《3有理數(shù)的乘除運(yùn)算》知識(shí)清單

《3有理數(shù)的乘除運(yùn)算》知識(shí)清單一、有理數(shù)乘法的基礎(chǔ)1、有理數(shù)乘法的意義就像我們分糖果一樣，如果有3個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分2顆糖，那總共分出去的糖果數(shù)就是3乘以2等于6顆。在數(shù)學(xué)里，乘法就是表示幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。對(duì)于有理數(shù)乘法也是一樣的道理。比如說(shuō)，有2個(gè)3相加，我們就可以寫成2乘以3。真實(shí)體驗(yàn)：我去超市買蘋果，蘋果每個(gè)3元，我買了5個(gè)，那就是3×5＝15元。如果蘋果的價(jià)格是3元（假設(shè)是商家給的折扣，相當(dāng)于我每買一個(gè)蘋果商家倒給我3元），我買了5個(gè)，那就是5×（－3)＝15元，這意味著商家要給我15元。2、有理數(shù)乘法法則兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。比如說(shuō)，2×3＝6，這是兩個(gè)正數(shù)相乘，結(jié)果是正數(shù)。而2×3，因?yàn)?是負(fù)數(shù)，2和3異號(hào)，所以結(jié)果是6。再看2×（－3)，兩個(gè)都是負(fù)數(shù)，同號(hào)得正，結(jié)果就是6。例子：冬天的時(shí)候，氣溫每天下降2度，3天后氣溫總共下降了多少度呢？那就是2×3=－6度。如果是氣溫每天上升2度，3天后氣溫上升了2×3＝6度。要是氣溫每天下降2度（也就是每天上升2度），3天后氣溫就上升了2×（－3)＝6度。3、多個(gè)有理數(shù)相乘當(dāng)幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘時(shí)，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。幾個(gè)數(shù)相乘，如果有一個(gè)因數(shù)為0，那么積就為0。例如：計(jì)算2×3×（－4)，這里有兩個(gè)負(fù)因數(shù)，負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)，所以結(jié)果是正數(shù)，先算2×3×4＝24，所以2×3×（－4)＝24。再比如2×3×4，這里有一個(gè)負(fù)因數(shù)，負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，結(jié)果是24。真實(shí)事情：我在計(jì)算班級(jí)同學(xué)的成績(jī)平均分的時(shí)候，有一次有幾個(gè)同學(xué)的成績(jī)有加分（用正數(shù)表示），有幾個(gè)同學(xué)有扣分（用負(fù)數(shù)表示）。如果加分的同學(xué)數(shù)量是偶數(shù)，扣分的同學(xué)數(shù)量也是偶數(shù)，那最后總的加分或者扣分情況（就像多個(gè)有理數(shù)相乘的結(jié)果符號(hào)）就是正數(shù)或者0（如果加分和扣分正好抵消）。如果加分同學(xué)數(shù)量是奇數(shù)，扣分同學(xué)數(shù)量也是奇數(shù)，那結(jié)果也是正數(shù)。但如果一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，結(jié)果就是負(fù)數(shù)。二、有理數(shù)的除法1、有理數(shù)除法的意義除法是乘法的逆運(yùn)算。就像把一堆糖果平均分給小朋友，如果知道總共有10顆糖，要分給5個(gè)小朋友，那每個(gè)小朋友得到的糖果數(shù)就是10除以5等于2顆。對(duì)于有理數(shù)也是一樣，如果知道兩個(gè)有理數(shù)的乘積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算就是除法。比如說(shuō)，因?yàn)?×4＝12，所以12÷4＝3，12÷3＝4。對(duì)于有理數(shù)6÷3，因?yàn)?×（－2)＝6，所以6÷3=－2。2、有理數(shù)除法法則除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。例如：計(jì)算8÷2，根據(jù)法則，就等于8×1/2=－4。計(jì)算8÷（－2)，等于8×（－1/2)＝4。而0÷5＝0，因?yàn)?乘以任何數(shù)都為0。真實(shí)觀察：我在看股票漲跌的時(shí)候，有一支股票開始的價(jià)格是10元，后來(lái)跌了2元，那它跌的比例就是2÷10=－0.2（也就是1/5），相當(dāng)于它的價(jià)格變?yōu)樵瓉?lái)的10.2＝0.8倍。如果是漲了2元，那漲的比例就是2÷10＝0.2（也就是1/5），價(jià)格變?yōu)樵瓉?lái)的1＋0.2＝1.2倍。3、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算在進(jìn)行有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算時(shí)，我們要按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。也可以先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后再按照乘法法則進(jìn)行計(jì)算。例如：計(jì)算12÷（－3)×（－4)，按照順序，先算12÷（－3)＝4，再算4×（－4)＝16。或者我們可以把它轉(zhuǎn)化為12×（－1/3)×（－4)，先算12×（－1/3)＝4，再算4×（－4)＝16。體驗(yàn)：我在計(jì)算家庭每月水電費(fèi)的時(shí)候，水費(fèi)每噸3元，用電量是按照每度0.5元計(jì)算。如果這個(gè)月用水4噸，用電80度，那水費(fèi)就是4×3＝12元，電費(fèi)就是80×0.5＝40元。如果要計(jì)算水費(fèi)和電費(fèi)的總和與用電量的比值，那就是(12＋40)÷80，先算括號(hào)里的12+40＝52，再算52÷80＝13/20。如果要先算除法再算加法，就可以寫成12÷80+40÷80，12÷80＝3/20，40÷80＝1/2，3/20+1/2＝13/20。三、有理數(shù)乘除運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用1、行程問(wèn)題速度、時(shí)間和路程的關(guān)系是路程等于速度乘以時(shí)間。如果速度是有理數(shù)，時(shí)間也是有理數(shù)，那我們就可以用有理數(shù)的乘除運(yùn)算來(lái)解決行程問(wèn)題。比如，一輛汽車以每小時(shí)60千米的速度行駛，3小時(shí)行駛的路程就是60×3＝180千米。如果汽車的速度是60千米/小時(shí)（表示汽車向相反方向行駛），3小時(shí)行駛的路程就是60×3=－180千米，也就是汽車向相反方向行駛了180千米。真實(shí)事情：我和朋友出去騎行，我騎的速度比較快，每小時(shí)15千米，朋友騎的速度是每小時(shí)10千米。如果我們都騎了2小時(shí)，那我騎行的路程就是15×2＝30千米，朋友騎行的路程就是10×2＝20千米。如果我要計(jì)算我的速度是朋友速度的多少倍，那就是15÷10＝1.5倍。2、工程問(wèn)題在工程問(wèn)題中，工作總量等于工作效率乘以工作時(shí)間。如果工作效率用有理數(shù)表示，工作時(shí)間也用有理數(shù)表示，那我們可以用有理數(shù)乘除運(yùn)算來(lái)計(jì)算工程相關(guān)的問(wèn)題。例如，一項(xiàng)工程，甲隊(duì)每天能完成1/5的工作量，乙隊(duì)每天能完成1/3的工作量。如果甲隊(duì)單獨(dú)做，需要5天完成（因?yàn)?÷1/5＝5），如果乙隊(duì)單獨(dú)做，需要3天完成（因?yàn)?÷1/3＝3）。如果甲、乙兩隊(duì)合作，每天完成的工作量就是1/5+1/3＝8/15，那完成這項(xiàng)工程需要的時(shí)間就是1÷8/15＝15/8天。觀察：我看到建筑工人蓋房子，一組工人每天能砌10塊磚，另一組工人每天能砌15塊磚。如果要砌100塊磚，第一組工人需要100÷10＝10天，第二組工人需要100÷15＝20/3天。如果兩組工人一起砌，每天能砌10＋15＝25塊磚，那需要100÷25＝4天。3、銷售問(wèn)題利潤(rùn)等于售價(jià)減去成本，利潤(rùn)率等于利潤(rùn)除以成本。如果售價(jià)、成本都是有理數(shù)，那我們可以用有理數(shù)乘除運(yùn)算來(lái)計(jì)算銷售中的各種數(shù)據(jù)。比如，一件商品的成本是80元，售價(jià)是100元，那利潤(rùn)就是10080＝20元，利潤(rùn)率就是20÷80＝0.25（也就是25%）。如果商品打8折出售，售價(jià)就是100×0.8＝80元，此時(shí)利潤(rùn)就是8080＝0元，利潤(rùn)率就是0÷80＝0。體驗(yàn)：我去商場(chǎng)買衣服，看到一件衣服原價(jià)200元，現(xiàn)在降價(jià)30%出售，那現(xiàn)在的售價(jià)就是200×（10.3)＝140元。如果商家的成本是100元，那利潤(rùn)就是140100＝40元，利潤(rùn)率就是40÷100＝0.4（也就是40%）。四、有理數(shù)乘除運(yùn)算中的易錯(cuò)點(diǎn)1、符號(hào)問(wèn)題在有理數(shù)乘除運(yùn)算中，最容易出錯(cuò)的就是符號(hào)。一定要牢記同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)的法則。有時(shí)候在多個(gè)有理數(shù)相乘除時(shí)，容易數(shù)錯(cuò)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，從而導(dǎo)致符號(hào)錯(cuò)誤。例如，計(jì)算2×（－3)×4÷（－6)，這里有3個(gè)負(fù)因數(shù)，負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，結(jié)果應(yīng)該是負(fù)的。先算2×（－3)＝6，6×4＝24，24÷（－6)＝4。如果不小心把符號(hào)弄錯(cuò)，就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果。真實(shí)體驗(yàn)：我在做數(shù)學(xué)作業(yè)的時(shí)候，有一道題是計(jì)算3×4÷（－2)，我一開始就把符號(hào)弄錯(cuò)了，算成了3×4=－12，12÷（－2)＝6，而正確的應(yīng)該是3×4=－12，12÷（－2)＝6，因?yàn)槭钱愄?hào)相除得正。2、運(yùn)算順序問(wèn)題在乘除混合運(yùn)算中，如果不按照從左到右的順序計(jì)算，或者沒(méi)有先算括號(hào)里面的，就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果。比如，計(jì)算12÷（3×2)，應(yīng)該先算括號(hào)里的3×2=－6，再算12÷（－6)＝2。如果先算12÷（－3)＝4，再乘以2得到8，那就錯(cuò)了。觀察：我看到同學(xué)在計(jì)算數(shù)學(xué)題的時(shí)候，有一道題是(8÷2)×（3)，他先算2×（－3)＝6，再算8÷（－6)＝4/3，這就是運(yùn)算順序錯(cuò)誤。正確的應(yīng)該是先算8÷2＝4，再算4×（－3)＝12。3、倒數(shù)的計(jì)算問(wèn)題在有理數(shù)除法中，要把除法轉(zhuǎn)化為乘法，就需要計(jì)算除數(shù)的倒數(shù)。有時(shí)候會(huì)把倒數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤，比如把2的倒數(shù)寫成1/2，而正確的應(yīng)該是1/2。例如，計(jì)算6÷（－2)，轉(zhuǎn)化為6×（－1/2)＝3。如果把2的倒數(shù)弄錯(cuò)，結(jié)果就會(huì)錯(cuò)誤。體驗(yàn)：我自己在做有理數(shù)除法練習(xí)的時(shí)候，有一道題是8÷（－4)，我在轉(zhuǎn)化為乘法的時(shí)候，把4的倒數(shù)寫成了1/4，結(jié)果算出8×1/4=－2，而正確的應(yīng)該是8×（－1/4)＝2。五、典型習(xí)題1、計(jì)算下列式子：（1）3×4×（－2)解：這里有兩個(gè)負(fù)因數(shù)，負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)，結(jié)果為正。先算3×4×2＝24，所以3×4×（－2)＝24。（2）12÷（－4)＋（－3)×2解：先算除法和乘法，12÷（－4)＝3，3×2=－6，再算加法3+（6)＝9。（3）2×（3÷2)解：先算括號(hào)里的3÷2=－3/2，再算2×（－3/2)＝3。2、一輛汽車以每小時(shí)40千米的速度行駛了5小時(shí)，然后又以每小時(shí)60千米的速度行駛了3小時(shí)，問(wèn)汽車總共行駛的路程是多少？解：汽車先行駛的路程為40×5=－200千米，后行駛的路程為60×3＝