圓的有關(guān)位置關(guān)系2中考1年模擬2018中考數(shù)學(xué)系列

備戰(zhàn)2018中考系列：核號2耳中有1羊挑柩

第四篇圖形的性質(zhì)

專題23與圓有關(guān)的位置關(guān)系

b解讀老立

知識點(diǎn)名師點(diǎn)晴

理解并掌握設(shè)。。的半徑為廣，點(diǎn)P到圓心的距離。p=",則

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)尸在圓外d>r；點(diǎn)尸在圓上d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)d<r

及其運(yùn)用.

切線的判定定理

理解切線的判定定理，會運(yùn)用它解決一些具體的題目

直線和圓的位置關(guān)

切線的性質(zhì)定理理解切線的性質(zhì)定理，會運(yùn)用它解決一些具體的題目

系

切線長定理運(yùn)用切線長定理解決一些實(shí)際問題.

理解兩圓的互解關(guān)系與4八、「2等量關(guān)系的等價(jià)條件并靈活

圓和圓的位置關(guān)系

應(yīng)用它們解題.

b2年中存

【2017年題組】

一、選擇題

1.（2017四川省自貢市）48是。。的直徑，附切。。于點(diǎn)A,PO交。。于點(diǎn)C；連接8C,若NP=40°,

則NB等于（）.

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】B.

【解析】

考點(diǎn)：切線的性質(zhì).

2.（2017臨沂）如圖，A8是。。的直徑，87是。。的切線，若NAT8=45°,A8=2,則陰影部分的面積是

（）

31-11

A.2B.-----7tC.1D.—I—7t

2424

【答案】C.

【解析】

試題分析:設(shè)AT交。。于。，連結(jié)8。.丁川是。O的切線,是。。的直徑，??,乙4。5=90°,而NA78=45°,

2X8/〃都是等腰直角三角形，48-J弓形AO的面積等于弓形8。的面

2

積，,陰影部分的面積;kLx亞X&=1.故選C.學(xué)科~網(wǎng)

2

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)；2.扇形面積的計(jì)算.

3.（2017廣東省廣州巾）如圖，是AA6C的內(nèi)切圓，則點(diǎn)。是△A8C的（）

A.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)B,三條角平分線的交點(diǎn)

C.三條中線的交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)

【答案】B.

【解析】

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

4.（2017廣西玉林崇左市）如圖，大小不同的兩個磁塊，其截面都是等邊三角形，小三角形邊長是大三角

形邊長的一半，點(diǎn)。是小三角形的內(nèi)心，現(xiàn)將小三角形沿著大三角形的邊緣順時(shí)針滾動，當(dāng)由①位置滾動

到④位置時(shí)，線段OA繞點(diǎn)。順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度是（）

A.240°B.360°C.480°D.540°

【答案】C.

【解析】

試題分析：由題意可得：第一次AO順時(shí)針轉(zhuǎn)動了120°,第二次AO順時(shí)針轉(zhuǎn)動了240°,第三次AO順

時(shí)針轉(zhuǎn)動了120°,故當(dāng)由①位置滾動到④位置時(shí)，線段。4繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度是：

120°+240°+120°=480°.故選C.

考點(diǎn)：1.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

5.（2017江蘇省無錫市）如圖，菱形A8CO的邊A8=20,面積為320,N84OV90。，。0與邊AB,AD

都相切，AO=10,則。。的半徑長等于（）

A.5B.6C.2A/5D.35/2

【答案】C.

【解析】

9：AD=AB,04平分NOAB,：,AE±BD,;N04產(chǎn)+NA8E=90°,NA8E+NBOH=90°,：.N0AF二NBDH,

。AOAOF10OF、G…

VZAF,O=ZDHB-90a,/.^AAOF^^DBH,：.—=——，??一j==—，：,OF=2yJ5.故選C.

BDBH8V58

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)；2.菱形的性質(zhì)；3.綜合題.

6.（2017湖北省隨州市）如圖，在矩形ABC。中，ABVBC,￡為CO邊的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)180°,點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為。，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為F,過點(diǎn)E作ME_LA尸交8C于點(diǎn)M,連接AM、BD交于

點(diǎn)、N,現(xiàn)有下列結(jié)論：

?AM=AD+MC；?AM=DE^BMx③D/=AD?CM；④點(diǎn)N為△ABM的外心.其中正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B.

【解析】

'：MELFF,ECYMF,:?EU:CMXCF,又，；EC=DE,AD=CF,：.DE2=AD*CM,故③正確；

MNBM

*.*ZABA/=90°,JAM是△ABM的外接圓的直徑，*：BM<AD,???當(dāng)。時(shí)，——=——<1,:?N

ANAD

不是AM的中點(diǎn)，，點(diǎn)N不是△A8M的外心，故④錯誤.

綜上所述，正確的結(jié)論有2個，故選B.

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.矩形的性質(zhì)；4.三角形的外接圓

與外心；5.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；6.綜合題.

7.（2017貴州省黔南州）如圖，已知直線4。是。。的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，。。交。。于點(diǎn)8,點(diǎn)C在。O

上，且NOD4=36°,則NACB的度數(shù)為（）

A.54°B.36°C.30°D.27°

【答案】D.

【解析】

試題分析：TA。為圓。的切線，???AO_LOA,即NOA0=9O°,?.?NOOA=36°,???NAOZ>54°,???NAOO

與NAC8都對A8,/.ZACB=-ZAOD=21°.故選D.

2

考點(diǎn)：切線的性質(zhì).

8.（2017山東省濟(jì)南市）把直尺、三角尺和圓形螺母按如圖所示放置于桌面上，/C4B=60°,若量出AO=6cm,

則圓形螺母的外直徑是（）

A.\2cmB.24cmC.66cmD.12-^3cm

【答案】D.

【解析】

考點(diǎn)：切線的性質(zhì).

9.（2017山東省萊蕪市）如圖，是。。的直徑，直線OA與。。相切與點(diǎn)A,。。交。0于點(diǎn)C,連接

BC,若N4BO21。，則N4QC的度數(shù)為（）

A.46°B.47°C.48°D.49°

【答案】C.

【解析】

試題分析：:OB=OC,=N8CO=21°,???NAOD=NB+N8C321°+21°=42°,;AB是。O的直徑，

直線D4與。。相切與點(diǎn)A,/.ZOAD=90°,AZAD0900?NAOO=90°-42°=48°.故選C.

考點(diǎn)：切線的性質(zhì).

10.（2017四川省涼山州）如圖，一個半徑為1的。Oi經(jīng)過一個半徑為&的。。的圓心，則圖中陰影部分

的面積為（）

A.1B.-C.^2D.---

22

【答案】A.

【解析】

考點(diǎn)：1.相交兩圓的性質(zhì)；2.扇形面積的計(jì)算.

二、填空題

11.（2017上海市）如圖，己知RfZXABC,ZC=90°,AC=3,BC=4.分別以點(diǎn)4、8為圓心畫圓.如果點(diǎn)

。在。A內(nèi)，點(diǎn)B在。A外，且08與04內(nèi)切，那么。8的半徑長r的取值能圍是.

【答案】8<r<10.

【解析】

試題分析:如圖1,當(dāng)C在。A上,。5與Q4內(nèi)切時(shí)，的半徑為:AC=AZ>4,08的半徑為:尸AB+4>5+3=8；

如圖2,當(dāng)5在。4上，與。從內(nèi)切時(shí)，0A的半徑為：AB=AD=5,的半徑為：尸2AB=10；

的半徑長廠的取值范圍是：8<r<10.故答案為：8<r<10.

考點(diǎn)：1.圓與圓的位置關(guān)系；2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；3.分類討論.

12.（2017山東省威海市）如圖，△ABC為等邊三角形，A片2.若尸為△4BC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足NB48二/

ACP,則線段P8長度的最小值為

……2>/5

【答案］一.

3

【解析】

試題分析：:人鋁。是等邊三角形，?..乙鋁。=440=60°,乂0=45=2,?,?/及8=a43,「.NTMON

彳3=60°,.,.N%PC=120。，當(dāng)P51/C時(shí)，P3長度最小，設(shè)垂足為。，如圖所示：

此時(shí)PA=PC,貝ijAD=CD=-AO\,ZPAOZACP=30°,ZABD=-ZN5C=30°,：.

22

PD=AD*tan30°二與AD”與,BD=6AD=6；,PB=BD-PD=M-*二故答案為：.

考點(diǎn)：1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.最值問題；4.圓周角定理；5.動點(diǎn)型.

13.（2017云南?。┤鐖D，邊長為4的正方形A8CO外切于。O,切點(diǎn)分別為E、尸、G、H.則圖中陰影部

分的面積為.

【答案】2n+4.

【解析】

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)；2.正方形的性質(zhì)；3.扇形面積的計(jì)算.

14.（2017寧夏）如圖，點(diǎn)A,B,。均在6X6的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，過A,B,C三點(diǎn)的外接圓除經(jīng)過A,

B,C三點(diǎn)外還能經(jīng)過的格點(diǎn)數(shù)為.

【答案】5.

【解析】

考點(diǎn)：確定圓的條件.

15.（2017山東省威海市）閱讀理解：如圖1,。。與直線人人都相切，不論。。如何轉(zhuǎn)動，直線4、方之

間的距離始終保持不變（等于。0的直徑），我們把具有這一特性的圖形成為“等寬曲線”，圖2是利用圓

的這一特性的例子，將等直徑的圓棍放在物體下面，通過圓棍滾動，用較小的力既可以推動物體前進(jìn)，據(jù)

說，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)?

拓展應(yīng)用：如圖3所示的弧三角形（也稱為萊洛三角形）也是“等寬曲線”，如圖4,夾在平行線c,d之

間的萊洛三角形無論怎么滾動，平行線間的距離始終不變，若直線c,d之間的距離等于2cm,則萊洛三角

形的周長為cm.

【答案】231.

【解析】

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)：2.平行線之間的距離；3.新定義.

16.（2017浙汀省紹興市）如圖，/AOA=4S。,點(diǎn)例、N在邊OA上,OM=x.ON=r+4,點(diǎn)P是邊OA上的

點(diǎn).若使點(diǎn)P、M、N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)尸恰好有三個，則x的值是.

【答案】尸0或產(chǎn)4a-4或4VXV4五.

【解析】

試題分析：以MN為底邊時(shí)，可作MN的垂直平分線，與08的必有一個交點(diǎn)Pi,且MN=4,以M為圓

心MN為半徑畫圓，以N為圓心MN為半徑畫圓，①如下圖，當(dāng)M與點(diǎn)。重合時(shí)，即產(chǎn)0時(shí)，除了Pi,

當(dāng)MN=MP,即為尸3；當(dāng)N六MN時(shí)，即為尸2；

只有3個點(diǎn)P；

②當(dāng)0VxV4時(shí)，如下圖，圓N與OB相切時(shí)，NP?二MN=4,且NPU0B,此時(shí)“「3=4,則OM=ON-MN二

y/2NP2-4-4>/2-4.

③因?yàn)镸N=4,所以當(dāng)x>0時(shí)，MNVOM則MN二NP不存在，除了尸?外，當(dāng)MP=MN=4時(shí),過點(diǎn)M作

MD_LOB于。，當(dāng)OM=MP=4時(shí)，圓”與08剛好交08兩點(diǎn)P2和P3;

當(dāng)MD=MN=4時(shí)，圓M與08只有一個交點(diǎn)，此時(shí)0M=J^MQ=4a,故4WxV4夜.

與0B有兩個交點(diǎn)尸2和三，故答案為：尸0或尸40-4或4?40.

考點(diǎn)：1.等腰三角形的判定；2.相交兩圓的性質(zhì)：3.分類討論；4.綜合題.

17.（2017四川省德陽市）如圖，已知。C的半徑為3,圓外一點(diǎn)。滿足0C=5,點(diǎn)P為。C上一動點(diǎn)，經(jīng)

過點(diǎn)。的直線/上有兩點(diǎn)A、B,且OA=OB,ZAPB=90°,/不經(jīng)過點(diǎn)C,則48的最小值為.

【答案】4.

【解析】

考點(diǎn)：1.最值問題；2.三角形三邊關(guān)系；3.相切兩圓的性質(zhì).

18.（2017浙江省湖州市）如圖，已知NAO8=30°,在射線04上取點(diǎn)01，以。為圓心的圓與OB相切；

在射線OiA上取點(diǎn)。2，以仍為圓心，。2。1為半徑的圓與08相切；在射線QA上取點(diǎn)。3，以Q為圓心,

。3。2為半徑的圓與相切；???；在射線。以上取點(diǎn)Oio,以O(shè)io為圓心，OKA為半徑的圓與相切.若

的半徑為1,則。。10的半徑長是.

【答案】29.

【解析】

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)；2.規(guī)律型.

19.（2017衢州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，。4的圓心A的坐標(biāo)為（?1,0）,半徑為1,點(diǎn)P為直線y=—之工+3

4

上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作。A的切線，切點(diǎn)為Q,則切線長PQ的最小值是.

【答案】20.

【解析】

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)；2.一次函數(shù)的性質(zhì)；3.最值問題.

20.（2017湖南省岳陽市）如圖，。。為等腰△A8C的外接圓，直徑AB=12,P為弧8C上任意一點(diǎn)（不與

B,C重合），直線CP交A8延長線于點(diǎn)。,?O在點(diǎn)P處切線PD交BQ于點(diǎn)。，下列結(jié)論正確的是.（寫

出所有正確結(jié)論的序號）

①若NB4B=30°,則弧BP的長為Ji；②若PD〃BC,則AP平分NCA3；

⑤若PB-BD,貝iJ-Q-G百；④無論點(diǎn)尸在弧SC上的位置如何變化，CP?C。為定值.

【答窠】②③④.

【解析】

試題分析：如圖，連接OP,'：AO=OP,ZMfi=30°,/.ZPOB=60°,*：AB=\2,：,OB=6,???弧3P的長

為細(xì)3二2%故①錯誤；

180

???PO是。。的切線，???OP_LPO,???PO//8C,：.OP±BC,/.CP=BP,??.AP平分N

CAB,故②正確；

若PB=BD,則/BPANBDP,VOPLPD,：?/BPD+NBPO=/BDP+/BOP,AZBOP=ZBPO,：.

RP-BO-PO-6,即ABO尸是等邊三角形，???々）-百OP-6G，故③正確；

\'AC=BC,：.ZBAC=ZABC,又丁NA8ONAPC,，N4PO8AC,XVZACP=Z0CA,：.AACP^AQCA,

CP%

:.---=----，BPCP*CQ=CA2（定值），故④止確；

CACQ

故答案為：②③④.

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.切線的性質(zhì)；4.弧長的計(jì)算；5.動點(diǎn)型；

6.定值問題；7.綜合題.

21.（2017甘肅省蘭州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，見BCO的頂點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別是A（3,0）,

8（0,2）.動點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心，P8長為半徑的。P隨點(diǎn)P運(yùn)動，當(dāng)。P與織BC。

的邊相切時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】Q（0,0）或（2,1）或（3-石，9-3"）

32

【解析】

試題分析：①當(dāng)。P與3c相切時(shí)，;動點(diǎn)尸在直線”白上，，尸與。重合，此時(shí)圓心P到5C的距離

為OB,：.P（0,0）.

②如圖1中，當(dāng)。尸與OC相切時(shí)，則OP=BP,△OPS是等腰三角形，作于E,則助=￡。，易知

2

P的縱坐標(biāo)為1,可得尸（一，1）.

3

③如圖2中，當(dāng)。P與04相切時(shí)，則點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)P到x軸的距離相等，可得Jf+gx—2）2

二工，解得產(chǎn)3+逐或3-逐，???卡3+為＞04工戶不會與OA相切，???產(chǎn)3+石不合題意，???P（3-6,

2

9-375

2

④如圖3中，當(dāng)0P與A8相切時(shí)，設(shè)線段A8與直線。尸的交點(diǎn)為G,此時(shí)PB二PG,

圖3

,：OPLAB,：.NBGP=NPBG=90°不成立，,此種情形，不存在P.

綜上所述，滿足條件的P的坐標(biāo)為（0,0）或（2,1）或（3-右，上*）.

32

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)；2.一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；3.動點(diǎn)型；4.分類討論；5.綜合題.

三、解答題

22.（2017內(nèi)蒙古包頭市）如圖，AB是00的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E,過點(diǎn)B的切線BP與CO的延

長線交于點(diǎn)P,連接OC,CB.

（1）求證：AE?EB=CE?ED；

CF9

（2）若。。的半徑為3,0E=2BE,—=-,求S〃N08C的值及。尸的長.

DE5

【答案】（1）證明見解析；（2）tanZOBC=42,一.

3

【解析】

CE9

（2）解：???G）O的半徑為3,???04=08=003,?；0E=2BE,A0E=2,BE=\,4E=5,V—二一，,設(shè)

DE5

CE=9x,DE=5x,,；AE?EFCE?ED,，5Xl=9x?5x,解得：x\=-,x2=--（不合題意舍去），：.CE=9x=3,

33

OE=5尸2,過點(diǎn)C作CRLAB于凡?.?0C=CE=3,七尸上OE=I,??.B尸=2,在心△OCT中，???NC”>=90°,

32

：.CF^OF2=OC2,:?CF=2C,在中，VZCFB=90°,：.tanZ.OBO—=------=&,VCF±

BF2

AB于凡/.ZCF5=90°,?.?8P是。。的切線，AB是。。的直徑，,NEB片90°,：.NCFB=NEBP,在

△C/E和△尸6七中，?；4C止乙PBE,,乙卜EC=/BEP,:、△CFgXPBEqASA）、???上片C33,

54

：?DP=EP?ED=3?一二一.

33

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.切線的性質(zhì)；3.解直角三角形.

23.（2017內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，點(diǎn)A是直線與。。的交點(diǎn)，點(diǎn)8在。。上，BO_LAM垂足為O,BD

與。0交于點(diǎn)C,0C平分NAOB,NB=60；

（1）求證：AM是。。的切線；

（2）若0c=2,求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留n和根號）.

【答案】（1）證明見解析；（2）673

3

【解析】

試題解析：（1）???NB=60°,???△80C是等邊三角形，，N1=N2=6O°,丁。。平分NAOB,/.Z1=Z3,

AZ2=Z3,：.OA//BDt；?NBDM=90°..??NOAM=90°,JAM是。。的切線；

（2）VZ3=60°,OA=OC,???△AOC是等邊三角形，ZOAC=60°,：NOAM=90。,/.ZCAD=30°,

???8=2,???AO2co=4,???4。=26，???S陽影二S梯形OAOC-SMJ（4+2）X26.^^:6G-%

23603

考點(diǎn)：1.切線的判定與性質(zhì)；2.扇形面積的計(jì)算.

24.（2017四川省涼山州）如圖，已知43為。0的直徑，AD.8。是。。的弦，8C是。。的切線，切點(diǎn)為

B,OC//AD,84、C。的延長線相交于點(diǎn)￡.

（1）求證：DC是。。的切線；

（2）若4E=I,ED=3,求。。的半徑.

【答案】(1)證明見解析；(2)4.

【解析】

試題解析：(1)證明：連結(jié)。0.*：AD//OC,:.NDAO=NCOB,ZADO=ZCOD.

又?.?0A=0。，???NOAONAOO,/.ZCOD=ZCOB.

在也。。力和△COB中，?：OD=OB,OC=OC,:ACOD安ACOB(SAS),:"CDS/CBO.

TBC是(DO的切線，/.ZCBO=90°,/.ZCDO=90°,又?點(diǎn)。在。。上，，CD是。。的切線；

(2)設(shè)。0的半徑為R,則0。=R,OE=R+1,:。。是00的切線，???NED。=90°,???ED2+OD2=0產(chǎn)，.?.

32+R2=(/?+1)2,解得R=4,???。0的半徑為4.

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì).

25.(2017四川省綿陽市)如圖，已知是圓。的直徑，弦COJ_AB,垂足為H,與AC平行的圓。的一

條切線交CO的延長線于點(diǎn)M,交43的延長線于點(diǎn)E,切點(diǎn)為尸，連接4尸交8于點(diǎn)M

(1)求證：C4=CM

(2)連接。F,若以$/。胡=&，AN=2廂,求圓。的直徑的長度.

5

【答案】(1)證明見解析；(2)—.

3

【解析】

(2)連接0C,由圓周角定理結(jié)合cos/。朋=54V=2ji6,即可求出C〃、4H的長度，設(shè)圓的半徑為r,

則0H+-6,根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于「的一元一次方程，解之即可得出入再乘以2即可求出圓。直徑

的長度.

試題解析：(1)證明：連接OF,則NOA4N。胡，如圖所示.

:叱與OO相切，/.OFVME.VCD±AB,；?/M+/FOH=180。.

VZBOF,=ZOAF+ZOFA=2ZOAF,NFOH+NBOF=180°,AZM=2ZOAF.

*：ME//ACf：.ZM=ZC=2Z0AF,

*：CDLAB,，NANC+N0AF=N84C+NO90°,AZANO9O0-/OAF,ZBAC=900-ZC=90°-2Z

OAF,：,ZCAN=ZOAF+ZBAC=90°?NOAF=NANC,：.CA=CN.

(2)連接OC,如圖2所示.

4CH4n,

〈cos/。陰二一，ZDFA=ZACH,/,—二一.設(shè)CH=4a,n則AC=5mAH=3a,?:CA二CN,:?NH;a,:.

5AC5

AN=yjAH2+NH2=y](3a)2+a2=V10a=2M,A?=2,A〃=3所6,CH=4a=8.

2222

設(shè)圓的半徑為r,則O"=「6,在心△OC"中，OC=r,CW=8,OH=r-6,：.OC=CH+OHfz^=8+(r-6)

2,解得：尸二，，圓。的直徑的長度為2尸O.

33

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)；2.勾股定理；3.圓周角定理；4.解直角三角形.

26.（2017四川省達(dá)州市）如圖，/XABC內(nèi)接于。0,CD平分NAC8交。。于。，過點(diǎn)。作PQ〃A8分別

交CA、CB延長線于P、Q,連接80.

（1）求證：PQ是。。的切線；

（2）求證：

41

（3）若AC、8。的長是關(guān)于“的方程x+—二川的兩實(shí)根，且心〃/尸€7>—，求。。的半徑.

x3

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）2回.

【解析】

（3）根據(jù)題意得到AC?8Q=4,得到BD=2,由（1）知PQ是。。的切線，由切線的性質(zhì)得到OO_LPQ,根

據(jù)平行線的性質(zhì)得到OOJ_AB,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BE=3DE,根據(jù)勾股定理得到BE的長，設(shè)

0B=0D=R,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

試題解析：（1）證明：'：PQ//AB,/.ZABD=ZBDQ=ZACD,VZACD=ZBCD,/.ZBDQ=ZACD,如圖

1,連接08,0D,交AB于E,則/0BD=N0DB,ZO=2ZDCB=2ZBDQ,在△080中，N0BD+/0DB+

ZO=180°,A2Z0DB+2ZO1800,：.Z0DB+Z0=90c,是。0的切線；

（2）證明：如圖2,連接AO,由（1）知PQ是。。的切線，；?NBDQ=NDCB=NACD=NBCD=NBAD,

,ADAC.

：.AD=BD,，：NDBQ=4ACD,：./A\BDQ^^AACD,：,—=—,:?BA=AC、BQ；

44

（3）解：方程x+-=m可化為〃認(rèn)+4:0,?.?AC、8Q的長是關(guān)于x的方程工+-=加的兩實(shí)根，，AC?8Q=4,

xx

由（2）得???瓦）2=4,：.BD=2,由（1）知PQ是。O的切線，?.ODA.PQ,,:PQ〃AB,：.0D

1AB,由（1）得NPCO=N4BD,tan^PCD=-,：,tan^ABD=-,；?BE=3DE,：.DE~+（3DF）2=^=4,

33

2y/w6V102M,,i2M、

「DE二」—,:?BE=」—設(shè)0B~0D=R,：?0E=R-------,TOB二OE，BE，：,R2=（R------------）2+

5555

（地色）2,解得：R=2ji6,）。。的半徑為2>A6.

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.分式方程的解：3.圓周角定理；4.切線的判定與性質(zhì)；5.解直

角三角形；6.壓軸題.

27.（2017山東省聊城市）如圖，。。是AABC的外接圓，。點(diǎn)在BC邊上，/BAC的平分線交。。于點(diǎn)Q,

連接BQ、CD,過點(diǎn)。作8C的平行線，與A3的延長線相交于點(diǎn)P.

(1)求證：PO是(?)。的切線：

(2)求證：XPBDsXDC限

(3)當(dāng)48=6,AC=8時(shí)，求線段的長.

25

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)—.

4

【解析】

(3)由三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理求出8C的長，再由。。垂直平分8C,得到根

據(jù)(2)的相似，得比例，求出所求即可.

試題解析：(1)證明：???圓心。在上，???BC是圓O的直徑，??.N84C=90°,連接OD,?.?A。平分N

BAC,：,ZBAC=2ZDAC,?:/D0O2/DAC,，N000/840900,BP0DLBC,,:PDHBC,：?0D

_LPO,為圓。的半徑，JP。是圓0的切線；

(2)證明：YPD//BC,:?NP=NABC,VZABC=ZADC,：.ZP=ZADC,*：ZPBD+ZABD=\S00,Z

ACD+ZABD=\S()°,:.NPBD=NACD,:?△PBDs^DCA、

(3)解：/△ABC為直角三角形，???BC2=A52+AC2=62+82=100,???灰>10,:。。垂直平分8C,

???8C為圓。的直徑，???/8OC=90°,在&△￡>8C中，DBt+DC?=BC,BP2DC2=BC2=100,：?DC=DB二5五,

AAPBBDrlIDCBD5V2x5>/225

■:叢PBDSXDCA,：.——=——?則尸-----------------------——.

DCACAC84

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.切線的判定與性質(zhì)；3.圓的綜合題.

28.(2017廣東省)如圖，48是。。的直徑，AQ4百，點(diǎn)E為線段。8上一點(diǎn)(不與。，8重合)，作CE

_LOB,交OO于點(diǎn)C,垂足為點(diǎn)E,作直徑CD,過點(diǎn)C的切線交08的延長線于點(diǎn)P,AFLPC于點(diǎn)F,

連接C8.

(1)求證：C8是NECP的平分線：

(2)求證：CF=CE；

(3)當(dāng)JCF=33時(shí)，求劣弧的長度〔結(jié)果保留兀)

CP4

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)—7T.

3

【解析】

試題解析：(1)證明：???OOOB,???NOCB=NOBC,???P尸是。0的切線，CE_L48,，NOC片NCE8=90°,

：.NPCB+/OCB=90°,ZBCE+ZOBC=90°,AZBCE=ZBCP,:.BC平分/PCE.

（2）證明：連接AC

是直徑，???NACB=90°,AZSCP+ZACF=90°,NACE+NBCE=90°，?:NBCP=/BCE,：,ZACF=

NACE,???/尸NAEC=90°,AC=AC,/.△ACF^AACf：,：.CF=CE.

（3）解：作8M_LP尸于M.則CE二CM=CF,SCE=CM=CF=4a,PC=4a,PM二a,YXBMCs叢PMB,：.

BMCM.r-BM上。

2

——=——，：.BM=CM*PM=3crf：.BM=<3a,:?tan/BCM=——=—.，NBCM=30°,；?/OCB二

PMBMCM3

NOBC=NBOC=60°,，8C的長=60%"2"=3^4.

1803

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.垂徑定理；3.切線的性質(zhì)；4.弧長的計(jì)算.

29.（2017江蘇省鹽城市）如圖，△ABC是一塊直角三角板，且NC=90°,NA=30°,現(xiàn)將圓心為點(diǎn)。的

圓形紙片放置在三角板內(nèi)部.

（1）如圖①，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊ACBC都相切時(shí)，試用直尺與圓規(guī)作出射線CO；（不寫作法與證明，

保留作圖痕跡）

（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周，回到起點(diǎn)位置時(shí)停止，若309,圓形紙片的

半徑為2,求圓心。運(yùn)動的路徑長.

【答案】（1）作圖見解析；（2）15+73.

【解析】

試題分析：（1）作N4C8的平分線得出圓的一條弦，再作此弦的中垂線可得圓心。，作射線C。即可；

（2）添加如圖所示輔助線，圓心。的運(yùn)動路徑長為Q破5,先求出△ABC的三邊長度，得出其周長，證

四邊形?！?。。1、四邊形OIO2“G、四邊形。。2/尸均為矩形、四邊形OECF為正方形，得出/0。1。2=60°=

NABC、/。1。。2=90°,從而知△0。。2s△CR4,利用相似三角形的性質(zhì)即可得出答案.

試題解析：（1）如圖①所示，射線0C即為所求；

（2）如圖2,圓心0的運(yùn)動路徑長為?！鹘z6,過點(diǎn)Oi作。。_L8C、OiFlAC.0]G±AB,垂足分別為點(diǎn)

D,尸、G,過點(diǎn)。作。E_LBC,垂足為點(diǎn)E,連接028,過點(diǎn)。2作。2”_LAB,OiILAC,垂足分別為點(diǎn)”、

/,在即ZUBC中，NACB=90°、/A=30。，：.AC=-BC-=-^-9>/3,4B=2BC=18,NABU60°,A

tan30V3

T

QA8L9+96+18=27+96，'：O\DVBC.O】G_LAB,:?D、G為切點(diǎn)，:.BD=BG,在心△04。和4△

018G中，°：BD=BG,OiB二0\B,；.40\BDmA0iBG(HL),工NO】BG二NO】8。=30°,在心△0歸。中，

]D

NOM8=90°,N04。=30°,：.BD=°=-^=273,/.O(?i=9-2-2>/3=7-273,,：OiD=OE=2,

tan30V3

~T

OiDLBC,OELBC,：.O\D//OE,且OQ=OE,???四邊形OED。為平行四邊形，NOEZX90。，，四邊

形OEDO1為矩形，同理四邊形OGHG、四邊形00"、四邊形OECF為矩形，又OE=OF,：,四邊形OECF

為正方形，VZOiGH=ZCDOi=90°,ZABC=60°,/.ZG6>,D=120o,又「NFOID=NO25G=90°,:.

N0002=360°-90°-90°=600=ZABC,同理，N010。2=90°,工△001。2s△C3A,

4^曳=沁，即.g。>=7-2，,：.c>00g-15+V3,即圓心。運(yùn)動的路徑長為15+0.

BC27+9y39

考點(diǎn)：1.軌跡；2.切線的性質(zhì)；3.作圖一復(fù)雜作圖；4.綜合題.

30.(237湖北省鄂州巾)如圖，已知w?’是G)O的直徑，A為。。上(異于6、K)一點(diǎn)，。。的切線MA

與尸B的延長線交于點(diǎn)M；P為AM上一點(diǎn)，P8的延長線交。O于點(diǎn)C,。為8c上一點(diǎn)且以二PO,A。的

延長線交。。于點(diǎn)￡

(1)求證：BE=CE；

(2)若ED、E4的長是一元二次方程X2-5x+5=0的兩根，求BE的長；

(3)若MA=6五，sinZAMF=-,求A8的長.

3

【答案】(1)證明見解析；(2)石；(3)26.

【解析】

試題解析：(1)證明：連接OA、OE交BC于T.

T4M是切線，/.ZOAM=90°,Z/^D+ZOAE=90°,VB4=PD,AZPAD=ZPDA=ZEDT,'：OA=OE,

：,ZOAE=ZOEA,AZEDT+ZOEA=90°,/.ZDTE=90°,：,OEVBC,:.BE=CE.

(2)'??ED、EA的長是一元二次方程f-5x+5=0的兩根，.,.EQ?EA=5,,.?BE=CE,???N84E=NE8Z),

BEDE,/T

?：/BED:/AEB,；?ABEDsAAEB,:.—=—,???8序二。七?班二5,:.BE=6

AEEB

(3)作4"J_0M于”.在放Z\AMO中，?:AM=66,sinZM=-=-^-,設(shè)OA=/〃，0M=3m,/.9/n2-

3OM

rrr=12,：.m=3,：,OA=3,OM=9,易知NOAH=NM,：.tan^OAD=^-=-,工。"二I,AH=2叵.BH2

AH3

：.AB-y/AH2+BH2=?2臥+*=2后.

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)；2.根與系數(shù)的關(guān)系；3.解直角三角形；4.壓軸題.

【2016年題組】

一、選擇題

1.（2016江蘇省連云港市）如圖，在網(wǎng)格中（每個小正方形的邊長均為1個單位）選取9個格點(diǎn)（格線的

交點(diǎn)稱為格點(diǎn)）.如果以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個在圓內(nèi)，則r的取值

范圍為（）

A.2\[2<r<Vr7B.Vf7<r<3A/2C.VT7<r<5D.5<r<

【答案】B.

【解析】

試題分析：如圖，???4）=2&,AE=AF=yfn,A8=3&,??.AB>AE>A。，,JI7<廠V3加時(shí)，以A

為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個在圓內(nèi)，故選B.

考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

2.（2016吉林省長春市）如圖，PA.是。。的切線，切點(diǎn)分別為A、B,若OA=2,ZP=60°,

則A8的長為（）

24D.L

A.-71B.nC.-7T

333

【答案】C.

【解析】

考點(diǎn)：1.弧長的計(jì)算；2.切線的性質(zhì).

3.（2016山東省德州市）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題“今有勾八步,

股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角

邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是多少？”（）

A.3步B.5步C.6步D.8步

【答案】C.

【解析】

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

4.（2016江蘇省無錫市）如圖，AB是。。的直徑，AC切。O于A,BC交OO于點(diǎn)、D,若NC=70°,則NAOD

的度數(shù)為（）

A.70°B.35°C.2