菱形與梯形-中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習精講+熱考題型（解析版）

菱形與梯形-中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習精講+熱考

題型（專題測試）（解析版）

專題27菱形與梯形

（滿分：100分時間：90分鐘）

班級姓名學(xué)號分數(shù)

一、單選題（共10小題，每小題3分，共計30分）

1.（內(nèi)蒙古呼和浩特市?中考真題）命題①設(shè).迨。的三個內(nèi)角為A、B、C且

燃X嘎瑞翁白心令扁薩金管啥箴，則汽、，門、，中，最多有一個銳角；②順次連接

菱形各邊中點所得的四邊形是矩形；③從11個評委分別給出某選手的不同原始

評分中，去掉1個最高分、1個最低分，剩下的9個評分與11個原始評分相比，

中位數(shù)和方差都不發(fā)生變化.其中錯誤命題的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3

個

【答案】B

【分析】

①設(shè)a、尸、/中，有兩個或三個銳角，分別判斷有兩個銳角和有三個銳角時

矛盾，并且說明有一個銳角的情況存在即可；②利用中位線的性質(zhì)和矩形的判定

可判斷；③根據(jù)評分規(guī)則和中位數(shù)、方差的意義判斷.

【詳解】

解：①設(shè)a、,6、/中，有兩個或三個銳角，

若有兩個銳角，假設(shè)a、，6為銳角，

貝i」A+B〈90°,A+CV90。，

?,.A+A+B+C=A+180°<180°,

.?.A<0°,不成立,

若有三個銳角，同理，不成立，

假設(shè)A<45°,B<45°,貝iJa<90°,

???最多只有一個銳角，故命題①正確；

②如圖，菱形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點,

，HG〃EF,HE〃GF,

二四邊形EFGH是平行四邊形，

VAC1BD,

/.HE1HG,

...四邊形EFGH是矩形，故命題②正確;

③去掉一個最高分和一個最低分，不影響中間數(shù)字的位置，故不影響中位數(shù)，

但是當最高分過高或最低分過低，平均數(shù)有可能隨之變化，同樣，方差也會有所

變化，

故命題③錯誤；

綜上：錯誤的命題個數(shù)為L

故選B.

2.（黑龍江牡丹江市?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，0是菱形WTO

對角線：的中點，.少.軸且.二…將菱形繞點。旋轉(zhuǎn)，

使點D落在x軸上，則旋轉(zhuǎn)后點C的對應(yīng)點的坐標是（)

A.心內(nèi)B.（2.-,.

.ij/-.：：D.U：二/或i：

【答案】D

【分析】

分點C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸和y軸負半軸兩種情況分別討論，結(jié)合菱形的性質(zhì)求

解.

【詳解】

解：根據(jù)菱形的對稱性可得：當點D在x軸上時，

A、B、C均在坐標軸上，如圖，

VZBAD=60°,AD=4,

?,.ZOAD=30°,

/.0D=2,

,"AO=_J，=OC，

...點C的坐標為（0,-八6）,

同理：當點C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸時,

點C的坐標為（0,：4），

二點C的坐標為（0,或（0,二「），

故選D.

3.（浙江紹興市?中考真題）如圖，點。為矩形的對稱中心，點￡從點

/出發(fā)沿向點8運動，移動到點8停止，延長&9交。于點石則四邊形

/人:尸形狀的變化依次為（）

A.平行四邊形一正方形一平行四邊形一矩形

B.平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形

C.平行四邊形一正方形一菱形一矩形

D.平行四邊形一菱形一正方形一矩形

【答案】B

【分析】

根據(jù)對稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形形狀的變化情況.

【詳解】

解：觀察圖形可知，四邊形卞形狀的變化依次為平行四邊形一菱形一平行四

邊形一矩形.

故選：B.

4.（江蘇南通市?中考真題）下列條件中，能判定口48。是菱形的是（）

A.AC=BDB.ABX.BCC.AD=BDD.AC

LBD

【答案】D

【分析】

根據(jù)菱形的判定條件即可得到結(jié)果；

【詳解】

解：???四邊形力8。是平行四邊形，

...當時，四邊形力8。是菱形；

故選：D.

5.（西藏中考真題）如圖，下列四個條件中，能判定平行四邊形ABCD為菱形

的是（）

A.ZADB=90°B.OA=OBC.OA=OCD.AB

=BC

【答案】D

【分析】

根據(jù)菱形的判定定理和矩形的判定定理分別對各個選項進行推理判斷即可.

【詳解】

A、平行四邊形ABCD中，ZADB=90°,

不能判定四邊形ABCD為菱形，故選項A不符合題意；

B、?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.OA=OC,OB=OD,

VOA=OB,

/.AC=BD,

二平行四邊形ABCD是矩形，不能判定四邊形ABCD為菱形，故選項B不符合

題意；

C、???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.OA=OC,不能判定四邊形ABCD為菱形，故選項C不符合題意：

D、?.?四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC,

二平行四邊形ABCD是菱形；故選項D符合題意；

故選：D.

6.（內(nèi)蒙古呼倫貝爾市?中考真題）如圖,在：中，SD岸分別是邊（-S

上的中線，紇一UE于點點“〈分別是"—.的中點，若，1ST,X-6,

則四邊形DEYX的周長是（）

A.14B.20C.22D.28

【答案】B

【分析】

根據(jù)已知條件證明四邊形MNDE為菱形，結(jié)合OB和OC的長求出MN,OM,

OE,計算出EM,可得結(jié)果.

【詳解】

解：:BD和CE分別是AABC的中線，

.,.DE=：BC,DE〃BC,

和N分別是OB和OC的中點，OB=8,0c=6,

.?.MN=：BC,MN〃BC,OM=4-OB=4,ON=4-OC=3,

四邊形MNDE為平行四邊形，

VBD1CE,

平行四邊形MNDE為菱形，

.,.0E=0N=3

?收=飆”聞，螂

，DE=MN=EM=DN=5,

二四邊形MNDE的周長為20,

故選B.

7.（浙江臺州市?中考真題）如圖，已知線段AB,分別以A,B為圓心，大于「

同樣長為半徑畫弧，兩弧交于點C,D,連接AC,AD,BC,BD,CD,則下列

說法錯誤的是（）

A.AB平分NCADB.CD平分NACBC.AB±CDD.AB=CD

【答案】D

【分析】

根據(jù)作圖判斷出四邊形ACBD是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)：菱形的對角線平分

一組對角、菱形的對角線互相垂直平分可得出答案

【詳解】

解：由作圖知AC=AD=BC=BD,

四邊形ACBD是菱形，

...AB平分NCAD、CD平分/ACB、AB1CD,

不能判斷AB=CD,

故選：D.

8.（山東威海市?中考真題）如圖，在平行四邊形/8U。中，對角線孑「一.會,

.4-：。，￡-6,。為〃門的中點，￡為邊"匚上一點，直線交CD于點F,

連結(jié)沙，,二.下列結(jié)論不成立的是（）

A.四邊形小、為平行四邊形

B.若"則四邊形.%￡；為矩形

C.若達_。則四邊形露為菱形

D.若--曰，則四邊形.小乩為正方形

【答案】D

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，以及特殊平行四邊形的判定定理進行逐一判

斷即可得解.

【詳解】

A.V四邊形ABCD是平行四邊形

:.DC

???。為,；;C的中點

DO二RO

在士不。與△三。中

―1）0--EHU

-DO-20

'-DOr--BOE

又—f

四邊形Dig；為平行四邊形,

故A選項正確;

則當,4--$時，二一心

?..四邊形。8為平行四邊形

，四邊形.舊出為矩形，

故B選項正確；

C；出一3回：0

是力8中點

,/獨一十

:.DE-就-鴕

???四邊形為；￡,為平行四邊形

四邊形.％&?為菱形，

故C選項正確；

D.當?讓-13時與二三一:?.時矛盾，則?！恫淮怪庇诹?,則四邊形戈.乩,不為

矩形，則也不可能為正方形，故。選項錯誤，

故選：D.

9.（內(nèi)蒙古通遼市?中考真題）如圖，「是的中線，四邊形一?:二是平行

四邊形，增加下列條件，能判斷YE半是菱形的是（)

A.一河：B.――工C..iS-JCD."_

【答案】A

【分析】

根據(jù)菱形的判定方法逐一分析即可.

【詳解】

解：A、若一%（：_頓，則AD=BD=CD=AE,?.?四邊形ADCE是平行四邊形，

則此時四邊形ADCE為菱形，故選項正確；

B、若_D.正-式：，則四邊形ADCE是矩形，故選項錯誤；

C、若一V?乩，則NADC=90°,則四邊形ADCE是矩形，故選項錯誤；

D、若卷一,話,而AB>AD,貝UAEWAD，無法判斷四邊形ADCE為菱形，故

選項錯誤.

故選A.

10.（廣西來賓市?九年級三模）如圖，在口中，￡是8U的中點，且N/I尾

=ZDCE,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.S&AFD=2S&EFBB.BF=DF

C.AE=DCD./AEB=/ADC

【答案】A

【分析】

根據(jù)已知條件即可推出滔△必尸,推出選項/符合題意，選項8不符合題

意；推出四邊形/氏二。為等腰梯形，得出選項C。不符合題意即可.

【詳解】

解：?.?平行四邊形28。中，

:.XBEFSXDAF,

???￡是86?的中點，

BF-.FD=BE-.AD,

：.BF='^DF,故選項8不符合題意；

/.SWAFD=4SIEFB，故選項A符合題意；

'：AAEC=ADCE,AD//BC,

，四邊形/&N為等腰梯形，

：.AAEC=AC,AE=DC,故選項U不符合題意；

???N/EB+N板'=180。，//田/。=180。，AAEC=AC,

：.AAEB=AADC,故選項。不符合題意；

故選：4

二、填空題（共5小題，每小題4分，共計20分）

11.（江蘇淮安市?中考真題）菱形的兩條對角線長分別是6和8,則菱形的邊

長為.

【答案】5

【分析】

根據(jù)菱形對角線垂直平分，再利用勾股定理即可求解.

【詳解】

解：因為菱形的對角線互相垂直平分，

根據(jù)勾股定理可得菱形的邊長為.不二=5.

故答案為5.

12.（遼寧大連市?中考真題）如圖，菱形WCO中,一」.二-則73C-

【答案】】8

【分析】

利用菱形的性質(zhì)可得到NBAC=NBCA=/ACD=4T，再利用三角形的內(nèi)角和

定理即可求解.

【詳解】

?.?四邊形為菱形

...AC平分NDCB,DCAB

/.ZBAC=ZBCA=ZACD=IO:

；?在:中,ZABC=；SC-ZBAC-ZBCA=ISO-40-40c=106：

故答案為：「二。

13.（內(nèi)蒙古鄂爾多斯市?中考真題）如圖，平面直角坐標系中，菱形ABCD在

第一象限內(nèi)，邊BC與x軸平行，A,B兩點的縱坐標分別為6,4,反比例函數(shù)

y=（x>0）的圖象經(jīng)過A,B兩點，若菱形ABCD的面積為2及，則k的值

【答案】12

【分析】

過點A作x軸的垂線，交CB的延長線于點E,根據(jù)A,B兩點的縱坐標分別為

6,4,可得出橫坐標，即可表示AE,BE的長，根據(jù)菱形的面積為2、拒，求得

AE的長，在Rt^AEB中，計算BE的長，列方程即可得出k的值.

【詳解】

解：過點A作x軸的垂線，交CB的延長線于點E,

?.?BC〃x軸,

AAE1BC,

???A,B兩點在反比例函數(shù)y=：(x>0)的圖象，且縱坐標分別為6,4,

AA（三，6）,B（二，4）,

64

/.AE=2,BE=，-"，

46U

?.?菱形ABCD的面積為2、萬，

，BCxAE=2、「，即BC=4,

*'?AB—BC~9

在RtaAEB中，BE=Jj~?"=L

.,.k=12,

故答案為：12.

14.（遼寧營口市?中考真題）如圖，在菱形中，對角線/C8。交于點

O,其中。4=1,OB=2,則菱形的面積為.

【答案】4

【分析】

根據(jù)菱形的面積等于對角線之積的一半可得答案.

【詳解】

解：'：OA=1,08=2,

：.AC=2,BD=4,

二菱形的面積為；X2X4=4.

故答案為：4.

15.（陜西中考真題）如圖，在菱形力8。中，48=6,N8=60°,點￡在

邊/。上，且/￡=2.若直線/經(jīng)過點￡將該菱形的面積平分，并與菱形的另

一邊交于點月則線段）的長為.

【答案】2『.

【分析】

過點力和點￡作/3,8G于點G和”可得矩形ZGH￡再根據(jù)菱

形力8。中，AB=6,N6=60°,可得8G=3,AG=3、&=EH,由題意可得,

FH=FC-HC=2-1=1,進而根據(jù)勾股定理可得）的長.

【詳解】

解：如圖，過點力和點營作4G，8c斤于點G和”

得矩形AGHE,

：.GH=AE=2,

?.?在菱形中，AB=6,N8=60°,

:.BG=3,AG=3「=EH,

：.HC=BC-BG-GH=6-3-2=1,

?.?用平分菱形面積，

:.FC=AE=2,

：.FH=FC-HC=2-1=1,

在Rt△冊/中，根據(jù)勾股定理，得

*於H-FF=7F^1=2'尸?

故答案為：2『.

三、解答題（共5小題，每小題10分，共計50分）

16.（廣東廣州市?中考真題）如圖，工dD中，黝懶口蜀旗豳.

（1）作點〃關(guān)于的對稱點匚；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕

跡）

（2）在（1）所作的圖中，連接i,火，連接“；‘，交：于點》

①求證：四邊形.寸二。是菱形；

②取火.的中點.：，連接。三，若。工‘，2^-10,求點上到小的距離.

【答案】（1）見解析；（2）①見解析：②”.

1?

【分析】

（1）過點4做的垂線交上「于點"，在；4的延長線上截取，即

可求出所作的點.關(guān)于的對稱點U；

（2）①利用盤緘瀚，一G得出利用以及

得出四邊形一喈（?0是菱形；

②利用?！隇橹形痪€求出4：的長度，利用菱形對角線垂直平分得出。。的長度,

進而利用工?工0子求出.=0的長度，得出對角線，式.的長度，然后利用面積法求

出點，.到京，的距離即可.

【詳解】

（1）解：如圖：點C即為所求作的點；

（2）①證明：

???.*）_.二，'「'，

乂?-4。--4。，

??.圖雄嬲睡曲娜幼；

；.米一二6,

二四邊形.4Uj是菱形；

②解：?.?四邊形/是菱形，

AAO?CO,BG-DO,

乂

為EC的中點，

USE，

'：AO-CO,

???DE為，4r的中位線，

0E^~,

■

-

??.iSA??

.??菱形的邊長為13,

紀，25

在三?上支力中，由勾股定理得：/=蠲售「1涕，即：翩金畫二？噌，

二_'4,

設(shè)點E至廣―的正』為人利用面積相等得：

*轆優(yōu)解?鬻《，

曾

解得：

即三到q的距離為三

17.（湖北黃石市?中考真題）如圖，反比例函數(shù)?-T的圖象與正比例函

數(shù)：-：的圖象相交于.」：「、8兩點，點U在第四象限，BC〃x軸.

(1)求攵的值；

(2)以4、為邊作菱形星《0,求。點坐標.

【答案】(1)k=2；(2)D點坐標為Q+：/,2).

【分析】

(1)根據(jù)題意，點TL：;，在正比例函數(shù)J-＞上，故將點.〕：=，代入正比例函

數(shù):二：?中，可求出a值，點A又在反比例函數(shù)圖像上，故k值可求；

(2)根據(jù)(1)中已知A點坐標，則B點坐標可求，根據(jù)兩點間距離公式可以

求出AB的長，最后利用已知條件四邊形ABCD為菱形，BC〃x,即可求出D

點坐標.

【詳解】

(1)根據(jù)題意，點41「;，在正比例函數(shù)j二二?上，故將點此二，代入正比例函

數(shù):二二中，得a=2,故點A的坐標為(L2),點A又在反比例函數(shù)圖像上，設(shè)

反比例函數(shù)解析式為：=＞二『小，將AQ,2)代入反比例函數(shù)解析中，得k=2.

故k=2.

(2)如圖，A、B為反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點，故可得--二工，解得11,

T,如圖，已知點A坐標為(1,2),故點B坐標為(-1,-2),根據(jù)兩點間

距離公式可得AB=皤項i.博疆，根據(jù)已知條件中四邊形ABCD為菱形，故

AB=AD=：v"AD〃BC〃x軸，則點D坐標為(1+：丫，?,2).

故點D坐標為(l+：v，f,2).

18.(上海中考真題)已知：如圖，在菱形28。中，點￡下分別在邊48、

/。上，BE=DF,%的延長線交。力的延長線于點G,U尸的延長線交84的延

長線于點H.

(1)求證：XBEC-XBCH：

(2)如果求證：AG=DF.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】

(1)先證明△Q&AU8E進而得到NO8N8UE再由菱形對邊。BH,

得到N〃=NOa；進而NBCE=NH即可求解.

(2)由得至U,再利用/GBC,平行線分線段成比例定

理得到包=三，再結(jié)合已知條件即可求解.

A3BC

【詳解】

解：?四邊形是菱形，

:.CD=CB,乙D=^B,CDAB.

,:DF=BE,

.?"/△gSAS),

:.乙DCF二乙BCE.

:CDBH,

:.乙H=乙DCF,

:.乙BCE=AH.且N8=N8,

:.&BEJBCH.

?:BR=ABAE,

:AGBC,

?:DF=BE,BC=AB,

:.BE=AG=DF,

^AG=DF.

19.（湖北咸寧市中考真題）如圖，在二二mcr中，以點8為圓心，，：;」長為半

徑畫弧，交次;于點E,在二上截取疔-3E,連接守.

（1）求證：四邊形「.是菱形；

（2）請用無刻度的直尺在二一后UP內(nèi)找一點"，使一七叼-￡：（標出點戶的位

置，保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】

（1）根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，得出AF〃BE,由作圖過程可知AF=BE,

結(jié)合AB=BE即可證明；

（2）利用菱形對角線互相垂直的性質(zhì)，連接AE和BF,交點即為點P.

【詳解】

解：（1）根據(jù)作圖過程可知：AB=BE,AF=BE,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

，AF〃BE,

VAF=BE,

四邊形ABEF為平行四邊形，

VAB=BE,

平行四邊形ABEF為菱形；

（2）如圖，點P即為所作圖形，

???四邊形ABEF為菱形,則BF_LAE,

AZAPB=90°.

20.（福建中考真題）如圖，點E二分別在菱形的邊丁，上，且

tE-3F.

求證:.

【答案】詳見解析

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AB=AD,zB=zD,再結(jié)合已知條件BE=DF即可證明

幽除曲瞬后即可求解.

【詳解】

解：證明：???四邊形.妗CD是菱形,

菱形與梯形

【知識要點】

知識點一菱形

菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

菱形的性質(zhì)：

1、菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

2、菱形的四條邊都相等；

幾何描述：?四邊形ABCD是菱形/.AB=BC=CD=AD

3、菱形的兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角。

幾何描述：???四邊形ABCD是菱形

，AC_LBD,AC平分/BAD,CA平分/BCD,BD平分NCBA,DB平分NADC

I)

B

3、菱形.既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交

點，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心。

菱形的判定：

1、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

2、四條邊相等的四邊形是菱形。

3、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

菱形的面積公式：菱形ABCD的對角線是AC、BD,則菱形的面積公式是：$=底

義高，S=-xACxBD

r2

知識點二梯形

梯形的定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形；有一個角是直

角的梯形叫直角

梯形；有兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形

等腰梯形性質(zhì)：

1）等腰梯形的兩底平行，兩腰相等；

2）等腰梯形的同一底邊上的兩個角相等；

3）等腰梯形的兩條對角線相等；

4）等腰梯形是軸對稱圖形（底邊的中垂線就是它的對稱軸）。

等腰梯形判定：

1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；

2）同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；

3）對角線相等的梯形是等腰梯形。

梯形的面積公式：面積=1x（上底+下底）X高

解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：

1）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中；

2）“移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中;

3）“延長兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個三角形；

4）“等積變形”：連接梯形上底一端點和另一腰中點，并延長交下底的延長線

于一點，構(gòu)成三角形.并且這個三角形面積與原來的梯形面積相等.

5）平移腰。過上底端點作一腰的平行線，構(gòu)造一個平行四邊形和三角形。

考查題型一探索菱形的性質(zhì)

典例1.（湖北黃岡市?中考真題）若菱形的周長為16,高為2,則菱形兩鄰角的

度數(shù)之比為（）

A.4:1B.5:1C.6:1D.7:1

變式1-1.（甘肅金昌市?中考真題）如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的

菱形構(gòu)成，根據(jù)實際需要可以調(diào)節(jié)力E間的距離，若4E間的距離調(diào)節(jié)到60。機，

菱形的邊長AB=2（）cm,則ND鉆的度數(shù)是（）

I）

於六

I??。ǔ?

w

H

A.90°B.100°C.120°D.150°

變式1-3.（貴州貴陽市?中考真題）菱形的兩條對角線長分別是6和8,則此菱

形的周長是（）

A.5B.20C.24D.32

變式1-4.（黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖，菱形ABCO的對角線AC、3。相

交于點。，過點。作于點H,連接OH,若。4=6,OH=4,則菱形

A5CD的面積為（）

A.72B.24C.48D.96

變式1-4.（山東日照市?中考真題）已知菱形的周長為8,兩鄰角的度數(shù)比為L

2,則菱形的面積為（）

A.8百B.8C.46D.273

變式1-5.（貴州遵義市?中考真題）如圖，在菱形A8CD中，AB=5,AC=6,過

點。作。ELBA,交班的延長線于點E,則線段DE的長為（）

121824

A.—B.—C.4D.—

555

考查題型二證明四邊形是菱形

典例2.（湖南婁底市?中考真題）如圖，ABC。中，BC^IAB,ABA.AC,

分別在邊8C、AD上的點E與點F關(guān)于4c對稱，連接EF、AE、CF、DE.

（1）試判定四邊形AECF的形狀，并說明理由；

（2）求證：AEYDE

變式2-1.（山東濱州市?中考真題）如圖，過DABCD對角線AC與BD的交點E

作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC.CD、DA于點P、M、Q、N.

（1）求證：PBEgQDE；

（2）順次連接點P、M、Q、N,求證：四邊形PMQN是菱形.

變式22（江蘇宿遷市?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E,F在AC上,

且AF=CE.求證：四邊形BEDF是菱形.

考查題型三菱形性質(zhì)與判定的綜合

典例3.（黑龍江綏化市?中考真題）如圖，在心.ABC中，8為斜邊A6的中

線，過點。作DELAC于點E,延長。E至點F,使印=DE,連接ARCE,點

G在線段上，連接EG,且NCDE+NEGC=18（）o,EG=2,GC=3.下列結(jié)論:

①DE.BC；②四邊形DBCF是平行四邊形；③b=EG；④BC=2布.其中

正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

變式3-1.（內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在中，NACB=90。，BC>AC,

按以下步驟作圖：（1）分別以點AB為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩

弧相交于M,N兩點（點M在的上方）；（2）作直線MN交A8于點0,交BC

于點D；（3）用圓規(guī)在射線上截取=連接A￡）,AE,8E,過點。作

OF±AC,垂足為F,交AD于點G.下列結(jié)論：

①CD=2GF；②BEP-82=m2；③SB°E=2SMG；④若AC=6,O尸+04=9,

則四邊形AD5E的周長為25.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

變式32（四川南充市?中考真題）如圖，面積為S的菱形ABCD中，點。為對

角線的交點，點E是線段BC單位中點，過點E作EFJ_BD于F,EG_LAC與G,

則四邊形EF0G的面積為（）

變式3-3.（廣東中考真題）已知菱形ABC。，E,F是動點,邊長為4,

BE=AF,ZBAD=UQ°,則下列結(jié)論正確的有幾個（）

①\BEC也MFC；②AECF為等邊三角形

（3）ZAGE=ZAFC④若AF=1,則空

GE3

A.1B.2C.3D.4

考查題型四探索梯形的性質(zhì)

典例4.（廣東茂名市?九年級一模）如下圖所示，在梯形ABC。中，己知

AB=1cm,CD=3cm,MDO的面積為15cm2,則梯形ABCD的面積是（）c/

考查題型五梯形性質(zhì)與判定的綜合

典例5.（江蘇南通市模擬）如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,BA=AD=DC,點E

在CB延長線上，BE=AD,連接AC、AE.

（1）求證：AE=AC；

⑵若ABLAC,F是BC的中點，試判斷四邊形AFCD的形狀，并說明理由.

變式5-1.（上海楊浦區(qū)?九年級一模）如圖，已知在梯形A8c。中，48〃CO,A8=12,

￡）￡2

CD=7,點E在邊4。上，—過點E作EF〃陽交邊8c于點F.

AE3

（1）求線段EF的長；

（2）設(shè)A3=a，AD-b，聯(lián)結(jié)AF,請用「可量表不向量A/7.

變式5-2.（陜西九年級零模）某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計的學(xué)生板凳的正面視

圖如圖所示，其中BA=CD,BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距

離分別為40cm、8cm.為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm,那么橫梁

EF應(yīng)為多長？（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計）.

變式5-3.（景縣模擬）（材料學(xué)習）

小學(xué)里已經(jīng)學(xué)過：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形稱為梯形，平行的

一組對邊稱為底，不平行的一組對邊稱為腰.

如圖（1）,在等腰三角形紙片ABC上，畫底邊的平行線。民可得到一個梯

形DBCE.由NB=NC,DE//3C,可知于是又

AB=AC,從而￡>8=EC.

定義:像梯形DBCE,兩腰相等的梯形稱為等腰梯形.

幾何語言：如圖（1）,在梯形。8CE中，=，梯形。BCE是等腰梯

形.

圖（1）

如果把圖（1）的等腰三角形紙片ABC沿頂角平分線AM折疊，那么與AC重

合，由于=可知點。與點E重合，如圖（）2,于是MB=MC,ND=NE.由

此，我們可以得到如下結(jié)論：

圖（2）

（1）等腰梯形是軸對稱圖形，過兩底中點的直線是它的對稱軸，

（2）等腰梯形在同一底上的兩個角相等，

（3）等腰梯形的對角線相等.

（探究歸納）

利用等腰梯形與等腰三角形的內(nèi)在聯(lián)系，我們還可以研究：具備什么條件的梯形

是等腰梯形？

（1）如圖（3）,在梯形ABC。中，AD//BC/B=4C,求證：梯形ABC。是

等腰梯形；

歸納提煉1；通過（1）的證明可知：的梯形是等腰梯形；

（2）如圖（4）,在梯形ABCO中，AD"BC,AC=BD,求證：梯形ABC。是

等腰梯形.

歸納提煉2：通過（2）證明可知：的梯形是等腰梯形;

考查題型六利用輔助線解決梯形計算問題

典例6.（雷州市模擬）已知等腰梯形的大底等于對角線的長，小底等于高，則

該梯形的小底與大底的長度之比是（）

A.3:5B.3:4C.2：3D.1:2

變式6-1.（石家莊市模擬）如圖所示，于點A,CD_L/4D于點。，ZC

=120°.若線段8c與CD的和為12,則四邊形ABCD的面積可能是（）

A.2473B.30百C.45D.

2

變式6-2.（湖北隨州市模擬）從正五邊形的五個頂點中，任取四個頂點連成四

邊形，則這個四邊形是等腰梯形的概率是（）

21

A.1B.—C.一D.0

55

變式6-3.（江蘇蘇州市模擬）如圖,在梯形A8CD中，AD//BC,EF是梯形48co

的中位線，若ABEF的面積為4cm2,則梯形A8CD的面積為（）

C.16cm2D.20cm2

變式6-4.（甘肅蘭州市?九年級期末）一個等腰梯形的兩底之差為12,高為6,則

等腰梯形的銳角為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

變式6-5.（四川成都市期末）如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,ZABC

=ZC,BD平分NABC,AD=2,ZC=60°,則BC=.

D

變式66（山東荷澤市模擬）已知：等腰梯形ABCD外切于為。0,AD〃BC,

若AD=4,BC=6,AB=5,則。0的半徑的長為—.

菱形與梯形

【知識要點】

知識點一菱形

菱■而定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

菱形的性質(zhì)：

1、菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

2、菱形的四條邊都相等；

幾何描述：???四邊形ABCD是菱形.\AB=BC=CD=AD

3、菱形的兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角。

幾何描述：???四邊形ABCD是菱形

，AC_LBD,AC平分NBAD,CA平分NBCD,BD平分NCBA,DB平分NADC

3、菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交

點，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心。

菱形的判定：

1、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

2、四條邊相等的四邊形是菱形。

3、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

菱形的面積公式：菱形ABCD的對角線是AC、BD,則菱形的面積公式是：$=底

-：AC-

義局，S=-

知點—

梯信而定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形；有一個角是直

角的梯形叫直角

梯形；有兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形

等腰梯形性質(zhì)：

1）等腰梯形的兩底平行，兩腰相等；

2）等腰梯形的同一底邊上的兩個角相等；

3）等腰梯形的兩條對角線相等；

4）等腰梯形是軸對稱圖形（底邊的中垂線就是它的對稱軸）。

等腰梯形判定：

1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；

2）同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；

3）對角線相等的梯形是等腰梯形。

梯形的面積公式：面積=°X（上底+下底）X高

解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：

1）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中；

2）“移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中；

3）“延長兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個三角形；

4）“等積變形”：連接梯形上底一端點和另一腰中點，并延長交下底的延長線

于一點，構(gòu)成三角形.并且這個三角形面積與原來的梯形面積相等.

5）平移腰。過上底端點作一腰的平行線，構(gòu)造一個平行四邊形和三角形。

6）過上底中點平移兩腰。

【考查題型】

.岸索要先的性腰

?證明岫形墨要形

?要形性88與初定的給臺

專題27菱形與梯形學(xué)自儂

?掙蒙棒形的性8!

.2形性！B與軻疣的綠合

.利腳I助戰(zhàn)第決拂弦計算向塞

考查題型一探索菱形的性質(zhì)

典例1.（湖北黃岡市?中考真題）若菱形的周長為16,高為2,則菱形兩鄰角

的度數(shù)之比為（）

A.I1B.?1C.61D.-1

【答案】B

【提示】如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2,利用菱形的性質(zhì)得到AB=4,

利用正弦的定義得到/B=30°,則NC=150°,從而得到NC：NB的比值.

【詳解】解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2,

???菱形的周長為16,

；.AB=4,

在RtZ\ABH中，sinB=J=二=±,

In?、

?SSQ?

.,.ZB=30°,

VAB/7CD,

/.ZC=150°,

AZC：NB=5：1.

故選：B.

變式1-1.（甘肅金昌市?中考真題）如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的

菱形構(gòu)成，根據(jù)實際需要可以調(diào)節(jié)?,二間的距離，若一間的距離調(diào)節(jié)到60■,

菱形的邊長.姐=2%…,則.D4.S的度數(shù)是（）

/t

K

A.9/B.C.；20DD.15（P

【答案】C

【提示】如圖（見解析），先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得幽E豳微耀器，再根據(jù)全

等的性質(zhì)可得般管5輜呂瓢融，然后根據(jù)等邊?角形的判定與性質(zhì)可得

多

^-60%最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得.

【詳解】如圖，連接AC

???四邊形ABCD是菱形

X魂E解?蹤碟幽敏0

?.?如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成，aE-包;…

￡密N憶段前^

堪

..15-SC-

二白C是等邊三角形

..d?

:.O3C

?一D四-】即-4--60。_120：

故選：C.

變式1-3.（貴州貴陽市?中考真題）菱形的兩條對角線長分別是6和8,則此菱

形的周長是（）

A.5B.20C.24D.32

【答案】B

【提示】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，利用對角線的一半，根據(jù)勾股

定理求出菱形的邊長，再根據(jù)菱形的四條邊相等求出周長即可.

【詳解】解：如圖所示，根據(jù)題意得AO=；N-J,BO=|S

△.

?.?四邊形ABCD是菱形，

/.AB=BC=CD=DA,AC±BD,

...△AOB是直角三角形，

,AB=^耨串財x，履營，

此菱形的周長為：5x4=20.

故選：B.

變式1-4.（黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖，菱形40的對角線.:相

交于點。，過點D作任于點；，連接。三，若必-5,--，則菱形

四的面積為（）

B

D

A.72B.24C.48D.96

【答案】C

【提示】根據(jù)菱形的性質(zhì)得。為BD的中點，再由直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半，得BD的長度，最后由菱形的面積公式求得面積.

【詳解】解：?.?四邊形.步是菱形,

???注！一。U，OB-OD，JCSD,

■?????*■?■

?**HD=9產(chǎn)，

:.2D二20E，

?（）!!一1，

???初-3，

??S-6，

：?dC=1二，

...菱形I-■（:）的面積L翼.輜鼻寬魂殿,輾.

故選：C.

變式1-4.（山東日照市?中考真題）已知菱形的周長為8,兩鄰角的度數(shù)比為L

2,則菱形的面積為（）

A.8,；3B.8C.4,；3D.2、萬

【答案】D

【提示】根據(jù)菱形的性質(zhì)和菱形面積公式即可求出結(jié)果.

【詳解】解:如圖，［兩鄰角度數(shù)之比為1：2,兩鄰角和為180°,

：.ZABC=60°,ZBAD=120°,

?.?菱形的周長為8,

...邊長48=2,

...菱形的對角線/C=2,BD=2x2sin60°=2，萬,

.?.菱形的面積=:ACBD=\x2x2、萬=2、萬.

故選：D.

變式1-5.（貴州遵義市?中考真題）如圖，在菱形中，AB=5,/U=6,

過點。作DELBA,交BA的延長線于點E,則線段OF的長為（）

E

12C元「“C

AA-TB-TU4D-T

【答案】D

【提示】利用菱形的面積等于兩對角線之積的一半，求解菱形的面積，再利用等

面積法求菱形的高:%即可.

【詳解】解：記AC與BD的交點為0,

二菱形.應(yīng)力,，北二良

\

碗H愣1歲碼

/.菱形的面積65-：二，

-.菱形的面積=.4,以

故選D.

考查題型二證明四邊形是菱形

典例2.（湖南婁底市?中考真題）如圖，二.選匚「中，三（?一二3,」f_二C，

分別在邊三E、上的點￡與點尸關(guān)于,對稱，連接出、；.：.、CE、.

（1）試判定四邊形.WXF的形狀，并說明理由;

（2）求證：￡一比

【答案】（1）四邊形為菱形，理由詳見解析；（2）詳見解析

【提示】

（1）根據(jù)題意可證明圓&螂?徽藤，再由露鼻蜘鮮以蜷可得到四邊形

一正CF是菱形；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：（1）四邊形.正仁:為菱形，理由如下

由二一少UP可得aDBC，從而一

設(shè)X'與M相交于點O

?.?點￡與點尸關(guān)于"對稱

在」OF和二COE中

ZGi?=-ACE

fOE=OF

；_QF=_C0￡

?皿踴簟的

???3-，大，又咨螟翳。

二四邊形.正為菱形，

(2)'：.iB-.lC，據(jù)⑴EF.<C

又O.l-OC^BE-C￡4，“一少

11

甌三曲kX函就Fa踴

鬻段

?'?AE^DE-

變式2-1.(山東濱州市?中考真題)如圖，過nABCD對角線AC與BD的交點

E作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC.CD、DA于點P、M、Q、N.

(1)求證：PBE會一QDE；

(2)順次連接點P、M、Q、N,求證：四邊形PMQN是菱形.

BMC

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【提示】(1)由ASA證△PBEgZXQDE即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出EP=EQ,同理△BME^^DNE(ASA),得出

EM=EN,證出四邊形PMQN是平行四邊形，由對角線PQ_LMN,即可得出結(jié)

論.

【詳解】

(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.EB=ED,AB〃CD,

/.ZEBP=ZEDQ,

在aPBE和△QDE中，

：*￡￡!=￡D,

二口火

/.△PBE^AQDE(ASA)；

(2)證明：如圖所示：

VAPBE^AQDE,

，EP=EQ,

同理：^BME絲Z\DNE(ASA),

.\EM=EN,

四邊形PMQN是平行四邊形,

VPQ1MN,

...四邊形PMQN是菱形.

變式2-2.（江蘇宿遷市?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E,F在AC

上，且AF=CE.求證：四邊形BEDF是菱形.

【答案】見解析

【提示】

由正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD=BC,ZDAE=ZBAE=ZBCF=ZDCF=45°,

由"SAS"可證△ABEgAADE,ABFC^ADFC,AABE^ACBF,可得

BE=BF=DE=DF,可得結(jié)論.

【詳解】

???四邊形ABCD是正方形，

.?.AB=AD=CD=BC,ZDAE=ZBAE=ZBCF=ZDCF=45°,

在ZSABE和aADE中，

/.△ABE^AADE(SAS),

，BE=DE,

同理可得△BFCgZ\DFC,

可得BF=DF,

VAF=CE,

.?.AF-EF=CE-EF,即AE=CF,

在ZXABE和4CBF中，

.15-BC

?-_5CF,

'AE-CF

/.△ABE^ACBF（SAS）,

，BE=BF,

.,.BE=BF=DE=DF,

四邊形BEDF是菱形.

考查題型三菱形性質(zhì)與判定的綜合

典例3.（黑龍江綏化市?中考真題）如圖，在三「T中，CD為斜邊的中

線，過點。作區(qū)TC于點￡延長）.至點尸，使連接了。二，

點G在線段上，連接EG，且^?皆&^0嬲虞瑜厘惠翎啟交下列結(jié)

論：①。F-：；②四邊形DS0F是平行四邊形；③3-④"-入土其

中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4

個

【答案】D

【提示】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)知DA=DB=DC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合菱

形的判定定理可證得四邊形ADCF為菱形，繼而推出四邊形DBCF為平行四邊

形，可判斷①②；利用鄰補角的性質(zhì)結(jié)合已知可證得NCFE=/FGE,即可判斷

③；由③的結(jié)論可證得△FEG'AFCD,推出袋金簿，即可判斷④.

【詳解】???在我亡；￡。中，CU為斜邊“S的中線，

/.DA=DB=DC.

???比_aC于點￡且

.-.AE=EC,

四邊形ADCF為菱形，

.,.FC//BD,FC=AD=BD,

二四邊形DBCF為平行四邊形，故②正確；

.\DF=BC,

/.DE=；BC,故①正確；

個

?.?四邊形ADCE為菱形，

，CF=CD,

/.ZCFE=ZCDE,

??,/CDE+NEGC=180?,而NFGE+NEGC=180>,

...NCDE=NFGE,ZCFE=ZFGE,

，EF=EG,故③正確;

VZCDF=ZFGE,ZCFD=ZEFG,

.,.△FEG-AFCD,

FD-

ABC=DF_j,/,故④正確；

綜上，①②③④都正確，

故選：D.

變式3-1.（內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在幻二TSC中,二UE-療，EC>.1C,

按以下步驟作圖：（1）分別以點-二為圓心，以大于，出的長為半徑作弧，兩

弧相交于X〈兩點（點例在h；的上方）；（2）作直線交于點O,

交不.于點