第05講多邊形的內(nèi)角和與外角和

第05講多邊形的內(nèi)角和與外角和1.多邊形的內(nèi)角和：邊形的內(nèi)角和為(－2)·180°(≥3)．注：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于.2.多邊形的外角和：任意多邊形的外角和都為360°.注：多邊形的外角和為360°．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).考點(diǎn)剖析（多邊形內(nèi)角和）例1：若一個(gè)邊形的內(nèi)角和為，則的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時(shí)要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理．根據(jù)邊形的內(nèi)角和為列出關(guān)于的方程，解方程即可求出邊數(shù)的值．【詳解】解：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，則，解得：．故選：D．變式11：已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，則這個(gè)多邊形有條邊．【答案】6/六【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和公式，利用n邊形的內(nèi)角和可以表示成，結(jié)合方程即可求出答案．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意，得，解得：，則這個(gè)多邊形有6條邊．故答案為：6．變式12：如圖，六邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，連接．(1)求六邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和，平行線的判定．（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，以及（1）中的結(jié)果，得到，進(jìn)而得到，即可得證．掌握邊形的內(nèi)角和為，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題意，得：六邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為；（2）∵，，∴，∵，∴，∴，∴．（正多邊形內(nèi)角）例2：正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，A．當(dāng)，解得，故不符合題意；B．當(dāng)，解得，n不為正整數(shù)，故符合題意；C．當(dāng)，解得，故不符合題意；D．當(dāng)，解得，故不符合題意．故選：B．變式21：如圖所示，是工人師傅用邊長均為a的一塊正六邊形和一塊正方形地磚繞著點(diǎn)B進(jìn)行的鋪設(shè)，若將一塊邊長為a的正多邊形地磚恰好能無空隙、不重疊地拼在處，則這塊正多邊形地磚的邊數(shù)是．【答案】【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，根據(jù)題意得到的大小，結(jié)合多邊形內(nèi)角和列式求解即可得到答案；【詳解】解：∵一塊正六邊形和一塊正方形地磚繞著點(diǎn)B進(jìn)行的鋪設(shè)，∴，∴這塊正多邊形地磚的邊數(shù)是：，解得：，故答案為：．變式22：已知一個(gè)正多邊形的邊數(shù)為．(1)若這個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為，求的值．(2)若這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為其外角和的4倍，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用多邊形的內(nèi)角和與正多邊形的性質(zhì)列得方程，解方程即可；（2）利用多邊形的內(nèi)角和與外角和列得方程，解方程即可．【詳解】（1）解：由題意可得，解得：，故的值為；（2）解：由題意可得，解得：，故的值為．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，正多邊形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件列得對(duì)應(yīng)的方程是解題的關(guān)鍵．（多邊形截角后的內(nèi)角和）例3：一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成一個(gè)七邊形，那么原多邊形邊數(shù)為（

）．A．6 B．6或7 C．6或8 D．6或7或8【答案】D【分析】本題主要考查了截一個(gè)多邊形，一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變，據(jù)此畫圖利用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可．【詳解】解：如圖所示，六邊形，七邊形和八邊形截去一個(gè)角后都可以形成七邊形，∴原多邊形邊數(shù)為6或7或8，故選：D．

變式31：一個(gè)多邊形少加一個(gè)內(nèi)角后，其他所有內(nèi)角的度數(shù)和為，則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為°．【答案】【分析】根據(jù)題意得，和少加一個(gè)內(nèi)角的和為，即可得．【詳解】解：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和．變式32：（1）如圖1，這是一個(gè)五角星，則15．（2）如圖2，將五角星截去一個(gè)角后多出一個(gè)角，求的度數(shù)．（3）如圖3，將五角星的每個(gè)角都截去，求的度數(shù)．

【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由三角形的外角性質(zhì)，把五個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi)部來求解即可；（2）延長與相較于點(diǎn)，由三角形的外角性質(zhì)，得到，再結(jié)合圖1的結(jié)論內(nèi)來求解即可；（3）由（2）知，每截去圖1中的一個(gè)角，剩余角的度數(shù)會(huì)增加，從而求出截去五個(gè)角后的所有的角的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖，

由三角形的外角性質(zhì)，得，，∵∴，故答案為：；（2）如圖，延長與相較于點(diǎn)，

和是的兩個(gè)外角，則，，，，故的度數(shù)為．（3）由（2）知，每截去圖1中的一個(gè)角，剩余角的度數(shù)會(huì)增加，圖1中，，在題圖3中，去掉五個(gè)角后，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)定理，熟練運(yùn)用三角形的內(nèi)角和和外角性質(zhì)進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化和計(jì)算是解題的重點(diǎn)．（正多邊形的外角）例4：如圖所示，小華從O點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)15米后左轉(zhuǎn)，再沿直線前進(jìn)15米后又向左轉(zhuǎn)，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地O點(diǎn)時(shí)，一共走的路程是（

）A．120米 B．150米 C．180米 D．240米【答案】C【分析】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形每個(gè)外角相等，每條邊相等．根據(jù)題意可知，小華所走路徑是一個(gè)正多邊形，先求出的邊數(shù)，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得：（米），故選：C

．變式41：《紅樓夢》是我國四大名著之一，文學(xué)社團(tuán)的同學(xué)在搜集相關(guān)資料時(shí)發(fā)現(xiàn)一張如圖所示的《紅樓夢》紀(jì)念幣圖案（將紀(jì)念幣的正面圖案和背面圖案拼到一起），這個(gè)圖案可以抽象成有公共邊的兩個(gè)正八邊形，如圖，則的度數(shù)是．【答案】/90度【分析】此題考查了正多邊形的外角性質(zhì)，利用正多邊形的外角性質(zhì)以及外角和是即可求出答案，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的外角性質(zhì)以及外角和是．【詳解】∵正八邊形的外角和是，共八個(gè)外角且每個(gè)外角都相等，∴每個(gè)外角都是，∴正八邊形的兩個(gè)外角的和，故答案為：．變式42：如圖，小明從點(diǎn)O出發(fā)，前進(jìn)3米后到達(dá)點(diǎn)A（米），向右轉(zhuǎn)，再前進(jìn)3米后到達(dá)點(diǎn)B（米），又向右轉(zhuǎn)，……這樣小明一直右轉(zhuǎn)了n次剛好回到出發(fā)點(diǎn)O處．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)n的值為____________．(2)小明走出的這n邊形的周長為____________米．(3)若一個(gè)正m邊形的內(nèi)角和比外角和多，求這個(gè)正m邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【答案】(1)15(2)45(3)【分析】（1）根據(jù)多邊形的外角和等于，即可求解；（2）用多邊形的邊數(shù)乘以的長，即可求解；（3）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理可得關(guān)于m的方程，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：．故答案為：15（2）解：由（1）得：這個(gè)n邊形為十五邊形，∴這n邊形的周長為（米）；故答案為：45（3）解：根據(jù)題意，得，解得，

∴這個(gè)正m邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的應(yīng)用，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理是解題的關(guān)鍵．（多邊形外角和）例5：一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，根據(jù)正多邊形的邊數(shù)等于除以每一個(gè)外角的度數(shù)列式計(jì)算即可得解．【詳解】．故這個(gè)多邊形的邊數(shù)為10．故選：B．變式51：如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，那么這個(gè)多邊形是邊形．【答案】10/十【分析】本題考查了多邊形的外角和，熟練掌握多邊形的外角和等于是解題關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的外角和等于求解即可得．【詳解】解：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，即這個(gè)多邊形是10邊形，故答案為：10．變式52：如圖1，小紅沿一個(gè)五邊形廣場周圍的小路，按逆時(shí)針方向跑步，小紅每從一條小路轉(zhuǎn)到下一條小路時(shí)，跑步的方向改變一定的角度．

(1)該五邊形廣場的內(nèi)角和是度；(2)她跑完一圈，跑步方向改變的角度的和是度；(3)如圖2，小紅參加“全民健身，共筑健康中國”活動(dòng)，從點(diǎn)A起跑，繞湖周圍的小路跑至終點(diǎn)E，若，且，求行程中小紅身體轉(zhuǎn)過的角度的和（圖的值）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)五邊形內(nèi)角和求解即可；（2）跑步方向改變的角度的和即為五邊形的外角和；（3）延長NE交AB于點(diǎn)F，再在五邊形中計(jì)算即可．【詳解】（1）五邊形廣場的內(nèi)角和，故答案為：；（2）∵跑步方向改變的角度的和即為五邊形的外角和，∴跑步方向改變的角度的和是度，故答案為：；（3）延長NE交AB于點(diǎn)F

∵∴∵∴∵在五邊形中∴【點(diǎn)睛】考查了多邊形內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的外角和等于360度的知識(shí)點(diǎn)．（多邊形內(nèi)角和與外角和結(jié)合）例6：一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且每個(gè)內(nèi)角與相鄰?fù)饨嵌葦?shù)比均為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】本題主要考查了正多邊形外角和和內(nèi)角綜合，設(shè)這個(gè)多邊形的一個(gè)外角度數(shù)為x，則這個(gè)多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，根據(jù)正多邊形一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角互補(bǔ)得到，解方程求出一個(gè)外角的度數(shù)，再根據(jù)正多邊形外角和為360度即可求出邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的一個(gè)外角度數(shù)為x，則這個(gè)多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，由題意得，，解得，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，故選D．變式61：一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都比外角多60°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是．【答案】6/六【分析】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，設(shè)這個(gè)多邊形的外角為，則它的內(nèi)角為，由兩角互補(bǔ)得到，求出外角度數(shù)，利用多邊形的外角和求出邊數(shù)，熟練掌握多邊形外角和是及相鄰內(nèi)外角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的外角為，則它的內(nèi)角為，∴，解得：，∵多邊形的外角和等于，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為：（邊）．故答案為：6．變式62：和分別是兩個(gè)多邊形，閱讀和的對(duì)話，完成下列各小題．(1)嘉嘉說：“因?yàn)榈倪厰?shù)比多，所以的外角和比的大，”判斷嘉嘉的說法是否正確？并說明理由；(2)設(shè)的邊數(shù)為①若，求的值；②淇淇說：“無論取何值，的值始終不變．”請(qǐng)用列方程的方法說明理由．【答案】(1)嘉嘉的說法不正確，理由見解析(2)①；②見解析【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和問題；（1）根據(jù)多邊形的外角和始終為，即可求解；（2）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理列出方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：嘉嘉的說法不正確；理由：多邊形的外角和始終為，與多邊形的邊數(shù)無關(guān)；（2）①，解得，即的值為；②，整理得，解得．∴無論取何值，的值始終不變．過關(guān)檢測選擇題（共6題，每題4分）1．已知正多邊形的一個(gè)外角等于，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的外角和以及一個(gè)外角的度數(shù)，即可求得邊數(shù)．本題主要考查了多邊形的外角和定理，熟練掌握多邊形的外角和等于度是解題的關(guān)鍵．【詳解】正多邊形的一個(gè)外角等于，且外角和為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是：，故選C．2．如圖，將一個(gè)三角形剪去一個(gè)的內(nèi)角，剩下圖形的內(nèi)角和是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了四邊形內(nèi)角和．確定剪去一個(gè)內(nèi)角后的圖形的形狀是解題的關(guān)鍵．由題意知，剪去一個(gè)內(nèi)角，剩下的圖形為四邊形，然后作答即可．【詳解】解：由題意知，剩下的圖形為四邊形，∴四邊形的內(nèi)角和為，故選：A．3．如果一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)最多能畫6條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本題考查了一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線條數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可以最多畫出條對(duì)角線．根據(jù)從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以最多畫出條對(duì)角線，求出邊數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：，解得，故選：C．4．如圖，足球的表面是由12塊正五邊形的黑皮和20塊正六邊形的白皮拼接而成，那么一塊正五邊形黑皮的內(nèi)角和是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式進(jìn)行求解即可．本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理,熟知多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵,∴足球圖片中的一塊黑色皮塊的內(nèi)角和是,故選C．5．如圖，小明從O點(diǎn)出發(fā)，前進(jìn)40米后向右轉(zhuǎn)，再前進(jìn)40米后又向右轉(zhuǎn)，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)O時(shí)一共走（

）A．360米 B．480米 C．540米 D．600米【答案】B【分析】本題考查了正多邊形外角和的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解得到小明所走的圖形是多邊形，正多邊形外角和是．【詳解】解：由題意可得，圖形是一個(gè)正多邊形，每次前進(jìn)40米后向右轉(zhuǎn)，，即圖形是正12多邊形，（米），他第一次回到出發(fā)點(diǎn)O時(shí)一共走480米，故選：B．6．如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)F在直線AB上，點(diǎn)N在直線CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，則∠GHM＝（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】D【分析】延長HG交直線AB于點(diǎn)K，延長PM交直線AB于點(diǎn)S．利用平行線的性質(zhì)求出∠KSM，利用鄰補(bǔ)角求出∠SMH，利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，求出∠SKG，再利用四邊形的內(nèi)角和求出∠GHM．【詳解】解：延長HG交直線AB于點(diǎn)K，延長PM交直線AB于點(diǎn)S．∵AB∥CD，∴∠KSM＝∠CNP＝30°．∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°，∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF＝25°+90°＝115°．∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30°＝60°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角、平行線的性質(zhì)、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系及多邊形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)．利用平行線、延長線把分散的角集中在四邊形中是解決本題的關(guān)鍵．填空題（共8題，每題4分）7．正方形的內(nèi)角和是．【答案】/度【分析】本題主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，對(duì)于n邊形，其內(nèi)角和為，據(jù)此求解即可．【詳解】解：正方形的內(nèi)角和是，故答案為；．8．已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于，則這個(gè)多邊形是邊形.【答案】9【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)邊形的內(nèi)角和為，直接代入數(shù)值，計(jì)算即可作答．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是邊形∴∴即故答案為：99．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的倍，這個(gè)多邊形是邊形．【答案】十【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式、多邊形外角和，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和多邊形的外角和是，即可求出答案．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形有n條邊．由題意得：，解得．則這個(gè)多邊形是十邊形．故答案為：十．10．如圖所示，分別在三角形、四邊形、五邊形的廣場各角修建半徑為的扇形草坪（圖中陰影部分），圖中草坪的面積為．【答案】【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，扇形面積計(jì)算，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度，得到圖1中三個(gè)陰影部分扇形的圓心角度數(shù)之和為180度，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360度，得到圖2中三個(gè)陰影部分扇形的圓心角度數(shù)之和為360度，根據(jù)五邊形內(nèi)角和為450度，得到圖3中三個(gè)陰影部分扇形的圓心角度數(shù)之和為540度，據(jù)此分別求出三幅圖中陰影部分的面積，再求和即可得到答案．【詳解】解：∵三角形內(nèi)角和為180度，∴圖1中三個(gè)陰影部分扇形的圓心角度數(shù)之和為180度，∴圖1中陰影部分面積為；∵四邊形內(nèi)角和為360度，∴圖2中三個(gè)陰影部分扇形的圓心角度數(shù)之和為360度，∴圖2中陰影部分面積為；∵五邊形內(nèi)角和為度，∴圖3中三個(gè)陰影部分扇形的圓心角度數(shù)之和為540度，∴圖3中陰影部分面積為；∴圖中草坪的面積為，故答案為：．11．在四邊形中，，且與互補(bǔ)，則．【答案】/80度【分析】本題主要考查了補(bǔ)角的定義，四邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握相加等于180度的兩個(gè)角互補(bǔ)，四邊形的內(nèi)角和為360度，根據(jù)題意得出，，再分別求出的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵與互補(bǔ)，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．12．如圖，將等腰三角形剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，若，則．

【答案】40【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，欲求∠A的度數(shù)，結(jié)合三角形內(nèi)角和是180度，將問題轉(zhuǎn)化為求與的度數(shù)之和；四邊形的內(nèi)角和是360度，則，據(jù)此解答即可．【詳解】解：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得，．根據(jù)三角形的內(nèi)角和得：．故答案為：40．13．如圖，點(diǎn)M是兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)N是兩外角平分線的交點(diǎn)，如果，那么度．【答案】60【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題、四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握角平分線的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，從而可得，由此即可得出答案．【詳解】解：點(diǎn)是兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，，，，點(diǎn)是兩外角平分線的交點(diǎn)，，，，，即，，，又，，，解得，故答案為：60．14．（1）如圖1所示，；（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為，則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為；二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為；二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為．【答案】360°720°1080°【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)對(duì)頂角和三角形內(nèi)角和的知識(shí)，得，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）連接，交于點(diǎn)M，根據(jù)三角形內(nèi)角和和對(duì)頂角的知識(shí)，得；結(jié)合五邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得；結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】（1）如圖所示，連接AD，交于點(diǎn)M∵，，∴；故答案為：360°（2）如圖，連接，交于點(diǎn)M∴，∵∴∴∵∴∴∴二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∵二環(huán)三角形的內(nèi)角和為：二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為：故答案為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和、對(duì)頂角、數(shù)字規(guī)律的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)角和、數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，從而完成求解．解答題（共5題，前三題每題8分，后兩題每題10分）15．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的4倍少，求：這個(gè)多邊形是幾邊形？這個(gè)多邊形共有多少條對(duì)角線？【答案】這個(gè)多邊形是九邊形，這個(gè)多邊形共有27條對(duì)角線．【分析】多邊形的內(nèi)角和可以表示成，外角和是固定的，從而可根據(jù)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的4倍列方程求解．多邊形對(duì)角線的條數(shù)可以表示成．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，則，；這個(gè)多邊形的對(duì)角線有：（條）．答：這個(gè)多邊形是九邊形，這個(gè)多邊形共有27條對(duì)角線．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想．關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征，及多邊形對(duì)角線的條數(shù)公式．16．如圖，在四邊形中，，．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．(2)的平分線交于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是，可得，再由即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)可得，，再利用平分，可求，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：，，，∵四邊形的內(nèi)角和是，，又，，．（2）解：平分，，又，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、四邊形和三角形的內(nèi)角和及角平分線的定義，結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．17．如圖，在四邊形中，平分，平分．(1)若，，求、、的度數(shù)．(2)若，則______，______；若，則______，______．(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，請(qǐng)猜想與之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)，，=；(2)240，60，210，75；(3)；理由見解析【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)．（1）根據(jù)角平分線的定義即可求出，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于列式計(jì)算即可得到；（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于列式計(jì)算即可得解；（3）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于表示出，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于列式整理即可得解．【詳解】（1）解：∵平分，平分，，，∴，，∴；（2）解：若．∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴；若．∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴；故答案為：240

60

210

75；（3）解：．理由：設(shè)，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴．18．閱讀材料：我們知道：探索多邊形內(nèi)角和的方法是將其轉(zhuǎn)化為三角形，利用三角形內(nèi)角和獲得結(jié)論，這一方法也可以用來解決其它求角度的問題，如圖，四邊形是凸四邊形，探索其內(nèi)角和的方法是：連接對(duì)角線，則四邊形的內(nèi)角和就轉(zhuǎn)化為和的內(nèi)角和為．解決問題：（1）如圖①，四邊形是凹四邊形，請(qǐng)?zhí)骄颗c，，三個(gè)角