高中數(shù)學函數(shù)的單調性

PAGE|初一·數(shù)學·基礎-提高-精英·學生版|第1講第頁2-2函數(shù)的基本性質 pagePAGE4ofNUMPAGES6 函數(shù)的函數(shù)的單調性（一）知識內容函數(shù)單調性的定義：①如果函數(shù)對區(qū)間內的任意，當時都有，則稱在內是增函數(shù)；當時都有，則在內時減函數(shù)．②設函數(shù)在某區(qū)間內可導，若，則為的增函數(shù)；若，則為的減函數(shù)．單調性的定義①的等價形式：設，那么在是增函數(shù)；在是減函數(shù)；在是減函數(shù)．復合函數(shù)單調性的判斷：“同增異減”函數(shù)單調性的應用．利用定義都是充要性命題．即若在區(qū)間上遞增（遞減）且（）；若在區(qū)間上遞遞減且．（）．①比較函數(shù)值的大?、诳捎脕斫獠坏仁剑矍蠛瘮?shù)的值域或最值等（二）主要方法1．討論函數(shù)單調性必須在其定義域內進行，因此要研究函數(shù)單調性必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調區(qū)間是定義域的子集；2．判斷函數(shù)的單調性的方法有：⑴用定義；用定義法證明函數(shù)單調性的一般步驟：①取值：即設，是該區(qū)間內的任意兩個值，且②作差變形：通過因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形．③定號：確定差（或）的符號，若符號不確定，可以進行分類討論．④下結論：即根據(jù)定義得出結論，注意下結論時不要忘記說明區(qū)間．⑵用已知函數(shù)的單調性；⑶利用函數(shù)的導數(shù)；⑷如果在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，那么在的任一非空子區(qū)間上也是增（減）函數(shù)；⑸圖象法；⑹復合函數(shù)的單調性結論：“同增異減”；復合函數(shù)的概念：如果是的函數(shù)，記作，是的函數(shù)，記為，且的值域與的定義域的交集非空，則通過確定了是的函數(shù)，這時叫做的復合函數(shù)，其中叫做中間變量，叫做外層函數(shù)，叫做內層函數(shù)．注意：只有當外層函數(shù)的定義域與內層函數(shù)的值域的交集非空時才能構成復合函數(shù)．⑺奇函數(shù)在對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性，偶函數(shù)在對稱的單調區(qū)間內具有相反的單調性．⑻互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調性．⑼在公共定義域內，增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)．⑽函數(shù)在上單調遞增；在上是單調遞減．3．證明函數(shù)單調性的方法：⑴利用單調性定義①；⑵利用單調性定義②（三）典例分析如圖是定義在區(qū)間上的函數(shù)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？試用函數(shù)單調性的定義判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性．根據(jù)函數(shù)單調性的定義，證明函數(shù)在上是減函數(shù)．證明函數(shù)在定義域上是減函數(shù)．證明函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．求下列函數(shù)的單調區(qū)間：⑴；⑵（）．求下列函數(shù)的單調區(qū)間：⑴；⑵作出函數(shù)的圖象，并結合圖象寫出它的單調區(qū)間．討論函數(shù)的單調性．討論函數(shù)在內的單調性．拓展：若在是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則=______討論函數(shù)的單調性．求函數(shù)的單調區(qū)間．設，是定義在有限集合上的單調遞增函數(shù)，且對任何，有．那么，（）A．B．C．D．若是上的減函數(shù)，且的圖象經(jīng)過點和點，則不等式的解集為（）．A． B． C． D．函數(shù)（，）的遞增區(qū)間是（）A． B．或C． D．或已知（且）是上的增函數(shù)．則實數(shù)的取值范圍是（）．A． B．C． D．已知是定義在上的增函數(shù)，且當時，，，則．求函數(shù)，的最小值．點評由對函數(shù)的分析，可以很快得到函數(shù)的性質：⑴函數(shù)為奇函數(shù)；⑵函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；⑶函數(shù)在上有最小值為，在上有最大值為．求函數(shù)的最小值．求函數(shù)的最值．已知是定義在上的增函數(shù)，且．⑴求證：，；⑵若，解不等式．已知函數(shù)對任意實數(shù)，均有．且當＞0時，，試判斷的單