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《3有理數(shù)的乘除運(yùn)算》知識(shí)清單一、有理數(shù)乘法的基礎(chǔ)1、有理數(shù)乘法的意義就像我們分糖果一樣,如果有3個(gè)小朋友,每個(gè)小朋友分2顆糖,那總共分出去的糖果數(shù)就是3乘以2等于6顆。在數(shù)學(xué)里,乘法就是表示幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。對(duì)于有理數(shù)乘法也是一樣的道理。比如說(shuō),有2個(gè)3相加,我們就可以寫成2乘以3。真實(shí)體驗(yàn):我去超市買蘋果,蘋果每個(gè)3元,我買了5個(gè),那就是3×5=15元。如果蘋果的價(jià)格是3元(假設(shè)是商家給的折扣,相當(dāng)于我每買一個(gè)蘋果商家倒給我3元),我買了5個(gè),那就是5×(-3)=15元,這意味著商家要給我15元。2、有理數(shù)乘法法則兩數(shù)相乘,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)同0相乘,都得0。比如說(shuō),2×3=6,這是兩個(gè)正數(shù)相乘,結(jié)果是正數(shù)。而2×3,因?yàn)?是負(fù)數(shù),2和3異號(hào),所以結(jié)果是6。再看2×(-3),兩個(gè)都是負(fù)數(shù),同號(hào)得正,結(jié)果就是6。例子:冬天的時(shí)候,氣溫每天下降2度,3天后氣溫總共下降了多少度呢?那就是2×3=-6度。如果是氣溫每天上升2度,3天后氣溫上升了2×3=6度。要是氣溫每天下降2度(也就是每天上升2度),3天后氣溫就上升了2×(-3)=6度。3、多個(gè)有理數(shù)相乘當(dāng)幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘時(shí),積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí),積為負(fù);當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí),積為正。幾個(gè)數(shù)相乘,如果有一個(gè)因數(shù)為0,那么積就為0。例如:計(jì)算2×3×(-4),這里有兩個(gè)負(fù)因數(shù),負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是偶數(shù),所以結(jié)果是正數(shù),先算2×3×4=24,所以2×3×(-4)=24。再比如2×3×4,這里有一個(gè)負(fù)因數(shù),負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù),結(jié)果是24。真實(shí)事情:我在計(jì)算班級(jí)同學(xué)的成績(jī)平均分的時(shí)候,有一次有幾個(gè)同學(xué)的成績(jī)有加分(用正數(shù)表示),有幾個(gè)同學(xué)有扣分(用負(fù)數(shù)表示)。如果加分的同學(xué)數(shù)量是偶數(shù),扣分的同學(xué)數(shù)量也是偶數(shù),那最后總的加分或者扣分情況(就像多個(gè)有理數(shù)相乘的結(jié)果符號(hào))就是正數(shù)或者0(如果加分和扣分正好抵消)。如果加分同學(xué)數(shù)量是奇數(shù),扣分同學(xué)數(shù)量也是奇數(shù),那結(jié)果也是正數(shù)。但如果一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù),結(jié)果就是負(fù)數(shù)。二、有理數(shù)的除法1、有理數(shù)除法的意義除法是乘法的逆運(yùn)算。就像把一堆糖果平均分給小朋友,如果知道總共有10顆糖,要分給5個(gè)小朋友,那每個(gè)小朋友得到的糖果數(shù)就是10除以5等于2顆。對(duì)于有理數(shù)也是一樣,如果知道兩個(gè)有理數(shù)的乘積和其中一個(gè)因數(shù),求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算就是除法。比如說(shuō),因?yàn)?×4=12,所以12÷4=3,12÷3=4。對(duì)于有理數(shù)6÷3,因?yàn)?×(-2)=6,所以6÷3=-2。2、有理數(shù)除法法則除以一個(gè)不等于0的數(shù),等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。兩數(shù)相除,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù),都得0。例如:計(jì)算8÷2,根據(jù)法則,就等于8×1/2=-4。計(jì)算8÷(-2),等于8×(-1/2)=4。而0÷5=0,因?yàn)?乘以任何數(shù)都為0。真實(shí)觀察:我在看股票漲跌的時(shí)候,有一支股票開始的價(jià)格是10元,后來(lái)跌了2元,那它跌的比例就是2÷10=-0.2(也就是1/5),相當(dāng)于它的價(jià)格變?yōu)樵瓉?lái)的10.2=0.8倍。如果是漲了2元,那漲的比例就是2÷10=0.2(也就是1/5),價(jià)格變?yōu)樵瓉?lái)的1+0.2=1.2倍。3、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算在進(jìn)行有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算時(shí),我們要按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算,有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。也可以先將除法轉(zhuǎn)化為乘法,然后再按照乘法法則進(jìn)行計(jì)算。例如:計(jì)算12÷(-3)×(-4),按照順序,先算12÷(-3)=4,再算4×(-4)=16。或者我們可以把它轉(zhuǎn)化為12×(-1/3)×(-4),先算12×(-1/3)=4,再算4×(-4)=16。體驗(yàn):我在計(jì)算家庭每月水電費(fèi)的時(shí)候,水費(fèi)每噸3元,用電量是按照每度0.5元計(jì)算。如果這個(gè)月用水4噸,用電80度,那水費(fèi)就是4×3=12元,電費(fèi)就是80×0.5=40元。如果要計(jì)算水費(fèi)和電費(fèi)的總和與用電量的比值,那就是(12+40)÷80,先算括號(hào)里的12+40=52,再算52÷80=13/20。如果要先算除法再算加法,就可以寫成12÷80+40÷80,12÷80=3/20,40÷80=1/2,3/20+1/2=13/20。三、有理數(shù)乘除運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用1、行程問(wèn)題速度、時(shí)間和路程的關(guān)系是路程等于速度乘以時(shí)間。如果速度是有理數(shù),時(shí)間也是有理數(shù),那我們就可以用有理數(shù)的乘除運(yùn)算來(lái)解決行程問(wèn)題。比如,一輛汽車以每小時(shí)60千米的速度行駛,3小時(shí)行駛的路程就是60×3=180千米。如果汽車的速度是60千米/小時(shí)(表示汽車向相反方向行駛),3小時(shí)行駛的路程就是60×3=-180千米,也就是汽車向相反方向行駛了180千米。真實(shí)事情:我和朋友出去騎行,我騎的速度比較快,每小時(shí)15千米,朋友騎的速度是每小時(shí)10千米。如果我們都騎了2小時(shí),那我騎行的路程就是15×2=30千米,朋友騎行的路程就是10×2=20千米。如果我要計(jì)算我的速度是朋友速度的多少倍,那就是15÷10=1.5倍。2、工程問(wèn)題在工程問(wèn)題中,工作總量等于工作效率乘以工作時(shí)間。如果工作效率用有理數(shù)表示,工作時(shí)間也用有理數(shù)表示,那我們可以用有理數(shù)乘除運(yùn)算來(lái)計(jì)算工程相關(guān)的問(wèn)題。例如,一項(xiàng)工程,甲隊(duì)每天能完成1/5的工作量,乙隊(duì)每天能完成1/3的工作量。如果甲隊(duì)單獨(dú)做,需要5天完成(因?yàn)?÷1/5=5),如果乙隊(duì)單獨(dú)做,需要3天完成(因?yàn)?÷1/3=3)。如果甲、乙兩隊(duì)合作,每天完成的工作量就是1/5+1/3=8/15,那完成這項(xiàng)工程需要的時(shí)間就是1÷8/15=15/8天。觀察:我看到建筑工人蓋房子,一組工人每天能砌10塊磚,另一組工人每天能砌15塊磚。如果要砌100塊磚,第一組工人需要100÷10=10天,第二組工人需要100÷15=20/3天。如果兩組工人一起砌,每天能砌10+15=25塊磚,那需要100÷25=4天。3、銷售問(wèn)題利潤(rùn)等于售價(jià)減去成本,利潤(rùn)率等于利潤(rùn)除以成本。如果售價(jià)、成本都是有理數(shù),那我們可以用有理數(shù)乘除運(yùn)算來(lái)計(jì)算銷售中的各種數(shù)據(jù)。比如,一件商品的成本是80元,售價(jià)是100元,那利潤(rùn)就是10080=20元,利潤(rùn)率就是20÷80=0.25(也就是25%)。如果商品打8折出售,售價(jià)就是100×0.8=80元,此時(shí)利潤(rùn)就是8080=0元,利潤(rùn)率就是0÷80=0。體驗(yàn):我去商場(chǎng)買衣服,看到一件衣服原價(jià)200元,現(xiàn)在降價(jià)30%出售,那現(xiàn)在的售價(jià)就是200×(10.3)=140元。如果商家的成本是100元,那利潤(rùn)就是140100=40元,利潤(rùn)率就是40÷100=0.4(也就是40%)。四、有理數(shù)乘除運(yùn)算中的易錯(cuò)點(diǎn)1、符號(hào)問(wèn)題在有理數(shù)乘除運(yùn)算中,最容易出錯(cuò)的就是符號(hào)。一定要牢記同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù)的法則。有時(shí)候在多個(gè)有理數(shù)相乘除時(shí),容易數(shù)錯(cuò)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù),從而導(dǎo)致符號(hào)錯(cuò)誤。例如,計(jì)算2×(-3)×4÷(-6),這里有3個(gè)負(fù)因數(shù),負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù),結(jié)果應(yīng)該是負(fù)的。先算2×(-3)=6,6×4=24,24÷(-6)=4。如果不小心把符號(hào)弄錯(cuò),就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果。真實(shí)體驗(yàn):我在做數(shù)學(xué)作業(yè)的時(shí)候,有一道題是計(jì)算3×4÷(-2),我一開始就把符號(hào)弄錯(cuò)了,算成了3×4=-12,12÷(-2)=6,而正確的應(yīng)該是3×4=-12,12÷(-2)=6,因?yàn)槭钱愄?hào)相除得正。2、運(yùn)算順序問(wèn)題在乘除混合運(yùn)算中,如果不按照從左到右的順序計(jì)算,或者沒(méi)有先算括號(hào)里面的,就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果。比如,計(jì)算12÷(3×2),應(yīng)該先算括號(hào)里的3×2=-6,再算12÷(-6)=2。如果先算12÷(-3)=4,再乘以2得到8,那就錯(cuò)了。觀察:我看到同學(xué)在計(jì)算數(shù)學(xué)題的時(shí)候,有一道題是(8÷2)×(3),他先算2×(-3)=6,再算8÷(-6)=4/3,這就是運(yùn)算順序錯(cuò)誤。正確的應(yīng)該是先算8÷2=4,再算4×(-3)=12。3、倒數(shù)的計(jì)算問(wèn)題在有理數(shù)除法中,要把除法轉(zhuǎn)化為乘法,就需要計(jì)算除數(shù)的倒數(shù)。有時(shí)候會(huì)把倒數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤,比如把2的倒數(shù)寫成1/2,而正確的應(yīng)該是1/2。例如,計(jì)算6÷(-2),轉(zhuǎn)化為6×(-1/2)=3。如果把2的倒數(shù)弄錯(cuò),結(jié)果就會(huì)錯(cuò)誤。體驗(yàn):我自己在做有理數(shù)除法練習(xí)的時(shí)候,有一道題是8÷(-4),我在轉(zhuǎn)化為乘法的時(shí)候,把4的倒數(shù)寫成了1/4,結(jié)果算出8×1/4=-2,而正確的應(yīng)該是8×(-1/4)=2。五、典型習(xí)題1、計(jì)算下列式子:(1)3×4×(-2)解:這里有兩個(gè)負(fù)因數(shù),負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是偶數(shù),結(jié)果為正。先算3×4×2=24,所以3×4×(-2)=24。(2)12÷(-4)+(-3)×2解:先算除法和乘法,12÷(-4)=3,3×2=-6,再算加法3+(6)=9。(3)2×(3÷2)解:先算括號(hào)里的3÷2=-3/2,再算2×(-3/2)=3。2、一輛汽車以每小時(shí)40千米的速度行駛了5小時(shí),然后又以每小時(shí)60千米的速度行駛了3小時(shí),問(wèn)汽車總共行駛的路程是多少?解:汽車先行駛的路程為40×5=-200千米,后行駛的路程為60×3=

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