2024-2025學(xué)年四川省金堂縣金龍中學(xué)八上數(shù)學(xué)手拉手模型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練試題【含答案】

2024-2025學(xué)年四川省金堂縣金龍中學(xué)八上數(shù)學(xué)手拉手模型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練試題一．選擇題（共4小題）1．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為（）A．6 B．6 C．4+2 D．32．如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)P，連接AP、BP、DP．若AP＝，PB＝4．則DP的最大值為（）A．4+2 B．4+ C．5 D．63．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，則CD的長(zhǎng)為（）A． B．4 C． D．4.54．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）A．0.5 B．2.5 C． D．1二．填空題（共10小題）5．如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，△ACD是等邊三角形，連接BD，則線段BD的長(zhǎng)為．6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以AC為邊在△ABC下方作△ADC，連接BD，已知AD＝3，DC＝6，則BD的最大值為．?7．如圖，D是等邊三角形△ABC外一點(diǎn)，AD＝5，CD＝3，當(dāng)BD長(zhǎng)最大時(shí)，△ABC的面積為．8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，若CD＝3，BD＝5，∠BDC＝75°，則線段AD的長(zhǎng)為．9．如圖，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，將線段BC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BC′，連接AC′，CC′，則△ABC′的面積為．10．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)F，OF＝2，AF＝，則正方形ABCD的面積為．11．如圖，在四邊形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，∠BAD＝105°，AD＝4，CD＝13，則AB＝．12．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若，，PC＝1，則∠BPC＝．13．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)D是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BE，連接DE，得到△BDE，則OE的最小值為．14．在四邊形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝∠BDC＝90°，若BD＝3，DC＝1，則AD＝．三．解答題（共8小題）15．如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且BD＝CE，BE與AD相交于點(diǎn)F．（1）求∠AFE的度數(shù)．（2）若AF⊥FC，求證：AF＝2BF．16．如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，以AC為邊向外作等邊△ACD，求BD的長(zhǎng)．17．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝45°，BC＝CD，∠BCD＝90°，求AD的長(zhǎng)．18．【問(wèn)題背景】學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在專(zhuān)題學(xué)習(xí)中遇到一個(gè)幾何問(wèn)題：如圖1，已知等邊△ABC，D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的長(zhǎng)．該小組在研究如圖2中△OMN≌△OPQ中得到啟示，于是作出圖3，從而獲得了以下的解題思路，請(qǐng)你幫忙完善解題過(guò)程．解：如圖3所示，以DC為邊作等邊△CDE，連接AE．∵△ABC、△DCE是等邊三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．∴∠BCA+∠ACD＝+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，∴，∴AE＝BD＝5．∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．∵AD＝3，∴CD＝DE＝．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC為直角邊，A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△ACD，求BD的長(zhǎng)．【拓展創(chuàng)新】如圖5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC為邊向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，連接AD，求AD的最大值．19．在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°．（1）如圖1，已知∠D＝30°，直接寫(xiě)出∠A+∠C的度數(shù)；（2）如圖2，已知∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝4，連接BD，求BD的長(zhǎng)度；（3）如圖3，已知∠ADC＝75°，BD＝6，請(qǐng)判斷四邊形ABCD的面積是否有最小值？如果有，請(qǐng)求出它的最小值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．問(wèn)題：如圖①，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝2，，PC＝1，求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)．（1）李明的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖②），連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），可得∠AP′B＝°，所以∠BPC＝∠AP′B＝°，還可證得△ABP是直角三角形，進(jìn)而求出等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，問(wèn)題得到解決．（2）探究并解決下列問(wèn)題：如圖③，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，PC＝1．求∠BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長(zhǎng)．21．閱讀下面材料，完成任務(wù)．如圖①，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝2，，PC＝1，求∠BPC的大?。蠲魍瑢W(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖②），連接PP'，可得△P'PB是等邊三角形，而△P'PA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠AP'B＝150°，則∠BPC＝∠AP'B＝150°，任務(wù)：請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：如圖③，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，PC＝1（1）求∠BPC的大?。唬?）求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．22．如圖，在等邊△ABC外部有一點(diǎn)P，若∠BPA＝30°，求證：PA2+PB2＝PC2．

參考答案與試題解析一．選擇題（共4小題）1．【解答】解：如圖：以AO為邊作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，∵四邊形BCDE是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90°，∵△AOF是等腰直角三角形，∴AO＝FO，AF＝AO，∵∠BOC＝∠AOF＝90°，∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO，∴△AOB≌△FOC（SAS），∴AB＝CF＝4，若點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)F三點(diǎn)不共線時(shí)，AF＜AC+CF；若點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，AF＝AC+CF，∴AF≤AC+CF＝2+4＝6，∴AF的最大值為6，∵AF＝AO，∴AO的最大值為3．故選：D．2．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，使E、B在AP兩側(cè)，AP＝AE＝，連接BE，∴PE＝＝2，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠PAE+∠PAB＝∠BAD+∠PAB＝90°+∠PAB，∴∠BAE＝∠PAD，在△AEB和△APD中，，∴△AEB≌△APD（SAS），∴DP＝BE，∵BE≤PE+PB＝4+2＝6，∴當(dāng)點(diǎn)P落在線段BE上時(shí)，BE有最大值為6，∴DP的最大值為6．故選：D．3．【解答】解：如圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE．∵∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE．又∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AE＝5，AD＝3，于是DE＝，∴CD＝DE＝4．故選：B．4．【解答】解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在線段軌跡上運(yùn)動(dòng)將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EHG，連接BH，得到△EFB≌△EHG從而可知△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，延長(zhǎng)HM交CD于點(diǎn)N．則△EFB≌△EHG，∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，∴△EBH為等邊三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，作CM⊥HN，由垂線段最短可知，CM即為CG的最小值，作EP⊥CM，連接BH，EH，則四邊形HEPM為矩形，∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，∴∠PEC＝30°．∵EC＝BC﹣BE＝3，∴CP＝EC＝，∴CM＝MP+CP＝1+＝，即CG的最小值為．方法二：以CE為邊作等邊三角形CEH，連接FH，則△CEG≌△EFH，∴CG＝FH，當(dāng)FH⊥AB時(shí)，F(xiàn)H最?。?+＝．故選：B．二．填空題（共10小題）5．【解答】解：∵△ACD是等邊三角形，∴AD＝AC，∠DAC＝60°，∴把△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，如圖，連接BE，作EH⊥BC與H，∵△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，∴CE＝BD，AB＝AE，∠EAB＝60°，∴△ABE為等邊三角形，∴∠ABE＝60°，BE＝AB＝2，∵∠ABC＝60°，∴∠EBH＝60°，在Rt△BEH中，BH＝BE＝1，EH＝BH＝，在Rt△ECH中，∵EH＝，CH＝BC+BH＝3+1＝4，∴CE＝＝，∴BD＝．故答案為．6．【解答】解：如圖，以CD為直角邊點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形CDE，連接AE，∴CD＝CE＝6，∠DCE＝90°，∴DE＝CD＝6，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BCD＝90°+∠ACD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE，∵AE≤AD+DE，∴BD≤AD+DE，∴BD≤3+6，∴BD的最大值為3+6．故答案為：3+6．7．【解答】解：以CD為邊作等邊△DCE，連接AE．∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE，在△ADE中，∵AD＝5，DE＝CD＝3，∴AE≤AD+DE，∴AE≤8，∴AE的最大值為8，∴當(dāng)A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，BD的值最大，且為8，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC交AC于點(diǎn)M，∵∠CDE＝∠BDC＝∠E＝60°，∴∠DCF＝30°，∴，∴，，∴，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，∴△ABC中AC邊上的高，∴△ABC的面積為，故答案為：．8．【解答】解：以CD為邊在CD的右側(cè)作等邊△CDE，連接BE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥ED，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴∠BFD＝90°，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵△CDE都是等邊三角形，∴CD＝CE＝DE＝3，∠DCE＝∠CDE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵∠BDC＝75°，∴∠BDF＝180°﹣∠BDC﹣∠CDE＝45°，∴∠DBF＝90°﹣∠BDF＝45°，∴∠DBF＝∠BDF＝45°，∴BF＝DF＝＝＝5，在Rt△BFE中，EF＝DF+DE＝5+3＝8，∴BE＝＝＝，∴AD＝BE＝，故答案為：．9．【解答】解：延長(zhǎng)AC至D，使AD＝BD，連接BD，如圖，∵∠CAB＝60°，∴△ABD為等邊三角形．∵BC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BC′，∴△BCC'為等邊三角形，∴BC＝BC'，∠CBC'＝60°，∵∠DBA﹣∠ABC＝∠CBC'﹣∠ABC，即∠DBC＝∠ABC'．在△DBC和△ABC'中，，∴△DBC≌△ABC'（SAS）．∴S△DBC＝S△C'AB，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，∴BE＝AB?sin60°＝10×＝5，DC＝AD﹣AC＝10﹣6＝4，∴S△DBC＝＝＝10，∴S△C'AB＝10．故答案為：10．10．【解答】解：連接AC，過(guò)O點(diǎn)作OG⊥OF交DE于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是正方形，O為BD的中點(diǎn)，AC，BD為對(duì)角線，∴O為對(duì)角線的交點(diǎn)，在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OD，∵OG⊥OF，∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠DOG+∠AOG＝90°，∴∠AOF＝∠DOG，∵AF⊥DE，∴∠FAO+∠2＝90°，∵∠GDO+∠1＝90°，且∠1＝∠2，∴∠FAO＝∠GDO，在△AOF與△DOG中，，∴△AOF≌△DOG（ASA），∴AF＝DG＝，OG＝OF＝2，∴△OFG是直角三角形，∴FG＝＝2，∴FD＝FG+GD＝3，在Rt△AFD中，AD2＝FD2+AF2＝（3）2+（）2＝20，∴正方形ABCD的面積為20．故答案為：20．11．【解答】解：如圖，將△ADB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEF，連接AF，AE，作AH⊥EF于H．∵AD＝DE＝4，∠ADE＝90°，∴AE＝＝＝8，∠AED＝∠DAE＝45°，∵∠DEF＝∠BAD＝105°，∴∠AEF＝60°，∵AH⊥EF，∴EH＝AE＝4，AH＝EH＝4，∵AC⊥BD，DF⊥BD，∴AC∥DF，∵AC＝BD，BD＝DF，∴AC＝DF，∴四邊形ACDF是平行四邊形，∴AF＝CD＝13，∴FH＝＝＝11，∴EF＝FH+EH＝11+4＝15，∴AB＝EF＝15，故答案為15．12．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝BC，把△BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCE，連接PE，如圖，∴BP＝BE＝，CE＝AP＝，∠PBE＝90°，∴△PBE為等腰直角三角形，∴∠BPE＝45°，PE＝PB＝×＝2，在△PCE中，∵PC＝1，PE＝2，CE＝，∴PC2+PE2＝CE2，∴△PCE為直角三角形，∠CPE＝90°，∴∠BPC＝∠BPE+∠CPE＝45°+90°＝135°．故答案為：135°．13．【解答】解：如圖，取BC中點(diǎn)G，連接DG，∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（3，0），∴AO＝BO＝3，∠BCO＝30°，∠ABC＝60°∴BC＝6＝AB∵點(diǎn)G是BC中點(diǎn)∴CG＝BG＝3＝OA＝OB∵將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠DBE＝60°，BD＝BE∴∠ABC＝∠DBE∴∠CBD＝∠ABE，且BE＝BD，BG＝OB＝3，∴△BGD≌△BOE（SAS）∴OE＝DG∴當(dāng)DG⊥OC時(shí)，DG的值最小，即OE的值最?。摺螧CO＝30°，DG⊥OC∴DG＝CG＝∴OE的最小值為故答案為：14．【解答】解：方法一，作AF⊥BC，∵tan∠ABC＝1，tan∠CBD＝，∴tan∠ABD＝tan（∠ABC﹣∠BCD）＝＝，∴AE＝AB，即AE＝CE，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD＝1，∴BF＝2，∴DF＝1，∵AD2＝AF2+DF2＝2，∴AD＝．方法二：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，由∠BAC＝∠BDC＝90°，得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以tan∠DBC＝tan∠DAC＝，設(shè)DF＝x，AF＝3x，CF＝x，在直角三角形DFC中，用勾股定理得到：x＝，所以AD＝．三．解答題（共8小題）15．【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ADC＝∠CBE+∠BFD＝∠BAD+∠ABD，∴∠BFD＝∠ABD＝∠AFE＝60°，（2）延長(zhǎng)BE至H，使FH＝AF，連接AH、CH，∵∠BAD＝∠CBE，∴△AFH是等邊三角形，∴∠FAH＝60°，AF＝AH，∴∠BAC＝∠FAH＝60°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAH﹣∠CAD，即∠BAF＝∠CAH，在△BAF和△CAH中，，∴△BAF≌△CAH（SAS），∴∠ABF＝∠ACH，CH＝BF；又∵∠ABC＝∠BAC，∠BAD＝∠CBE，∴∠ABC﹣∠CBE＝∠BAC﹣∠BAD，即∠ABF＝∠CAF，∴∠ACH＝∠CAF，∴AF∥CH，∵∠AFC＝90°，∠AFE＝60°，∴CF⊥CH，∠CFH＝30°，∴FH＝2CH，∴AF＝2BF．16．【解答】解：如圖，以AB為邊作等邊三角形ABE，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EK垂直于CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)K．∵△ABE與△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∴∠DCA＝∠CAD＝∠EAB＝60°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD．在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴EC＝BD，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝60°，∴∠EBK＝60°，∴∠BEK＝30°，∴BK＝BE＝，∴EK＝＝＝，∴EC＝＝＝7，∴BD＝EC＝7．17．【解答】解：將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△BCE，連接AE，∴∠ACE＝90°，AC＝CE，AD＝BE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝，∠EAC＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：∴BE＝，∴AD＝BE＝10．18．【解答】解：【問(wèn)題背景】如圖3所示，以DC為邊作等邊△CDE，連接AE．∵△ABC、△DCE是等邊三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．∴∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD＝5．∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．∵AD＝3，∴CD＝DE＝4；故答案為：∠DCE，△BCD≌△ACE（SAS），4；【嘗試應(yīng)用】以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABD繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AEC，連接BE，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠EBA＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠EBC＝90°，∵AB＝，∴EB＝2，∵BC＝4，∴EC＝2，∴BD＝EC＝2；【拓展創(chuàng)新】以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將△ACD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△BDF，連接AF，∴AD＝DF，∠ADF＝120°，AC＝BF，∴當(dāng)A、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，AF最大，此時(shí)AD最大，∵AB＝4，AC＝8，∴AF＝AB+BF＝AB+AC＝12，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AF交于點(diǎn)G，∵AD＝DF，∠ADF＝120°，∴∠ADG＝60°，AG＝GF＝6，∴AD＝＝4，∴AD的最大值為4．19．【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°；（2）如圖，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAQ．∴∠CBD＝∠ABQ，∠C＝∠BAQ，CD＝AQ＝4，BD＝BQ．∵∠CBD+∠ABD＝60°，∴∠ABQ+∠ABD＝60°，即∠DBQ＝60°，∴△DBQ是等邊三角形，∴BD＝DQ．∵∠C+∠BAD＝270°，∴∠BAQ+∠BAD＝270°，∴∠DAQ＝90°，∴；（3）如圖，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAH，連接DH．由（2）同理可證△BDH為等邊三角形，∴S四邊形ABCD＝S△BAH+S△ABD＝S△DBH﹣S△ADH，∴當(dāng)△ADH面積最大時(shí)，四邊形ABCD的面積最?。摺螦BC＝60°，∠ADC＝75°，∴∠BAD+∠BCD＝∠BAD+∠BAH＝225°，∴∠DAH＝135°．∵DH＝DB＝6，∴點(diǎn)A在定圓⊙O上運(yùn)動(dòng)，如圖，則當(dāng)O、A、B共線時(shí)，△DAH的面積最大，此時(shí)OB⊥DH，設(shè)OA交DH于K，∴HK＝KD＝3．∵AH＝AD，∴∠AHD＝∠ADH＝22.5°．在HK上取點(diǎn)F，使得FH＝FA，如圖，則△AKF是等腰直角三角形．設(shè)AK＝FK＝x，則，∴，解得：，∴．∵，∴，即四邊形ABCD的面積最小值為．20．【解答】解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：△BP′A≌△BPC，∴BP′＝BP，AP′＝PC＝1，又∵∠P′BP＝60°，∴△P′PB＝60°，∴△P′PB是等邊三角形，∴∠1＝60°，PP′＝BP＝，在△APP′中，AP′＝1，PP′＝，AP＝2，12+（）2＝22，即AP′2+P′P2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，∴∠AP′B＝60°+90°＝150°，∠BPC＝∠AP′B＝1