”證明△AED≌△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，從而可以利用“SAS”證明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可.【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°∵AD=AD，∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合題意；∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，∵AG=AG，DG=DG∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合題意；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明△BDE≌△CDF，故D符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．9．如圖，在中，，，，點是三條角平分線的交點，若的面積是，則的邊上的高是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】過點O作OE⊥AC于點E，OF⊥BC于點F，由題意易得OE=1，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可求解．【解析】解：過點O作OE⊥AC于點E，OF⊥BC于點F，如圖所示：∵OC平分∠ACB，∴OE=OF，∵的面積是，AC=3，∴，∴OF=OE=1；故選A．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點O作OD⊥BC于D，下列三個結(jié)論：①∠AOB=90°+∠C；②當∠C=60°時，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，則S△ABC=ab．其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【答案】B【分析】由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和的可求解∠AOB與∠C的關(guān)系，進而判定①；在AB上取一點H，使BH＝BE，證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再證得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，進而判定②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積可證得③正確．【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°?∠OBA?∠OAB＝180°?∠CBA?∠CAB＝180°?（180°?∠C）＝90°＋∠C，①錯誤；∵∠C＝60°，∴∠BAC＋∠ABC＝120°，∵AE，BF分別是∠BAC與ABC的平分線，∴∠OAB＋∠OBA＝（∠BAC＋∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如圖，在AB上取一點H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°?60°?60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HAO和△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，∴點O在∠C的平分線上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB＋AC＋BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM＋×AC×OH＋×BC×OD＝（AB＋AC＋BC）?a＝ab，③正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，在中，，AD平分，，，則的面積是_______．【答案】5【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DC，然后根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解析】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，，∴DE=DC=2，∵，∴△ABD的面積．故答案為：5．【點睛】本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知，且，則點C在________的平分線上，點A在________的平分線上．【答案】【分析】連接AC，根據(jù)角平分線的判定定理以及直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)解答即可．【解析】解：連接AC，∵，，∴AC平分，∴點C在的平分線上，，∵，∴，∴，即AC平分，∴點A在的平分線上，故答案為：，．【點睛】此題考查角平分線的判定定理，直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)，熟記角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，是中的角平分線，于點，于點，，，，則長是_____．【答案】3【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．【解析】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，已知在中，CD是AB邊上的高線，BE平分，交CD于點E，，，則的面積等于___________．【答案】5【分析】過作于點，由角平分線的性質(zhì)可求得，則可求得的面積．【解析】解：過作于點，是邊上的高，平分，，，故答案為：5．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，平分交于點．（1）若，，則點到的距離是______；（2）若，點到的距離為6，則的長是______．【答案】315【分析】（1）過點D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=CD，即可求解；（2）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CD=DE，再求出BD，然后根據(jù)BC=BD+CD計算即可求解．【解析】解：（1）過點D作DE⊥AB于E，∵BC=8，BD=5，∴CD=BCBD=85=3，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD=3，即點D到AB的距離是3；（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=9，∴BC=BD+CD=9+6=15．故答案為3；15．【點睛】本題考查角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并作出輔助線．16．如圖，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分線BP、CP相交于點P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周長為14cm，S△BPC＝7.5，則△ABC的面積為______cm2．【答案】6【分析】過點P作PH⊥AM，PQ⊥AN,連接AP，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得PH=PE=PQ，再根據(jù)三角形的面積求出BC，然后求出AC+AB，再根據(jù)S△ABC=S△ACP+S△ABPS△BPC即可得解.【解析】解：如圖，過點P作PH⊥AM，PQ⊥AN，連接AP∵BP和CP為∠MBC和∠NCB角平分線∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S△BPC=×BC×PE=7.5∴BC=5∵S△ABC=S△ACP+S△ABPS△BPC=×AC×PQ+×AB×PH7.5=×3（AC+AB）7.5∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S△ABC=×3×97.5=6cm2【點睛】本題考查了角平分線上點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于S△ABC的面積的表示．17．如圖，△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，在以下結(jié)論中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正確結(jié)論的個數(shù)是_______.【答案】2【解析】∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴△ADE≌△ADF∴AE=AF，故正確結(jié)論的個數(shù)是2.18．如圖，中，，的角平分線與邊的垂直平分線相交于，交的延長線于點，于，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③平分；④；其中正確的結(jié)論的序號是__________．【答案】①②④【分析】①由角平分線的性質(zhì)可知①正確；②由題意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝AD，DF＝DF，從而可證明②正確；③若DM平分∠ADF，則∠EDM＝90°，從而得到∠ABC為直角三角形，條件不足，不能確定，故③錯誤；④連接BD、DC，然后證明△EBD≌△DFC，從而得到BE＝FC，從而可證明④．【解析】解：如圖所示：連接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED＝DF．∴①正確．②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝30°．∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴ED＝AD．同理：DF＝AD．∴DE＋DF＝AD．∴②正確．③由題意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．假設(shè)MD平分∠ADF，則∠ADM＝30°．則∠EDM＝90°，又∵∠E＝∠BMD＝90°，∴∠EBM＝90°．∴∠ABC＝90°．∵∠ABC是否等于90°不知道，∴不能判定MD平分∠ADF．故③錯誤．④∵DM是BC的垂直平分線，∴DB＝DC．在Rt△BED和Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD．∴BE＝FC．∴AB＋AC＝AE?BE＋AF＋FC又∵AE＝AF，BE＝FC，∴AB＋AC＝2AE．故④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．已知：如圖，，垂足分別為D，E，與相交于點O，平分．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可得，再證明，即可得到答案．【解析】證明：∵平分，∴，在和中，∴∴【點睛】本題考查角平分線性質(zhì)定理，三角形的性質(zhì)和判定，靈活應(yīng)用知識點結(jié)合圖形思考分析是解題重點．20．如圖，某市有兩個糧食市場C、D，附近有兩條交叉的公路．現(xiàn)計劃修建一座大型糧倉P，為了運輸方便，希望該糧倉到兩條公路的距離相等，且到兩個糧食市場C、D的距離也相等，請在圖中設(shè)計出該糧倉的位置．（尺規(guī)作圖，不寫作法，寫清結(jié)論．）【答案】答案見解析【分析】到OA和OB的距離相等，則點P在∠AOB的角平分線上；到點C、D的距離也相等，則點P還應(yīng)該在CD的中垂線上，那么P點就是∠AOB的角平分線和CD中垂線的交點．【解析】【點睛】本題考查角平分線和線段中垂線的實際應(yīng)用，理解它們的概念才能正確解題．21．如圖所示，已知，DM平分，AM平分．求證：M是BC的中點．【答案】見解析【解析】解析：首先過點M作，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，進而得到．答案：證明：如圖，過點M作，∵DM平分，，，∴，又∵AM平分，，∴，∴，∴M是BC的中點．題型解法：證明本題的關(guān)鍵在于對角平分線性質(zhì)的理解，以及作出正確的輔助線，從而根據(jù)角平分線的性質(zhì)解題．22．如圖，點P為和的平分線的交點．求證：點P在的平分線上．【答案】見解析【解析】解析：欲證點P在的平分線上，只需證明點P到AC與CN的距離相等即可，可以分別作出點P到BM，AC，CN的垂線，結(jié)合題意證明即可．答案：證明：如圖，過點P作于點E，于點F，于點G，∵點P為和的平分線的交點，∴，，∴，∴點P在的平分線上．23．如圖，一塊余料，，現(xiàn)進行如下操作：以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點G，H；再分別以點G，H為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部相交于點O，畫射線，交于點E．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）40゜【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)解答；（2）利用等邊對等角的性質(zhì)求解．【解析】解：（1）證明：∵，∴．由作圖可知，是的平分線，∴，∴；（2）∵∴．∴．【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的畫法及性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，熟記角平分線的畫法是解題的關(guān)鍵．24．如圖，中，是的角平分線，，求證：．【答案】證明見解析【分析】先利用等角的余角相等得到∠BCD=∠A，再利用角平分線定義得到∠ACE=∠DCE，接著利用三角形外角性質(zhì)得∠BEC=∠ACE

+∠A

=∠DCE

+∠BCD，即∠BEC

=∠BCE，于是可判斷BC=BE，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得EF=CF．【解析】CDAB，∠BDC=

90°，∠BCD+∠CBD=

90°，∠A

+∠CBD

=

90°，∠BCD=∠A，CE是∠ACD的角平分線，∠ACE=∠DCE，∠BEC=∠ACE

+∠A

=∠DCE

+∠BCD，∠BEC

=∠BCE，

BC

=

BE，，EF=

CF．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，涉及余角的定義，角平分線和三角形外角，有一定綜合性，難度一般，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25．如圖，AD是的角平分線，EF是AD的垂直平分線．求證：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】解析：（1）根據(jù)線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端的距離相等可得到，再根據(jù)三角形全等得到；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明，進而得到，再利用角平分線的性質(zhì)可得到，利用等量代換可得，再根據(jù)平行線的判定即可得到；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得到結(jié)論．答案：證明：（1）如圖，連接AE，設(shè)AD與EF相交于點Q，∵EF是AD的垂直平分線，∴，，在和中，∵∴（SSS），∴；（2）∵EF是AD的垂直平分線，∴，在和中，∵∴（SSS），∴，∵AD是的角平分線，∴，∴，∴；（3）由（1）知，，∴，又∵，∴，∵，∴．易錯：證明：（1）∵EF是AD的垂直平分線，∴，在和中，∴（SAS），∴．錯因：角不是夾角，隨意找三個條件證明全等．滿分備考：掌握線段的垂直平分線和角平分線的性質(zhì)與判定的應(yīng)用，可以快速解決有關(guān)線段相等，角相等或距離相等的問題．26．已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點（點E不與點A，點D重合），滿足．（1）如圖2，若，且，則________，_______．（2）求證：．（3）如圖3，若，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）36，126；（2）見解析；（3）【分析】（1），且，再結(jié)合三角形的外角定理即可求，，且，是的平分線，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）在上截取，連接，可證，故，，從而可得，所以進而可證得：（3）由，可得，，，又是的平分線，可得，故是的平分線，所以是的平分線，故，又，所以和的數(shù)量關(guān)系即可求解．【解析】（1）∵，且，∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，又∵是的平分線，∴∠BAD=∠CAD=18°，∵，∴∠ABE=36°，∴；故答案為：36，126（2）在上截取，連接，又∵AE=AE，，∴，∴，∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴，∴∴；（3）∵，∴，∵，，∠CAD=∠BAE，∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴點E到CA、CB的距離相等，又∵是的平分線，∴點E到AC、AB的距離相等，∴點E到BA、BC的距離相等，∴是的平分線，∴∠ABE=∠CBE，∴，又∵，∴，即．【點睛】本題考查了三角形外角