2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題11數(shù)列的極限練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題11數(shù)列的極限（典型題型歸類訓(xùn)練）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：概率統(tǒng)計中數(shù)列的極限 1題型二：分形中的極限問題 3題型三：數(shù)列中其他極限問題 5二、專題11數(shù)列的極限（典型題型歸類訓(xùn)練） 7一、典型題型題型一：概率統(tǒng)計中數(shù)列的極限1．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）隨著疫情時代的結(jié)束，越來越多的人意識到健康的重要性，更多的人走出家門，走進戶外.近期文旅消費加速回暖，景區(qū)人流不息?酒店預(yù)訂爆滿?市集紅紅火火，旅游從業(yè)者倍感振奮.某鄉(xiāng)村旅游區(qū)開發(fā)了一系列的娛樂健身項目，其中某種游戲?qū)官悾烤旨撰@勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人約定其中一人比另一人多贏兩局就停止比賽，每局比賽相互獨立.設(shè)比賽結(jié)束時比賽進行的局?jǐn)?shù)為.附：當(dāng)時，.求：(1)當(dāng)時，甲贏得比賽的概率；(2)的數(shù)學(xué)期望.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）投擲一枚硬幣（正反等可能），設(shè)投擲次不連續(xù)出現(xiàn)三次下面向上的概率為，(1)求和；(2)寫出的遞推公式，并指出單調(diào)性；(3)是否存在？有何統(tǒng)計意義．3．（2023·四川宜賓·模擬預(yù)測）現(xiàn)有甲、乙、丙三個人相互傳接球，第一次從甲開始傳球，甲隨機地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進行第二次傳球，隨機地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無失誤．(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為，通過三次傳球，求的分布列與期望；(2)設(shè)第次傳球后，甲接到球的概率為，（i）試證明數(shù)列為等比數(shù)列；（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個常數(shù)．4．（2002·上?！じ呖颊骖}）某公司全年的利潤為b元，其中一部分作為獎金發(fā)給n位職工，獎金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績（工作業(yè)績均不相同）從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金．(1)設(shè)為第k位職工所得獎金額，試求，并用和表示（不必證明）；(2)證明，并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實際意義；(3)發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為，對常數(shù)b，當(dāng)n變化時，求．題型二：分形中的極限問題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）圖中的樹形圖形為：第一層是一條與水平線垂直的線段，長度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與該線段成135°角的線段，長度為其一半；第三層按第二層的方法在每一線段的前端生成兩條線段．重復(fù)前面的作法作圖至第n層．設(shè)樹的第n層的最高點至水平線的距離為n層的樹形的高度．試求：

(1)第三層及第四層的樹形圖的高度(2)第n層的樹形圖的高度(3)若樹形圖的高度大于2，則稱樹形圖為“高大”否則則稱“矮小”．試判斷該樹形圖是“高大”還是“矮小”的？2．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）如圖，將一個邊長為的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間這一段，如此繼續(xù)下去得到的曲線稱為科克雪花曲線．將下面的圖形依次記作

(1)求的周長；(2)求所圍成的面積；(3)當(dāng)時，計算周長和面積的極限，說明科克雪花曲線所圍成的圖形是“邊長”無限增大而面積卻有極限的圖形．3．（23-24高二上·上海徐匯·期末）如圖，是邊長為的等邊三角形紙板，在的左下端剪去一個邊長為的等邊三角形得到，然后再剪去一個更小的等邊三角形（其邊長是前一個被剪去的等邊三角形邊長的一半），得到、、、、.(1)設(shè)第次被剪去等邊三角形面積為，求；(2)設(shè)的面積為，求.4．（23-24高二上·上海普陀·期中）如圖，是一塊直徑為2的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得到圖形，，…，，…，記紙板的面積和周長分別為、，求：（1）；（2）.題型三：數(shù)列中其他極限問題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）著名的斐波那契數(shù)列滿足，，證明.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）按照如下規(guī)則構(gòu)造數(shù)表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即從第二行起將上一行的數(shù)的每一項各項加1寫出，再各項加3寫出）23，54，6，6，85，7，7，9，7，9，9，11……若第行所有的項的和為．(1)求；(2)試求與的遞推關(guān)系，并據(jù)此求出數(shù)列的通項公式；(3)設(shè)，求和的值．3．已知數(shù)列，其中．記數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為．(1)求；(2)設(shè)（其中為的導(dǎo)函數(shù)），計算．4．（23-24高二上·上?！て谥校┮阎c在直線上，為直線l與y軸的交點，等差數(shù)列的公差為1（）．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，求的值；(3)若，且，求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式．5．已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，，，，其中為常數(shù)，為非零常數(shù)．(1)令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)當(dāng)時，求．二、專題11數(shù)列的極限（典型題型歸類訓(xùn)練）1．（23-24高二上·上海松江·期末）如圖所示，設(shè)正三角形邊長為是的中點三角形，為除去后剩下三個三角形內(nèi)切圓面積之和，求.2．（23-24高二上·上海徐匯）如圖，現(xiàn)將一張正方形紙片進行如下操作：第一步，將紙片以為頂點，任意向上翻折，折痕與交于點，然后復(fù)原，記；第二步，將紙片以為頂點向下翻折，使與重合，得到折痕，然后復(fù)原，記；第三步，將紙片以為頂點向上翻折，使與重合，得到折痕，然后復(fù)原，記；按此折法從第二步起重復(fù)以上步驟，得到，則.3．（22-23高二上·上?！て谥校┒x:對于任意數(shù)列,假如存在一個常數(shù)使得對任意的正整數(shù)都有,且,則稱為數(shù)列的“上漸近值”．已知數(shù)列有（為常數(shù),且）,它的前項和為,并且滿足,令,記數(shù)列的“上漸近值”為,則的值為．6．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）隨著疫情時代的結(jié)束，越來越多的人意識到健康的重要性，更多的人走出家門，走進戶外.近期文旅消費加速回暖，景區(qū)人流不息?酒店預(yù)訂爆滿?市集紅紅火火，旅游從業(yè)者倍感振奮.某鄉(xiāng)村旅游區(qū)開發(fā)了一系列的娛樂健身項目，其中某種游戲?qū)官悾烤旨撰@勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人約定其中一人比另一人多贏兩局就停止比賽，每局比賽相互獨立.設(shè)比賽結(jié)束時比賽進行的局?jǐn)?shù)為.附：當(dāng)時，.求：(1)當(dāng)時，甲贏得比賽的概率；(2)的數(shù)學(xué)期望.7．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）題圖是某神奇“黃金數(shù)學(xué)草”的生長圖．第1階段生長為豎直向上長為1米的枝干，第2階段在枝頭生長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成，第3階段又在每個枝頭各長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成，…，依次生長，直到永遠．(參數(shù)數(shù)據(jù)：，)(1)求第3階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；(2)求第13階段“黃金數(shù)學(xué)草”的所有枝干的長度之和；（精確到0.01米）(3)該“黃金數(shù)學(xué)草”最終能長多高？（精確到0.01米）8．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）如圖所示，有一列曲線．已知所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，是對進行如下操作：將的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（）．記為曲線所圍成圖形的面積．

（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求．專題11數(shù)列的極限（典型題型歸類訓(xùn)練）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：概率統(tǒng)計中數(shù)列的極限 1題型二：分形中的極限問題 5題型三：數(shù)列中其他極限問題 10二、專題11數(shù)列的極限（典型題型歸類訓(xùn)練） 15一、典型題型題型一：概率統(tǒng)計中數(shù)列的極限1．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）隨著疫情時代的結(jié)束，越來越多的人意識到健康的重要性，更多的人走出家門，走進戶外.近期文旅消費加速回暖，景區(qū)人流不息?酒店預(yù)訂爆滿?市集紅紅火火，旅游從業(yè)者倍感振奮.某鄉(xiāng)村旅游區(qū)開發(fā)了一系列的娛樂健身項目，其中某種游戲?qū)官?，每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人約定其中一人比另一人多贏兩局就停止比賽，每局比賽相互獨立.設(shè)比賽結(jié)束時比賽進行的局?jǐn)?shù)為.附：當(dāng)時，.求：(1)當(dāng)時，甲贏得比賽的概率；(2)的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)；【分析】（1）先計算比四局結(jié)束比賽的概率，再根據(jù)條件概率計算即可；（2）先根據(jù)題意得出，結(jié)合錯位相減法計算數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由題意可知：4局結(jié)束比賽時甲、乙勝負情況為3比1或1比3，若甲勝，則第三、四局必為甲勝，若乙勝，則第三、四局必為乙勝，所以比四局結(jié)束比賽的概率為：；其中甲贏得比賽的概率為，故所求概率.（2）根據(jù)題意可知比賽局?jǐn)?shù)為偶數(shù)，不妨設(shè)，當(dāng)時，，此時當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；…，.所以的期望所以，，兩式相減，得，因為當(dāng)時，，所以，則，即的數(shù)學(xué)期望是.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問解決的關(guān)鍵在于分析得比賽局?jǐn)?shù)對應(yīng)的概率的特征，進而利用錯位相減法計算期望，由此得解.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）投擲一枚硬幣（正反等可能），設(shè)投擲次不連續(xù)出現(xiàn)三次下面向上的概率為，(1)求和；(2)寫出的遞推公式，并指出單調(diào)性；(3)是否存在？有何統(tǒng)計意義．【答案】(1)，，(2)，單調(diào)遞減(3)存在，答案見解析【詳解】分析：觀察本題，易發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)的遞推關(guān)系，因此解題的方向即尋找與等項的關(guān)系，而自招考試遞推階數(shù)不限于一階，因此思路中需要包含可能出現(xiàn)二階甚至三階遞推的準(zhǔn)備．解：（1）易知，，而投擲四次時若出現(xiàn)連續(xù)三次反面向上，即前三次或后三次或四次都是，故．（2）當(dāng)?shù)诖尾粸榉疵嫦蛏蠒r，只需前次沒出現(xiàn)；當(dāng)?shù)诖问窍旅嫦蛏蠒r，若第次不是下面向上，只需前次沒出現(xiàn)，若次是下面向上，則次比須不是下面向上，只需前次沒出現(xiàn)．綜上，；概率顯然單調(diào)遞減．（3）存在為0，當(dāng)投擲的次數(shù)足夠多時，不出現(xiàn)連續(xù)三次正面向上的次數(shù)非常少，兩者比值趨近于0．3．（2023·四川宜賓·模擬預(yù)測）現(xiàn)有甲、乙、丙三個人相互傳接球，第一次從甲開始傳球，甲隨機地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進行第二次傳球，隨機地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無失誤．(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為，通過三次傳球，求的分布列與期望；(2)設(shè)第次傳球后，甲接到球的概率為，（i）試證明數(shù)列為等比數(shù)列；（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個常數(shù)．【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）證明見解析；（ii）答案見解析.【分析】(1)由題意知的取值為，求出X的每個值對應(yīng)的概率,即可求得分布列,根據(jù)期望公式求得期望;（2）（i）求得，根據(jù)時，第次傳給甲的事件是第次傳球后，球不在甲手上并且第次必傳給甲的事件，可得，由此變形得可證明結(jié)論；（ii）求出，當(dāng)時，,即可解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個常數(shù)．【詳解】（1）由題意知的取值為，；；；所以X的分布列為012所以；（2）（i）由題意：第一次傳球后，球落在乙或丙手中，則，時，第次傳給甲的事件是第次傳球后，球不在甲手上并且第次必傳給甲的事件，于是有，即，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列;（ii），所以，當(dāng)時，，所以當(dāng)傳球次數(shù)足夠多時，球落在甲手上的概率趨向于一個常數(shù).4．（2002·上?！じ呖颊骖}）某公司全年的利潤為b元，其中一部分作為獎金發(fā)給n位職工，獎金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績（工作業(yè)績均不相同）從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金．(1)設(shè)為第k位職工所得獎金額，試求，并用和表示（不必證明）；(2)證明，并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實際意義；(3)發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為，對常數(shù)b，當(dāng)n變化時，求．【答案】(1),；(2)證明見解析，實際意義：此分配方案體現(xiàn)了按照工作業(yè)績的按勞分配原則(3)【分析】（1）根據(jù)題意建立關(guān)系式即可，可以通過觀察式子的特征求得；（2）利用作差比較法可以證明，作差，化簡證明結(jié)果為正；（3）根據(jù)題意先求解出結(jié)合極限公式可得結(jié)果.【詳解】（1）；（2）因為，所以此分配方案體現(xiàn)了按照工作業(yè)績的按勞分配原則；（3）設(shè)表示發(fā)給第位職工后所剩余額，則，發(fā)展基金，故.題型二：分形中的極限問題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）圖中的樹形圖形為：第一層是一條與水平線垂直的線段，長度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與該線段成135°角的線段，長度為其一半；第三層按第二層的方法在每一線段的前端生成兩條線段．重復(fù)前面的作法作圖至第n層．設(shè)樹的第n層的最高點至水平線的距離為n層的樹形的高度．試求：

(1)第三層及第四層的樹形圖的高度(2)第n層的樹形圖的高度(3)若樹形圖的高度大于2，則稱樹形圖為“高大”否則則稱“矮小”．試判斷該樹形圖是“高大”還是“矮小”的？【答案】(1)(2)(3)矮小，理由見解析【分析】（1）設(shè)樹（從下而上）新生的各層高度所構(gòu)成的數(shù)列為，從而依次求出，從而得到第三層和第四層樹形圖的高度；（2），分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出答案；（3）分為奇數(shù)和為偶數(shù)，根據(jù)極限得到，得到結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)題中樹（從下而上）新生的各層高度所構(gòu)成的數(shù)列為，則，，，，所以第三層樹形圖的高度為；第四層樹形圖的高度；（2）易知，又，，所以第層新生的樹形圖的高度為，故當(dāng)時，；當(dāng)時，故第層的樹形圖的高度為；（3）當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，故當(dāng)．由定義知樹形圖為“矮小”的．2．（23-24高二上·上海·課后作業(yè)）如圖，將一個邊長為的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間這一段，如此繼續(xù)下去得到的曲線稱為科克雪花曲線．將下面的圖形依次記作

(1)求的周長；(2)求所圍成的面積；(3)當(dāng)時，計算周長和面積的極限，說明科克雪花曲線所圍成的圖形是“邊長”無限增大而面積卻有極限的圖形．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)圖形邊長和邊數(shù)的變化關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列通項公式可求得邊長和邊數(shù)的通項，由所求周長為可求得結(jié)果；（2）根據(jù)圖形關(guān)系可知，利用累加法可求得；（3）利用極限的思想可驗證極限值，從而證得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)第個圖形的邊長為，邊數(shù)為，的周長為

，自第個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；自第個圖形起，每一個圖形的邊數(shù)均為上一個圖形邊數(shù)的倍，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，即的周長為.（2）記所圍成的面積為，則，當(dāng)且時，，，經(jīng)檢驗：滿足，.（3），，科克雪花曲線所圍成的圖形是“邊長”無限增大而面積卻有極限的圖形.3．（23-24高二上·上海徐匯·期末）如圖，是邊長為的等邊三角形紙板，在的左下端剪去一個邊長為的等邊三角形得到，然后再剪去一個更小的等邊三角形（其邊長是前一個被剪去的等邊三角形邊長的一半），得到、、、、.(1)設(shè)第次被剪去等邊三角形面積為，求；(2)設(shè)的面積為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)首項和公比進而可得結(jié)果；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出的面積，根據(jù)等比數(shù)列前項和公式從而推導(dǎo)出即可求出答案【詳解】（1）解：由題意可得，設(shè)第次被剪去等邊三角形的邊長為，則，則，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）解：由已知得的面積，所以的面積為，所以.4．（23-24高二上·上海普陀·期中）如圖，是一塊直徑為2的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得到圖形，，…，，…，記紙板的面積和周長分別為、，求：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】由題意知紙板每剪掉半圓，面積依次減少，周長依次增加，而、，應(yīng)用等比數(shù)列求和公式可得到、，再利用極限思想即可求、.【詳解】由題意：，令各次剪掉的半圓面積為，∴，，令各次剪掉半圓周長變化為，∴，（1），（2）.【點睛】結(jié)論點睛：1、.2、，m為常數(shù).3、當(dāng)時，；當(dāng)時，；題型三：數(shù)列中其他極限問題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）著名的斐波那契數(shù)列滿足，，證明.【答案】證明見解析【詳解】證明：令，則，此時，，由定理10，得.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）按照如下規(guī)則構(gòu)造數(shù)表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即從第二行起將上一行的數(shù)的每一項各項加1寫出，再各項加3寫出）23，54，6，6，85，7，7，9，7，9，9，11……若第行所有的項的和為．(1)求；(2)試求與的遞推關(guān)系，并據(jù)此求出數(shù)列的通項公式；(3)設(shè)，求和的值．【答案】(1)(2)；(3)；【分析】（1）根據(jù)已給數(shù)據(jù)可計算，寫出第5行后可計算；（2）根據(jù)數(shù)表的形成過程，可得遞推關(guān)系：，化簡后，構(gòu)造新數(shù)列是等差數(shù)列，通項公式可求；（3）計算，并裂項得，即用裂項相消法求得和，然后可求得極限．【詳解】（1）由題意，，第行數(shù)據(jù)是6，8，8，10，8，10，10，12，8，10，10，12，10，12，12，14．∴．（2）由題意，第行共有項，于是有等式兩邊同除，得，即為等差數(shù)列，公差為，首項為∴，即．（3）∵∴∴，．3．已知數(shù)列，其中．記數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為．(1)求；(2)設(shè)（其中為的導(dǎo)函數(shù)），計算．【答案】(1)；(2)當(dāng)時，，當(dāng)時，.【分析】(1)由條件求出數(shù)列的通項公式和前項和，由此可得，再求數(shù)列的前n項和為；(2)由(1)求，結(jié)合導(dǎo)數(shù)公式求，再求，根據(jù)極限運算法則及性質(zhì)求.【詳解】（1）因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，，所以，所以，所以，故，所以（2）由(1)，所以，，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.4．（23-24高二上·上?！て谥校┮阎c在直線上，為直線l與y軸的交點，等差數(shù)列的公差為1（）．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，求的值；(3)若，且，求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式．【答案】(1)，(2)(3)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)題意可得出數(shù)列的首項和公差，即可求出通項公式；（2）可得，利用裂項相消法即可求出；（3）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明，再求出通項公式即可.【詳解】（1）∵點在直線上，為直線l與y軸的交點，，，∵等差數(shù)列的公差為1（），，.（2）由（1）可得，，，，，.（3）證明：時，，，∴數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為2，，∴．5．已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，，，，其中為常數(shù)，為非零常數(shù)．(1)令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)當(dāng)時，求．【答案】(1)證明見解析.(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，.(3)【分析】（1）由數(shù)學(xué)歸納法可得，再根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可；（2）先求出等比數(shù)列的通項公式，再利用等比數(shù)列前項和和累加法求解即可；（3）利用時，直接求解即可.【詳解】（1）由得，所以，假設(shè)當(dāng)時成立，則當(dāng)時仍成立，所以，由題設(shè)條件可得當(dāng)時，，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，，所以當(dāng)時，，即，，當(dāng)時，上式仍成立，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，，當(dāng)時，上式仍成立，故當(dāng)時，.（3）因為當(dāng)時，，所以.二、專題11數(shù)列的極限（典型題型歸類訓(xùn)練）1．（23-24高二上·上海松江·期末）如圖所示，設(shè)正三角形邊長為是的中點三角形，為除去后剩下三個三角形內(nèi)切圓面積之和，求.【答案】．【分析】第一個中點三角形的邊長為，對應(yīng)的內(nèi)切圓半徑，從而求得，再根據(jù)相似的性質(zhì)可得，依次類推，從而根據(jù)無窮小數(shù)列即可求解.【詳解】記第一個中點三角形為正三角形△，則△邊長為，內(nèi)切圓半徑為，所以，因為△與△相似，并且相似比是，則面積的比是，所以，因為正△與正△的面積的比也是，所以，……所以．故答案為：.2．（23-24高二上·上海徐匯）如圖，現(xiàn)將一張正方形紙片進行如下操作：第一步，將紙片以為頂點，任意向上翻折，折痕與交于點，然后復(fù)原，記；第二步，將紙片以為頂點向下翻折，使與重合，得到折痕，然后復(fù)原，記；第三步，將紙片以為頂點向上翻折，使與重合，得到折痕，然后復(fù)原，記；按此折法從第二步起重復(fù)以上步驟，得到，則.【答案】【分析】先分析出遞推式，再求出的通項，最后算出極限即可.【詳解】由第二步得；由第三步得，依此類推，所以，①若，則，此時；②若，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即.所以.綜上，.故答案為：3．（22-23高二上·上海·期中）定義:對于任意數(shù)列,假如存在一個常數(shù)使得對任意的正整數(shù)都有,且,則稱為數(shù)列的“上漸近值”．已知數(shù)列有（為常數(shù),且）,它的前項和為,并且滿足,令,記數(shù)列的“上漸近值”為,則的值為．【答案】/-0.5【分析】先根據(jù)求解數(shù)列的通項公式,得出等差數(shù)列后,利用等差數(shù)列求和方法求出,代入得出的表達式,最后即可得出上漸近值．【詳解】解:當(dāng)時,,當(dāng)時,,得到,根據(jù)累乘法:;滿足n=1情況，故而數(shù)列是首項為0,公差為的等差數(shù)列,,,,,,.故答案為:4．（23-24高一下·上海浦東新）如圖，在邊長為1的正三角形ABC中，，，，可得正三角形，以此類推可得正三角形、…、正三角形，記，則．【答案】【分析】先判斷出構(gòu)成一個首項為，公比為的等比數(shù)列，再求和，求極限.【詳解】因為正三角形ABC的邊長為1，所以.在邊長為1的正三角形ABC中，，，，所以，由余弦定理得：同理可求：.所以，相似比為,所以.同理可求：,……，.所以構(gòu)成一個首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：.5．（23-24高二上·上海虹口）我們用表示內(nèi)接內(nèi)接于單位圓的正邊形的邊長，那么對于正邊形的邊長可通過圖得到如下關(guān)系式.例如：當(dāng)時，，，，，根據(jù)如上敘述以及極限的意義，計算.【答案】【分析】分析得出為正邊形的邊長，利用極限的定義以及圓的周長的意義可求得結(jié)果.【詳解】，，，，可得，即為正邊形的邊長，由極限的定義可知，為正邊形的周長，當(dāng)時，正邊形與圓重合，正邊形的周長為圓的周長，即，因此，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列極限的計算，分析出為正邊形的周長，并結(jié)合極限的意義求解是解本題的關(guān)鍵，同時在解本題時，要注意到當(dāng)時，正邊形與圓重合這一性質(zhì)來求解.6．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）隨著疫情時代的結(jié)束，越來越多的人意識到健康的重要性，更多的人走出家門，走進戶外.近期文旅消費加速回暖，景區(qū)人流不息?酒店預(yù)訂爆滿?市集紅紅火火，旅游從業(yè)者倍感振奮.