【極限思想在中學教學中的應用實踐探究（論文）111000字】

極限思想在中學教學中的應用實踐研究摘要極限思想，是指用極限概念、極限性質、極限公式、極限準則和極限運算方法、極限分析方法，然后進行認識問題、判斷問題、證明問題、分析和研究問題的數(shù)學思想。在各科教學中適當?shù)匾霕O限思想可以更好地發(fā)展學生的辯證思維，從而幫助學生認識相關的學科問題的本質，對于學生的綜合學習有深遠的意義。在本文中，先對極限思想的背景、意義進行了探究，在此基礎上給出極限思想的國內外研究現(xiàn)狀以及相關核心概念。主要內容有：緒論部分，概述了極限思想在教學中應用的背景以及研究的意義，并簡單總結概述了主要工作；之后，為了方便研究極限思想在教學中的意義和應用，先分析教學中應滲透極限思想的現(xiàn)狀，再列舉了教學中常涉及的問題并對這些問題進行解答，給出滲透極限思想的教育價值分析，最后結合教學經驗給出具體的滲透極限思想的教學案例。關鍵詞：極限思想，數(shù)學思想方法，教學模式，函數(shù)，應用目錄1 緒論 11.1 研究背景 11.2 研究的問題 21.3 研究意義 21.4 研究的思路與方法 32 文獻綜述 32.1 國內外研究現(xiàn)狀 32.2 核心概念的界定 32.3 極限思想 53 滲透極限思想 53.1 將極限思想融入到教育教學中 63.2 在例題講解中滲透極限思想 63.2.1 借助極限思想，求解橢圓切線方程 63.2.2 借助極限思想，探究定值 73.3 滲透極限思想的教育價值分析 84 案例分析：在高中數(shù)學教學中滲透極限思想 94.1 《專題學習：走近極限思想》教學案例 94.1.1 《專題學習：走近極限思想》教學設計 94.1.2 《專題學習：走近極限思想》案例分析 144.2 《無窮等比數(shù)列與極限思想》教學案例 144.2.1 《無窮等比數(shù)列與極限思想》教學設計 144.2.2 《無窮等比數(shù)列與極限思想》案例分析 16緒論研究背景極限思想可以稱作是是數(shù)學中很重要的數(shù)學思想，我國現(xiàn)在不斷加大對教育教學的改革力度，伴隨著這種現(xiàn)象的出現(xiàn)，我們更應該注重從中學教育開始抓起，要做到將數(shù)學的思想給學生們留下深刻的印象，讓學生們學會運用極限思想的思維方式以及內在規(guī)律，從而可以去幫助學生們理解問題以及解決問題，在這個過程中，同樣也可以激發(fā)出學生的濃厚的學習興趣，幫助他們提高綜合能力，使整體的教學質量可以得到有效的提升。數(shù)學思想是探索數(shù)學知識必備的基礎，也是深研數(shù)學學科的基本思想，是關于數(shù)學知識本質的認識，所以在最近幾年引來了廣泛的關注。由米山國藏寫的《數(shù)學的精神思想和方法》中表明：“極限思想是數(shù)學學科中非?；钴S的思想，使得數(shù)學成為了真正意義上的數(shù)學，在應用和純理論的方面上，逐步發(fā)展為精確而講究的科學，于數(shù)學而言，極限思想的重要性是不言而喻的，如果刪除極限思想的內容，那么數(shù)學學科也就沒剩下什么內容了。”表明在教學中要重視滲透思想方法，才能幫助學生學會如何學習，才能把數(shù)學知識更好地轉化成數(shù)學的思維能力REF_Ref31746\r\h[1]。在最近幾年，隨著課程教學的改革，教師們逐漸改善了傳統(tǒng)的教學理念，不僅重視知識的達標和技能的掌握，同時也關注思想形成、滲透的過程?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準》對高中數(shù)學課程的目標作了具體的表述：“學生應學會數(shù)學的基礎知識與技能，掌握相關的方法與思想，并體會在以后學習生活中的作用”?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準》將原有的培養(yǎng)目標從“雙基”擴充為“四基”，要求學生除了掌握基礎知識與技能，還要將其運用到基本活動之中，從而獲得活動經驗與基本思想。基本思想的掌握可以認為是探究知識的第一步，也是形成數(shù)學素養(yǎng)不可缺少的一步。關于“數(shù)學思想”，許多學者將其解釋為“將具體的知識遺忘之后留在腦海中的東西”。米山國藏曾說：“在我多年的教學經驗中，關于學生在初、高中階段學習的知識，在離校的一兩年內就忘掉了，但銘記在腦海之中的數(shù)學方法、研究方法，卻能時時刻刻的幫助他們”。表明在教學中，更應重視數(shù)學思想與方法的傳授，才能使學生掌握學習的技巧，主動汲取知識、構建新知，更好地將知識運用于實踐當中。極限是數(shù)學分析、微積分等課程中基礎且重要的概念，他在數(shù)量方面描述了變量變化的過程，在各科中都扮演著很重要的角色。在舊版教材中，并未給出精確的“定義”，主要是用“無限地趨近”、“逼近”等詞進行描述，在高中教材中，極限思想對許多內容發(fā)揮著重要的作用，與此同時，極限思想也被應用于高中的解題教學中，可以有效的化簡一些復雜的題目。研究的問題數(shù)學極限思想對各階段的學生而言是有一定的理解難度的，但是它也具有極大的啟蒙意義，它同時也是學生第一次接觸到曲邊圖形之后產生的數(shù)學思想，是串聯(lián)小學、初中、高中和大學的紐帶。在逐漸滲透極限思想的過程中，有助于學生們發(fā)展邏輯推理、抽象思維等能力，也有助于發(fā)展學生的數(shù)學思維。該極限思想在教學中多方面的應用，體現(xiàn)出數(shù)學極限思想在各科教學中的重要作用，學生能否真正體會到蘊含在知識點中的數(shù)學極限思想，會對他們的各科的學習具有重要影響。REF_Ref31854\r\h[2]根據以上所描述的背景以及教材中所涉及的與極限相關的知識點，結合教育教學，本文主要研究：第一，極限思想怎么蘊含在教材中？第二，在教學過程中如何有效滲透？研究意義極限思想，就是從有限中去感知無限，從量變的過程中去感知質變，從相似的過程中去感知準確的重要的數(shù)學思想，能夠做到在事物的變化的過程中，清楚的反應出量變與質變之間相互轉化的數(shù)量關系。極限的概念是十分抽象的，學生們能通過相關的學習內容，逐步感知什么是“有限、無限、逐漸逼近”，讓學生們學習并掌握相關的數(shù)學思想的方法，有助于幫助學生提升數(shù)學素養(yǎng)，在日常的學習中，注意向學生們滲透數(shù)學的思想，這對學生們的數(shù)學思想的整體水平、思維的優(yōu)化等一系列品質的提高也具有重要的意義，同時也能提升運用數(shù)學的知識來解決實際生活中的問題的能力，培養(yǎng)學生科學的價值觀念，感受數(shù)學的魅力，從而幫助學生打牢基礎，對各科的學習也會有很大的幫助。在各科教學中，要著重知識的傳授，更要注重發(fā)掘數(shù)學知識中所蘊含的多種思想方法，這種教學的方式能夠幫助教師提高自身的教學水平，從而能夠不斷地提高課堂質量。數(shù)學對每個人來講，都是非常重要的，數(shù)學伴隨著我們生活中的點點滴滴，而且數(shù)學學科是其它學科的基礎，科學中每一次偉大的進步都離不開數(shù)學。數(shù)學的極限思想分布在許許多多的知識點中，它可以分布在數(shù)學的概念中，比如函數(shù)可導、函數(shù)收斂等概念上，也可以分布在解決數(shù)學問題的過程中，比如求解加速度、瞬時速度、切線斜率等。在相關的數(shù)學知識中，蘊含極限思想的方式、表達形式、思維方式都是不同的，這種分散和多樣的特點，可以幫助學生更多方面更深層次的去學習極限思想。極限思想不是簡單的分散，而是更加綜合的體現(xiàn)在概念、理論和應用之中，在教學中，教師不僅要負責發(fā)掘只是當中的極限思想，更要多總結與歸納極限思想，將分散的極限思想更加系統(tǒng)地展現(xiàn)給學生，幫助學生更見深層次的理解與掌握極限思想，并能運用極限思想去解決實際問題。研究的思路與方法本文采用了文獻研究和案例分析的方法，兩者相結合，在與數(shù)學學科相關的教學理論和策略的基礎之上，與實踐、創(chuàng)新教育理念相結合，深研極限思想在教育教學中的滲透過程和滲透情況。（1）文獻研究的方法：閱讀大量文獻，搜尋與極限思想相關的概念、定理，只有理解透徹極限思想的相關概念，才能更好的去分析在中學教學中滲透極限思想的意義與價值。（2）案例分析的方法：積極查找與極限思想相關的教學案例，研究教學現(xiàn)狀，剖析現(xiàn)代教學過程中可能存在的教學問題，并做出相應的解決措施，從而可以借助更高效地融入極限思想來提高教學效率。文獻綜述國內外研究現(xiàn)狀郭文秀、謝慧杰等人主要研究關于極限思想如何發(fā)展的過程。我國關于極限的思想最早的論述是莊子的《天下篇》中的：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”[4]而對于極限思想最早的應用有祖沖之和劉徽的割圓術，其早期應用有窮竭法。在17世紀，在古人研究的成果基礎上，萊布尼茨和牛頓創(chuàng)建微積分學，極限初步的概念由此而生。該理論在無窮小量的分析法基礎之上形成，但存在許多不足與缺點，“第二數(shù)學危機”由此引發(fā)。之后在19世紀，柯西的《分析教程》該本書包含了極限思想完整的論述：“當變量所取的值趨于定值，最終可以達到變量的值與定值的差無限小時，該定值就是其極限值，當變量的絕對值可以無窮地減小并收斂到0時，稱該變量為無窮小變量?！边@就說明了無窮小變量是極限趨于0的變量REF_Ref31952\r\h[3]。到了19世紀，柯西和波爾查諾等一些數(shù)學家借助極限的概念創(chuàng)建了嚴密的有關數(shù)學分析的體系，經歷澄清函數(shù)、導數(shù)和連續(xù)這些概念，解決了在微積分學中的許多爭議，使數(shù)學分析達到完美。核心概念的界定數(shù)學極限的概念，不僅是數(shù)學教育教學中的極其重要的概念，還是學生們從高中數(shù)學到大學數(shù)學的銜接點。在數(shù)學的學習過程中，當學生們了解并學會引用極限的思想方法之后，學生們在結局問題方面的能力就會有質的提升。在學習的過程中，不只是數(shù)學問題當中會包含極限的內容和思想，各科學科中也都會滲透這種思維。這正是數(shù)學學科方面工具性的多元表現(xiàn)，在教學中多使用該工具，更能使學生體會到數(shù)學的樂趣，在極限思想的教育過程中，也可以鍛煉學生的解決問題的能力。在教育教學中，要注重培養(yǎng)學生的方法和思維，可以借助“靜止對運動、一般對特殊、精確對相似、無窮對有限”等對立統(tǒng)一的數(shù)學觀點，幫助學生樹立理性的觀點。方法是比較具體的，而思想就是相對抽象的，所以極限與方法也包含了對立與統(tǒng)一，方法具有目的性與客觀性的特征，思想則具有可塑性的特征，所以思想是方法的抽象和歸納，因此思想與方法也可以概括為一個整體。通過認識極限的概念，體會相關的背景，學生可以學到一系列的數(shù)學方法。可以用有限去研究無限、用數(shù)學極限方法來研究數(shù)列，這是研究數(shù)學函數(shù)的一種重要的方法，所以函數(shù)連續(xù)、數(shù)學極限、導數(shù)、單調性、極值與最值等與極限有關的一系列方法應時而生。當數(shù)學極限的方法被填入學生的認知時，學生的行為就會發(fā)生質的改變。學生會自覺地“通過極限法從有限認識無限，尋求無限與有限以及變量與常量的對立統(tǒng)一的關系”這種認識和方法會滲透到部分學科教學的重要知識點中。數(shù)列極限：設數(shù)列，若存在常數(shù)，當時，，我們就稱數(shù)列存在極限，表示成。數(shù)列極限的四則運算法則：如果，，那么；；；函數(shù)極限：自變量，當取值為正（負），且無限地增大（無限地減?。?，如果某個函數(shù)，無窮地收斂于一個常數(shù)，就稱當趨向于正無窮大（負無窮大），函數(shù)的極限值是，記作。自變量，趨近常數(shù)（不等于），若函數(shù)無窮地收斂于某個常數(shù)，就稱當趨近于時，函數(shù)的極限值就是，記作。函數(shù)的極限也可以用來定義導數(shù)，導數(shù)也可以被看作為函數(shù)的極限的特殊類型REF_Ref32141\r\h[4]。與數(shù)學極限有關的這些概念以及嚴格的定義，應讓學生牢牢掌握，極限思想是建立在對這些概念、定義深刻理解的基礎之上，是通過無限逼近的方式，從有限中去認識無限。極限思想極限思想，被人們稱作社會實踐中的一種產物，而這里面的源泉可以追溯到古貸。用數(shù)學的極限思想來解決問題，其步驟可以總結成：對于未知量，第一步，先構造與它相關的變量，再去驗證該變量經過無盡數(shù)個步驟之后的結果，就是我們所要求解的未知量；最后一步借助極限計算的方法來求解結果。在各科的學習過程中，極限思想可以給學生們提供一條意想不到的解題思路，會讓原本復雜的題目以相對簡易的方式求得正確答案。數(shù)學極限思想對各階段的學生而言是有一定的理解難度的，但是它也具有極大的啟蒙意義，它同時也是學生第一次接觸到曲邊圖形之后產生的數(shù)學思想，是串聯(lián)小學、初中、高中和大學的紐帶。在逐漸滲透極限思想的過程中，有助于學生們發(fā)展邏輯推理、抽象思維等能力，也有助于發(fā)展學生的數(shù)學思維。該極限思想在教學中多方面的應用，體現(xiàn)出數(shù)學極限思想在各科教學中的重要作用，學生能否真正體會到蘊含在知識點中的數(shù)學極限思想，會對他們的各科的學習具有重要影響。滲透極限思想滲透極限思想是通過借助極限的概念來分析與解決具體問題的一種過程，在數(shù)學分析的工作上奠定了堅實的基礎。在教育教學的過程中，極限思想可以鍛煉學生學會用無限的思維去解決有限的問題，可以更好地幫助學生探索無限的運動規(guī)律。極限思想對學生而言，可以認為是一種必備的思維能力，可以更好地促進學生掌握數(shù)學知識。所以，在教育教學的工作當中，教師應注意對極限思想的滲透工作。在日常的學習中，如果只是單純的向學生傳授解題方法，不僅枯燥無味，而且學生也無法做到運用自如，不管是對數(shù)學問題的解答，還是解決現(xiàn)實生活中的問題，皆是如此，這些格式化的方法，缺乏靈魂與生命，使學生難以掌握。數(shù)學是具有靈活的應用性的科目，學習數(shù)學更深層次的目的是在于，運用數(shù)學知識來解決實際生活當中的問題，在這個學習過程中，教師要主動向學生揭示數(shù)學背后的思想，幫助同學們總結出數(shù)學有關的方法，這些思想和方法，可以運用于生活實踐當中，提高學生獨自解決問題的能力，培養(yǎng)知識素養(yǎng)，也使這些沒有靈魂的方法充滿了生命力。將極限思想融入到教育教學中在如今高中的數(shù)學教材里并未詳細提到過極限思想，但許多知識中會涉及極限思想，在這種情況下，教師就需要認真鉆研教材，并總結出教材中所蘊含的思想方法，在日常的教育教學中，積極引導學生探索并學習這些方法，為了增加學習趣味，教師可以向學生講述極限思想是如何產生與發(fā)展的，使學生在腦海中留下更加深刻的印象，同時更順利地應用于實際生活中。為了培養(yǎng)學生優(yōu)良的學習習慣，樹立良好的認知，為以后的學習打下牢固的基礎，老師就要思考并解決如何才能順利的開展數(shù)學的教育教學工作，因為數(shù)學的學習是學生學習生涯的重要環(huán)節(jié)。在日常的教學中，教師要做到將極限思想融入到教育教學中去，從而去培養(yǎng)學生能夠主動運用有關極限思想的知識來解決問題的習慣。而對于計算出來的結果，老師可以引導學生借助代數(shù)方法來準確計算出結果，從而可以幫助學生更加深層次的認識與學習相關的數(shù)據。在例題講解中滲透極限思想在解決數(shù)學問題當中，極限方法是很重要的一種方法，學生通過靈活地運用此方法，可以輕易地解決很多問題，當我們嘗試去確定一個變量時，一般情況下，我們先找到它的相似值，此時的相似值，是越來越精確的相似值，然后通過判該相似值的傾向，最終得到變量的準確值，這就是極限思想的廣泛應用。極限所包含的思想方法，是在不斷地學習中所積累的，是從相似到準確，也是從量的變化到質的變化，更是在數(shù)學學習的過程中我們不斷需要掌握的知識，唯有細心的思考和探究，才能掌握其精髓，最終幫助我們提高能力。下面來介紹幾種需要借助極限思想來求解的典型例題：借助極限思想，求解橢圓切線方程給一個橢圓：，借助極限思想，求解過點的切線方程。解法(i)通過點橢圓，求解切線方程構造一個橢圓，以為中心，用方程表示即:再結合這個式子，讓兩個式子相減，可以得到即因為，所以有，是在點的切線，也是點橢圓、橢圓的公切線REF_Ref32239\r\h[5]。解法(ii)借助點差法、中點的弦直線方程設為橢圓的一條弦，的坐標為，的坐標為，為的中點，的坐標為，則由，兩個式子相減之后可以得出，即即因為可以得出所求的方程為：即化簡可得：借助極限的思想，當兩點、不斷地接近時，中點就能無限地接近給定的橢圓圖形，，此時中點弦的方程表達式為：。借助極限思想，探究定值給定某拋物線的方程表達式：，證明：在軸的正方向上一定存在某點，使拋物線上的任意一條弦（過點），均使是定值。分析：要想證明是一個定值，第一步就要作一條弦（過點、垂直軸）。假設，可以得出；第二步考查另一個情形：軸正半軸，過點，左邊的端點為原點，右邊的端點是無窮點（假想出來的點）?？梢钥闯?，因此：。又因為，可以得出，我們因此可以假設為定點，任意畫出一條弦（過點），都會有（是定值）。證明：設某直線的參數(shù)方程是（過點），將其參數(shù)方程代入原拋物線的方程中，可以得到：。設、為方程的兩個根，即。、的數(shù)值可以用、兩點的幾何意義來表示，可以得出：。所以，點就是我們所要求的點REF_Ref32363\r\h[6]。滲透極限思想的教育價值分析對于高中數(shù)學來講，極限思想具有重要作用，能夠幫助學生去突破數(shù)學表面的枷鎖，從而用無窮的眼光學習數(shù)學核心知識，掌握相關定義以及定理的內容，解決相關問題。在高考的大綱中，該部分也會有對應的要求，即使不是高考核心的考點，但是我們如果能夠牢牢掌握極限思想，能夠高效地處理許多復雜的問題，而且對于高等數(shù)學來說，極限思想是一個很重要的內容，因此提前熟悉并掌握其技巧，也能幫助學生更好地去學習高數(shù)內容REF_Ref32478\r\h[7]。在高中數(shù)學中不僅有極限思想，還有更多有關數(shù)學的思想方法，比如：轉化思想、類比思想等。這些有關數(shù)學的思想方法能夠提升學生解決問題的整體綜合能力，從而可以把學生培養(yǎng)為優(yōu)秀的人才。借助極限的思想，將問題置于極限的狀態(tài)，既能活躍思維，又能提高學生能力。所以，教師們要強化學生用極限的思想來解決問題的意識，并在這個過程中，可以讓學生體會到數(shù)學的樂趣。案例分析：在高中數(shù)學教學中滲透極限思想《專題學習：走近極限思想》教學案例在高中數(shù)學的教學過程中涉及了許多關于極限思想的知識點，這些知識點分布在高中課本的各個章節(jié)中。在教學過程中，涉及極限思想的內容往往容易被教師和學生忽略，如果教師能在該節(jié)課的教學過程中，將這些涉及極限思想的部分進行歸納梳理，那么會使學生在學習中對極限思想有更深層次的理解和認識。同時，學生在充分理解和掌握其中蘊含的規(guī)律和特征后，將能夠在習題和學習中對極限思想的應用更加熟練?；跇O限思想的原則、方法和規(guī)劃在高中數(shù)學的滲透，我們從滲透極限思想的視角對案例《專題學習：走近極限思想》進行分析。《專題學習：走近極限思想》教學設計知識課題：走近極限思想學情分析與常見問題:根據對學生學習情況的掌握，我們發(fā)現(xiàn)學生在直觀上對極限思想有一定的了解，由于缺乏對這部分知識內容系統(tǒng)的歸納與總結，使得學生對極限思想的理解存在一定的偏差和誤解。主要體現(xiàn)在：第一、對于部分知識點，大部分學生沒有意識到其中所包含的極限思想；第二、對極限思想的含義無法用確切的語言去描述；第三、由于缺少對極限思想涉及問題的解題技巧，導致學生在解題時缺乏應用極限思想的意識。教學目標：知識技巧：體會數(shù)學中所涉及的“無窮”、“無限”、“趨近”或“逼近”等相關概念及其性質、技巧中所包含的極限思想，學生能夠列舉出課本中包含極限思想的知識點并了解和掌握其中的內涵。理解且能概括出極限思想的含義。過程方法：探究極限思想衍生出的解題方法，結合相關的習題、例題，掌握和運用解題的基本步驟，正確利用極限思想去處理實際問題?；厩楦兴枷耄和ㄟ^介紹極限思想在數(shù)學史中的發(fā)展過程，帶領學生學習極限思想的發(fā)展史，感受其發(fā)展過程的曲折與坎坷，使學生樹立在學習中不怕挫折，敢于探索的精神態(tài)度。帶領學生理解感受極限思想里蘊含的辯證思想，使學生建立正確的世界觀和價值觀。教學重點：理解極限思想，擁有運用極限思想解決實際問題的思想和能力。教學難點：熟練掌握運用極限思想解決實際問題的方法。教學準備：教師：PPT、板書。學生：提前查閱相關資料、翻閱課本上有關極限思想的內容。教學環(huán)節(jié)教學活動學生互動環(huán)節(jié)目標1、新課引入1、師：同學們，相信大家已經在課前翻閱了與極限思想有關的資料，也對極限思想有了一定的了解，那么下面我們來一起觀看一段有關極限思想發(fā)展史的短視頻，大家在觀看視頻的過程中要多多思考，以便深入了解極限思想。（在播放過程中老師要多多講解，幫助學生更好地理解）2、師：觀看完視頻，相信大家對極限思想有了進一步的理解和認識，接下來，大家以小組為單位進行討論，并在結束時派一名代表進行發(fā)言。（在學生討論過程中，老師可以適當給予學生指導）3、師：討論結束，下面請各小組派出代表進行總結發(fā)言。生1：我們小組認為極限思想就是一個變換趨勢無限逼近于一個值。生2：我們小組認為極限思想類似于函數(shù)圖像里的漸進線，無限地靠近但不會相交REF_Ref32585\r\h[8]。師：好，看來大家對極限思想有了一定的了解。在我們的學習過程中其實有很多極限思想的應用，例如二分法求函數(shù)近似值，空間幾何中棱柱、棱臺、棱錐間的相互轉換，指數(shù)函數(shù)的圖像無限趨近于軸、求曲邊梯形面積等很多實例中都體現(xiàn)了極限思想?；貞浿R，觀看視頻，思考與討論，總結與發(fā)言幫助學生深入了解極限思想2、探索新知師：下面我們來看2個具體問題。第一題：若的最小值為3，則實數(shù)的值為（）.5或8.-1或5.-1或4.-4或8解析：這題我們有兩種解法，首先方法一：由于本題函數(shù)解析式中含有兩個絕對值符號，所以我們很容易就想到一種解法，即通過確定實數(shù)的取值范圍來把解析式中的絕對值消去，再進行分類討論：(1)當時，即時，則當時，，解得或（舍去）；(2)當時，即則當時，，解得（舍去）或；(3)當時，即，此時，不滿足題意。所以或，故選再看方法二：我們可以用極限思想中去特殊值的方法進行求解，分別取和，可以得到，以及，而且他們的最小值都為，于是可以排除所以答案選.通過對比我們可以發(fā)現(xiàn)在這道選擇題中，第一種常規(guī)步驟會非常麻煩，所以我們可以選擇直接將選項中的值帶入到題目中去進行驗證，這樣會方便很多。下面我們來看第二題，已知函數(shù),若存在唯一的零點，且，則的取值范圍為（）解析：由于本題涉及函數(shù)中的零點相關知識，因此我們可以對函數(shù)的解析式中的參數(shù)進行分類討論，并結合導數(shù)的相關性質進行解答。(1)當時，函數(shù)，此時函數(shù)有兩個零點且為一正一負；(2)當時，對求導可得，根據當對應的導數(shù)為正時函數(shù)單調遞減，而導數(shù)為負時函數(shù)單調遞減這一性質可得：在和這兩個區(qū)間函數(shù)單調遞增，而在這一區(qū)間函數(shù)單調遞減，此時顯然存在負零點；(3)當時，對求導可得，此時，在和時函數(shù)單調遞減，而時函數(shù)單調遞減，要使得函數(shù)有唯一的零點且為正，則需滿足，即，解得，則（舍去）或。故選。當然這道題我們還可以借助極限思想進行解答，需要借助圖像來進行思考：由，可以得到，并且，我們作出的圖像，如REF_Ref70608588\h圖41所示，轉動直線，顯然，當時不可能成立，那么，當時，當直線與左邊的曲線相切時，假設切點是，其中，則切線的方程為，又因為切線過原點，則有，解得（舍去），此時切線斜率為-2，根據圖像可以知道，符合題意REF_Ref32719\r\h[9]，故選.圖STYLEREF1\s4SEQ圖\*ARABIC\s11思考動手，反思回顧?？偨Y極限思想在平時練習時的作用。3、全課小結好了，本節(jié)課的內容到此結束，在本節(jié)課中，我們首先介紹了極限思想的發(fā)展史，相信大家已經對極限思想有了一個更加清楚的認識。然后我們結合了課本上有關極限思想的相關知識點，給大家講解了兩道習題，使大家對極限思想的應用能更加得心應手。那么關于極限思想的介紹就到此結束了，課下大家要不斷地去思考，讓自己能更加深刻的認識極限思想，并在以后的解題中能充分的運用。課下思考與總結鞏固對極限思想的認識和運用《專題學習：走近極限思想》案例分析在教學原則方面，該案例堅持以學生為主體，堅持參與原則、直觀原則和適度原則。充分引導學生參與知識的形成過程，教學中，帶領學生觀看極限思想發(fā)展史，讓學生充分了解和感受到科學家研究的曲折與不易，再讓學生分組討論，經過了觀察、思考、質疑后，讓學生成為課堂的主人。在講解例題的過程中，由老師帶領學生去理解、發(fā)現(xiàn)和探索極限思想在習題中的應用，更能讓學生體會到數(shù)學的奧妙，也會使學生在今后的解題過程中充分掌握運用極限思想。當然，極限思想對高中生的幫助是很大的，對教師授課也是如虎添翼。對于極限思想在高中階段的教學，僅僅靠一節(jié)專題學習課是遠遠不夠的，它更需要學生和老師在日常的學習和教學過程中反復不斷的練習和滲透，以此達到更好的教學效果?！稛o窮等比數(shù)列與極限思想》教學案例在解答高中數(shù)學的選擇題時，學生們必須掌握運用極限思想解題的技巧，在其本質上來講，可以看作特殊值方法的一種延伸，借助極限思想解決問題，不僅可以幫助學生認清問題的深層本質，還能使問題化繁為簡。極限的本質是在微積分科目中抽離出的概念，它描述的是在數(shù)量變化的過程中的狀態(tài)、趨勢，在無窮的等比數(shù)列方面，因此在等比數(shù)列的教學過程中，教師可以用來表示關于等比數(shù)列中的變化情況。對于無窮的等比數(shù)列方面的許多數(shù)學問題，教室可以借助極限分析的方法，更有效地解決這些問題?！稛o窮等比數(shù)列與極限思想》教學設計知識課題：無窮等比數(shù)列與極限思想學情分析與常見問題:高中生對有關極限思想的認識水平有了很大的提升，但是對于極限思想在日常習題中的運用還缺少經驗。主要體現(xiàn)在：第一、對于等比數(shù)列，大部分學生無法將極限思想與等比數(shù)列相聯(lián)系；第二、對等比數(shù)列問題的解決不熟練；教學目標：1、知識技巧：體會無窮等比數(shù)列中所涉及的“無窮”、“無限”、“趨近”或“逼近”等相關概念及其性質、技巧中所包含的極限思想。并學會利用極限思想解答相關題目。2、過程方法：探究極限思想衍生出的解題方法，結合相關的習題、例題，掌握和運用解題的基本步驟，正確利用極限思想去處理實際問題。3、基本思想：極限思想、解題技巧、無窮思想。教學重點：理解極限思想，并用其解決相關無窮數(shù)列問題。教學難點：熟練掌握運用極限思想解決數(shù)列問題的方法。教學準備：教師：PPT、板書、習題。學生：提前預習習題內容。教學環(huán)節(jié)教學活動學生互動環(huán)節(jié)目標1、復習引入師：同學們，上節(jié)課我們學習了等比數(shù)列的相關內容。我們一起來回顧一下等比數(shù)列前項和的求和公式，請同學們和我一起回憶。首先，等比數(shù)列的前項和求和公式是對無窮等比數(shù)列當時，那么，叫做這個無窮等比數(shù)列各項的和，記作，即與老師一起回顧復習上節(jié)課內容。溫習等比數(shù)列公式，以達到熟練掌握的目的2、探索新知師：好了，剛才我們復習了等比數(shù)列的公式，那么接下來我們對等比數(shù)列的性質進行更深入的探索。通過我們剛才復習的公式，可以把無限循環(huán)小數(shù)轉化為分數(shù)式REF_Ref36\r\h[10]。比如:，.這就是極限思想在等比數(shù)列上運用的一個方面。下面我們看一道例題：已知有一數(shù)列，設，而且數(shù)列是等比數(shù)列，解出關于數(shù)的值。分析：我們需要先設出公比的表達式為，然后求解出該表達式。下一步對表達式的兩端取其極限值，需要分步討論:①；②，整理之后可得出結果：或者。對于分類討論之后的過程，只需計算兩三步即可得出結果，既簡潔又易理解。如果解決該題時沒有借助極限的思想，其過程就會非常冗長復雜。思考反思，動手練習帶領學生了解極限與數(shù)列的相關性3、全課小結師：好了，這節(jié)課就上到這里，從這節(jié)課我中們可以看到，極限思想不僅僅是幫助簡化計算過程，還可以使同學們看出一些題的真正意圖，明白題目考的重點是什么。大家課下要反思總結一下這節(jié)課的內容，來復習鞏固一下極限與數(shù)列的相關性?？偨Y與回顧強化鞏固數(shù)列與極限思想的聯(lián)系《無窮等比數(shù)列與極限思想》案例分析通過本節(jié)課可以看出數(shù)學的思想對于解題時的重要性不言而喻，唯有掌握類似極限思想的一系列的數(shù)學思想，才能幫助學生更簡單更精確地解題，了解什么是真正意義上的數(shù)學核心，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。對于高中數(shù)