《§2 排序不等式》學(xué)歷案

《§2排序不等式》學(xué)歷案姓名：學(xué)生姓名班級(jí)：具體班級(jí)學(xué)號(hào)：學(xué)生學(xué)號(hào)一、主題與課時(shí)北師大版高中選修45第二章“幾個(gè)重要的不等式”中的§2排序不等式，預(yù)計(jì)2課時(shí)。二、課標(biāo)要求1、理解排序不等式的基本概念和原理。2、能夠運(yùn)用排序不等式解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)推理和運(yùn)算能力。3、在探究排序不等式的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，培養(yǎng)邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。三、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、我能說(shuō)出排序不等式的內(nèi)容，就像能說(shuō)出自己喜歡的明星的名字一樣熟練。2、我可以識(shí)別在不同的數(shù)集和問(wèn)題情境中，什么時(shí)候可以使用排序不等式，就像能在一堆鑰匙里找到開(kāi)門的那把一樣準(zhǔn)確。3、我能夠運(yùn)用排序不等式來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的不等式證明和求最值問(wèn)題，就像能輕松解開(kāi)一個(gè)小謎題一樣。4、我要學(xué)會(huì)通過(guò)對(duì)排序不等式的探究，培養(yǎng)自己的邏輯思維能力，就像鍛煉自己的小腦袋瓜變得更聰明一樣。四、評(píng)價(jià)任務(wù)1、通過(guò)完成課堂上的問(wèn)答和小組討論，檢測(cè)我是否能達(dá)到目標(biāo)1。2、做一些專門設(shè)計(jì)的練習(xí)題，如果我能準(zhǔn)確判斷出是否使用排序不等式，就說(shuō)明我達(dá)到了目標(biāo)2。3、解決一些有難度梯度的不等式證明和求最值的題目，如果大部分都能做對(duì)，那我就達(dá)到了目標(biāo)3。4、在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，觀察我邏輯思維能力有沒(méi)有提高，比如看我解題的思路是不是更清晰有條理了，這就能檢測(cè)我是否達(dá)到目標(biāo)4。五、學(xué)習(xí)過(guò)程（一）情境導(dǎo)入咱們來(lái)想象一個(gè)有趣的場(chǎng)景。學(xué)校要舉辦一場(chǎng)趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，有三個(gè)班級(jí)A、B、C，每個(gè)班級(jí)都有三名同學(xué)參加跳繩比賽。這三名同學(xué)的跳繩水平不一樣，咱們用數(shù)字來(lái)表示他們每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)。A班的三名同學(xué)跳繩個(gè)數(shù)分別是100、80、60；B班的是90、70、50；C班的是85、75、65?，F(xiàn)在要進(jìn)行團(tuán)體比賽，怎么安排比賽順序能讓每個(gè)班的總成績(jī)最好呢？這其實(shí)就和我們今天要學(xué)的排序不等式有點(diǎn)關(guān)系哦。（二）任務(wù)一：排序不等式是什么1、先來(lái)看一些簡(jiǎn)單的數(shù)字排列。假設(shè)有兩個(gè)數(shù)組：＄a＝＼｛1,2,3\｝＄和$b=＼｛3,2,1\｝＄。我們來(lái)計(jì)算一下$a_1b_1＋a_2b_2+a_3b_3$和$a_1b_3＋a_2b_2+a_3b_1$的值。先算$a_1b_1＋a_2b_2+a_3b_3$，就是$1\times3+2\times2＋3\times1$＄＝3＋4+3$＄＝10$。再算$a_1b_3＋a_2b_2+a_3b_1$，也就是$1\times1+2\times2+3\times3$＄＝1＋4＋9$＄＝14$。我們發(fā)現(xiàn)不同的順序相乘再相加，結(jié)果是不一樣的。2、那我們來(lái)正式學(xué)習(xí)排序不等式的定義。設(shè)$a_1\leqslanta_2\leqslant\cdots\leqslanta_n$，＄b_1\leqslantb_2\leqslant\cdots\leqslantb_n$為兩組實(shí)數(shù)，＄c_1,c_2,＼cdots,c_n$是$b_1,b_2,＼cdots,b_n$的任一排列，那么就有$a_1b_n＋a_2b_{n1}＋＼cdots+a_nb_1\leqslanta_1c_1＋a_2c_2+＼cdots+a_nc_n\leqslanta_1b_1＋a_2b_2+＼cdots+a_nb_n$。這就像是給一群小伙伴排隊(duì)，不同的排隊(duì)順序會(huì)有不同的“效果”。3、大家一起討論一下，這個(gè)定義里每個(gè)部分都代表什么意思呢？就像我們剛剛討論趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽順序一樣，這里的數(shù)組就像是不同班級(jí)的同學(xué)，排列就像是不同的比賽順序安排。（三）任務(wù)二：什么時(shí)候用排序不等式1、我們?cè)賮?lái)看一些例子。比如說(shuō)，已知$x,y,z\inR^＋＄，且$x＋y+z＝1$，求證：＄＼frac{1}｛x}＋＼frac{1}｛y}＋＼frac{1}｛z}＼geqslant9$。我們可以設(shè)$a=＼｛x,y,z\｝＄，＄b=＼｛＼frac{1}｛x}，＼frac{1}｛y}，＼frac{1}｛z}＼｝＄。按照排序不等式的規(guī)則，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)$x＝y(tǒng)＝z=＼frac{1}｛3}＄時(shí)，能得到最小值。再看一個(gè)例子，已知$a,b,c\inR^＋＄，求證：＄a^3＋b^3＋c^3\geqslanta^2b＋b^2c＋c^2a$。這里我們?cè)O(shè)$a_1＝a,a_2＝b,a_3＝c$，＄b_1＝a^2,b_2＝b^2,b_3＝c^2$。然后根據(jù)排序不等式的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行證明。2、小組討論：在這些例子里，怎么發(fā)現(xiàn)可以用排序不等式的呢？就像在一堆數(shù)學(xué)問(wèn)題里，怎么找到那些適合用排序不等式這個(gè)“工具”的問(wèn)題呢？大家可以分享一下自己的想法，就像分享自己的小秘密一樣。（四）任務(wù)三：用排序不等式解決問(wèn)題1、基礎(chǔ)練習(xí)已知$a,b,c\inR^＋＄，且$a＋b＋c＝1$，利用排序不等式證明：＄a^2＋b^2＋c^2\geqslant\frac{1}｛3}＄。首先我們?cè)O(shè)$a_1＝a,a_2＝b,a_3＝c$，＄b_1＝a,b_2＝b,b_3＝c$。然后按照排序不等式的公式進(jìn)行計(jì)算和推導(dǎo)。2、提升練習(xí)設(shè)$a,b,c\inR^＋＄，求$y=＼frac{a}｛b＋c}＋＼frac｛a＋c}＋＼frac{c}｛a＋b}＄的最小值。這時(shí)候我們要巧妙地設(shè)數(shù)組，然后運(yùn)用排序不等式進(jìn)行求解。大家先自己嘗試做一下，就像獨(dú)自挑戰(zhàn)一個(gè)小怪獸一樣，如果遇到困難可以和小組同學(xué)一起討論，就像組成一個(gè)小戰(zhàn)隊(duì)共同戰(zhàn)斗。（五）拓展學(xué)習(xí)1、我們可以自己找一些更復(fù)雜的不等式問(wèn)題，看看能不能用排序不等式來(lái)解決。2、研究一下排序不等式在其他學(xué)科或者實(shí)際生活中的應(yīng)用，比如在物理中的能量分配問(wèn)題，或者在資源分配中的應(yīng)用。這就像探索一個(gè)神秘的寶藏，看看排序不等式這個(gè)“寶藏工具”還能在哪些地方發(fā)光發(fā)熱。六、作業(yè)與檢測(cè)（一）基礎(chǔ)作業(yè)1、已知$a,b,c\inR^＋＄，且$a\geqslantb\geqslantc$，求證：＄＼frac{a^5}｛b^3c^3}＋＼frac{b^5}｛a^3c^3}＋＼frac{c^5}｛a^3b^3}＼geqslant\frac{1}｛a}＋＼frac{1}｛b}＋＼frac{1}｛c}＄。2、設(shè)$a,b,c\inR^＋＄，＄a＋b＋c＝1$，利用排序不等式證明：＄ab＋bc＋ca\leqslant\frac{1}｛3}＄。（二）拓展作業(yè)1、探究排序不等式在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的資源優(yōu)化配置模型中的應(yīng)用，寫(xiě)一篇小短文介紹自己的發(fā)現(xiàn)。2、自己構(gòu)造一個(gè)可以用排序不等式解決的不等式問(wèn)題，然后詳細(xì)寫(xiě)出解題過(guò)程。（三）檢測(cè)1、進(jìn)行一次小測(cè)驗(yàn)，包括選擇題、填空題和證明題。選擇題：下面哪個(gè)問(wèn)題不適合直接用排序不等式解決（）A.已知$x,y,z\inR^＋＄，且$x＋y＋z＝1$，求$＼frac{1}｛x}＋＼frac{1}｛y}＋＼frac{1}｛z}＄的最小值。B.已知$a,b,c\inR^＋＄，求$a^2＋b^2＋c^2$的最大值，沒(méi)有其他條件限制。C.已知$a,b,c\inR^＋＄，且$a＋b＋c＝1$，求證：＄a^3＋b^3＋c^3\geqslanta^2b＋b^2c＋c^2a$。填空題：已知$a,b,c\inR^＋＄，且$a\geqslantb\geqslantc$，設(shè)$a_1＝a,a_2＝b,a_3＝c$，＄b_1＝a^2,b_2＝b^2,b_3＝c^2$，根據(jù)排序不等式，＄a_1b_3＋a_2b_2+a_3b_1$＿_(dá)____$a_1b_1＋a_2b_2+a_3b_3$（填“＄＼leqslant$”或“＄＼geqslant$”）。證明題：已知$a,b,c\inR^＋＄，且$a＋b＋c＝1$，利用排序不等式證明：＄＼frac{a}｛1a}＋＼frac｛1b}＋＼frac{c}｛1c}＼geqslant\frac{3}｛2}＄。七、課后反思1、在學(xué)習(xí)排序不等式的