江蘇省連云港市高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段檢測(cè)（9月）數(shù)學(xué)試題

20242025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)第一次階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題(每題5分，共40分）1.已知直線的斜率為0，且直線，則直線的傾斜角為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率定義可判斷直線與軸平行，再由直線得解．【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為0，所以直線與軸平行，又直線，故直線的傾斜角為．【點(diǎn)睛】本題考查了直線斜率與傾斜角的定義．2.已知直線和之間的距離是（

）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平行線間距離公式即可求解.【詳解】直線可以轉(zhuǎn)化為，由兩條平行直線間的距離公式可得.故選：D3.圓和圓的位置關(guān)系是（

）A.外離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)含【答案】C【解析】【分析】計(jì)算兩圓圓心之間的距離和半徑比較，即得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為3，圓的圓心為0,3，半徑為2，兩圓的圓心距為，所以兩圓外切.故選：C4.已知圓與軸相切，則（）A.1 B.0或 C.0或1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一般式得圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程，即可根據(jù)相切得求解.【詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)式為：，故圓心為半徑為，且或，由于與軸相切，故，解得，或（舍去），故選：D5.已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)在對(duì)稱直線上及與對(duì)稱直線垂直列方程求解.【詳解】設(shè)，則，解得，.故選：B6.已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（）A.8 B. C.10 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義可得的周長(zhǎng)為，結(jié)合橢圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】橢圓的方程為，則，，，連接，，則由橢圓的中心對(duì)稱性可知，可知為平行四邊形，則，可得的周長(zhǎng)為，當(dāng)AB位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，AB取最小值，最小值為，所以周長(zhǎng)為．故選：C.7.已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出直線、的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案．【詳解】解：記為點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，且與線段相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選：B．8.已知直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到直線過定點(diǎn)，以及曲線，畫出直線與曲線的圖象，結(jié)合直線與圓相切和圖象，即可求解.【詳解】由直線過定點(diǎn)，又由曲線，可得，作出曲線與直線的圖象，如圖所示，因?yàn)橹本€，可得，又由，解得，若直線與曲線有公共點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、多選題(每小題6分，本題18分)9.以下四個(gè)命題敘述正確的是（）A.直線在軸上的截距是1B.直線和的交點(diǎn)為，且在直線上，則的值是C.設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，為原點(diǎn)，則的最小值是2D.直線，若，則或2【答案】BC【解析】【分析】求出直線的橫截距判斷A；解方程組求出判斷B；求出點(diǎn)到直線的距離判斷C；驗(yàn)證判斷D.【詳解】對(duì)于A，直線在軸上的截距是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由解得，即，則，解得，B正確；對(duì)于C，依題意，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線重合，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知是圓上任一點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A.圓心的坐標(biāo)為 B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.的最大值為 D.過的最短弦長(zhǎng)是【答案】ACD【解析】【分析】由圓標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷A，由點(diǎn)和圓的位置關(guān)系可判斷B，由圓外一點(diǎn)到圓的距離的最值可判斷C，由圓的幾何性質(zhì)可判斷D.【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，如圖所示：對(duì)于A：圓心C的坐標(biāo)為，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓C外，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，即，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)弦垂直于時(shí)弦長(zhǎng)最短，又，最短弦長(zhǎng)為，故D正確.故選：ACD.11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C上的任意一點(diǎn)，則（）A.C的離心率為 B.C.的最大值為 D.使為直角的點(diǎn)P有4個(gè)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求出，由離心率定義判斷A，由橢圓定義判斷B，由橢圓的幾何性質(zhì)判斷C，根據(jù)以線段為直徑的圓與橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷D.【詳解】由原方程可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義可知，故B正確；由橢圓的性質(zhì)知，故C正確；易知以線段為直徑的圓（因?yàn)椋┡cC有4個(gè)交點(diǎn)，故滿足為直角的點(diǎn)有4個(gè)，故D正確.故選：BCD三、填空題(每小題5分，本題15分)12.已知三點(diǎn)A，B，C在同一直線上，則實(shí)數(shù)的值是________.【答案】3【解析】【分析】利用三點(diǎn)共線與斜率的關(guān)系，斜率的計(jì)算公式.【詳解】三點(diǎn)A，B，C在同一直線上，，，解得.故答案為：3.13.已知橢圓C的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，若為等腰三角形，則C的離心率為______．【答案】【解析】【分析】利用橢圓的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】不妨設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距分別為，則，且根據(jù)橢圓的性質(zhì)易知，所以，顯然若為等腰三角形，則只能有，即，則.故答案為：14.如果實(shí)數(shù)滿足等式，那么的最大值是________；的最大值是________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】畫出圖形，通過數(shù)形結(jié)合，以及直線與圓的位置關(guān)系、所求代數(shù)式的幾何意義逐一求解即可.【詳解】由，得的幾何意義為圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方．因?yàn)閳A心到原點(diǎn)的距離為，所以圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為，則的最大值是．令，則是直線在軸上的截距，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線在軸上的截距，一個(gè)是最大值，一個(gè)是最小值，此時(shí)，圓心到直線的距離，解得，所以的最大值為．故答案為：；.四、解答題15.已知點(diǎn)和直線.（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)P，且，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系，即可由點(diǎn)斜式求解，（2）根據(jù)分類討論，結(jié)合截距式即可代入點(diǎn)求解.【小問1詳解】由直線l的方程可知它的斜率為，因?yàn)椋灾本€的斜率為2.又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為：，即；【小問2詳解】若直線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入可得，若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入可得，故直線方程為.綜上，直線的方程為和.16.（1）橢圓C與橢圓C1:有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)M，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓的焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在橢圓上，且，求點(diǎn)到軸的距離.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）確定橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓定義求得，即得答案；（2）設(shè)，可得，；由得，結(jié)合橢圓方程求出，即得答案.【詳解】（1）橢圓C1：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)也為，即得焦距為，∵橢圓C過點(diǎn)M，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由橢圓方程得，，，設(shè)，則，；由得：（1）；又點(diǎn)在橢圓上，可得（2）；（1）（2）聯(lián)立消去得，，即；故點(diǎn)到軸的距離是．17.（1）已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，2,0，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）如圖，已知圓和定點(diǎn)，P為圓O外一點(diǎn)，直線PQ與圓O相切于點(diǎn)Q，若，求點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，用坐標(biāo)表示動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出方程，化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）設(shè)Mx,y，則，，，化簡(jiǎn)整理得，，所以點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)Px,y，依題意，則，即，即，整理得.18.（1）求圓心在直線上，與直線相切于點(diǎn)的圓C的方程.（2）若過點(diǎn)作圓的切線，求切線的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由圓的切線性質(zhì)求出直線的方程，進(jìn)而求出圓心的坐標(biāo)及圓半徑即可得解.（2）按切線斜率存在與否分類討論，借助點(diǎn)到直線距離公式列式計(jì)算即得.【詳解】（1）依題意，，則直線的斜率為，方程為，即，由，解得，則圓圓心，，所以所求圓的方程為：.（2）圓的圓心，半徑，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，，點(diǎn)到切線的距離為2，不等于半徑，不滿足題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，則，解得，所以切線的斜率為.19.如圖，已知橢圓過點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線均不與軸垂直.（1）求橢圓的方程；（2）若，求的方程；（3）記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.【答案】（1）（2）（